Xem mã nguồn của Ma trận chuyển vị

{{about|ma trận chuyển vị và [[chuyển vị của ánh xạ tuyến tính]]||Chuyển vị (định hướng)}}
[[Tập tin:Matrix transpose.gif|thumb|200px|right|Ma trận chuyển vị '''A'''<sup>T</sup> của ma trận '''A''' có thể có được bằng cách đảo các phần tử của nó theo đường chéo chính. Lặp lại bước trên đối với ma trận chuyển vị thì các phần tử sẽ được trả về vị trí ban đầu của ma trận gốc.]]

Trong [[đại số tuyến tính]], '''ma trận chuyển vị''' ([[tiếng Anh]]: '''transpose''') là một [[ma trận (toán học)|ma trận]] mà ở đó các hàng được thay thế bằng các cột, và ngược lại. Để có được ma trận chuyển vị, chúng ta có thể sử dụng toán tử lật ma trận theo đường chéo chính của nó. Ma trận chuyển vị của ma trận ''A'' được ký hiệu là ''A''<sup>T</sup>.<ref name=":0">{{chú thích web|date = ngày 25 tháng 3 năm 2020 |title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date = ngày 8 tháng 9 năm 2020 |website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref>{{chú thích web|last=Nykamp|first=Duane|title=The transpose of a matrix|url=https://mathinsight.org/matrix_transpose|url-status=live|access-date=ngày 8 tháng 9 năm 2020|website=Math Insight}}</ref>

Ma trận chuyển vị được giới thiệu vào năm 1858 bởi nhà toán học người Anh [[Arthur Cayley]].<ref>Arthur Cayley (1858) [https://books.google.com/books?id=flFFAAAAcAAJ&pg=PA31#v=onepage&q&f=false "A memoir on the theory of matrices"], ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London'', '''148''': 17–37.  The transpose (or "transposition") is defined on page 31.</ref>

== Chuyển vị của ma trận ==

{{hatnote|Lưu ý rằng bài viết này giả định rằng các ma trận được lấy trên một vành giao hoán. Những kết quả này có thể không giữ trong trường hợp không giao hoán.}}

=== Định nghĩa ===

Chuyển vị của ma trận {{math|'''A'''}}, ký hiệu {{math|'''A'''<sup>T</sup>}},<ref name=":0" /><ref name="Whitelaw1991">{{chú thích sách|author=T.A. Whitelaw|title=Introduction to Linear Algebra, 2nd edition|url=https://books.google.com/books?id=6M_kDzA7-qIC&q=transpose|date=ngày 1 tháng 4 năm 1991|publisher=CRC Press|isbn=978-0-7514-0159-2}}</ref> {{math|{{sup|⊤}}'''A'''}}, {{math|'''A'''{{sup|⊤}}}}, <math>A^{\intercal}</math>,<ref>{{chú thích web|last=|first=|date=|title=Transpose of a Matrix Product (ProofWiki)|url=https://proofwiki.org/wiki/Transpose_of_Matrix_Product|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=4 Feb 2021|website=ProofWiki}}</ref><ref>{{chú thích web|date=|title=What is the best symbol for vector/matrix transpose?|url=https://tex.stackexchange.com/questions/30619/what-is-the-best-symbol-for-vector-matrix-transpose|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=4 Feb 2021|website=[[Stack Exchange]]}}</ref> {{math|'''A′'''}},<ref>{{chú thích web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Transpose|url=https://mathworld.wolfram.com/Transpose.html|access-date = ngày 8 tháng 9 năm 2020 |website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> {{math|'''A'''<sup>tr</sup>}}, {{math|<sup>t</sup>'''A'''}} hoặc {{math|'''A'''<sup>t</sup>}}, có thể được xây dựng bằng các phương pháp sau đây:
<ol>
<li>[[Phản xạ (toán học)|Phản xạ]] {{math|'''A'''}} trên [[đường chéo chính]] của nó (chạy từ trên cùng bên trái sang dưới cùng bên phải) để có {{math|'''A'''<sup>T</sup>}};</li>
<li>Viết các hàng của {{math|'''A'''}} thành cột của {{math|'''A'''<sup>T</sup>}};</li>
<li>Viết các cột của {{math|'''A'''}} thành hàng của {{math|'''A'''<sup>T</sup>}}.</li>
</ol>

Về mặt hình thức, phần tử của hàng thứ ''i'', cột thứ ''j'' của ma trận {{math|'''A'''<sup>T</sup>}} là phần tử của hàng thứ ''j'', cột thứ ''i'' của ma trận {{math|'''A'''}}:

:<math>\left[\mathbf{A}^\operatorname{T}\right]_{ij} = \left[\mathbf{A}\right]_{ji}.</math>

Nếu {{math|'''A'''}} là ma trận {{math|{{nowrap|''m'' × ''n''}}}} thì {{math|'''A'''<sup>T</sup>}} là ma trận {{math|{{nowrap|''n'' × ''m''}}}}.

Trong trường hợp là ma trận vuông, {{math|'''A'''<sup>T</sup>}} biểu thị lũy thừa thứ {{math|T}} của ma trận {{math|'''A'''}}. Để tránh sự nhầm lẫn có thể xảy ra, nhiều tác giả sử dụng ký hiệu lũy thừa {{math|T}} bên trái, khi đó ký hiệu của chuyển vị là {{math|<sup>T</sup>'''A'''}}. Một lợi thế của ký hiệu này là không cần dấu ngoặc đơn khi liên quan đến số mũ: khi {{math|1=({{sup|T}}'''A'''){{sup|''n''}} = {{sup|T}}('''A'''{{sup|''n''}})}}, ký hiệu {{math|{{sup|T}}'''A'''{{sup|''n''}}}} không gây nhầm lẫn.

Trong bài viết này, tránh nhầm lẫn này bằng cách không bao giờ sử dụng ký hiệu {{math|T}} dưới dạng tên [[biến số|biến]].

==== Định nghĩa ma trận liên quan đến chuyển vị ====

Ma trận vuông có chuyển vị bằng chính nó được gọi là ''[[ma trận đối xứng]]''; nghĩa là, {{math|'''A'''}} đối xứng nếu
:<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \mathbf{A}.</math>

Ma trận vuông có chuyển vị bằng phần trừ của nó được gọi là ''[[ma trận phản đối xứng]]''; nghĩa là, {{math|'''A'''}} phản đối xứng nếu
:<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = -\mathbf{A}.</math>

Ma trận vuông [[số phức|phức]] có chuyển vị bằng ma trận với mỗi phần tử được thay thế bằng [[liên hợp phức]] của nó (được biểu thị ở đây bằng dấu gạch ngang) được gọi là ''[[ma trận Hermitian]]'' (tương đương với ma trận bằng [[chuyển vị liên hợp]]); nghĩa là, {{math|'''A'''}} là một Hermitian nếu
:<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \overline{\mathbf{A}}.</math>

Ma trận vuông [[số phức|phức]] có chuyển vị bằng phủ định của liên hợp phức của nó được gọi là ''[[ma trận phản Hermitian]]''; nghĩa là, {{math|'''A'''}} là phản Hermitian nếu
:<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = -\overline{\mathbf{A}}.</math>

Ma trận vuông có chuyển vị bằng [[Ma trận nghịch đảo|nghịch đảo]] của nó được gọi là ''[[ma trận trực giao]]''; nghĩa là, {{math|'''A'''}} trực giao nếu
:<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \mathbf{A}^{-1}.</math>

Một ma trận phức vuông có chuyển vị bằng nghịch đảo liên hợp của nó được gọi là ''[[ma trận unita]]''; nghĩa là, {{math|'''A'''}} đơn nhất (unita) nếu
:<math>\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \overline{\mathbf{A}^{-1}}.</math>

=== Ví dụ ===
*<math>\begin{bmatrix}
    1 & 2
  \end{bmatrix}^{\operatorname{T}}
  = \,
  \begin{bmatrix}
    1   \\
    2
  \end{bmatrix}
</math>

*<math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 2  \\
    3 & 4
  \end{bmatrix}^{\operatorname{T}}
  =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3  \\
    2 & 4
  \end{bmatrix}
</math>

* <math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 2 \\
    3 & 4 \\
    5 & 6
  \end{bmatrix}^{\operatorname{T}}
  =
  \begin{bmatrix}
     1 & 3 & 5\\
     2 & 4 & 6
  \end{bmatrix}
</math>

=== Tính chất ===

Cho {{math|'''A'''}} và {{math|'''B'''}} là 2 ma trận và {{mvar|c}} là một đại lượng [[Vô hướng (toán học)|vô hướng]].

{{ordered list
|1= <math>\left(\mathbf{A}^\operatorname{T} \right)^\operatorname{T} = \mathbf{A}.</math>
:Phép toán lấy phép chuyển vị là một [[Hàm số tự nghịch đảo|phép đối hợp]] (tự [[Ma trận nghịch đảo|nghịch đảo]]).
|2= <math>\left(\mathbf{A} + \mathbf{B}\right)^\operatorname{T} = \mathbf{A}^\operatorname{T} + \mathbf{B}^\operatorname{T}.</math>
:Phép chuyển vị tuân thủ [[phép cộng ma trận]].
|3= <math>\left(\mathbf{A B}\right)^\operatorname{T} = \mathbf{B}^\operatorname{T} \mathbf{A}^\operatorname{T}.</math>
:Lưu ý rằng thứ tự của các hệ số đảo ngược. Từ đó ta có thể suy ra rằng [[ma trận vuông]] {{math |'''A'''}} là [[Ma trận khả nghịch|khả nghịch]] khi và chỉ khi {{math|'''A'''<sup>T</sup>}} khả nghịch, và trong trường hợp này, ta có {{math|('''A'''<sup>−1</sup>)<sup>T</sup> {{=}} ('''A'''<sup>T</sup>)<sup>−1</sup>}}. Bằng cách quy nạp, kết quả này mở rộng cho trường hợp chung của nhiều ma trận, nơi ta nhận thấy rằng {{math|('''A'''<sub>1</sub>'''A'''<sub>2</sub>...'''A'''<sub>''k''−1</sub>'''A'''<sub>''k''</sub>)<sup>T</sup>&nbsp;{{=}}&nbsp;'''A'''<sub>''k''</sub><sup>T</sup>'''A'''<sub>''k''−1</sub><sup>T</sup>…'''A'''<sub>2</sub><sup>T</sup>'''A'''<sub>1</sub><sup>T</sup>}}.
|4= <math>\left(c \mathbf{A}\right)^\operatorname{T} = c \mathbf{A}^\operatorname{T}.</math>
:Chuyển vị của một đại lượng vô hướng là một đại lượng vô hướng. Cùng với (2), điều này nói rằng chuyển vị là một [[ánh xạ tuyến tính]] từ [[Không gian vectơ|không gian]] ma trận {{math|{{nowrap|''m'' × ''n''}}}} đến không gian tất cả ma trận {{math|{{nowrap|''n'' × ''m''}}}}.
|5= <math>\det\left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right) = \det(\mathbf{A}).</math>
:[[Định thức]] của ma trận vuông giống với định thức của phép chuyển vị của nó.
|6= [[Tích vô hướng]] của hai vectơ cột {{math|'''a'''}} và {{math|'''b'''}} có thể được tính như một phần tử đơn của kết quả ma trận:
:<math>\left[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \right] = \mathbf{a}^{\operatorname{T}} \mathbf{b},</math>
được viết thành {{math|'''a'''<sub>''i''</sub> '''b'''<sup>''i''</sup>}} trong [[Ký hiệu Einstein|Quy ước tổng kết Einstein]].
|7= Nếu {{math|'''A'''}} chỉ có các phần tử thực thì {{math|'''A'''<sup>T</sup>'''A'''}} là [[Ma trận xác định|ma trận bán xác định dương]] (positive-semidefinite matrix).
|8= <math>\left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^{-1} = \left(\mathbf{A}^{-1}\right)^\operatorname{T}.</math>
: Phép chuyển vị của một ma trận khả nghịch cũng là khả nghịch và phép nghịch đảo của nó là phép chuyển vị nghịch đảo của ma trận ban đầu. Ký hiệu {{math|'''A'''<sup>−T</sup>}} đôi khi được sử dụng để biểu diễn một trong hai biểu thức tương đương này.
|9= Nếu {{math|'''A'''}} là một ma trận vuông, khi đó [[Giá trị riêng và vectơ riêng|giá trị riêng]] của nó bằng các giá trị riêng chuyển vị của nó, vì ma trận có cùng [[Đa thức đặc trưng (đại số tuyến tính)|đa thức đặc trưng]].
}}

=== Tích ===

Nếu {{math|'''A'''}} là một ma trận {{math|{{nowrap|''m'' × ''n''}}}} và {{math|'''A'''<sup>T</sup>}} là chuyển vị của nó thì kết quả của [[phép nhân ma trận]] với hai ma trận này cho ra hai ma trận vuông: {{math|'''A A'''<sup>T</sup>}} là ma trận {{math|{{nowrap|''m'' × ''m''}}}} và {{math|'''A'''<sup>T</sup> '''A'''}} là ma trận {{math|{{nowrap|''n'' × ''n''}}}}. Hơn nữa, các tích này đều là [[ma trận đối xứng]]. Thật vậy, tích ma trận {{math|'''A A'''<sup>T</sup>}} có phần tử là [[Không gian tích trong|tích trong]] của một hàng {{math|'''A'''}} với một cột {{math|'''A'''<sup>T</sup>}}. Nhưng các cột của {{math|'''A'''<sup>T</sup>}} là các hàng của {{math|'''A'''}}, vì vậy phần tử tương ứng với tích trong của hai hàng của {{math|'''A'''}}. Nếu {{mvar|p<sub>i j</sub>}} là phần tử của tích, nó được lấy từ các hàng {{mvar|i}} và {{mvar|j}} của {{math|'''A'''}}. Phần tử {{mvar|p<sub>j i</sub>}} cũng được lấy từ các hàng này, do đó {{math|''p''<sub>i j</sub> {{=}} ''p''<sub>j i</sub>}}, và tích của ma trận ({{mvar|p<sub>i j</sub>}}) đối xứng. Tương tự, tích {{math|'''A'''<sup>T</sup> '''A'''}} là một ma trận đối xứng.

Một chứng minh nhanh về tính đối xứng của {{math|'''A A'''<sup>T</sup>}} cho kết quả từ thực tế rằng nó là chuyển vị của chính nó:
:<math>\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} = \left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} \mathbf{A}^\operatorname{T}= \mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T} .</math><ref>[[Gilbert Strang]] (2006) ''Linear Algebra and its Applications'' 4th edition, page 51, Thomson [[Brooks/Cole]] {{ISBN|0-03-010567-6}}</ref>

=== Thực hiện chuyển vị ma trận trên máy tính ===
{{See also|Chuyển vị ma trận tại chỗ}}
[[Tập tin:Row_and_column_major_order.svg|thumb|upright|Hình minh họa thứ tự chính của hàng và cột]]
Trên [[máy tính]], người ta thường có thể tránh chuyển vị một ma trận trong [[RAM|bộ nhớ]] bằng cách chỉ cần truy cập cùng một dữ liệu theo một thứ tự khác nhau. Ví dụ: [[Thư viện (máy tính)|thư viện phần mềm]] cho [[đại số tuyến tính]], chẳng hạn như [[BLAS]], thường cung cấp các tùy chọn để chỉ định rằng một số ma trận nhất định sẽ được diễn giải theo thứ tự hoán vị để tránh sự cấp thiết của việc di chuyển dữ liệu.

Tuy nhiên, vẫn có một số trường hợp cần thiết hoặc mong muốn sắp xếp lại một cách vật lý một ma trận trong bộ nhớ theo thứ tự đã hoán vị của nó. Ví dụ, với một ma trận được lưu trữ trong [[Thứ tự chính của hàng và cột|hàng-thứ tự chính]], các hàng của ma trận liền nhau trong bộ nhớ và các cột không liền nhau. Nếu các thao tác lặp lại cần được thực hiện trên các cột, ví dụ như trong thuật toán [[biến đổi Fourier nhanh]] thì việc chuyển ma trận trong bộ nhớ (để làm cho các cột liền nhau) có thể cải thiện hiệu suất bằng cách tăng [[vị trí tham chiếu]].

Lý tưởng nhất, ta có thể hy vọng chuyển đổi một ma trận với bộ nhớ bổ sung tối thiểu. Điều này dẫn đến vấn đề chuyển đổi một ma trận [[Thuật toán tại chỗ|tại chỗ]] ''n''&nbsp;×&nbsp;''m'', với bộ nhớ bổ sung [[Ký hiệu O lớn|O(1)]] hoặc tối đa bộ nhớ ít hơn nhiều ''mn''. Cho ''n''&nbsp;≠&nbsp;''m'', điều này liên quan đến một [[hoán vị]] phức tạp của các phần tử dữ liệu mà không phải là tầm thường để triển khai tại chỗ. Do đó, [[chuyển vị ma trận tại chỗ]] hiệu quả đã là chủ đề của nhiều ấn phẩm nghiên cứu trong [[khoa học máy tính]], bắt đầu từ cuối những năm 1950 và một số thuật toán đã được phát triển.

== Chuyển vị của ánh xạ tuyến tính và dạng song tuyến tính==

Nhớ lại rằng các ma trận có thể được đặt tương ứng 1-1 với [[toán tử tuyến tính]].
Chuyển vị của một toán tử tuyến tính có thể được xác định mà không cần xem xét phải biểu diễn ma trận.
Điều này dẫn đến một định nghĩa tổng quát hơn về phép chuyển vị có thể được áp dụng cho các toán tử tuyến tính không thể được biểu diễn bằng ma trận (ví dụ liên quan đến nhiều không gian vectơ chiều vô hạn).

=== Chuyển vị của ánh xạ tuyến tính ===
{{see also|Chuyển vị của ánh xạ tuyến tính}}

Đặt {{math|''X''<sup>#</sup>}} biểu thị [[Không gian đối ngẫu (không gian liên hiệp)|không gian đối ngẫu đại số]] (algebraic dual space) của một mô-đun-{{mvar|R}}- {{mvar|X}}. 
Đặt {{mvar|X}} và {{mvar|Y}} là các mô-đun-{{mvar|R}}.
Nếu {{math|''u'' : ''X'' → ''Y''}} là [[ánh xạ tuyến tính]] thì '''phần phụ đại số'' (algebraic adjoint) hoặc ''đối ngẫu''' (dual) của nó,{{sfn | Schaefer | Wolff | 1999 | p=128}} là ánh xạ {{math|<sup>#</sup>''u'' : ''Y''<sup>#</sup> &rarr; ''X''<sup>#</sup>}} được xác định bởi {{math|''f'' {{mapsto}} ''f'' ∘ ''u''}}. 
Các hàm kết quả {{math|''u''<sup>#</sup>(''f'')}} được gọi là '''[[pullback (hình học vi phân)|pullback]]''' của {{mvar|f}} qua {{mvar|u}}. 
[[Quan hệ (toán học)|Quan hệ]] sau đây đặc trưng cho phần phụ đại số của {{mvar|u}}<ref>{{harvnb|Halmos|1974|loc=§44}}</ref> 
:{{math|{{Ngoặc nhọn|''u''<sup>#</sup>(''f''), ''x''}} {{=}} {{Ngoặc nhọn|''f'', ''u''(''x'')}}}} cho mọi {{math|''f'' ∈ ''Y''{{big|{{'}}}}}} và {{math|''x'' ∈ ''X''}}
trong đó {{math|{{Ngoặc nhọn|&bull;, &bull;}}}} là một [[hệ đối ngẫu]] (dual system) (tức là được xác định bởi {{math|{{Ngoặc nhọn|''z'', ''h''}} :{{=}} ''h''(''z'')}}). 
Định nghĩa này cũng áp dụng không thay đổi đối với mô-đun bên trái và không gian vectơ.<ref>{{harvnb|Bourbaki|1989|loc=II §2.5 }}</ref>

Định nghĩa của phép chuyển vị có thể được coi là độc lập với bất kỳ dạng song tuyến nào trên các mô-đun, không giống như phần phụ ([[#Phần phụ|bên dưới]]).

[[Không gian đối ngẫu (không gian liên hiệp)|Không gian đối ngẫu liên tục]] của [[không gian vectơ tôpô]] (topological vector space) (TVS) {{mvar|X}} được ký hiệu bởi {{math|''X''{{big|{{'}}}}}}. 
Nếu {{mvar|X}} và {{mvar|Y}} là các không gian vectơ tôpô thì là ánh xạ tuyến tính {{math|''u'' : ''X'' → ''Y''}} là một '''liên tục yếu''' khi và chỉ khi {{math|''u''<sup>#</sup>(''Y''{{big|{{'}}}}) &sube; ''X''{{big|{{'}}}}}}, trong trường hợp đó ta đặt {{math|<sup>t</sup>''u'' : ''Y''{{big|{{'}}}} &rarr; ''X''{{big|{{'}}}}}} biểu thị hạn chế của {{math|''u''<sup>#</sup>}} tới {{math|''Y''{{big|{{'}}}}}}. 
Ánh xạ {{math|<sup>t</sup>''u''}} được gọi là '''chuyển vị'''{{sfn | Trèves | 2006 | p=240}} của {{mvar|u}}.

Nếu ma trận {{math|'''A'''}} biểu thị một ánh xạ tuyến tính đối với [[cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] của {{mvar|V}} và {{mvar|W}} thì ma trận {{math|'''A'''<sup>T</sup>}} biểu thị sự chuyển vị của ánh xạ tuyến tính đó đối với [[cơ sở đối ngẫu]] (dual base).

=== Chuyển vị của một dạng song tuyến tính===
{{main|Dạng song tuyến tính}}

Mọi ánh xạ tuyến tính tới không gian đối ngẫu {{math|''u'' : ''X'' → ''X''<sup>#</sup>}} định nghĩa một dạng song tuyến {{math|''B'' : ''X'' × ''X'' → ''F''}}, với mối quan hệ {{math|''B''(''x'', ''y'') {{=}} ''u''(''x'')(''y'')}}. 
Bằng cách xác định sự chuyển vị của dạng song tuyến này là dạng song tuyến {{mvar|<sup>t</sup>''B''}} được xác định bởi chuyển vị {{math|<sup>t</sup>''u'' : ''X''<sup>##</sup> → ''X''<sup>#</sup>}} tức là {{math|<sup>t</sup>''B''(''y'', ''x'') {{=}} <sup>t</sup>''u''(Ψ(''y''))(''x'')}}, ta thấy rằng {{math|''B''(''x'', ''y'') {{=}} <sup>t</sup>''B''(''y'', ''x'')}}. 
Tại đây, {{mvar|Ψ}} là [[phép đồng cấu]] tự nhiên {{math|''X'' → ''X''<sup>##</sup>}} vào [[Không gian đối ngẫu (không gian liên hiệp)#Phép nội xạ đơn ánh vào đối ngẫu kép|đôi liên hiệp]].

=== Phận phụ ===
{{distinguish|Phần phụ Hermitian}}

Nếu không gian vectơ {{mvar|X}} và {{mvar|Y}} có lần lượt là [[dạng song tuyến tính]] [[Dạng song tuyến suy biến#Dạng không suy biến|không suy biến]] {{math|''B''<sub>''X''</sub>}} và {{math|''B''<sub>''Y''</sub>}}, một khái niệm được gọi là '''phần phụ''', có liên quan chặt chẽ với chuyển vị, có thể được định nghĩa:

Nếu {{nowrap|{{math|''u'' : ''X'' → ''Y''}}}} là một [[ánh xạ tuyến tính]] giữa [[không gian vectơ]] {{mvar|X}} và {{mvar|Y}}, ta xác định {{mvar|g}} là một '''phận phụ''' của {{mvar|u}} nếu {{nowrap|{{math|''g'' : ''Y'' → ''X''}}}} thỏa mãn
:<math>B_X\big(x, g(y)\big) = B_Y\big(u(x), y\big)</math> cho mọi {{math|''x'' &isin; ''X''}} và {{math|''y'' &isin; ''Y''}}.

Các dạng song tuyến này xác định [[phép đẳng cấu|đẳng cấu]] giữa {{mvar|X}} và {{math|''X''<sup>#</sup>}}, và giữa {{mvar|''Y''}} và {{math|''Y''<sup>#</sup>}}, dẫn đến sự đẳng cấu giữa chuyển vị và phần phụ của {{mvar|u}}. 
Ma trận của phần phụ của một ánh xạ là ma trận chuyển vị chỉ khi [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] là [[trực chuẩn]] đối với dạng song tuyến.
Trong bối cảnh này, nhiều tác giả sử dụng thuật ngữ chuyển vị để chỉ phần phụ như được định nghĩa ở đây.

Phần phụ cho phép ta xem xét liệu {{nowrap|{{math|''g'' : ''Y'' → ''X''}}}} bằng {{nowrap|{{math|''u''<sup> −1</sup> : ''Y'' → ''X''}}}}. 
Đặc biệt, điều này cho phép [[nhóm trực chuẩn]] trên không gian vectơ {{mvar|X}} có dạng bậc hai được xác định mà không cần tham chiếu đến ma trận (cũng như các thành phần của nó) dưới dạng tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính {{nowrap|{{math|''X'' → ''X''}}}} mà phần phụ bằng nghịch đảo.

Trên một không gian vectơ phức tạp, người ta thường làm việc với [[dạng bán song tuyến tính]] (tuyến tính liên hợp trong một đối số) thay vì các dạng song tuyến tính.
[[Phần phụ Hermitian]] của ánh xạ giữa các không gian như vậy được xác định tương tự và ma trận của phần phụ Hermitian được cho bởi ma trận chuyển vị liên hiệp nếu các cơ sở là trực chuẩn.

== Xem thêm ==

* [[Ma trận phụ hợp]], chuyển vị của [[Định thức con#Nghịch đảo của ma trận|định thức con]]
* [[Chuyển vị liên hiệp]]
* [[Giả nghịch đảo Moore–Penrose]]
* [[Phép chiếu (đại số tuyến tính)]]

== Tham khảo ==
{{Tham khảo}}

== Đọc thêm ==
* {{Bourbaki Algebra I Chapters 1-3 Springer}}
* {{citation|first=Paul|last=Halmos|authorlink=Paul Halmos|title=Finite dimensional vector spaces|publisher=Springer|year=1974|isbn=978-0-387-90093-3}}.
* {{chú thích sách |first=Jared M. |last=Maruskin |title=Essential Linear Algebra |location=San José |publisher=Solar Crest |year=2012 |isbn=978-0-9850627-3-6 |url={{Google books |plainurl=yes |id=aOF3-hx3u1kC |page=122 }} |pages=122–132 }}
* {{Schaefer Wolff Topological Vector Spaces|edition=2}} <!-- {{sfn | Schaefer | Wolff | 1999 | p=}} -->
* {{Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels}} <!-- {{sfn | Trèves | 2006 | p=}} -->
* {{chú thích sách |first=Jacob T. |last=Schwartz |title=Introduction to Matrices and Vectors |location=Mineola |publisher=Dover |year=2001 |isbn=0-486-42000-0 |url={{Google books |plainurl=yes |id=fMG3y1z9Jw0C |page=126}} |pages=126–132 }}

== Liên kết ngoài ==
* Gilbert Strang (Spring 2010) [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/ Linear Algebra] from MIT Open Courseware
{{thể loại Commons|Matrix}}

{{Đại số tuyến tính}}
{{Tensor}}

[[Thể loại:Ma trận]]
[[Thể loại:Đại số trừu tượng]]
[[Thể loại:Đại số tuyến tính]]