Xem mã nguồn của Logarit

{{1000 bài cơ bản}}
[[Tập tin:Binary logarithm plot with ticks.svg|right|thumb|upright=1.35|alt=Graph showing a logarithmic curve, crossing the ''x''-axis at ''x''= 1 and approaching minus infinity along the ''y''-axis.|[[Đồ thị của hàm số|Đồ thị]] của hàm logarit cơ số 2 cắt trục hoành tại {{math|''x'' {{=}} 1}} và đi qua các điểm {{nowrap|(2, 1)}}, {{nowrap|(4, 2)}}, và {{nowrap|(8, 3)}}, thể hiện rằng, chẳng hạn, {{math|log<sub>2</sub>(8) {{=}} 3}} và {{math|2<sup>3</sup> {{=}} 8}}. Khi {{mvar|x}} càng gần 0 thì đồ thị dần tiệm cận trục tung, nhưng không cắt trục đó.]]
{{Phép tính số học}}
Trong [[toán học]], '''logarit''' ({{langx|en|logarithm}}) của một số là [[lũy thừa]] mà một giá trị cố định, gọi là [[cơ số]], phải được nâng lên để tạo ra số đó. Ví dụ, logarit cơ số {{Math|10}} của {{Math|1000}} là {{Math|3}} vì {{Math|1000}} là {{Math|10}} lũy thừa {{Math|3}}: {{math|1000 {{=}} 10 × 10 × 10 {{=}} 10<sup>3</sup>}}. Tổng quát hơn, nếu {{Math|1=''x'' = ''b''<sup>''y''</sup>}} thì {{Math|''y''}} được gọi là logarit cơ số {{Math|''b''}} của {{Math|''x''}} và được ký hiệu là {{math|log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}}.

Logarit do [[John Napier]] giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1614 như là một cách để đơn giản hóa việc tính toán. Về sau, nó đã nhanh chóng được nhiều nhà khoa học sử dụng để hỗ trợ trong tính toán, đặc biệt là các phép tính yêu cầu độ chính xác cao, thông qua [[thước loga]] và [[bảng logarit]]. Các công cụ này dựa trên tính chất rằng logarit của một [[Tích (toán học)|tích]] bằng [[Phép cộng|tổng]] các logarit của các thừa số:
:<math> \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y. \,</math>
Khái niệm logarit như ngày nay đến từ [[Leonhard Euler]], người đã liên hệ nó với [[hàm mũ]] vào thế kỷ 18.

Logarit cơ số {{Math|10}} ({{math|1=''b'' = 10}}) được gọi là [[logarit thập phân]] và có nhiều ứng dụng trong [[khoa học]] và [[kỹ thuật]]. [[Logarit tự nhiên]] có cơ số là [[E (số)|hằng số {{Mvar|e}}]] ({{math|''b'' ≈ 2,718}}) và được ứng dụng phổ biến nhất trong toán học và [[Vật lý học|vật lý]], đặc biệt là [[vi tích phân]]. [[Logarit nhị phân]] sử dụng cơ số {{Math|2}} ({{math|1=''b'' = 2}}) và được sử dụng nhiều nhất trong [[khoa học máy tính]].

[[Thang đo lôgarit|Thang đo logarit]] cho phép thu hẹp các đại lượng kích thước lớn về phạm vi nhỏ hơn. Chẳng hạn, [[decibel]] (dB) là [[Đơn vị đo|đơn vị]] logarit định lượng [[áp suất âm thanh]] và tỉ lệ [[hiệu điện thế]]. Trong [[hóa học]], [[pH]] là một đơn vị logarit dùng để đo độ [[axit]] hay [[base]] của [[dung dịch nước]]. Logarit cũng phổ biến trong [[công thức]] khoa học, trong việc nghiên cứu [[Lý thuyết độ phức tạp tính toán|độ phức tạp tính toán]] hay các [[phân dạng]]. Nó hỗ trợ mô tả tỉ lệ [[tần số]] của các quãng trong âm nhạc, xuất hiện trong công thức đếm [[số nguyên tố]], [[Xấp xỉ Stirling|tính gần đúng]] một [[giai thừa]], nghiên cứu một số mô hình trong [[tâm vật lý học]] và được ứng dụng trong lĩnh vực [[kế toán điều tra]].

Giống như cách logarit đảo ngược phép lũy thừa, [[logarit phức]] là [[hàm ngược]] của hàm lũy thừa trong [[số phức]]. Một dạng khác của logarit là [[Lôgarit rời rạc|logarit rời rạc]], một hàm ngược đa trị của hàm mũ trong nhóm hữu hạn, với một số ứng dụng trong [[mật mã hóa khóa công khai]].

== Cơ sở và định nghĩa ==
[[Phép cộng]], [[phép nhân]] và [[lũy thừa]] là ba trong các phép toán số học cơ bản nhất. Phép toán ngược lại với phép cộng là [[phép trừ]], ngược lại với phép nhân là [[phép chia]]. Một cách tương tự, logarit là phép toán ngược lại với lũy thừa. Lũy thừa tức là khi một số {{mvar|b}}, gọi là ''cơ số'', được nâng lên lũy thừa {{mvar|y}}, gọi là ''số mũ'', để cho giá trị {{Math|''x''}}, ký hiệu là
:<math>b^y = x.</math>
Ví dụ, {{Math|2}} nâng lên lũy thừa {{Math|3}} bằng {{Math|8}}, vì {{Math|8}} là tích của ba thừa số {{Math|2}} nhân với nhau: {{Math|2<sup>3</sup> {{=}} 2 × 2 × 2 {{=}} 8}}. Phép lũy thừa có thể được mở rộng cho mọi số thực {{mvar|y}}.<ref>{{Chú thích|last1=Shirali|first1=Shailesh|title=A Primer on Logarithms|url={{google books |plainurl=y |id=0b0igbb3WaQC}}|year=2002|location=Hyderabad|publisher=Universities Press|isbn=978-81-7371-414-6}}, đặc biệt mục 2</ref>

Logarit cơ số {{mvar|b}} chính là phép toán ngược, cho giá trị là {{mvar|y}} từ một số {{Math|''x''}} ban đầu. Có nghĩa là, {{math|''y'' {{=}} log<sub>''b''</sub>&nbsp;''x''}} tương đương với {{math|''x'' {{=}} ''b''<sup>''y''</sup>}} với {{mvar|b}} là [[số thực]] dương. (Nếu {{mvar|b}} không phải là số thực dương, phép lũy thừa và logarit vẫn xác định nhưng có thể cho các giá trị khác nhau, dẫn đến việc định nghĩa phức tạp hơn.)

Một trong những cơ sở lịch sử cho sự ra đời của logarit là công thức
:<math> \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y, \,</math>
cho phép đưa các phép tính nhân và chia thành phép cộng, phép trừ và việc tra cứu [[Bảng logarit|bảng số logarit]] (trước khi máy tính được phát minh).

=== Định nghĩa ===
''Logarit'' cơ số {{mvar|b}} của một số thực dương {{Math|''x''}} là số mũ mà {{mvar|b}} cần phải được nâng lên để có được {{Math|''x''}}. Nói cách khác, logarit cơ số {{mvar|b}} của {{Math|''x''}} là nghiệm {{mvar|y}} của phương trình
:<math>b^y = x</math>
và được ký hiệu là {{math|log<sub>''b''</sub>&nbsp;''x''}}.<ref>{{Chú thích|last1=Kate|first1=S.K.|last2=Bhapkar|first2=H.R.|title=Basics Of Mathematics|location=Pune|publisher=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|year=2009}}, chương 1</ref> Để giá trị của logarit được xác định thì cơ số {{mvar|b}} phải là một [[số thực]] dương khác 1 và {{Math|''x''}} là một số dương.{{refn|Điều kiện của {{mvar|x}} và {{mvar|b}} được giải thích trong phần [[#Tính chất trong giải tích|"Tính chất trong giải tích"]].|group=nb}}

=== Ví dụ ===
Ta có {{math|log<sub>2</sub> 16 {{=}} 4}} vì {{math|2<sup>4</sup> {{=}} 2 × 2 × 2 × 2 {{=}} 16}}. Logarit có thể là số âm:
:<math>\log_2 \! \frac{1}{2} = -1</math> vì <math>2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}.</math>
Một ví dụ khác: {{math|log<sub>10</sub>150}} gần bằng 2,176, một số nằm giữa 2 và 3, giống như khi 150 nằm giữa {{math|10<sup>2</sup> {{=}} 100}} và {{math|10<sup>3</sup> {{=}} 1000.}} Cuối cùng, với mọi cơ số {{mvar|b}} thì {{math|log<sub>''b''</sub> {{mvar|b}} {{=}} 1}} và {{math|1=log<sub>''b''</sub> 1 = 0}} vì {{math|''b''<sup>1</sup> {{=}} {{mvar|b}}}} và {{math|''b''<sup>0</sup> {{=}} 1}}.

== Các đồng nhất thức logarit ==
{{Chính|Danh sách đồng nhất thức logarit}}
Các công thức quan trọng sau đây, gọi là ''đồng nhất thức logarit'', liên hệ các logarit với nhau.<ref>Mọi thông tin có thể được tìm thấy trong {{Harvnb|Shirali|2002|loc=mục 7}}, {{Harvnb|Downing|2003|p=275}} hoặc {{Harvnb|Kate|Bhapkar|2009|p=1-1}}...</ref>

=== Tích, thương, lũy thừa và căn ===
Logarit của một tích là tổng các logarit của các thừa số; logarit của một thương gồm hai số là hiệu logarit của hai số đó. Logarit của một số lũy thừa {{Mvar|p}} bằng {{Mvar|p}} lần logarit của số đó; logarit của một số căn bậc {{Mvar|p}} là logarit của số đó chia cho {{Mvar|p}}. Bảng dưới đây liệt kê các phép tính logarit cơ bản nêu trên và các ví dụ.

{| class="wikitable" style="margin: 0 auto;"
|-
! !! Công thức !! Ví dụ
|-
| Tích||<math>\log_b(x y) = \log_b x + \log_b y</math>
| <math>\log_3 243 = \log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2 + 3 = 5</math>
|-
| Thương ||<math>\log_b \!\frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y</math>
| <math>\log_2 16 = \log_2 \!\frac{64}{4} = \log_2 64 - \log_2 4 = 6 - 2 = 4</math>
|-
| Lũy thừa ||<math>\log_b\left(x^p\right) = p \log_b x</math>
| <math>\log_2 64 = \log_2 \left(2^6\right) = 6 \log_2 2 = 6</math>
|-
| Căn ||<math>\log_b \sqrt[p]{x} = \frac{\log_b x}{p}</math>
|<math>\log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1,5</math>
|}

=== Đổi cơ số ===
Logarit {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} có thể được tính từ logarit cơ số trung gian {{Math|''k''}} của {{mvar|x}} và {{mvar|b}} theo công thức:{{refn|group=nb|''Chứng minh:''
Lấy logarit cơ số {{mvar|k}} của cả hai vế trong đồng nhất thức <math display=inline> x = b^{\log_b x},</math> ta được
<math> \log_k x = \log_k \left(b^{\log_b x}\right) = \log_b x \cdot \log_k b.</math> Biểu diễn lại kết quả này theo <math>\log_b x</math> cho ta công thức đổi cơ số.}}
:<math> \log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}. </math>
Các [[máy tính bỏ túi]] điển hình thường tính logarit cơ số 10 và {{mvar|e}}.<ref>{{Chú thích|last1=Bernstein|first1=Stephen|last2=Bernstein|first2=Ruth|title=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability|publisher=[[McGraw-Hill]]|location=New York|series=Schaum's outline series|isbn=978-0-07-005023-5|year=1999|url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00bern}}, tr.&nbsp;21</ref> Logarit cơ số {{mvar|b}} bất kỳ có thể được xác định bằng cách đưa một trong hai logarit đặc biệt này vào công thức trên:
:<math> \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}. \,</math>
Cho một số {{mvar|x}} và logarit cơ số {{mvar|b}} của nó {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} với {{mvar|b}} chưa biết, thì {{mvar|b}} được tính bằng
:<math> b = x^\frac{1}{\log_b x},</math>

bằng cách mũ hóa biểu thức <math> x = b^{\log_b x} </math> lên số mũ<math>\; \tfrac{1}{\log_b x}.</math>

== Các cơ số đặc biệt ==
[[Tập tin:Logarithm plots.png|nhỏ|upright=1.35|Đồ thị của ba hàm số logarit phổ biến nhất với cơ số 2, {{mvar|e}} và 10]]
Trong các giá trị của cơ số {{mvar|b}}, có ba cơ số đặc biệt. Chúng gồm {{math|1=''b'' = 10}}, {{math|1=''b'' = [[e (hằng số toán học)|''e'']]}} (hằng [[số vô tỉ]] xấp xỉ bằng 2,71828) và {{math|1=''b'' = 2}}. Trong [[giải tích toán học]], logarit cơ số {{mvar|e}} là phổ biến nhất nhờ các tính chất được giải thích dưới đây. Mặt khác, có thể dễ dàng tính logarit cơ số 10 trong [[hệ thập phân]]:<ref>{{Chú thích|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, NY|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|year=2003|url=https://archive.org/details/algebraeasyway00down_0}}, chương 17, tr. 275</ref>
:<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10} 10 + \log_{10} x = 1 + \log_{10} x.\ </math>
Do đó, {{math|log<sub>10</sub>''x''}} có liên hệ với số [[chữ số]] của một [[số nguyên]] dương {{mvar|x}}: đó là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn {{math|log<sub>10</sub>''x''}}.<ref>{{Chú thích|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, tr.&nbsp;20</ref> Chẳng hạn, {{math|log<sub>10</sub>1430}} gần bằng 3,15. Số nguyên liền sau là 4 và là số chữ số trong số 1430. Logarit cơ số {{mvar|e}} và logarit cơ số 2 thường được dùng trong [[lý thuyết thông tin]], có liên quan đến hai đơn vị cơ bản nhất trong thông tin là [[nat]] và [[bit]].<ref>{{Chú thích|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=978-0-521-46760-5|page=3|url={{google books |plainurl=y |id=tBuI_6MQTcwC|page=3}}}}</ref> Logarit cơ số 2 cũng được sử dụng trong [[khoa học máy tính]] ([[hệ nhị phân]]); trong [[lý thuyết âm nhạc]] ([[quãng tám]], đơn vị [[Cent (âm nhạc)|cent]]) và trong [[nhiếp ảnh]] để đo [[giá trị phơi sáng]].<ref>{{Chú thích|title=The Manual of Photography|first1=Elizabeth|last1=Allen|first2=Sophie|last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis|year=2011|isbn=978-0-240-52037-7|page=228|url={{google books |plainurl=y |id=IfWivY3mIgAC|page=228}}}}</ref>

Bảng dưới đây liệt kê các ký hiệu logarit thông dụng và lĩnh vực mà chúng được sử dụng. Một số tài liệu viết {{math|log''x''}} thay vì {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} khi cơ số của logarit là cố định tùy theo trường hợp. Cột "Ký hiệu ISO" liệt kê các ký hiệu do [[Tổ chức tiêu chuẩn hóa quốc tế]] khuyến nghị ([[ISO 80000-2]]).<ref>{{Chú thích|chapter-url=https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf|title=International Standard ISO 80000-2|chapter=Quantities and units – Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology|edition=1|date=ngày 1 tháng 12 năm 2009|at=Section 12, Exponential and logarithmic functions, tr.&nbsp;18|access-date=2020-10-07|archive-date=2019-02-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20190228003440/https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf}}.</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
! scope="col"|Cơ số {{mvar|b}}
! scope="col"|Tên gọi của log<sub>''b''</sub>''x''
! scope="col"|Ký hiệu ISO
! scope="col"|Các ký hiệu khác
! scope="col"|Sử dụng trong
|-
! scope="row"|2
| [[logarit nhị phân]]
| {{math|lb {{mvar|x}}}}<ref name="gullberg">{{Chú thích|title=Mathematics: from the birth of numbers.|first=Jan|last=Gullberg|location=New York|publisher=W. W. Norton & Co|year=1997|isbn=978-0-393-04002-9|url=https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull}}</ref>
| {{math|ld {{mvar|x}}}},<ref name="Bauer_2009">{{citation|url=https://books.google.com/books?id=y4uTaLiN-wQC&pg=PA54|title=Origins and Foundations of Computing: In Cooperation with Heinz Nixdorf MuseumsForum|last=Bauer|first=Friedrich L.|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|year=2009|isbn=978-3-642-02991-2|location=|page=54|pages=}}</ref> {{math|log {{mvar|x}}}},<ref>{{Chú thích|title=Mathematics for Engineers|first1=Georges|last1=Fiche|first2=Gerard|last2=Hebuterne|publisher=John Wiley & Sons|year=2013|isbn=978-1-118-62333-6|page=152|url=https://books.google.com/books?id=TqkckiuuXg8C&pg=PT152|quote=In the following, and unless otherwise stated, the notation {{math|log ''x''}} always stands for the logarithm to the base {{math|2}} of {{mvar|x}}}}.</ref> {{math|lg {{mvar|x}}}},<ref>Xem chú thích 1 trong {{citation|last1=Perl|first1=Yehoshua|last2=Reingold|first2=Edward M.|date=December 1977|title=Understanding the complexity of interpolation search|journal=Information Processing Letters|volume=6|issue=6|pages=219–22|doi=10.1016/0020-0190(77)90072-2}}</ref> {{math|log<sub>2</sub>''x''}}
| [[khoa học máy tính]], [[lý thuyết thông tin]], [[lý thuyết âm nhạc]], [[nhiếp ảnh]]
|-
! scope="row"|{{mvar|e}}
| [[logarit tự nhiên]]
| {{math|ln {{mvar|x}}}}{{refn|Một số nhà toán học không chấp nhận ký hiệu này. Trong cuốn tự truyện năm 1985, Paul Halmos chỉ trích thứ mà ông gọi là "ký hiệu ln trẻ con" và cho rằng chưa có nhà toán học nào từng sử dụng nó.<ref>
{{Chú thích
|title = I Want to Be a Mathematician: An Automathography
|first = Paul
|last= Halmos
|publisher =  Springer-Verlag
|location=Berlin, New York
|year =  1985
|isbn=978-0-387-96078-4
}}</ref>
Ký hiệu này được tìm ra bởi nhà toán học Irving Stringham.<ref>
{{Chú thích
|title =  Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis
|first = Irving
|last = Stringham
|publisher =  The Berkeley Press
|year = 1893
|page = xiii
|url = {{google books |plainurl=y |id=hPEKAQAAIAAJ|page=13}}
}}</ref><ref>
{{Chú thích|title =  Introduction to Financial Technology|first = Roy S.|last = Freedman|publisher = Academic Press|location=Amsterdam|year =  2006|isbn=978-0-12-370478-8|page = 59|url = {{google books |plainurl=y |id=APJ7QeR_XPkC|page=59}}}}</ref>|name=adaa|group=nb}}
| {{math|log {{mvar|x}}}}<br />(trong toán học<ref>Xem Định lý 3.29 trong {{citation|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of mathematical analysis|last1=Rudin|first1=Walter|date=1984|publisher=McGraw-Hill International|isbn=978-0-07-085613-4|edition=3 , International student|location=Auckland}}</ref> và nhiều [[ngôn ngữ lập trình]]{{refn|Chẳng hạn như [[C (ngôn ngữ lập trình)|C]], [[Java (ngôn ngữ lập trình)|Java]], [[Haskell (ngôn ngữ lập trình)|Haskell]] và [[BASIC]].|group=nb}})
| toán học, vật lý, hóa học, <br />[[thống kê]], kinh tế học, lý thuyết thông tin và kỹ thuật
|-
! scope="row"|10
| [[logarit thập phân]]
| {{math|lg {{mvar|x}}}}
| {{math|log {{mvar|x}}}},<ref>{{citation|url={{google books |plainurl=y |id=h6yq_lOr8Z4C|page=288 }}|title=Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science|last1=Parkhurst|first1=David F.|date=2007|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|year=|isbn=978-0-387-34228-3|location=|page=288|pages=}}</ref> {{math|log<sub>10</sub>''x''}}<br />(trong kỹ thuật, sinh học, thiên văn học)
| nhiều lĩnh vực trong kỹ thuật (xem [[decibel]] và mục [[Logarit#Ứng dụng|Ứng dụng]]), <br />bảng logarit, máy tính bỏ túi, [[phổ học]]
|}

== Lịch sử ==
{{Chính|Lịch sử logarit}}
=== Trước khi logarit xuất hiện ===
Từ thế kỷ 3 TCN, trong cuốn ''[[Người đếm cát]]'', [[Archimedes]] đã quan sát và đưa ra khái niệm rằng "bậc" của một số tương đương với số mũ của lũy thừa cơ số {{math|10<sup>8</sup> {{=}} 100.000.000}}. Ông cũng nhắc đến [[quy tắc nhân]] hai số với nhau bằng cách cộng "bậc" của chúng lại với nhau. Nguyên lý này về sau là một cơ sở dẫn đến sự ra đời khái niệm logarit.<ref>{{citation|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|title=A History of Mathematics|author1=Boyer|first=Carl B.|author2=Merzbach|first2=Uta C.|publisher=Wiley|year=1991|isbn=0-471-09763-2|edition=2 |location=|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/125 125]|pages=}}</ref> Khoảng 1000 năm sau đó, [[Virasena]], một nhà toán học [[Kỳ Na giáo|Kỳ Na]] người [[Ấn Độ]], tìm ra khái niệm ''ardhacheda'': số lần một số có thể chia hết cho 2. Với lũy thừa của 2, đó chính là giá trị nguyên của logarit cơ số 2, còn đối với các số khác thì giá trị đó không bằng logarit của chúng. Thời điểm đó, ông cũng đã phát hiện và giới thiệu thêm hai khái niệm tương tự là ''trakacheda'' (cơ số 3) và ''caturthacheda'' (cơ số 4).<ref>{{Chú thích|page=[https://books.google.com/books?id=ymud91nTc9YC&pg=PA352 352]|title=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics|first=G. G.|last=Joseph|edition=3 |publisher=Princeton University Press|year=2011|isbn=978-0-691-13526-7}}.</ref><ref>{{Chú thích|contribution=History of Mathematics in India|title=Students' Britannica India: Select essays|editor1-first=Dale|editor1-last=Hoiberg|editor2-first=Indu|editor2-last=Ramchandani|first=R. C.|last=Gupta|page=329|publisher=Popular Prakashan|year=2000|contribution-url=https://books.google.com/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false|isbn=0-85229-762-9}}</ref> Năm 1544, [[Michael Stifel]] cho xuất bản cuốn ''Arithmetica Integra'' có chứa một bảng số nguyên và lũy thừa của 2 tương ứng,<ref>{{Chú thích|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|language=la|page=31|title=Arithmetica integra|url=https://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=PA22|year=1544|place=London|publisher=Iohan Petreium}}.</ref> mà khi đảo ngược các hàng lại thì có thể được xem là dạng ban đầu của bảng logarit.<ref>{{Chú thích|title=Precalculus mathematics|first1=Vivian Shaw|last1=Groza|first2=Susanne M.|last2=Shelley|publisher=Holt, Rinehart and Winston|location=New York|year=1972|isbn=978-0-03-077670-0|page=182|url=https://books.google.com/books?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182}}.</ref> Đến thế kỷ 16–17, kỹ thuật [[prosthaphaeresis]] (''tạm dịch'': thuật nhân và chia số bằng các công thức lượng giác) xuất hiện và được dùng để chuyển phép nhân thành phép cộng thông qua các [[đẳng thức lượng giác]].<ref>{{citation|author=Pierce, R. C., Jr.|date=January 1977|title=A Brief History of Logarithms|journal=The Two-Year College Mathematics Journal|publisher=Mathematical Association of America|volume=8|issue=1|pages=22–26|doi=10.2307/3026878|jstor=3026878}}</ref><ref>{{Harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=307–310}}</ref>

=== Từ Napier đến Euler ===
[[Tập tin:John Napier.jpg|nhỏ|John Napier, người phát minh ra logarit]]
Khái niệm ''logarit'' do [[John Napier]] công bố lần đầu tiên vào năm 1614 trong một cuốn sách có tựa đề là ''Mirifici logarithmorum canonis descriptio''.<ref>{{Chú thích|first=John|last=Napier|author-link=John Napier|title=Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio|language=la|location=Edinburgh, Scotland|publisher=Andrew Hart|year=1614|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN527914568?tify=%7B%22pages%22:%5B1%5D%7D}}</ref><ref>{{Chú thích|first=Ernest William|last=Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge|url=https://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref> Nó có liên quan đến các điểm chuyển động thẳng: Napier đã tưởng tượng một điểm thứ nhất ''P'' chuyển động đến điểm cuối của một đoạn thẳng với vận tốc giảm dần, và điểm thứ hai ''L'' chuyển động đều trên một nửa đường thẳng với độ dài vô hạn, sau đó liên hệ khoảng cách giữa ''P'' với điểm cuối của đoạn thẳng và giữa ''L'' với điểm đầu của nửa đường thẳng để nêu ra định nghĩa logarit.<ref>{{Chú thích|title=The Historical Development of the Calculus|last=Edwards, Jr.|first=C. H.|publisher=Springer-Verlag|year=1979|isbn=978-0-387-94313-8|location=New York|pages=148|doi=10.1007/978-1-4612-6230-5}}</ref> Phát hiện này được đánh giá cao và nhanh chóng lan rộng sang nhiều quốc gia khác, bao gồm [[Trung Quốc]] và một số nước ở [[châu Âu]] trong những năm sau đó.<ref>{{Chú thích|first=Eli|last=Maor|title=E: The Story of a Number|publication-date=2009|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-14134-3|page=11, 14}}</ref> [[Jost Bürgi]] cũng tìm ra logarit một cách độc lập nhưng xuất bản công trình của mình sáu năm sau Napier.<ref>{{Harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=314–315}}</ref> Từ ''logarithmorum'' của Napier trong [[tiếng Latinh]] có nguồn gốc từ [[tiếng Hy Lạp]], chỉ một số biểu thị tỉ số: λόγος (''logos'') có nghĩa là "tỉ số" và ἀριθμός (''arithmos'') có nghĩa là "số".

Năm 1647, [[Grégoire de Saint-Vincent]], một tu sĩ [[Dòng Tên]] người [[Bỉ]] sống tại [[Prague]], xuất bản một công trình liên hệ logarit với [[cầu phương]] của một [[hyperbol]]. Ông chỉ ra rằng [[Tích phân|diện tích]] {{math|1=''f''(''t'')}} giới hạn bởi hyperbol từ {{math|1=''x'' = 1}} đến {{math|1=''x'' = ''t''}} thỏa mãn
:<math> f(tu) = f(t) + f(u).</math>
[[Alphonse Antonio de Sarasa]], một học trò và cộng sự của ông, về sau đã liên hệ tính chất này với logarit để dẫn đến khái niệm ''logarit hyperbol'', tương đương với [[logarit tự nhiên]].<ref>{{Chú thích|url=https://books.google.com/books?id=0sTd4qJgOmsC&pg=PA118|title=Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History|last=González-Velasco|first=Enrique|publisher=Springer|year=2011|isbn=978-0-387-92153-2|location=New York|pages=118–20}}</ref> Logarit tự nhiên lần đầu tiên được mô tả trong cuốn ''Logarithmotechnia'' của [[Nicholas Mercator]] năm 1668.<ref>{{Harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=387}}</ref> Khoảng năm 1730, [[Leonhard Euler]] định nghĩa [[hàm mũ]] và hàm logarit tự nhiên bằng
:<math>
\begin{align}
e^x & = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac x n \right)^n, \\[6pt]
\ln(x) & = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1).
\end{align}
</math>
Euler cũng chứng minh được rằng hai hàm số này là hai [[hàm ngược]] nhau.<ref name="ReferenceA">{{Harvnb|Maor|2009|p=156}}</ref> Cũng trong khoảng thời gian này, ông lần đầu tiên ký hiệu cơ số của logarit tự nhiên bằng chữ {{mvar|e}}.<ref>{{Citation|title=Theory of Complex Functions|last=Remmert|first=Reinhold|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1991|isbn=978-0-387-97195-7|location=|page=136|pages=}}</ref>

Trong chương 6, tập I của bộ ''Introductio in analysin infinitorum'' (1748), Euler đưa ra một hướng tiếp cận giống với khái niệm logarit hiện nay. Ông nhận thấy hàm mũ {{math|''y'' {{=}} {{mvar|a}}<sup>''z''</sup>}} với {{mvar|a}} là một [[Số dương|số thực dương]] không đổi không phải là một [[hàm số đại số]], mà là một [[hàm số siêu việt]]; đồng thời, nó cũng là [[Hàm số đơn điệu|hàm số tăng]] khi {{math|1=''a'' > 1}}. Khi đó, mỗi số {{mvar|a}} đều tương ứng với một [[hàm ngược]] được gọi là logarit cơ số {{mvar|a}}: {{math|1=''z'' = log<sub>''a''</sub>''y''}}.<ref name=":2">{{Citation|url=https://books.google.com/books?id=VHNdAAAAcAAJ|title=Introductio in analysin infinitorum|last=Euler|first=Leonhard|publisher=Marc Michel Bousquet & Co.|year=1748|isbn=|volume=1|location=Lausanne, Thụy Sĩ|pages=69–85}}. [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/introductiontoanalysisvolone/ch6vol1.pdf Bản dịch của Ian Bruce]</ref>

=== Bảng logarit, thước loga và ứng dụng lịch sử ===
[[Tập tin:Logarithms Britannica 1797.png|thế=|nhỏ|360x360px|Khái niệm logarit trong ''[[Encyclopædia Britannica]]'' (năm 1797)]]
Bằng cách đơn giản hóa các phép tính phức tạp trước khi máy tính ra đời, logarit đóng góp đáng kể cho sự phát triển của khoa học, đặc biệt là [[thiên văn học]]. Nó cũng đóng góp cho sự tiến bộ của [[khảo sát xây dựng]], [[hàng hải thiên văn]] và nhiều lĩnh vực khác. [[Pierre-Simon Laplace]] đã gọi logarit là

::"...[một] thủ thuật đáng ngưỡng mộ có thể rút ngắn một công việc từ vài tháng xuống còn vài ngày, từ đó kéo dài cuộc đời của nhà thiên văn lên gấp đôi, và loại bỏ những sai sót cũng như sự chán nản không thể tách rời khỏi những phép tính dài lê thê."<ref>{{Chú thích|last1=Bryant|first1=Walter W.|title=A History of Astronomy|url=https://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up|publisher=Methuen & Co|location=London|year=1907}}, tr.&nbsp;44</ref>
Một công cụ góp phần lớn trong việc ứng dụng logarit vào thực tế là ''[[bảng logarit]]''.<ref>{{Chú thích|last1=Campbell-Kelly|first1=Martin|title=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets|title-link=|publisher=[[Oxford University Press]]|series=Oxford scholarship online|isbn=978-0-19-850841-0|year=2003}}, chương 2</ref> Bảng đầu tiên như vậy do [[Henry Briggs (nhà toán học)|Henry Briggs]] biên soạn năm 1617 ngay sau phát minh của Napier, tiếp đó là các bảng số với phạm vi và độ chính xác lớn hơn. Các bảng số này liệt kê các giá trị của {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} và {{math|{{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}} với mỗi số {{mvar|x}} nằm trong một giới hạn nhất định, với độ chính xác nhất định theo một cơ số {{mvar|b}} nhất định (thường là cơ số 10). Chẳng hạn, bảng đầu tiên của Briggs chứa [[Logarit thông thường|logarit thập phân]] của tất cả các số nguyên từ 1 đến 1000 chính xác đến 14 chữ số thập phân. Vì hàm {{math|''f''(''x'') {{=}} {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}} là hàm ngược của {{math|log<sub>''b''</sub>&nbsp;''x''}} nên nó còn được gọi là antilogarit.<ref>{{Chú thích|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|edition=10 |year=1972|title-link=}}, mục 4.7., tr.&nbsp;89</ref> Tích và thương của hai số dương {{Mvar|c}} và ''{{Mvar|d}}'' thường được tính bằng tổng và hiệu các logarit của chúng. Tích ''{{Mvar|cd}}'' hoặc thương {{Mvar|c/d}} có được bằng cách tra cứu antilogarit của tổng và hiệu đó thông qua bảng logarit đó:
:<math> c d = b^{\log_{b} c} \cdot b^{\log_{b} d} = b^{\log_{b} c + \log_{b} d} \,</math>
và
:<math>\frac c d = c d^{-1} = b^{\log_{b} c - \log_{b} d}. \,</math>
Đối với các phép tính thông thường yêu cầu độ chính xác cao, việc tra cứu hai logarit, tính tổng hoặc hiệu của chúng rồi tra cứu antilogarit nhanh hơn rất nhiều so với khi thực hiện phép nhân bằng các công cụ trước đây như [[prosthaphaeresis]], vốn phụ thuộc vào các [[đẳng thức lượng giác]]. Phép tính lũy thừa và [[Căn bậc n|căn]] được đưa về phép nhân hoặc phép chia và tra cứu theo công thức
:<math>c^d = \left(b^{\log_{b} c}\right)^d =  b^{d  \log_{b} c} \,</math>
và
:<math>\sqrt[d]{c} = c^\frac{1}{d} = b^{\frac{1}{d}  \log_{b} c}. \,</math>
Nhiều bảng số còn liệt kê các giá trị logarit bằng cách cho biết phần đặc số và phần định trị của {{mvar|x}}, nghĩa là [[phần nguyên]] và [[phần thập phân]] của {{math|log<sub>10</sub>&nbsp;''x''}}.<ref>{{Chú thích|last1=Spiegel|first1=Murray R.|last2=Moyer|first2=R.E.|title=Schaum's outline of college algebra|publisher=[[McGraw-Hill]]|location=New York|series=Schaum's outline series|isbn=978-0-07-145227-4|year=2006|page=264}}</ref> Đặc số của {{math|10 · {{mvar|x}}}} là 1 cộng cho đặc số của {{mvar|x}}, và phần định trị của chúng là giống nhau. Tính chất này làm mở rộng phạm vi của bảng logarit: với một bảng liệt kê các giá trị của {{math|log<sub>10</sub>&nbsp;''x''}} với mọi số nguyên {{mvar|x}} từ 1 đến 1000, logarit cơ số 10 của 3542 được tính gần đúng bằng
:<math>\log_{10}3542 = \log_{10}(10 \cdot 354,2) = 1 + \log_{10}354,2 \approx 1 + \log_{10}354.</math>
Một ứng dụng quan trọng khác của logarit là [[thước loga]], một cặp thước chia độ theo logarit được sử dụng trong tính toán, như hình minh họa dưới đây:
[[Tập tin:Slide rule example2 with labels.svg|thế=|giữa|nhỏ|512x512px|Sơ đồ miêu tả thước loga. Bắt đầu từ vị trí 2 ở thước bên dưới, cộng khoảng cách đến 3 ở thước bên trên để đạt tích bằng 6. Thước loga hoạt động được vì nó được chia độ sao cho khoảng cách từ 1 đến {{mvar|x}} tỉ lệ thuận với logarit của {{mvar|x}}.]]
Tiền thân của nó, [[thước Gunter]], được phát minh ngay sau công bố của Napier. [[William Oughtred]] sau đó đã phát triển nó lên thành thước loga, một cặp thước logarit có thể trượt lẫn nhau. Các số được đặt trên thước với khoảng cách về độ dài tỉ lệ thuận với hiệu các logarit của chúng. Khi trượt thước bên trên tức là ta đã cộng cơ học các logarit với nhau. Ví dụ, cộng khoảng cách từ 1 đến 2 ở thước bên dưới với khoảng cách từ 1 đến 3 ở thước bên trên cho tích của chúng bằng 6, và giá trị đó được đọc ở thước bên dưới. Thước loga từng là một công cụ tính toán thiết yếu của các nhà khoa học cho đến thập niên 1970, vì nó cho phép tính toán nhanh hơn nhiều so với kỹ thuật tra bảng số.<ref>{{Harvnb|Maor|2009|p=16}}</ref>

== Tính chất trong giải tích ==
Người ta nghiên cứu sâu hơn về logarit thông qua khái niệm ''[[hàm số]]''. Hàm số là quy tắc cho một số duy nhất từ một số bất kỳ cho trước.<ref>{{Citation|url={{google books |plainurl=y |id=uQHF7bcm4k4C}}|title=Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics|last1=Devlin|first1=Keith|publisher=Chapman & Hall/CRC|year=2004|isbn=978-1-58488-449-1|edition=3 |series=Chapman & Hall/CRC mathematics|location=Boca Raton, Fla|pages=}}, hoặc xem thêm chú thích trong bài [[hàm số]]</ref> Ví dụ, hàm số cho lũy thừa bậc {{mvar|x}} của {{mvar|b}} từ bất kỳ số thực {{mvar|x}} nào với {{mvar|b}} là cơ số được viết là <math>f(x) = b^x. \, </math>

=== Hàm số logarit ===
Để giải thích định nghĩa logarit, cần phải chứng minh rằng phương trình
:<math>b^x = y \,</math>
có một nghiệm {{mvar|x}} duy nhất với {{mvar|y}} và {{mvar|b}} là số dương và {{mvar|b}} khác 1. Để chứng minh điều này, ta cần đến [[Định lý Bolzano|định lý giá trị trung gian]] trong [[Giải tích toán học|giải tích]] sơ cấp.<ref name="LangIII.3">{{Chú thích|last1=Lang|first1=Serge|title=Undergraduate analysis|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2 |series=Undergraduate Texts in Mathematics|isbn=978-0-387-94841-6|mr=1476913|year=1997|doi=10.1007/978-1-4757-2698-5}}, chương III.3</ref> Theo định lý, một [[Hàm liên tục|hàm số liên tục]] cho hai giá trị ''{{mvar|m}}'' và ''{{mvar|n}}'' cũng cho bất kỳ giá trị nào nằm giữa ''{{mvar|m}}'' và ''{{mvar|n}}''. Hàm số liên tục là hàm mà đồ thị có thể vẽ trên mặt phẳng tọa độ mà không cần nhấc bút lên.

Tính chất này có thể được chứng minh là đúng với hàm {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}}. Vì ''{{mvar|f}}'' có thể mang giá trị dương lớn hay nhỏ tùy ý, nên mỗi số {{math|''y'' > 0}} đều nằm giữa {{math|''f''(''x''<sub>0</sub>)}} và {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>)}} với {{math|''x''<sub>0</sub>}} và {{math|''x''<sub>1</sub>}} thích hợp. Do đó, định lý giá trị trung gian đảm bảo rằng phương trình {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|y}}}} có một nghiệm. Hơn nữa, nghiệm này là duy nhất vì hàm số ''{{mvar|f}}'' là [[Hàm số đơn điệu|hàm số tăng]] nếu {{math|''b'' > 1}} và là hàm số giảm nếu {{math|0 < {{mvar|b}} < 1}}.<ref name="LangIV.2">{{Harvnb|Lang|1997|loc=mục IV.2}}</ref>

Nghiệm {{mvar|x}} đó chính là logarit cơ số {{mvar|b}} của {{mvar|y}}, {{math|log<sub>''b''</sub>''y''}}. Hàm số gán cho {{mvar|y}} giá trị logarit của nó được gọi là ''hàm số logarit''. Hàm số logarit {{math|1=''y'' = log<sub>''b''</sub>&thinsp;''x''}} xác định trên tập hợp số thực dương, cho giá trị là một số thực bất kỳ, và là hàm số tăng duy nhất thỏa mãn {{math|1=''f''(''b'') = 1}} và {{math|1=''f''(''uv'') = ''f''(''u'') + ''f''(''v'')}}.<ref>{{Chú thích|url=https://archive.org/details/FoundationsOfModernAnalysis/page/n99/mode/2up|title=Foundations of Modern Analysis|last=Dieudonné|first=Jean|publisher=Academic Press|year=1969|isbn=|volume=1|location=New York, London|pages=84}}</ref>

=== Hàm ngược ===
[[Tập tin:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|nhỏ|Đồ thị của hàm logarit {{math|log<sub>''b''</sub>(''x'')}} (màu xanh) [[đối xứng]] với đồ thị của hàm mũ {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} (màu đỏ) theo đường thẳng {{math|1=''x'' = {{mvar|y}}}}.]]
Công thức logarit của một lũy thừa cho thấy với một số {{mvar|x}} bất kỳ,
:<math>\log_b \left (b^x \right) = x \log_b b = x.</math>
Lần lượt lấy lũy thừa bậc {{mvar|x}} của {{mvar|b}} rồi lấy logarit cơ số {{mvar|b}}, ta lại có được {{mvar|x}}. Ngược lại, với một số dương {{mvar|y}} bất kỳ, biểu thức
:<math>b^{\log_b y} = y</math>
cho thấy khi lấy logarit rồi lũy thừa, ta lại có được {{mvar|y}}. Như vậy, khi đồng thời thực hiện phép lũy thừa và logarit trong cùng một số, ta có được số ban đầu. Vì vậy, logarit cơ số {{mvar|b}} là ''[[hàm ngược]]'' của {{math|''f''(''x'') {{=}} {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}}.<ref>{{Chú thích|last1=Stewart|first1=James|title=Single Variable Calculus: Early Transcendentals|publisher=Thomson Brooks/Cole|location=Belmont|isbn=978-0-495-01169-9|year=2007}}, mục 1.6</ref>

Hàm ngược có liên hệ mật thiết với hàm số gốc ban đầu. [[Đồ thị của hàm số|Đồ thị]] của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng {{mvar|x}} = {{mvar|y}} như hình bên phải: một điểm {{math|1=(''t'', ''u'' = {{mvar|b}}<sup>''t''</sup>)}} trong đồ thị của {{math|''f''(''x'')}} tương ứng với điểm {{math|1=(''u'', ''t'' = log<sub>''b''</sub>''u'')}} trong đồ thị của hàm logarit và ngược lại. Như vậy, {{math|log<sub>''b''</sub>(''x'')}} [[Giới hạn của hàm số|phân kỳ lên vô hạn]] (lớn hơn bất kỳ số nào đã biết) nếu {{mvar|x}} tăng đến vô hạn, với {{mvar|b}} lớn hơn 1. Trong trường hợp này, {{math|log<sub>''b''</sub>(''x'')}} là [[Hàm số đơn điệu|hàm số tăng]]. Khi {{math|''b'' < 1}} thì ngược lại, {{math|log<sub>''b''</sub>(''x'')}} dần về âm vô hạn. Khi {{mvar|x}} dần về 0 thì giới hạn của {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} là âm vô hạn với {{math|''b'' > 1}} và là dương vô hạn với {{math|''b'' < 1}}.

=== Đạo hàm và nguyên hàm ===
[[Tập tin:Logarithm derivative.svg|nhỏ|Đồ thị của hàm [[logarit tự nhiên]] (màu xanh lá) và tiếp tuyến của nó tại {{math|''x'' {{=}} 1,5}} (màu đen)]]
Các tính chất giải tích của hàm số cũng đúng với hàm ngược của chúng.<ref name="LangIII.3" /> {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}} là một hàm số liên tục và [[Hàm số khả vi|khả vi]], và {{math|log<sub>''b''</sub>''y''}} cũng vậy. Một cách đại khái rằng, một hàm số liên tục là hàm số khả vi nếu đồ thị của nó không bị "đứt gãy" ở bất cứ điểm nào. Hơn nữa, vì [[đạo hàm]] của {{math|''f''(''x'')}} bằng {{math|ln(''b'')''b''<sup>''x''</sup>}} theo tính chất của [[hàm mũ]] nên theo [[quy tắc hàm hợp]], đạo hàm của {{math|log<sub>''b''</sub>''x''}} được tính bằng
:<math>\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x\ln b}, </math>
tức là [[Độ dốc|hệ số góc]] của [[tiếp tuyến]] đồ thị hàm logarit cơ số {{mvar|b}} tại điểm {{math|(''x'', log<sub>''b''</sub>(''x''))}} bằng {{math|1/(''x'' ln(''b''))}}.<ref name="LangIV.2" /><ref>{{chú thích web|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x))|title=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))''|work=Wolfram Alpha|publisher=Wolfram Research|accessdate =ngày 18 tháng 6 năm 2020}}</ref> Đặc biệt, đạo hàm của {{math|ln(''x'')}} là {{math|1/''x''}}, nghĩa là [[nguyên hàm]] của {{math|1/''x''}} bằng {{math|1=ln(''x'') + ''C''}}. Đạo hàm với đối số hàm tổng quát {{math|''f''(''x'')}} là
:<math>\frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>
Tỉ số ở vế phải được gọi là [[đạo hàm logarit]] của {{math|''f''(''x'')}}. Việc tính {{math|''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'')}} bằng đạo hàm của {{math|ln(''f''(''x''))}} được gọi là [[vi phân logarit]].<ref>{{Chú thích|last1=Kline|first1=Morris|title=Calculus: an intuitive and physical approach|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|series=Dover books on mathematics|isbn=978-0-486-40453-0|year=1998}}, tr.&nbsp;386</ref> Nguyên hàm của hàm [[logarit tự nhiên]] {{math|ln(''x'')}} là:<ref>{{chú thích web|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x))|title=Calculation of ''Integrate(ln(x))''|work=Wolfram Alpha|publisher=Wolfram Research|accessdate =ngày 18 tháng 6 năm 2020}}</ref>
:<math>\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.</math>
Từ phương trình này, có thể suy ra [[Danh sách tích phân với hàm lôgarít|các công thức liên quan]] chẳng hạn như nguyên hàm của logarit cơ số khác bằng phép đổi cơ số.<ref>{{Harvnb|Abramowitz|Stegun|1972|p=69|nb=yes}}</ref>

=== Biểu diễn tích phân của logarit tự nhiên ===
[[Tập tin:Natural logarithm integral.svg|nhỏ|[[Logarit tự nhiên]] của ''{{Mvar|t}}'' là diện tích phần hình được tô đậm nằm dưới đồ thị hàm số {{math|1=''f''(''x'') = 1/''x''}} (nghịch đảo của {{mvar|x}}).]]
[[Logarit tự nhiên]] của ''{{Mvar|t}}'' bằng [[tích phân]] của {{math|1/''x''}} {{Mvar|dx}} từ 1 đến {{Mvar|t}}:
:<math>\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math>
Nói cách khác, {{math|ln(''t'')}} là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị của hàm số {{math|1/''x''}}, từ {{math|1=''x'' = 1}} đến {{math|1=''x'' = ''t''}} (hình bên phải). Đó là hệ quả từ việc áp dụng [[định lý cơ bản của giải tích]] và việc đạo hàm của {{math|ln(''x'')}} là {{math|1/''x''}}. Vế phải của phương trình trên có thể được xem là khái niệm về [[logarit tự nhiên]]. Các công thức logarit của tích và lũy thừa đều có thể được suy ra từ khái niệm này.<ref>{{Chú thích|last1=Courant|first1=Richard|title=Differential and integral calculus. Vol. I|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|series=Wiley Classics Library|isbn=978-0-471-60842-4|mr=1009558|year=1988}}, chương III.6</ref> Chẳng hạn, ta có công thức tích {{math|1=ln(''tu'') = ln(''t'') + ln(''u'')}} vì
:<math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>
Đẳng thức (1) chia tích phân thành hai phần, còn đẳng thức (2) là phép đổi biến số ({{math|1=''w'' = {{mvar|x}}/''t''}}). Trong hình dưới đây, phép tách tích phân này tức là chia hình phẳng thành hai phần màu vàng và màu xanh. Thay đổi kích thước phần hình phẳng màu xanh bên trái theo hàng dọc tỉ lệ theo biến ''{{Mvar|t}}'' và thu nhỏ lại nó theo hàng ngang theo tỉ lệ đó không làm thay đổi diện tích của nó. Di chuyển phần hình màu xanh một cách thích hợp thì nó lại khớp với đồ thị hàm số {{math|1=''f''(''x'') = 1/''x''}}. Do đó, phần hình phẳng màu xanh bên trái, tức là tích phân của {{math|''f''(''x'')}} từ ''{{Mvar|t}}'' đến ''{{Mvar|tu}}'' bằng tích phân từ 1 đến ''{{Mvar|u}}''. Tính chất này giải thích cho đẳng thức (2) một cách trực quan.
[[Tập tin:Natural logarithm product formula proven geometrically.svg|giữa|nhỏ|500x500px|Hình ảnh minh họa công thức tích của logarit tự nhiên]]
Chứng minh tương tự, ta cũng có công thức lũy thừa {{math|1=ln(''t''<sup>''r''</sup>) = ''r'' ln(''t'')}}:
:<math>
\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t).
</math>
Phép biến đổi thứ hai có [[Phép đổi biến tích phân|sự thay đổi biến số]] {{math|1=''w'' = {{mvar|x}}<sup>1/''r''</sup>}}.

Tổng của dãy nghịch đảo các số tự nhiên,
:<math>1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},</math>
được gọi là [[chuỗi điều hòa]]. Nó có liên hệ với [[logarit tự nhiên]]: khi {{mvar|n}} tiến đến [[Vô tận|vô hạn]] thì hiệu
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n)</math>
[[Giới hạn của một dãy|hội tụ]] về một số được gọi là [[hằng số Euler–Mascheroni]] {{math|1=''γ'' = 0,5772...}}. Mối liên hệ này có vai trò trong việc phân tích hoạt động của các thuật toán, chẳng hạn như [[sắp xếp nhanh]].<ref>{{Chú thích|last1=Havil|first1=Julian|title=Gamma: Exploring Euler's Constant|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-09983-5|year=2003}}, mục 11.5 và 13.8</ref>

Ngoài ra, {{math|ln(''x'')}} còn có một biểu diễn tích phân được suy ra từ [[tích phân Frullani]] khi {{math|1=''f''(''x'') = {{mvar|e}}<sup>−''x''</sup>}} và {{math|1=''a'' = 1}}, được ứng dụng trong vật lý và một số trường hợp khác:<ref>{{Chú thích|url=https://books.google.com/books?id=k2U9DwAAQBAJ&pg=PA36|title=Theory of Differential Equations in Engineering and Mechanics|last=Chau|first=Kam Tim|publisher=CRC Press|year=2018|isbn=978-1-138-74813-2|location=Boca Raton|pages=36}}</ref>
:<math> \ln(x) = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left(e^{-xt} - e^{-t} \right). </math>

=== Tính siêu việt ===
[[Số thực]] không phải là [[số đại số]] được gọi là [[số siêu việt]].<ref>{{Chú thích|title=Selected papers on number theory and algebraic geometry|volume=172|first1=Katsumi|last1=Nomizu|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|year=1996|isbn=978-0-8218-0445-2|page=21|url={{google books |plainurl=y |id=uDDxdu0lrWAC|page=21}}}}</ref> [[Pi|{{Pi}}]] và ''[[E (số)|e]]'' là hai số như vậy, còn <math>\sqrt{2-\sqrt 3}</math> thì không phải. Hầu hết số thực đều là số siêu việt. Logarit là một ví dụ về một [[hàm số siêu việt]]. [[Định lý Gelfond–Schneider]] khẳng định rằng logarit thường cho các giá trị siêu việt.<ref>{{Chú thích|last1=Baker|first1=Alan|title=Transcendental number theory|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-20461-3|year=1975}}, tr.&nbsp;10</ref>

== Tính toán ==
[[Tập tin:Logarithm keys.jpg|nhỏ|Các phím logarit (LOG cho cơ số 10 và LN cho cơ số {{mvar|e}}) trong một máy tính bỏ túi TI-83 Plus]]
Ta dễ dàng tính được logarit trong một số trường hợp, chẳng hạn như {{math|1=log<sub>10</sub>(1000) = 3}}. Tổng quát, logarit có thể tính bằng [[chuỗi lũy thừa]] hoặc [[trung bình hình học–đại số]], hoặc tra cứu trong [[bảng số logarit]] tính sẵn với độ chính xác nhất định.<ref>{{Chú thích|last1=Muller|first1=Jean-Michel|title=Elementary functions|publisher=Birkhäuser Boston|location=Boston, MA|edition=2 |isbn=978-0-8176-4372-0|year=2006}}, chương 4.2.2 (tr. 72) và 5.5.2 (tr. 95)</ref><ref>{{Chú thích|last1=Hart|last2=Cheney|last3=Lawson|year=1968|publisher=John Wiley|location=New York|title=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics|display-authors=etal|isbn=978-0471356301}}, mục 6.3, tr.&nbsp;105–111</ref> [[Phương pháp Newton]], một phương pháp lặp đi lặp lại để tìm nghiệm gần đúng của một phương trình, cũng có thể được sử dụng để tính logarit, vì hàm ngược của nó (hàm mũ) có thể tính được một cách có hiệu quả.<ref>{{Chú thích|last1=Zhang|first1=M.|last2=Delgado-Frias|first2=J.G.|last3=Vassiliadis|first3=S.|title=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|doi=10.1049/ip-cdt:19941268|journal=IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques|issn=1350-2387|volume=141|year=1994|issue=5|pages=281–92}}, mục 1</ref> Thông qua bảng số, các phương pháp tương tự như [[CORDIC]] có thể dùng để tính logarit chỉ qua phép cộng và [[phép dịch bit]].<ref>{{Chú thích|url=https://pdfs.semanticscholar.org/b374/1168ba25f23b694cf8f9c80fb4f2aabce513.pdf?_ga=2.106648832.2051911292.1584786288-346624404.1578817780|archive-url=https://web.archive.org/web/20201007033509/https://pdfs.semanticscholar.org/b374/1168ba25f23b694cf8f9c80fb4f2aabce513.pdf?_ga=2.106648832.2051911292.1584786288-346624404.1578817780|archive-date=2020-10-07|first=J.E.|last=Meggitt|title=Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes|journal=IBM Journal of Research and Development|date=April 1962|doi=10.1147/rd.62.0210|volume=6|issue=2|pages=210–26|accessdate =2020-10-07}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=http://cims.nyu.edu/~dbindel/class/cs279/logexp.pdf|tựa đề=Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials|họ=Kahan|tên=William Morton|ngày=2001-05-20|nhà xuất bản=[[Đại học California]]|location=Berkeley, California|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20151225080205/http://cims.nyu.edu/~dbindel/class/cs279/logexp.pdf|ngày lưu trữ=2015-12-25|url-status=dead|ngày truy cập=2020-07-18}}</ref> Hơn nữa, [[Logarit nhị phân#Tính gần đúng bằng phép lặp|thuật toán logarit nhị phân]] tính {{math|lb(''x'')}} một cách [[đệ quy]] dựa vào phép bình phương {{mvar|x}} lặp đi lặp lại và áp dụng biểu thức
:<math>\log_2\left(x^2\right) = 2 \log_2 |x|.</math>

=== Chuỗi lũy thừa ===

==== Chuỗi Taylor ====
[[Tập tin:Taylor approximation of natural logarithm.gif|nhỏ|Chuỗi Taylor của {{math|ln(''z'')}} có tâm tại {{math|''z'' {{=}} 1}}. Hình ảnh động này thể hiện 10 xấp xỉ đầu tiên cùng xấp xỉ thứ 99 và 100. Các xấp xỉ này không hội tụ ngoài khoảng cách 1 đơn vị từ tâm.]]
Với mỗi số thực {{mvar|z}} thỏa mãn {{math|0 < ''z'' &le; 2}}, ta có:<ref name="AbramowitzStegunp.68">{{Harvnb|Abramowitz|Stegun|1972|p=68}}</ref>{{refn|Chuỗi này cũng đúng khi tính gần đúng giá trị của logarit phức với số phức {{mvar|z}} thỏa mãn {{math|{{!}}''z'' − 1{{!}} < 1}}.|group=nb}}
:<math>
\begin{align}\ln (z)  &= \frac{(z-1)^1}{1} - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots \\
&= \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{(z-1)^k}{k}
\end{align}
</math>
Nói một cách ngắn gọn, {{math|ln(''z'')}} có thể được tính gần đúng theo dãy biểu thức
:<math>
\begin{array}{lllll}
(z-1) & & \\
(z-1) & - &  \frac{(z-1)^2}{2} & \\
(z-1) & - &  \frac{(z-1)^2}{2} & + & \frac{(z-1)^3}{3} \\
\vdots &
\end{array}
</math>
Ví dụ, với {{math|''z'' {{=}} 1,5}}, biểu thức thứ ba cho kết quả là 0,4167, lớn hơn khoảng 0,011 so với {{math|ln(1,5) {{=}} 0,405465}}. [[Chuỗi (toán học)|Chuỗi]] này ước lượng {{math|ln(''z'')}} với độ chính xác tùy ý, miễn rằng số hạng tử là đủ lớn. Trong giải tích sơ cấp, {{math|ln(''z'')}} còn được gọi là [[Giới hạn (toán học)|giới hạn]] của chuỗi. Nó là [[chuỗi Taylor]] của [[logarit tự nhiên]] tại {{math|1=''z'' = 1}}. Đặc biệt, nếu đặt {{math|''z'' {{=}} 1 + ''x''}} thì chuỗi trên được viết lại thành [[chuỗi Mercator]]
:<math>\ln (1 + x) = \frac{x^1}{1} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots,</math>
với {{math|−1 < ''x'' &le; 1}}.<ref name="AbramowitzStegunp.68" /> Chuỗi này do [[Isaac Newton]] và [[Nicholas Mercator]] tìm ra một cách độc lập và xuất hiện lần đầu tiên trong cuốn ''Logarithmotechnia'' của Mercator năm 1668.<ref>{{Chú thích|url=https://archive.org/details/mathematicalthou0000unse/page/354/mode/2up|title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times|last=Kline|first=Morris|publisher=Oxford University Press|year=1990|isbn=0-19-506135-7|volume=1|location=New York|pages=354|orig-year=1972}}</ref><ref>{{Harvnb|Maor|2009|p=38, 74}}</ref> Ví dụ, khi {{math|1=''x'' = 0,1}} thì xấp xỉ bậc nhất của chuỗi này cho giá trị là 0,1 với sai số dưới 5% so với kết quả chính xác là {{math|1=ln(1,1) = 0,0953}}. Từ chuỗi Taylor của {{math|ln(1 + ''x'')}} và {{math|ln(1 − ''x'')}} (có được bằng cách thay {{mvar|x}} bằng {{mvar|−x}} trong chuỗi Mercator), ta suy ra
:<math>\ln \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) = 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1} \cdot x^{2k+1} = 2\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots\right)</math>
với {{math|−1 < ''x'' < 1}}.<ref>{{Harvnb|Euler|1748|p=90}}</ref> Chuỗi này do [[James Gregory (nhà toán học)|James Gregory]] phát hiện năm 1668 và có thể được áp dụng để tính logarit tự nhiên của một số dương bất kỳ.<ref name=":0">{{Chú thích|url=https://books.google.com/books?id=kK87CwAAQBAJ&pg=PA587|title=Calculus: Early Transcendentals|last=Anton|first=Howard|last2=Bivens|first2=Irl C.|last3=Davis|first3=Stephen|publisher=John Wiley & Sons|year=2016|isbn=978-1-118-88382-2|edition=11 |location=|pages=587}}</ref>

==== Các chuỗi lũy thừa khác ====
Một chuỗi khác được dựa trên [[hàm hyperbolic ngược]]:
:<math>
\ln (z) = 2\cdot\operatorname{artanh}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left (\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right),
</math>
với mỗi số thực {{math|''z'' > 0}}.<ref name="AbramowitzStegunp.68" />{{refn|Chuỗi này cũng đúng khi tính gần đúng giá trị của logarit phức với số phức {{mvar|z}} có phần thực dương.|group=nb}} Sử dụng [[Phép lấy tổng|ký hiệu sigma]], chuỗi trên có thể được viết lại thành
:<math>\ln (z) = 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2k+1}.</math>
Chuỗi trên được suy ra từ chuỗi Taylor của <math>\textstyle \ln \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)</math> bằng cách đặt <math>\textstyle x = \frac{z - 1}{z + 1}</math>.<ref name=":0" /> Nó hội tụ nhanh hơn nhiều so với chuỗi Taylor, nhất là khi {{mvar|z}} gần bằng 1. Chẳng hạn, với {{math|''z'' {{=}} 1,5}}, ba hạng tử đầu tiên của chuỗi tính được gần đúng {{math|ln(1,5)}} với sai số khoảng 3&nbsp;×&nbsp;10<sup>−6</sup>. Tính hội tụ nhanh chóng khi {{mvar|z}} gần bằng 1 có thể được tận dụng theo cách sau: cho một xấp xỉ {{math|''y'' ≈ ln(''z'')}} với độ chính xác thấp và đặt
:<math>A = \frac z{\exp(y)}, \,</math>
logarit của {{mvar|z}} là:
:<math>\ln (z)=y+\ln (A). \,</math>
Nếu giá trị {{mvar|y}} càng gần đúng thì giá trị {{mvar|A}} càng gần 1, do đó có thể tính logarit của nó một cách hiệu quả. {{mvar|A}} có thể được tính qua [[chuỗi lũy thừa]], vốn hội tụ nhanh khi {{mvar|y}} không quá lớn. Phép tính logarit của một số {{mvar|z}} lớn có thể được đưa về phép tính các số nhỏ hơn bằng cách viết {{math|''z'' {{=}} ''a'' · 10<sup>''b''</sup>}}, khi đó {{math|ln(''z'') {{=}} ln(''a'') + {{mvar|b}} · ln(10)}}.

Một phương pháp khác liên quan có thể được áp dụng để tính logarit tự nhiên của một số nguyên dương bất kỳ. Khi thay <math>\textstyle z = \frac{n + 1}{n}</math> trong chuỗi trên, ta có
:<math>\ln (n + 1) = \ln (n) + 2\sum_{k = 0}^\infty\frac{1}{2k + 1}\left(\frac{1}{2n + 1}\right)^{2k + 1}.</math>
Nếu đã biết logarit tự nhiên của một số nguyên {{mvar|n}} lớn thì chuỗi này hội tụ rất nhanh với [[Tốc độ hội tụ|tốc độ]] là <math>\textstyle \left(\frac{1}{2n + 1}\right)^2</math>.

=== Trung bình hình học–đại số ===
Phương pháp sử dụng [[trung bình hình học–đại số]] cho phép tính gần đúng [[logarit tự nhiên]] với độ chính xác rất cao. Theo {{harvtxt|Sasaki|Kanda|1982}}, phương pháp này đặc biệt nhanh với độ chính xác khoảng 400 đến 1000 chữ số thập phân, trong khi phương pháp dùng [[chuỗi Taylor]] thường nhanh chóng hơn nếu không đòi hỏi độ chính xác cao. Trong bài báo được trích dẫn, {{math|ln(''x'')}} được ước lượng với sai số {{math|2<sup>−''p''</sup>}} theo công thức sau (bởi [[Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauss]]):<ref>{{Chú thích|first1=T.|last1=Sasaki|first2=Y.|last2=Kanada|title=Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)|journal=Journal of Information Processing|volume=5|issue=4|pages=247–50|year=1982|url=http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332|accessdate =ngày 18 tháng 6 năm 2020}}</ref><ref>{{Chú thích|first1=Timm|title=Stacs 99|last1=Ahrendt|publisher=Springer|location=Berlin, New York|series=Lecture notes in computer science|doi=10.1007/3-540-49116-3_28|volume=1564|year=1999|pages=302–12|isbn=978-3-540-65691-3|chapter=Fast Computations of the Exponential Function}}</ref>
:<math>\ln (x) \approx \frac{\pi}{2  M(1,2^{2-m}/x)} - m \ln (2).</math>
Ở đây {{math|M(''x'',''y'')}} chỉ [[trung bình hình học–đại số]] của {{mvar|x}} và {{mvar|y}}, có được bằng cách thực hiện lặp đi lặp lại các phép tính <math>(x+y)/2</math> ([[Trung bình cộng đơn giản|trung bình cộng]]) và <math>\sqrt{xy}</math> ([[trung bình nhân]]) rồi lấy hai kết quả thu được làm giá trị mới của {{mvar|x}} và {{mvar|y}}. Hai số này nhanh chóng hội tụ lại về một giới hạn, và giới hạn đó là giá trị của {{math|M(''x'',''y'')}}. Giá trị {{mvar|m}} được chọn sao cho
:<math>x \,2^m > 2^{p/2} </math>
để đảm bảo độ chính xác cần thiết. Nếu {{mvar|m}} càng lớn thì phép tính {{math|M(''x'',''y'')}} cần nhiều bước hơn nhưng độ chính xác càng cao. Các hằng số {{Pi}} và {{math|ln(2)}} có thể tính nhanh qua các chuỗi hội tụ.

=== Thuật toán của Feynman ===	
Theo [[Danny Hillis]], một trong những cộng sự của [[Richard Feynman]], khi còn ở [[Phòng thí nghiệm Quốc gia Los Alamos]] thực hiện [[Dự án Manhattan]], Feynman đã phát triển một thuật toán gần giống với [[phép chia số lớn]]. Thuật toán này về sau được sử dụng trên các máy tính song song ([[Connection Machine]]). Thuật toán dựa trên cơ sở rằng mọi số thực <math> 1 < x < 2 </math> có thể được biểu diễn thành tích của các thừa số khác nhau dạng <math> 1 + 2^{-k} </math> với <math>k</math> là số nguyên. Thuật toán tuần tự lập tích <math>P</math> đó: nếu <math>P \cdot (1 + 2^{-k}) < x</math> thì thuật toán thay <math>P</math> bằng <math> P \cdot (1 + 2^{-k}) </math>, và tăng giá trị <math>k</math> thêm 1 đơn vị bất kể đúng hay sai. Thuật toán dừng lại nếu <math>k</math> đủ lớn để đạt được độ chính xác cần thiết. Vì <math>\log(x)</math> là tổng của các số hạng dạng <math>\log(1 + 2^{-k})</math> tương ứng với giá trị <math>k</math> sao cho thừa số <math>1 + 2^{-k}</math> thuộc tích <math>P</math> nên <math>\log(x)</math> có thể được tính bằng phép cộng đơn giản sử dụng bảng <math>\log(1 + 2^{-k})</math> với mọi giá trị của <math>k</math> ở bất kỳ cơ số nào.<ref>{{citation|last=Hillis|first=Danny|date=ngày 15 tháng 1 năm 1989|title=Richard Feynman and The Connection Machine|url=|journal=Physics Today|volume=42|issue=2|page=78|pages=|bibcode=1989PhT....42b..78H|doi=10.1063/1.881196|via=}}</ref><ref>{{Chú thích|title=Feynman And Computation|publisher=CRC Press|year=2018|isbn=978-0-8133-4039-5|editor-last=Hey|editor-first=Anthony J. G.|pages=260|orig-year=1999}}</ref> 
== Ứng dụng ==
[[Tập tin:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|nhỏ|Một con [[ốc anh vũ]] thể hiện đường cong xoắn ốc logarit]]
Logarit có nhiều ứng dụng cả trong lẫn ngoài toán học. Một vài trong số đó có liên quan đến khái niệm về [[tỷ lệ bất biến|tỉ lệ bất biến]]. Chẳng hạn, mỗi buồng trong vỏ [[ốc anh vũ]] đều gần giống với buồng liền sau, thu nhỏ lại bởi một hằng số tỉ lệ. Đó là một ví dụ về [[xoắn ốc logarit]].<ref>{{Harvnb|Maor|2009|p=135}}</ref> [[Luật Benford]] về tần suất xuất hiện chữ số đầu tiên cũng có thể được giải thích qua tỉ lệ bất biến.<ref>{{Chú thích|last1=Frey|first1=Bruce|title=Statistics hacks|publisher=[[O'Reilly Media|O'Reilly]]|location=Sebastopol, CA|series=Hacks Series|url={{google books |plainurl=y |id=HOPyiNb9UqwC|page=275}}|isbn=978-0-596-10164-0|year=2006}}, chương 6, mục 64</ref> Logarit cũng có liên hệ với tính chất [[tự đồng dạng]]. Chẳng hạn, logarit xuất hiện trong việc nghiên cứu các thuật toán giải bài toán bằng cách chia thành nhiều bài toán con tương tự rồi gộp các kết quả của chúng lại với nhau.<ref>{{Chú thích|last1=Ricciardi|first1=Luigi M.|title=Lectures in applied mathematics and informatics|url={{google books |plainurl=y |id=Cw4NAQAAIAAJ}}|publisher=Manchester University Press|location=Manchester|isbn=978-0-7190-2671-3|year=1990}}, tr.&nbsp;21, mục 1.3.2</ref> Số chiều của các hình không gian tự đồng dạng, tức là những hình mà mỗi phần của nó đều giống như hình tổng thể, cũng dựa trên logarit. [[Thang đo lôgarit|Thang đo logarit]] rất cần thiết để định lượng mức độ thay đổi tỉ đối của một đại lượng so với mức độ thay đổi tuyệt đối của nó. Hơn nữa, vì hàm số logarit {{math|log(''x'')}} tăng rất chậm khi {{mvar|x}} ngày càng lớn nên thang đo logarit được sử dụng để "nén" lại dữ liệu khoa học quy mô lớn. Logarit cũng xuất hiện trong nhiều phương trình khoa học như [[phương trình tên lửa Tsiolkovsky]], [[phương trình Fenske]] hay [[phương trình Fernst]].

=== Thang đo logarit ===
{{Chính|Thang đo lôgarit}}
[[Tập tin:Germany Hyperinflation.svg|nhỏ|Một biểu đồ logarit thể hiện giá trị của một goldmark tính bằng papiermark trong cuộc [[Siêu lạm phát tại Cộng hòa Vây-ma|siêu lạm phát tại Đức vào những năm 1920]]]]
Các đại lượng khoa học thường được biểu diễn theo logarit của các đại lượng khác qua ''thang đo logarit''. Chẳng hạn, [[decibel]] là [[đơn vị đo]] dựa trên các đại lượng liên quan đến logarit. Nó được dựa trên logarit thập phân của [[tỷ lệ|tỉ lệ]] – 10 lần logarit thập phân của một tỉ lệ [[công suất]] hoặc 20 lần logarit thập phân của tỉ lệ [[hiệu điện thế]], và được dùng để định lượng sự hao phí mức điện áp trong truyền tải tín hiệu điện,<ref>{{Chú thích|last1=Bakshi|first1=U.A.|title=Telecommunication Engineering|url=|year=2009|location=Pune|publisher=Technical Publications|isbn=978-81-8431-725-1}}, mục 5.2</ref> để miêu tả độ lớn của âm trong [[âm học]],<ref>{{Chú thích|last1=Maling|first1=George C.|editor1-last=Rossing|editor1-first=Thomas D.|title=Springer handbook of acoustics|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-30446-5|year=2007|chapter=Noise}}, mục 23.0.2</ref> và khả năng hấp thụ bức xạ ánh sáng trong [[quang học]]. [[Tỉ số tín hiệu trên nhiễu]] mô tả lượng âm không cần thiết so với [[tín hiệu]] cũng được đo bằng decibel.<ref>{{Chú thích|last1=Tashev|first1=Ivan Jelev|title=Sound Capture and Processing: Practical Approaches|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|isbn=978-0-470-31983-3|year=2009|url={{google books |plainurl=y |id=plll9smnbOIC|page=48}}|page=98}}</ref> Tương tự, [[tỉ số tín hiệu cực đại trên nhiễu]] thường được sử dụng để đánh giá chất lượng âm thanh và phương pháp [[nén ảnh]] thông qua logarit.<ref>{{Chú thích|last1=Chui|first1=C.K.|title=Wavelets: a mathematical tool for signal processing|location=Philadelphia|series=SIAM monographs on mathematical modeling and computation|isbn=978-0-89871-384-8|year=1997|url={{google books |plainurl=y |id=N06Gu433PawC|page=180}}}}</ref>

Độ lớn của một trận [[động đất]] được đo theo logarit thập phân của năng lượng do nó sinh ra qua [[thang độ lớn mô men]] hay [[Độ Richter|thang độ Richter]]. Chẳng hạn, một trận động đất 5,0 độ giải phóng năng lượng gấp 32 lần {{math|(10<sup>1.5</sup>)}} và một trận động đất 6,0 độ giải phóng năng lượng gấp 1000 lần {{math|(10<sup>3</sup>)}} so với một trận động đất 4,0 độ.<ref>{{Chú thích|last1=Crauder|first1=Bruce|last2=Evans|first2=Benny|last3=Noell|first3=Alan|title=Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra|publisher=Cengage Learning|location=Boston|edition=4 |isbn=978-0-547-15669-9|year=2008}}, mục 4.4.</ref> [[Cấp sao biểu kiến]] là một thang đo logarit thông dụng khác, dùng để đo độ sáng của các ngôi sao qua logarit.<ref>{{Chú thích|last1=Bradt|first1=Hale|title=Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations|publisher=[[Cambridge University Press]]|series=Cambridge Planetary Science|isbn=978-0-521-53551-9|year=2004}}, mục 8.3, tr.&nbsp;231</ref> Một ví dụ khác nữa là [[pH]] trong [[hóa học]]; pH là số đối của logarit thập phân của hoạt độ của các ion [[Hiđrôni|hydroni]] H<sub>3</sub>O<sup>+</sup> trong dung dịch.<ref>{{Chú thích|author=IUPAC|title=Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book")|edition=2 |editor=A. D. McNaught, A. Wilkinson|publisher=Blackwell Scientific Publications|location=Oxford|year=1997|url=http://goldbook.iupac.org/terms/view/P04524|isbn=978-0-9678550-9-7|doi=10.1351/goldbook|author-link=IUPAC}}</ref> Hoạt độ của các ion hydroni trong nước cất là 10<sup>−7</sup>&nbsp;mol·L<sup>−1</sup>, nên pH của nước cất là 7. Giấm thường có pH là khoảng 3. Hiệu số bằng 4 tương đương với tỉ lệ hoạt độ của H<sub>3</sub>O<sup>+</sup> trong một chất lớn hơn chất còn lại {{math|10<sup>4</sup>}} lần, tức là hoạt độ của các ion hydroni trong giấm là khoảng 10<sup>−3</sup>&nbsp;mol·L<sup>−1</sup>.

[[Đồ thị bán logarit]] (logarit-tuyến tính) ứng dụng logarit theo cách trực quan: một trục (thường là trục tung) được chia tỉ lệ theo logarit. Chẳng hạn, đồ thị ở bên phải thu nhỏ mức tăng từ 1 triệu lên 1 nghìn tỷ xuống cùng độ dài (trên trục tung) so với mức tăng từ 1 lên 1 triệu. Ở những đồ thị như vậy, các [[hàm mũ]] dạng {{math|1=''f''(''x'') = ''a'' · {{mvar|b}}<sup>''x''</sup>}} là đường thẳng với [[Độ dốc|hệ số góc]] bằng với logarit của {{mvar|b}}. [[Đồ thị logarit]] chia tỉ lệ cả hai trục theo logarit, nên hàm mũ dạng {{math|1=''f''(''x'') = ''a'' · {{mvar|x}}<sup>''k''</sup>}} là đường thẳng có hệ số góc bằng với số mũ {{Math|''k''}}. Nó được ứng dụng trong việc nghiên cứu các [[quy tắc lũy thừa]].<ref>{{Chú thích|last1=Bird|first1=J.O.|title=Newnes engineering mathematics pocket book|publisher=Newnes|location=Oxford|edition=3 |isbn=978-0-7506-4992-6|year=2001}}, mục 34</ref>

=== Tâm lý học ===
Logarit xuất hiện trong các luật liên quan đến [[Tri giác|tri giác con người]].<ref>{{Chú thích|last1=Goldstein|first1=E. Bruce|title=Encyclopedia of Perception|url={{google books |plainurl=y |id=Y4TOEN4f5ZMC}}|publisher=Sage|location=Thousand Oaks, CA|series=Encyclopedia of Perception|isbn=978-1-4129-4081-8|year=2009}}, tr.&nbsp;355–356</ref><ref>{{Chú thích|last1=Matthews|first1=Gerald|title=Human performance: cognition, stress, and individual differences|url={{google books |plainurl=y |id=0XrpulSM1HUC}}|publisher=Psychology Press|location=Hove|series=Human Performance: Cognition, Stress, and Individual Differences|isbn=978-0-415-04406-6|year=2000}}, tr.&nbsp;48</ref> [[Định luật Hick]] nhấn mạnh mối liên hệ logarit giữa thời gian mà một người bỏ ra để chọn một phương án và số lựa chọn mà người đó có.<ref>{{Chú thích|last1=Welford|first1=A.T.|title=Fundamentals of skill|publisher=Methuen|location=London|isbn=978-0-416-03000-6|oclc=219156|year=1968}}, tr.&nbsp;61</ref> [[Định luật Fitts]] dự đoán rằng thời gian cần để di chuyển nhanh đến một vùng mục tiêu là một hàm logarit của quãng đường đến vùng đó và kích thước của mục tiêu.<ref>{{Chú thích|first=Paul M.|last=Fitts|date=June 1954|title=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|journal=Journal of Experimental Psychology|volume=47|issue=6|pages=381–91|pmid=13174710|doi=10.1037/h0055392|url=https://pdfs.semanticscholar.org/634c/9fde5f1c411e4487658ac738dcf18d98ea8d.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20201007033937/https://pdfs.semanticscholar.org/634c/9fde5f1c411e4487658ac738dcf18d98ea8d.pdf|archive-date=2020-10-07|accessdate =2020-10-07}}, in lại trong {{Chú thích|journal=Journal of Experimental Psychology: General|volume=121|issue=3|pages=262–69|year=1992|pmid=1402698|url=http://sing.stanford.edu/cs303-sp10/papers/1954-Fitts.pdf|accessdate =ngày 19 tháng 6 năm 2020|title=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|first=Paul M.|last=Fitts|doi=10.1037/0096-3445.121.3.262}}</ref> Trong [[tâm vật lý học]], [[định luật Weber–Fechner]] nhắc đến mối liên hệ logarit giữa kích thích và [[giác quan]], chẳng hạn như khối lượng thực tế so với khối lượng cảm giác của một vật mà một người đang cầm.<ref>{{Chú thích|last1=Banerjee|first1=J.C.|title=Encyclopaedic dictionary of psychological terms|publisher=M.D. Publications|location=New Delhi|isbn=978-81-85880-28-0|oclc=33860167|year=1994|url={{google books |plainurl=y |id=Pwl5U2q5hfcC|page=306}}|page=304}}</ref> (Tuy nhiên "định luật" này thiếu thực tế so với các mô hình mới hơn, chẳng hạn như [[định luật lũy thừa của Stevens]].<ref>{{Chú thích|last1=Nadel|first1=Lynn|title=Encyclopedia of cognitive science|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|isbn=978-0-470-01619-0|year=2005}}, bổ đề ''Psychophysics'' và ''Perception: Overview''</ref>)

Các nghiên cứu về tâm lý học cho thấy những người ít được giáo dục về toán học thường ước lượng các đại lượng theo logarit, tức là họ đặt một số trên một đường thẳng không được đánh dấu dựa trên logarit của nó sao cho 10 gần với 100 như khi 100 gần với 1000. Khi được đào tạo kỹ càng hơn, họ có xu hướng chuyển sang ước lượng tuyến tính (đặt 1000 xa hơn 10 lần) trong một số trường hợp, trong khi logarit được dùng thay thế khi các số cần đặt quá lớn.<ref>{{Chú thích|doi=10.1111/1467-9280.02438|last1=Siegler|first1=Robert S.|last2=Opfer|first2=John E.|title=The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity|volume=14|issue=3|pages=237–43|year=2003|journal=Psychological Science|url=http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf|pmid=12741747|accessdate =ngày 19 tháng 6 năm 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20110517002232/http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf|archive-date=ngày 17 tháng 5 năm 2011}}</ref><ref>{{Chú thích|last1=Dehaene|issue=5880|postscript=<!--None-->|journal=Science|year=2008|pmid=18511690|pmc=2610411|doi=10.1126/science.1156540|pages=1217–20|volume=320|first1=Stanislas|title=Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures|first4=Pierre|last4=Pica|first3=Elizabeth|last3=Spelke|first2=Véronique|last2=Izard|bibcode=2008Sci...320.1217D}}</ref>

=== Lý thuyết xác suất và thống kê ===
[[Tập tin:PDF-log normal distributions.svg|nhỏ|Ba [[hàm mật độ xác suất]] (PDF) của biến ngẫu nhiên và phân phối loga chuẩn của chúng. Tham số vị trí {{math|μ}}, vốn bằng 0 với cả ba hàm trên, là trung bình của logarit biến ngẫu nhiên, không phải là trung bình của biến đó.]]
[[Tập tin:Benfords law illustrated by world's countries population.png|nhỏ|Biểu đồ thể hiện tần suất xuất hiện của chữ số đầu tiên trong dữ liệu [[Dân số thế giới|dân số của 237 quốc gia trên thế giới]]. Các chấm đen chỉ phân bố do luật Benford dự đoán.]]
Logarit được ứng dụng trong [[lý thuyết xác suất]]: [[luật số lớn]] cho rằng, với một đồng tiền hai mặt, khi số lần tung tiến đến vô hạn, tỉ lệ xuất hiện mặt ngửa [[Phân phối nhị thức|tiệm cận về một nửa]]. Sự biến động của tỉ lệ này được giải thích qua [[luật về logarit lặp]].<ref>{{Chú thích|last1=Breiman|first1=Leo|title=Probability|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics|location=Philadelphia|series=Classics in applied mathematics|isbn=978-0-89871-296-4|year=1992}}, mục 12.9</ref>

Logarit cũng xuất hiện trong [[phân phối loga chuẩn]]. Khi logarit của một [[biến ngẫu nhiên]] có một [[phân phối chuẩn]], biến đó được gọi là có một phân phối loga chuẩn.<ref>{{Chú thích|last1=Aitchison|first1=J.|last2=Brown|first2=J.A.C.|title=The lognormal distribution|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-04011-2|oclc=301100935|year=1969}}</ref> Phân phối loga chuẩn thường gặp trong nhiều lĩnh vực khi một biến là tích của nhiều biến dương độc lập ngẫu nhiên, chẳng hạn như trong nghiên cứu sự nhiễu loạn.<ref>{{Chú thích|title=An introduction to turbulent flow|first=Jean|last=Mathieu|first2=Julian|last2=Scott|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=978-0-521-77538-0|page=50|url={{google books |plainurl=y |id=nVA53NEAx64C|page=50}}}}</ref>

Logarit được dùng trong phép [[hợp lý cực đại]] của các [[mô hình thống kê]] tham số. Với một mô hình như vậy, [[hàm hợp lý|hàm khả năng]] phụ thuộc vào ít nhất một [[Mô hình tham số|tham số]] cần được lấy gần đúng. Giá trị lớn nhất của hàm khả năng xảy ra tại cùng giá trị tham số với giá trị lớn nhất của logarit của khả năng đó ("hợp lý logarit"), vì logarit là hàm số tăng. Giá trị lớn nhất của hợp lý logarit là dễ tìm hơn đặc biệt với các khả năng được nhân cho biến [[Độc lập thống kê|độc lập]] ngẫu nhiên.<ref>{{Chú thích|last1=Rose|first1=Colin|last2=Smith|first2=Murray D.|title=Mathematical statistics with Mathematica|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Springer texts in statistics|isbn=978-0-387-95234-5|year=2002}}, mục 11.3</ref>

[[Luật Benford]] mô tả sự xuất hiện của các chữ số trong nhiều [[bộ dữ liệu]], chẳng hạn như chiều cao của các tòa nhà. Theo luật này thì xác suất để chữ số đầu tiên của một dữ liệu trong bộ dữ liệu đó là {{Math|''d''}} (từ 1 đến 9) bằng {{math|log<sub>10</sub>(''d'' + 1) − log<sub>10</sub>(''d'')}} ''bất kể'' đơn vị đo.<ref>{{Chú thích|last1=Tabachnikov|first1=Serge|title=Geometry and Billiards|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, RI|isbn=978-0-8218-3919-5|year=2005|pages=36–40}}, mục 2.1</ref> Vì vậy, khoảng 30% dữ liệu có thể bắt đầu bằng chữ số 1, khoảng 18% bắt đầu bằng chữ số 2... Các kiểm toán viên thường đối chiếu dữ liệu với luật Benford để phát hiện các hành vi gian lận trong kế toán.<ref>{{Citation|last=Durtschi|first=Cindy|last2=Hillison|first2=William|last3=Pacini|first3=Carl|date=|year=2004|title=The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data|url=http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf|journal=Journal of Forensic Accounting|volume=V|pages=17–34|archive-url=https://web.archive.org/web/20170829062510/http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf|archive-date=ngày 29 tháng 8 năm 2017|accessdate =ngày 19 tháng 6 năm 2020|via=}}</ref>

=== Độ phức tạp tính toán ===
[[Phân tích thuật toán]] là một nhánh của [[khoa học máy tính]] nghiên cứu về hoạt động của [[thuật toán]] (chương trình máy tính dùng để giải quyết một vấn đề nhất định).<ref name="Wegener">{{Chú thích|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, tr. 1–2</ref> Logarit có vai trò trong việc mô tả các thuật toán [[Thuật toán chia để trị|chia nhỏ một vấn đề]] thành nhiều vấn đề con rồi hợp các kết quả lại với nhau.<ref>{{Chú thích|last1=Harel|first1=David|last2=Feldman|first2=Yishai A.|title=Algorithmics: the spirit of computing|location=New York|publisher=[[Addison-Wesley]]|isbn=978-0-321-11784-7|year=2004}}, tr.&nbsp;143</ref>

Chẳng hạn, để tìm một số trong một mảng đã sắp xếp, thuật toán [[tìm kiếm nhị phân]] sẽ kiểm tra phần tử đứng giữa mảng và tiếp đến kiểm tra nửa khoảng nằm trước hoặc nằm sau phần tử đứng giữa nếu không tìm thấy số đó. Thuật toán này cần trung bình {{math|log<sub>2</sub>(''N'')}} bước so sánh với {{math|''N''}} là số phần tử của mảng.<ref>{{Chú thích|last=Knuth|first=Donald|authorlink=Donald Knuth|title=The Art of Computer Programming|publisher=Addison-Wesley|location=Reading, MA|year=1998|isbn=978-0-201-89685-5|title-link=The Art of Computer Programming}}, mục 6.2.1, tr. 409–426</ref> Tương tự, thuật toán [[sắp xếp trộn]] sắp xếp một mảng bằng cách chia đôi thành hai mảng con và sắp xếp chúng trước khi gộp lại các kết quả. [[Thuật toán sắp xếp]] trộn thường tốn một khoảng thời gian [[Kí hiệu O lớn|xấp xỉ tỉ lệ thuận với]] {{math|''N'' · log(''N'')}}.<ref>{{Harvnb|Knuth|1998|loc=mục 5.2.4|p=158–168}}</ref> Cơ số của logarit không được nhắc đến cụ thể, vì kết quả chỉ thay đổi theo một hằng số nhất định khi dùng cơ số khác. Người ta không quan tâm đến hằng số đó khi phân tích thuật toán dưới [[Phân tích thuật toán|mô hình chi phí thống nhất]] tiêu chuẩn.<ref name="Wegener20">{{Chú thích|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005|page=20}}</ref>

Một hàm số {{math|''f''(''x'')}} được gọi là [[hàm số tăng logarit]] nếu {{math|''f''(''x'')}} tỉ lệ thuận với logarit của {{mvar|x}}. (Tuy nhiên, một số tài liệu sinh học sử dụng thuật ngữ này đối với hàm mũ khi viết về sự sinh trưởng của sinh vật.<ref>{{Chú thích|last1=Mohr|first1=Hans|last2=Schopfer|first2=Peter|title=Plant physiology|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-58016-4|year=1995|url=https://archive.org/details/plantphysiology0000mohr}}, chương 19, tr.&nbsp;298</ref>) Chẳng hạn, mọi [[số tự nhiên]] {{math|''N''}} đều có thể được biểu diễn dưới [[Hệ nhị phân|dạng nhị phân]] sử dụng không quá {{math|log<sub>2</sub>(''N'') + 1}} [[bit]]. Nói cách khác, lượng [[Lưu trữ dữ liệu máy tính|bộ nhớ]] cần dùng để lưu trữ {{math|''N''}} tăng theo logarit của {{math|''N''}}.

=== Entropy và sự hỗn loạn ===
[[Tập tin:Chaotic Bunimovich stadium.png|nhỏ|Một mô hình [[bàn bida]]. Hai hạt điểm bắt đầu chuyển động từ vị trí trung tâm với hai góc sai khác nhau 1 độ, sau đó tách ra di chuyển hỗn loạn do sự [[phản xạ]] trên thành bàn.]]
[[Entropy]] là một phép đo về sự hỗn loạn của một hệ. Trong [[cơ học thống kê]], entropy {{math|''S''}} của một hệ vật lý được xác định là
:<math> S = - k \sum_i p_i \ln(p_i).\, </math>
Tổng này được lấy trên tất cả các trạng thái {{math|''i''}} của hệ được xét, chẳng hạn như vị trí của các phân tử khí trong bình chứa, trong đó {{math|''p''<sub>''i''</sub>}} là xác suất để hệ nằm ở trạng thái {{math|''i''}} và {{Math|''k''}} là [[hằng số Boltzmann]]. Tương tự, [[entropy thông tin]] mô tả mức độ hỗn loạn của thông tin. Nếu người nhận một thông điệp kỳ vọng nhận được bất kỳ trong số {{math|''N''}} thông điệp có thể với khả năng giống nhau thì lượng thông tin truyền tải bởi một thông điệp như vậy được định lượng là {{math|log<sub>2</sub>(''N'')}} bit.<ref>{{Chú thích|last1=Eco|first1=Umberto|author1-link=Umberto Eco|title=The open work|publisher=Harvard University Press|isbn=978-0-674-63976-8|year=1989}}, mục III.I</ref>

[[Lũy thừa Lyapunov]] sử dụng logarit để đo mức độ hỗn loạn của một [[hệ thống động lực]]. Chẳng hạn, khi một [[chất điểm]] di chuyển trên một [[bàn bida]], chỉ một thay đổi rất nhỏ về góc cũng có thể làm thay đổi hoàn toàn hướng đi của chất điểm đó. Hệ thống như vậy [[Lý thuyết hỗn loạn|hỗn loạn]] một cách [[Hệ thống tất định|tất định]], vì những sai sót nhỏ ở điều kiện ban đầu thường dẫn đến những kết quả khác hẳn nhau.<ref>{{Chú thích|last1=Sprott|first1=Julien Clinton|title=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows|journal=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows. Edited by Sprott Julien Clinton. Published by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd|url={{google books |plainurl=y |id=buILBDre9S4C}}|publisher=World Scientific|location=New Jersey|isbn=978-981-283-881-0|year=2010|bibcode=2010ecas.book.....S|doi=10.1142/7183}}, mục 1.9</ref> Ít nhất một lũy thừa Lyapunov của một hệ hỗn loạn tất định có giá trị dương.

=== Phân dạng ===
[[Tập tin:Sierpinski dimension.svg|nhỏ|400x400px|Tam giác Sierpinski (bên phải) được tạo nên bằng cách lặp đi lặp lại việc thay thế một [[tam giác đều]] bằng ba tam giác đều nhỏ hơn.]]
Logarit xuất hiện trong định nghĩa về số chiều [[phân dạng]].<ref>{{Chú thích|last1=Helmberg|first1=Gilbert|title=Getting acquainted with fractals|publisher=Walter de Gruyter|series=De Gruyter Textbook|location=Berlin, New York|isbn=978-3-11-019092-2|year=2007}}</ref> Phân dạng là một đối tượng hình học có cấu trúc [[tự đồng dạng]]: mỗi hình nhỏ hơn đều trông giống như hình tổng thể. [[Tam giác Sierpinski]] (hình bên) được tạo ra từ ba bản sao của chính nó, mỗi hình có cạnh bằng một nửa hình ban đầu. Theo đó, [[số chiều Hausdorff]] của cấu trúc này là {{math|ln(3)/ln(2) ≈ 1,58}}. Một khái niệm khác về số chiều dựa trên logarit được suy ra bởi việc [[Số chiều Minkowski–Bouligand|đếm số hình vuông đơn vị]] để bao phủ hết bề mặt phân dạng được xét.

=== Âm nhạc ===
{{multiple image
| direction = vertical
| width = 350
| footer = Bốn quãng tám khác nhau trên thang đo tuyến tính và thang đo logarit.
| image1 = 4octavesAndfrequencies.jpg
| alt1 = Four different octaves shown on a linear scale.
| image2 = 4octavesAndfrequenciesEars.jpg
| alt2 = Four different octaves shown on a logarithmic scale.
| align = 
| caption1 = 
| caption2 = 
}}Logarit có liên hệ đến [[Cung (âm nhạc)|cung]] và [[Quãng (âm nhạc)|quãng]] trong âm nhạc. Trong [[hệ thống âm tự nhiên]], tỉ lệ tần số chỉ phụ thuộc vào quãng giữa hai [[tông nhạc]], không phụ thuộc vào tần số hay [[Cao độ (âm nhạc)|cao độ]] của từng tông cụ thể. Chẳng hạn, [[A (nốt nhạc)|nốt A]] có tần số là 440 [[Hertz|Hz]] và [[B♭ (nốt nhạc)|nốt B♭]] có tần số là 466&nbsp;Hz. Quãng giữa nốt A và nốt B♭ là [[nửa cung]], giống như quãng giữa nốt B♭ và [[B (nốt nhạc)|nốt B]] (tần số 493&nbsp;Hz), vì tỉ lệ tần số của hai quãng trên gần bằng nhau:
:<math>\frac{466}{440} \approx \frac{493}{466} \approx 1,059 \approx \sqrt[12]2.</math>
Do đó, logarit có thể được dùng để miêu tả các quãng: một quãng được đo theo đơn vị nửa cung bằng cách lấy logarit cơ số {{math|2<sup>1/12</sup>}} của tỉ lệ [[tần số]], trong khi logarit cơ số {{math|2<sup>1/1200</sup>}} của nó đo quãng đó theo [[Cent (âm nhạc)|cent]], bằng một phần trăm so với nửa cung.<ref>{{Chú thích|last1=Wright|first1=David|title=Mathematics and music|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4873-9|year=2009}}, chương 5</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
||'''Quãng'''<br />(phát hai tông cùng lúc)
||[[Hệ thống 72 âm tự nhiên|Tông 1/12]] {{Âm thanh|1_step_in_72-et_on_C.mid|phát}}
||[[Nửa cung]] {{Âm thanh|help=no|Minor_second_on_C.mid|phát}}
||Quãng 5/4 {{Âm thanh|help=no|Just_major_third_on_C.mid|phát}}
||[[Quãng 3 trưởng]] {{Âm thanh|help=no|Major_third_on_C.mid|phát}}
||[[Quãng 3 cung]] {{Âm thanh|help=no|Tritone_on_C.mid|phát}}
||[[Quãng tám]] {{Âm thanh|help=no|Perfect_octave_on_C.mid|phát}}
|-
|| '''Tỉ lệ tần số''' ''r''
||<math>2^{\frac 1 {72}} \approx 1,0097</math>
||<math>2^{\frac 1 {12}} \approx 1,0595</math>
||<math>\tfrac 5 4 = 1,25</math>
||<math>\begin{align} 2^{\frac 4 {12}} & = \sqrt[3] 2 \\ & \approx 1,2599 \end{align} </math>
||<math>\begin{align} 2^{\frac 6 {12}} & = \sqrt 2 \\ & \approx 1,4142 \end{align} </math>
|| <math> 2^{\frac {12} {12}} = 2 </math>
|-
|| '''Số nửa cung tương ứng'''<br /><math>\log_{\sqrt[12] 2}(r) = 12 \log_2 (r)</math>
|| <math>\tfrac 1 6 \,</math>
|| <math>1 \,</math>
||<math>\approx 3,8631 \,</math>
|| <math>4 \,</math>
|| <math>6 \,</math>
|| <math>12 \,</math>
|-
|| '''Số cent tương ứng'''<br /><math>\log_{\sqrt[1200] 2}(r) = 1200 \log_2 (r)</math>
|| <math>16 \tfrac 2 3 \,</math>
|| <math>100 \,</math>
||<math>\approx 386,31 \,</math>
|| <math>400 \,</math>
|| <math>600 \,</math>
|| <math>1200 \,</math>
|}

=== Lý thuyết số ===
[[Logarit tự nhiên]] có liên hệ gần gũi với việc [[Hàm đếm số nguyên tố|đếm số nguyên tố]] (2, 3, 5, 7, 11...), một chủ đề quan trọng trong [[lý thuyết số]]. Với mỗi [[số nguyên]] {{mvar|x}}, số lượng [[số nguyên tố]] nhỏ hơn hoặc bằng {{mvar|x}} được ký hiệu là {{math|{{pi}}(''x'')}}. Theo [[định lý số nguyên tố]], giá trị gần đúng của {{math|{{pi}}(''x'')}} được cho bởi công thức
:<math>\frac{x}{\ln(x)},</math>
trong đó "gần đúng" ở đây có nghĩa là tỉ số giữa {{math|{{pi}}(''x'')}} và {{math|''x''/ln(''x'')}} tiệm cận về 1 khi {{mvar|x}} tiến dần ra vô hạn.<ref>{{Chú thích|last1=Bateman|first1=P.T.|last2=Diamond|first2=Harold G.|title=Analytic number theory: an introductory course|publisher=World Scientific|location=New Jersey|isbn=978-981-256-080-3|oclc=492669517|year=2004}}, định lý 4.1</ref> Nói cách khác, xác suất để một số được chọn ngẫu nhiên nằm giữa 1 và {{mvar|x}} là số nguyên tố [[tỉ lệ nghịch]] với số chữ số của {{mvar|x}}. Một xấp xỉ chính xác hơn nữa của {{math|{{pi}}(''x'')}} được cho bởi [[hàm tích phân logarit bù]] {{math|Li(''x'')}}, được định nghĩa là
:<math> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt.  </math>
[[Giả thuyết Riemann]], một trong những [[phỏng đoán]] toán học mở lâu đời nhất, có thể được phát biểu trên cơ sở so sánh {{math|{{pi}}(''x'')}} và {{math|Li(''x'')}}.<ref>{{Harvnb|Bateman|Diamond|2004|loc=định lý 8.15}}</ref> [[Định lý Erdős–Kac]] mô tả số các [[Số nguyên tố|thừa số nguyên tố]] khác nhau cũng liên quan đến logarit tự nhiên.

Logarit của {{math|''n''}} [[giai thừa]], {{math|1=''n''! = 1 · 2 ·... · ''n''}}, được cho bởi
:<math> \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n). \,</math>
Biểu thức này được dùng để suy ra phép [[xấp xỉ Stirling]], một phép tính gần đúng {{math|''n''!}} với {{math|''n''}} lớn.<ref>{{Chú thích|last1=Slomson|first1=Alan B.|title=An introduction to combinatorics|publisher=CRC Press|location=London|isbn=978-0-412-35370-3|year=1991}}, chương 4</ref>

== Khái quát hóa ==

=== Logarit phức ===
{{Chính|Logarit phức}}[[Tập tin:Complex number illustration multiple arguments.svg|thumb|right|Một điểm {{math|''z {{=}} x + iy''}} trong mặt phẳng phức. Cả hai góc {{mvar|φ}} và {{mvar|φ'}} đều là argumen của {{mvar|z}}.|alt=An illustration of the polar form: a point is described by an arrow or equivalently by its length and angle to the {{mvar|x}} axis.]]
Mọi [[Số phức|nghiệm phức]] {{mvar|a}} của phương trình
:<math>e^a=z</math>
được gọi là ''logarit phức'' của {{mvar|z}}, với {{mvar|z}} là một số phức. Mỗi số phức thường có dạng {{math|''z {{=}} x + iy''}} với {{mvar|x}} và {{mvar|y}} là số thực và {{mvar|i}} là [[đơn vị ảo]] (căn bậc hai của −1). Một số như vậy có thể được biểu diễn bằng một điểm trong [[mặt phẳng phức]] như hình bên phải. Mặt phẳng phức thường biểu thị một số phức {{mvar|z}} khác không theo [[giá trị tuyệt đối]] của nó, tức là khoảng cách {{mvar|r}} đến điểm gốc, và một góc hợp bởi trục hoành thực ''Re'' và đường thẳng đi qua gốc tọa độ và {{mvar|z}}. Góc này được gọi là [[argumen]] của {{mvar|z}}.

Giá trị tuyệt đối {{mvar|r}} của {{mvar|z}} được tính bằng 
:<math>\textstyle r=\sqrt{x^2+y^2}.</math>
Áp dụng biểu diễn hình học của <math>\sin</math> và <math>\cos</math> và tính tuần hoàn của chúng với chu kỳ <math>2\pi</math>, mỗi số phức {{mvar|z}} cũng có thể được biểu diễn dưới dạng 
:<math>z = x + iy = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)= r (\cos (\varphi + 2k\pi) + i \sin (\varphi + 2k\pi)),</math>
với {{mvar|k}} là số nguyên. Rõ ràng argumen của {{mvar|z}} không phải là duy nhất: cả {{mvar|φ}} và {{mvar|φ}}' = {{mvar|φ}} + 2''k''{{pi}} đều là argumen của {{mvar|z}} với mọi số nguyên {{mvar|k}}, vì thêm 2''k''{{pi}} [[radian]] hoặc ''k''⋅360° vào {{mvar|φ}} tức là "quay" góc {{mvar|φ}} quanh gốc tọa độ {{mvar|k}} vòng.{{refn|Xem bài [[radian]] về phép chuyển đổi giữa 2[[pi|{{pi}}]] radian và 360 [[độ (góc)|độ]].|group=nb}} Số phức cuối cùng luôn là {{mvar|z}}, như được minh họa trong hình bên phải với {{math|''k'' {{=}} 1}}. Ta có thể chọn đúng một trong số các argumen của {{mvar|z}} làm ''argumen chính'', ký hiệu là {{math|Arg(''z'')}} với chữ cái {{math|A}} in hoa, bằng cách giới hạn {{mvar|φ}} xuống một vòng quay nhất định, chẳng hạn như <math>-\pi < \varphi \le \pi</math><ref>{{Chú thích|last1=Ganguly|location=Kolkata|first1=S.|title=Elements of Complex Analysis|publisher=Academic Publishers|isbn=978-81-87504-86-3|year=2005}}, Định nghĩa 1.6.3</ref> hoặc <math>0 \le \varphi < 2\pi.</math><ref>{{Chú thích|last1=Nevanlinna|first1=Rolf Herman|author1-link=Rolf Nevanlinna|last2=Paatero|first2=Veikko|title=Introduction to complex analysis|journal=London: Hilger|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4399-4|year=2007|bibcode=1974aitc.book.....W}}, mục 5.9</ref> Các nửa khoảng này được gọi là ''[[nhánh chính]]'' của hàm argumen. 
[[Tập tin:Complex log.jpg|nhỏ|Miền tô màu của logarit phức {{math|Log(''z'')}}. Điểm màu đen tại {{math|''z'' {{=}} 1}} tương ứng với giá trị tuyệt đối bằng không. Màu sáng hơn, sẫm hơn biểu thị giá trị tuyệt đối lớn hơn. Sắc độ của màu chỉ argumen của {{math|Log(''z'')}}.]]
[[Công thức Euler]] liên hệ các [[hàm lượng giác]] [[sin]] và [[Hàm lượng giác|cosin]] với [[hàm mũ phức]]: 
:<math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi.</math>
Áp dụng công thức trên và tính chất tuần hoàn, ta có:<ref>{{Chú thích|last1=Moore|first1=Theral Orvis|last2=Hadlock|first2=Edwin H.|title=Complex analysis|publisher=World Scientific|location=Singapore|isbn=978-981-02-0246-0|year=1991}}, mục 1.2</ref>
:<math> \begin{array}{lll}z& = & r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\
& = & r \left (\cos(\varphi + 2k\pi) + i \sin(\varphi + 2k\pi)\right) \\
& = & r e^{i (\varphi + 2k\pi)} \\
& = & e^{\ln(r)} e^{i (\varphi + 2k\pi)}  \\
& = & e^{\ln(r) + i(\varphi + 2k\pi)} = e^{a_k},
\end{array}
</math>
với {{math|ln(''r'')}} là logarit tự nhiên thực duy nhất, {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} là logarit phức của {{mvar|z}} và {{mvar|k}} là một số nguyên bất kỳ. Do đó, logarit phức của {{mvar|z}}, bao gồm tất cả các số phức {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} sao cho lũy thừa bậc {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} của {{mvar|e}} bằng {{mvar|z}}, là một tập hợp vô số các giá trị {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} thỏa mãn

: <math>a_k = \ln (r) + i (\varphi + 2 k \pi),\quad</math> với {{mvar|k}} là một số nguyên.

Đặt {{mvar|k}} sao cho <math>\varphi + 2 k \pi</math> nằm trong các nửa khoảng được xác định như trên thì {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} được gọi là ''giá trị chính'' của logarit phức, ký hiệu là {{math|Log(''z'')}} với chữ cái {{math|L}} in hoa. Argumen chính của mọi số thực dương {{mvar|x}} bằng 0; do đó {{math|Log(''x'')}} là một số thực bằng với logarit tự nhiên thực. Tuy vậy, các công thức về logarit của một tích hay lũy thừa ''không'' áp dụng được cho giá trị chính của logarit phức.<ref>{{Chú thích|last1=Wilde|first1=Ivan Francis|title=Lecture notes on complex analysis|publisher=Imperial College Press|location=London|isbn=978-1-86094-642-4|year=2006|url=https://books.google.com/?id=vrWES2W6vG0C&pg=PA97&dq=complex+logarithm#v=onepage&q=complex%20logarithm&f=false}}, định lý 6.1.</ref>

Hình bên phải miêu tả miền tô màu của {{math|Log(''z'')}}, trong đó {{mvar|z}} được giới hạn về nửa khoảng {{math|(-{{pi}}, {{pi}}]}}. Có thể thấy nhánh tương ứng của logarit phức bị đứt đoạn trên toàn bộ phần âm của trục hoành thực, tại đó sắc độ thay đổi bất chợt. Sự đứt đoạn này nảy sinh từ việc chuyển sang phân vùng khác trong cùng một nhánh khi đi qua một đường biên (không chuyển qua giá trị {{mvar|k}} tương ứng của nhánh lân cận). Một [[quỹ tích]] như vậy được gọi là [[nhánh cắt]]. Hiện tượng này chỉ có thể bị phá vỡ bằng cách loại bỏ điều kiện của argumen, và khi đó argumen của {{mvar|z}} và logarit của nó đều trở thành [[hàm đa trị]].

=== Hàm ngược của các hàm mũ khác ===
Lũy thừa xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học và hàm ngược của nó thường được gọi là logarit. Chẳng hạn, [[logarit của một ma trận]] là hàm ngược (đa trị) của [[hàm mũ ma trận]].<ref>{{Chú thích|last1=Higham|first1=Nicholas|title=Functions of Matrices. Theory and Computation|location=Philadelphia, PA|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-646-7|year=2008}}, chương 11.</ref> Một ví dụ khác là hàm [[Logarit p-adic|logarit ''p''-adic]], hàm ngược của [[Hàm mũ p-adic|hàm mũ ''p''-adic]]. Cả hai đều được xác định qua chuỗi Taylor tương tự như với số thực. Khác với số thực, logarit ''p''-adic còn có thể được mở rộng cho mọi [[Số p-adic|số ''p''-adic]] khác 0.<ref>{{Chú thích|first1=Jürgen|last1=Neukirch|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|volume=322|year=1999|isbn=978-3-540-65399-8|title=Algebraic Number Theory}}, mục II.5.</ref> Trong [[hình học vi phân]], [[Ánh xạ mũ (hình học Riemann)|ánh xạ mũ]] ánh xạ [[không gian tiếp tuyến]] tại một điểm của một [[đa tạp]] đến một [[Lân cận (toán học)|lân cận]] của điểm đó, và ánh xạ ngược lại với nó được gọi là ánh xạ logarit.<ref>{{Chú thích|last1=Hancock|first1=Edwin R.|last2=Martin|first2=Ralph R.|last3=Sabin|first3=Malcolm A.|title= Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings|publisher=Springer|isbn=978-3-642-03595-1|year=2009|page=379|url=https://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379}}</ref>

Trong [[nhóm hữu hạn]], lũy thừa là nhân lặp đi lặp lại một phần tử {{mvar|b}} trong nhóm với chính nó. [[Lôgarit rời rạc|Logarit rời rạc]] là nghiệm nguyên {{math|''n''}} của phương trình

: <math>b^n = x,\,</math>

với {{mvar|x}} là một phần tử trong nhóm. Phép lũy thừa rời rạc có thể dễ dàng thực hiện được, nhưng logarit rời rạc được cho là khó tính được trong một số nhóm. Tính bất đối xứng này có những ứng dụng quan trọng trong [[mật mã hóa khóa công khai]], chẳng hạn như trong [[Trao đổi khóa Diffie-Hellman|trao đổi khóa Diffie–Hellman]], một phương pháp cho phép trao đổi khóa [[Mật mã học|mật mã]] một cách bảo mật trên các kênh thông tin không an toàn.<ref>{{Chú thích|last1=Stinson|first1=Douglas Robert|title=Cryptography: Theory and Practice|publisher=CRC Press|location=London|edition=3 |isbn=978-1-58488-508-5|year=2006}}</ref> [[Logarit Zech]] có liên hệ với logarit rời rạc đối với nhóm nhân của các phần tử khác không trong một [[trường hữu hạn]].<ref>{{Chú thích|last1=Lidl|first1=Rudolf|last2=Niederreiter|first2=Harald|title=Finite fields|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-39231-0|year=1997|url=https://archive.org/details/finitefields0000lidl_a8r3}}</ref>

Các hàm ngược khác liên quan đến logarit bao gòm ''logarit kép'' {{math|ln(ln(''x''))}}, ''[[siêu logarit]]'' (có dạng gần giống với [[logarit lặp]] trong khoa học máy tính), [[hàm Lambert W]] và [[logit]]. Chúng lần lượt là hàm ngược của [[hàm mũ kép]], [[tetration]], {{math|''f''(''w'') {{=}} ''we<sup>w</sup>''}},<ref>{{Chú thích|last1=Corless|url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20101214110615/http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf|accessdate =ngày 20 tháng 6 năm 2020|doi=10.1007/BF02124750|pages=329–59|volume=5|issn=1019-7168|journal=Advances in Computational Mathematics|year=1996|title=On the Lambert ''W'' function|first1=R.|author5-link=Donald Knuth|first5=Donald|last5=Knuth|first4=D.|last4=Jeffrey|first3=D.|last3=Hare|first2=G.|last2=Gonnet|archive-date=ngày 14 tháng 12 năm 2010}}</ref> và [[hàm logistic]].<ref>{{Chú thích|last1=Cherkassky|first1=Vladimir|last2=Cherkassky|first2=Vladimir S.|last3=Mulier|first3=Filip|title=Learning from data: concepts, theory, and methods|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|series=Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control|isbn=978-0-471-68182-3|year=2007}}, tr.&nbsp;357</ref>

=== Các khái niệm liên quan ===
Trong [[lý thuyết nhóm]], đồng nhất thức {{math|log(''cd'') {{=}} log(''c'') + log(''d'')}} biểu thị một [[đẳng cấu nhóm]] giữa các [[số thực]] dưới phép nhân và các số thực dưới phép cộng. Hàm logarit là đẳng cấu liên tục duy nhất giữa các nhóm này.<ref>{{Chú thích|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|title=General topology. Chapters 5–10|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Elements of Mathematics|isbn=978-3-540-64563-4|mr=1726872|year=1998}}, mục V.4.1</ref> Bằng đẳng cấu đó, [[độ đo Haar]] ([[độ đo Lebesgue]]) {{math|''dx''}} trên các số thực tương ứng với [[độ đo]] Haar {{math|''dx''/''x''}} trên các số thực dương.<ref>{{Chú thích|last1=Ambartzumian|first1=R.V.|title=Factorization calculus and geometric probability|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-34535-4|year=1990|url=https://archive.org/details/factorizationcal0000amba}}, mục 1.4</ref> Các số thực không âm dưới phép cộng và phép nhân tạo thành một [[bán vành]] được gọi là [[bán vành xác suất]]; sau đó, logarit chuyển phép nhân thành phép cộng (phép nhân log) và chuyển phép cộng thành phép cộng log ([[LogSumExp]]), cho một [[Đẳng cấu|phép đẳng cấu]] giữa bán vành xác suất và bán vành log.<ref>{{Chú thích|url=https://archive.org/details/appliedcombinato0000loth/page/210/mode/2up|title=Applied Combinatorics on Words|last=Lothaire|first=M.|publisher=Cambridge University Press|year=2005|isbn=0-521-84802-4|series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications|volume=105|location=Cambridge|pages=211|zbl=1133.68067}}</ref> Trong [[giải tích phức]] và [[hình học đại số]], [[Dạng logarit|1-dạng logarit]] {{math|''df''/''f''}}  là một [[dạng vi phân]] với [[Cực điểm (giải tích phức)|cực điểm]] logarit.<ref>{{Chú thích|last1=Esnault|first1=Hélène|last2=Viehweg|first2=Eckart|title=Lectures on vanishing theorems|location=Basel, Boston|publisher=Birkhäuser Verlag|series=DMV Seminar|isbn=978-3-7643-2822-1|mr=1193913|year=1992|volume=20|doi=10.1007/978-3-0348-8600-0}}, mục 2</ref>

[[Hàm đa loga]] là hàm số xác định bởi

: <math>
\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.
</math>

Nó có liên hệ với [[logarit tự nhiên]] theo đồng nhất thức {{math|1=Li<sub>1</sub>(''z'') = −ln(1 − ''z'')}}. Hơn nữa, {{math|Li<sub>''s''</sub>(1)}} bằng với [[hàm zeta Riemann]] {{math|ζ(''s'')}}.<ref>{{dlmf|id=25.12|first=T.M.|last=Apostol}}</ref>

== Xem thêm ==
* [[Căn bậc n]]
* [[Lũy thừa]]
* [[Giới hạn (toán học)|Giới hạn]]
* [[Tích phân]]
== Ghi chú ==
{{tham khảo|group=nb|2}}

== Tham khảo ==
{{Tham khảo|30em}}

== Liên kết ngoài ==
{{Wiktionary|logarithm}}
{{thể loại Commons}}
* {{Britannica|346146|Logarithm (mathematics)}}
* {{TĐBKVN|14907|Lôga}}
* {{TĐBKVN|9340|Hàm lôga}}
* {{MathWorld|Logarithm|Logarithm}}
* [https://www.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-exp-and-log#alg-introduction-to-logarithms Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures]
* {{springer|title=Logarithmic function|id=p/l060600}}
*{{Chú thích|author=Edward Wright|url=http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm|title=Translation of Napier's work on logarithms|archive-url=https://web.archive.org/web/20021203005508/http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm|archive-date=ngày 3 tháng 12 năm 2002|accessdate =2020-06-19}}
*{{Cite EB1911|wstitle=Logarithm|volume=16|pages=868–77|first=James Whitbread Lee|last=Glaisher}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}
{{Hyperoperation}}
{{Sao chọn lọc|phiên bản chọn lọc=64010424|thời gian=9 tháng 11 năm 2020}}

[[Thể loại:Lôgarit]]
[[Thể loại:Hàm toán học]]
[[Thể loại:Phát minh Scotland]]