Xem mã nguồn của Ma trận vuông

[[Tập tin:Arbitrary_square_matrix.gif|nhỏ| Một ma trận vuông bậc 4. Các giá trị <math>a_{ii}</math> tạo thành [[đường chéo chính]] của một ma trận vuông. Chẳng hạn, đường chéo chính của ma trận 4 nhân 4 ở trên chứa các phần tử ''a''<sub>11</sub> = 9, ''a''<sub>22</sub> &nbsp;= 11, ''a''<sub>33</sub> &nbsp;= 4, ''a''<sub>44</sub> = 10. ]]
Trong [[toán học]], '''ma trận vuông''' là một ma trận có số hàng bằng số cột. Một ma trận ''n x n'' được biết đến như một ma trận vuông bậc <math>n</math>. Bất kỳ hai ma trận vuông có cùng một bậc có thể được cộng và nhân với nhau.

Ma trận vuông thường được sử dụng để biểu diễn [[Biến đổi tuyến tính|các phép biến đổi tuyến tính]] đơn giản, chẳng hạn như cắt hoặc xoay. Ví dụ, nếu <math>R</math> là một ma trận vuông biểu thị một phép quay ([[ma trận quay]]) và <math>v</math> là một [[Vectơ hàng và cột|vectơ cột]] mô tả [[Vị trí (vector)|vị trí]] của một điểm trong không gian, tích <math>Rv</math> là một vectơ cột khác mô tả vị trí của điểm đó sau phép quay đó. Nếu <math>v</math> là một [[Vectơ hàng và cột|vectơ hàng]], có thể thu được phép biến đổi tương tự bằng cách sử dụng <math>vR^{\mathsf T}</math>, với <math>R^{\mathsf T}</math> là [[ma trận chuyển vị]] của <math>R</math>.

== Các loại ma trận đặc biệt ==
:{| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Tên!! Ví dụ với ''n'' = 3
|-
| Ma trận chéo || style="text-align:center;" | <math>
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           0 & a_{22} & 0 \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
  </math>
|-
| Ma trận [[tam giác]] dưới || style="text-align:center;" | <math>
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           a_{21} & a_{22} & 0 \\
           a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
  </math>
|-
| Ma trận [[tam giác]] trên || style="text-align:center;" | <math>
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
           0 & a_{22} & a_{23} \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
  </math>
|}

=== Ma trận tam giác và ma trận đường chéo ===
Nếu mọi phần tử của '''A''' ở bên dưới đường chéo chính bằng 0, thì '''A''' được gọi là ''[[ma trận tam giác]] trên''. Tương tự, nếu mọi phần tử của ''A'' ở bên trên đường chéo chính bằng 0, thì '''A''' được gọi là ''ma trận tam giác dưới''. Nếu mọi phần tử nằm bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0, thì '''A''' được gọi là [[ma trận đường chéo]].

=== Ma trận đơn vị ===
[[Ma trận đơn vị]] '''I'''<sub>''n''</sub> có số chiều ''n'' là một ma trận ''n''x''n'' trong đó mọi phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và tất cả những phần tử khác đều bằng 0, ví dụ
:<math>
\mathbf{I}_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix},
\ \mathbf{I}_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix},
\ \ldots ,
\ \mathbf{I}_n = \begin{bmatrix}
     1 &      0 & \cdots & 0 \\
     0 &      1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
     0 &      0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
</math>
Nó là một ma trận vuông bậc ''n'', và cũng là trường hợp đặc biệt của ma trận đường chéo. Nó được gọi là ma trận đơn vị bởi vì khi thực hiện nhân một ma trận với nó thì vẫn thu được kết quả của chính ma trận đó: 
:{{nowrap begin}}'''AI'''<sub>''n''</sub> = '''I'''<sub>''m''</sub>'''A''' = '''A'''{{nowrap end}} với ma trận '''A''' bất kỳ ''m''x''n''.

Một bội số vô hướng khác không của ma trận đơn vị được gọi là ma trận ''vô hướng'' (''scalar'' matrix). Nếu các mục nhập ma trận đến từ một trường thì ma trận vô hướng tạo thành một nhóm, dưới phép nhân ma trận, là đẳng cấu với nhóm nhân các phần tử khác không của trường.

=== Ma trận đối xứng hoặc phản đối xứng ===
{{Main|Ma trận đối xứng}}
Ma trận vuông '''A''' bằng với ma trận chuyển vị của nó, tức là {{nowrap begin}}'''A''' = '''A'''<sup>T</sup>{{nowrap end}}, là [[ma trận đối xứng]]. Nếu '''A''' là bằng với phần trừ của chuyển vị của nó, i.e., {{nowrap begin}}'''A''' = −'''A'''<sup>T</sup>,{{nowrap end}} thì '''A''' được gọi là [[ma trận phản đối xứng]] (skew-symmetric matrix). Đối với ma trận phức, ma trận đối xứng thường được thay bằng khái niệm [[ma trận Hermite]], mà thỏa mãn '''A'''<sup>∗</sup> = '''A''', với dấu sao ký hiệu cho liên hợp của ma trận chuyển vị, tức là lấy chuyển vị của '''A''' sau đó lấy liên hợp phức các phần tử của ma trận chuyển vị.

Theo [[định lý phổ]] (spectral theorem), ma trận đối xứng phần tử thực và ma trận Hermite phần tử phức có một [[vectơ riêng|cơ sở riêng]]; nghĩa là mỗi vectơ có thể biểu diễn thành [[tổ hợp tuyến tính]] của các vectơ riêng. Trong cả hai trường hợp, mọi trị riêng của ma trận đều có giá trị thực.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 2.5.6 }}</ref> Định lý này có thể tổng quát hóa cho trường hợp ma trận vô hạn chiều, xem [[#Ma trận vô hạn|bên dưới]].

=== Ma trận khả nghịch và nghịch đảo của nó ===
{{Main|Ma trận khả nghịch}}
Ma trận vuông '''A''' gọi là ''[[ma trận khả nghịch|khả nghịch]]'' hay ''không suy biến'' nếu tồn tại một ma trận '''B''' sao cho
: '''AB''' = '''BA''' = '''I'''<sub>''n''</sub>.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition I.2.28 }}</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition I.5.13 }}</ref>
Nếu '''B''' tồn tại, thì nó là duy nhất và được gọi là ''[[ma trận nghịch đảo]]'' của '''A''', ký hiệu bằng '''A'''<sup>−1</sup>.

Ma trận nghịch đảo có những tính chất sau:

:('''A'''<sup>-1</sup>)<sup>-1</sup> = '''A'''
:('''AB''')<sup>-1</sup> = '''B'''<sup>-1</sup>'''A'''<sup>-1</sup>
:('''A'''<sup>T</sup>)<sup>-1</sup> = ('''A'''<sup>-1</sup>)<sup>T</sup>

=== Ma trận xác định ===
{| class="wikitable" style="float:right; text-align:center; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Ma trận xác định dương!! Ma trận không xác định
|-
| <math> \begin{bmatrix}
         1/4 & 0 \\
         0 & 1 \\
     \end{bmatrix} </math>
| <math> \begin{bmatrix}
         1/4 & 0 \\
         0 & -1/4 
     \end{bmatrix} </math>
|-
| ''Q''(''x'',''y'') = 1/4 ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> 
| ''Q''(''x'',''y'') = 1/4 ''x''<sup>2</sup> − 1/4 ''y''<sup>2</sup>
|-
| [[Tập tin:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg|150px]] <br>Các điểm sao cho ''Q''(''x'',''y'')=1 <br> ([[Elíp]]).
| [[Tập tin:Hyperbola2 SVG.svg|150px]] <br> Các điểm sao cho ''Q''(''x'',''y'')=1 <br> ([[Hyperbol]]).
|}
Ma trận đối xứng ''n''×''n'' được gọi là ''[[ma trận xác định dương|xác định dương]]'' (tương ứng xác định âm; không xác định), nếu với mọi vectơ khác 0 '''x'''&nbsp;∈&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> [[dạng toàn phương]] xác định bởi
:<cite id="quadratic_forms">''Q''('''x''') = '''x'''<sup>T</sup>'''Ax'''</cite>
chỉ nhận các giá trị dương (tương ứng chỉ nhận các giá trị âm; nhận cả giá trị âm và giá trị dương).<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Chapter 7 }}</ref> Nếu dạng toàn phương chỉ nhận giá trị không âm (tương ứng chỉ nhận giá trị không dương), ma trận đối xứng được gọi là bán xác định dương (tương ứng bán xác định âm); và ma trận không xác định chính xác khi nó không là ma trận bán xác định dương hoặc ma trận bán xác định âm.

Ma trận đối xứng là xác định dương nếu và chỉ nếu mọi trị riêng của nó có giá trị dương, hay ma trận là bán xác định dương và khả nghịch.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 7.2.1 }}</ref> Bảng bên phải chỉ ra hai khả năng cho ma trận 2x2.

Ma trận xác định '''A''' cho phép thu được [[dạng song tuyến tính]] khi nó kết hợp hai vectơ khác nhau:
:''B''<sub>'''A'''</sub> ('''x''', '''y''') = '''x'''<sup>T</sup>'''Ay'''.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Example 4.0.6, p. 169 }}</ref>

=== Ma trận trực giao ===
''Ma trận trực giao'' là ma trận vuông với các phần tử [[số thực|thực]] sao cho các cột và hàng là những [[vectơ đơn vị]] [[trực giao]] (nghĩa là vectơ [[trực chuẩn]]). Hay nói tương đương, ma trận ''A'' trực giao nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị của nó bằng ma trận nghịch đảo của nó:
:<math>\mathbf{A}^\mathrm{T}=\mathbf{A}^{-1}, \,</math>
mà
:<math>\mathbf{A}^\mathrm{T} \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{A}^\mathrm{T} = \mathbf{I}_n,</math>
với '''I'''{{sub|''n''}} là ma trận đơn vị.

Ma trận trực giao '''A''' cần thiết phải khả nghịch (do định nghĩa {{nowrap|1='''A'''{{sup|&minus;1}} = '''A'''{{sup|T}}}}), [[ma trận unita|unita]] ({{nowrap|1='''A'''{{sup|&minus;1}} = '''A'''*}}), và [[ma trận chuẩn tắc|chuẩn tắc]] ({{nowrap|1='''A'''*'''A''' = '''AA'''*}}). [[Định thức]] của ma trận trực giao bất kỳ luôn bằng {{math|+1}} hoặc {{math|−1}}. ''Ma trận trực giao đặc biệt'' là ma trận có định thức bằng {{math|+1}}. Đối với một biến đổi tuyến tính, mỗi ma trận trực giao với định thức bằng {{math|+1}} là một [[Phép quay (toán học)|phép quay]] thuần túy không có phản chiếu, tức là, phép biến đổi bảo toàn định hướng của cấu trúc đã biến đổi, trong khi mỗi ma trận trực giao có định thức bằng {{math|-1}} là phép phản xạ thuần túy hoặc là tổ hợp của phép phản xạ và phép quay. Ma trận đơn vị có định thức bằng {{math|1}} và là phép quay thuần túy theo một góc bằng 0.

Tương tự [[số phức]] của ma trận trực giao là một [[ma trận unita]].

== Các tính toán chủ yếu ==

=== Vết ===
{{Main|Vết (đại số tuyến tính)}}
[[Vết (đại số tuyến tính)|Vết của ma trận]], tr('''A''') của một ma trận vuông '''A''' là tổng các phần tử trên đường chéo chính của nó. Trong khi phép nhân ma trận không có tính giao hoán, thì vết của tích hai ma trận là độc lập với thứ tự nhân của hai ma trận: 
: tr('''AB''') = tr('''BA'''). 
Điều này có thể rút ngay ra được từ định nghĩa nhân hai ma trận:
:<math>\operatorname{tr}(\mathbf{AB}) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{ji} = \operatorname{tr}(\mathbf{BA}).</math>
Theo đó, vết của kết quả của nhiều hơn hai ma trận là độc lập với [[hoán vị vòng]] của các ma trận, tuy nhiên, điều này nói chung không áp dụng cho các hoán vị tùy ý (ví dụ trong thực tế, tr('''ABC''') ≠ tr('''BAC''')). Ngoài ra, vết của ma trận bằng vết của ma trận chuyển vị, hay
:{{nowrap begin}}tr('''A''') = tr('''A'''{{sup|T}}){{nowrap end}}.

=== Định thức ===
{{chính|Định thức}}
[[Tập tin:Determinant example.svg|nhỏ|300px|phải|Biến đổi tuyến tính trên '''R'''<sup>2</sup> cho bởi ma trận trong ngoặc. Định thức của ma trận này bằng −1, và ý nghĩa hình học của phép biến đổi tuyến tính này đó là diện tích của hình bình hành màu lục ở bên phải vẫn bằng 1, nhưng ánh xạ đã đảo hướng nó, do nó chuyển hướng theo chiều ngược kim đồng hồ của vectơ thành theo chiều kim đồng hồ.]]

''Định thức'' của ma trận vuông (ký hiệu là det('''A''') hay |'''A'''|) là một số chứa đựng những tính chất nhất định của ma trận này. Ma trận là khả nghịch [[nếu và chỉ nếu]] định thức của nó khác 0. [[Giá trị tuyệt đối]] của định thức ma trận trực giao bằng diện tích (trong '''R'''<sup>2</sup>) hoặc thể tích (trong '''R'''<sup>3</sup>) của ảnh của hình vuông đơn vị (hay hình lập phương đơn vị), trong khi dấu của nó tương ứng với hướng của ánh xạ tuyến tính tương ứng: định thức là dương nếu và chỉ nếu hướng được bảo toàn.

Định thức của ma trận 2 x 2 cho bởi công thức
:<math>\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.</math>
Định thức của ma trận 3 x 3 bao gồm 6 số hạng (hay [[quy tắc Sarrus]]). [[Công thức Leibniz cho định thức|Công thức Leibniz]] tổng quát hai công thức này cho mọi số chiều của ma trận.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.2.1 }}</ref>

Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức ma trận: 
:{{nowrap begin}}det('''AB''') = det('''A''') • det('''B''').<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.2.12 }}</ref>{{nowrap end}}

Khi cộng bội một số lần của một hàng bất kỳ vào một hàng khác, hoặc cộng bội một số lần của một cột bất kỳ vào một cột khác, sẽ không làm thay đổi định thức. Hoán vị hai hàng hoặc hai cột làm ảnh hưởng tới định thức bằng cách nhân nó với −1.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.2.16 }}</ref> Sử dụng những quy tắc này, ma trận vuông bất kỳ có thể chuyển thành một ma trận [[tam giác]] dưới (hoặc trên), mà đối với các ma trận [[tam giác]], định thức của nó bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính; phương pháp này mang lại một cách tính định thức của ma trận vuông bất kỳ.

Cuối cùng, [[khai triển Laplace]] biểu diễn định thức trong số hạng của các [[phần phụ đại số]], nghĩa là định thức của các ma trận nhỏ hơn.<ref>{{Harvard citations |last1=Mirsky |year=1990 |nb=yes |loc=Theorem 1.4.1 }}</ref> Khai triển này có thể dùng để đưa ra định nghĩa theo phương pháp đệ quy đối với định thức (mà bắt đầu bằng định thức của ma trận 1 x 1, mà nó có một phần tử duy nhất, hay thậm chí định thức của ma trận 0 x 0, định nghĩa bằng 1), mà có thể coi như tương đương với công thức Leibniz. Ứng dụng của định thức bao gồm việc giải hệ phương trình tuyến tính sử dụng [[quy tắc Cramer]], với thương của hai định thức của hai ma trận liên quan bằng giá trị của biến cần tìm trong hệ phương trình.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.3.18 }}</ref> Khai triển Laplace cho ma trận bất kỳ như sau:

:<math>|A|=\sum_{j=1}^n a_{i,j}|C_{i,j}|=\sum_{i=1}^n a_{i,j}|C_{i,j}|</math>    
::với <math>|C_{i,j}|=(-1)^{(i+j)}|M_{i,j}|</math>

==== Các tính chất của định thức: ====
:|'''A'''| = |'''A'''<sup>T</sup>|
: Đảo vị trí 2 dòng của ma trận sẽ làm định thức của ma trận đổi dấu
: Nhân một dòng của ma trận với n sẽ làm giá trị định thức tăng lên n lần
: Thay thế một dòng của ma trận bằng cách nhân một dòng khác của ma trận với n rồi cộng với dòng đó không làm thay đổi giá trị định thức
: Nếu một dòng của ma trận là tích của một dòng khác với n thì định thức của ma trận bằng 0

=== Ma trận nghịch đảo ===
Ma trận nghịch đảo '''A'''<sup>−1</sup> chỉ tồn tại khi và chỉ khi |'''A'''| ≠ 0. Công thức tính ma trận nghịch đảo như sau:

:<math>A^{-1}=\frac 1{|A|}adj A</math>

:: với <math>adj A = \begin{bmatrix}
         |C_{1,1}| & |C_{2,1}| & \cdots & |C_{n,1}| \\
         |C_{1,2}| & |C_{2,2}| & \cdots & |C_{n,2}| \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         |C_{1,n}| & |C_{2,n}| & \cdots & |C_{n,n}|
      \end{bmatrix}</math>

=== Vectơ riêng và giá trị riêng ===
{{chính|Giá trị riêng và vectơ riêng}}
Một số λ và một vectơ khác 0 '''v''' thỏa mãn
:<math>Av = \lambda v</math>
được gọi lần lượt là ''giá trị riêng'' và ''vectơ riêng'' của '''A'''.<ref>''Eigen'' có nghĩa là "riêng" trong [[tiếng Đức]] và [[tiếng Hà Lan]].</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.1 }}</ref> Số λ là một trị riêng của một ma trận ''n''×''n'' '''A''' nếu và chỉ nếu '''A'''−λ'''I'''<sub>''n''</sub> là không khả nghịch, mà tương đương với
:<math>\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) = 0.</math><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.9 }}</ref>
Đa thức ''p''<sub>'''A'''</sub> trong biến vô định (indeterminate variable) ''X'' cho bằng cách khai triển định thức det(''X'''''I'''<sub>''n''</sub>−'''A''') được gọi là [[Đa thức đặc trưng (đại số tuyến tính)|đa thức đặc trưng]] của '''A'''. Nó là một [[đa thức lồi]] (monic polynomial) có [[bậc của đa thức|bậc]] ''n''. Do vậy phương trình đa thức ''p''<sub>'''A'''</sub>(λ)&nbsp;=&nbsp;0 có nhiều nhất ''n'' nghiệm khác nhau, hay là các giá trị riêng của ma trận.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.4.10 }}</ref> Chúng có thể nhận giá trị phức ngay cả khi các phần tử trong '''A''' là thực. Theo [[định lý Cayley–Hamilton]], {{nowrap begin}}''p''<sub>'''A'''</sub>('''A''') = '''0'''{{nowrap end}}, tức là, kết quả của sự thay thế chính ma trận vào đa thức đặc trưng của chính nó sẽ thu được [[ma trận rỗng]].

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

[[Thể loại:Ma trận]]