Xem mã nguồn của Nón lồi

Trong [[đại số tuyến tính]], '''nón lồi''' là [[tập hợp con|tập con]] của một [[không gian vectơ|không gian vector]] mà [[kín]] đối với mọi [[tổ hợp tuyến tính]] với hệ số dương.
==Định nghĩa==
Giả sử ''V'' là một [[không gian vectơ|không gian vector]] trên trường ''K''.Tập con ''C'' của ''V'' được gọi là một '''nón lồi''' [[tương đương logic|nếu và chỉ nếu]] α''x'' + β''y'' thuộc ''C'', với mọi [[số vô hướng]]α, β thuộc trường ''K'' và với mọi ''x'', ''y'' thuộc ''C''.

Định nghĩa trên có thể viết gọn lại là α''C'' + β''C'' = ''C'' với mọi [[số vô hướng]]α, β thuộc trường ''K''.

Khái niệm trên thực ra chỉ có ý nghĩa với [[không gian vectơ|không gian vector]] nào chấp nhận khái niệm [[số vô hướng]] [[dương]], chẳng hạn như những không gian trên tập số hữu tỉ, đại số hay (thông dụng hơn) trên [[trường (đại số)|trường]] [[số thực]]

Theo định nghĩa nói trên thì [[tập hợp rỗng|tập rỗng]], toàn bộ không gian ''V'', [[không gian con]] [[tuyến tính]] của ''V'' (kể cả không gian con tầm thường '''[[null vector (vector space)|{0}]]''') đều là nón lồi. Các ví dụ khác về nón lồi: tập tất cả các vector sinh ra từ việc nhân một số dương tùy ý với một vector ''v'' cho trước của ''V'', hay tập các vector thuộc ''V'' mà có tất cả các tọa độ đều [[dương]].

Một ví dụ tổng quát hơn về nón lồi là tập các vector có dạng λ''x'' trong đó λ là một [[số vô hướng]] dương và ''x'' là một phần tử nằm trong một [[tập lồi]] con ''X'' của ''V''. Đặc biệt, nếu ''V'' là [[không gian vector định chuẩn]], và ''X'' là một [[quả cầu]] '''mở''' (hoặc '''đóng''') của ''V'' mà không chứa vector '''0''', thì phép xây dựng nói trên tạo ra tập gọi là '''nón tròn lồi mở''' (hoặc '''đóng''')

Nón lồi cũng [[kín]] đối với phép [[phép giao|giao]], nhưng điều này không chắc đúng đối với phép [[phép hợp|hợp]]. Nón lồi cũng [[kín]] đối với [[ánh xạ tuyến tính]]. Đặc biệt, nếu ''C'' là một nón lồi, phần nghịch của nó là -''C'' cũng là nón lồi, và ''C''<math>\cap</math>(-''C'') là không gian vector con lớn nhất thuộc ''C''.
===Nón lồi cũng là nón tuyến tính===
Nếu ''C'' là nón lồi, khi đó với bất kỳ số [[vô hướng]] dương α và bất kỳ ''x'' thuộc ''C'', ta có vector α''x'' = (α/2)''x'' + (α/2)''x'' cũng thuộc ''C''. (Điều này đúng ngay cả khi số vô hướng 2 = 1 + 1 đồng nhất bằng 0, vì trong trường hợp đó, chỉ có một số [[vô hướng]] [[dương]] duy nhất là 1.) Lý luận trên cho thấy nón lồi ''C'' là một trường hợp đặc biệt của [[nón tuyến tính]].

===Các định nghĩa khác===
Cũng từ tính chất vừa nêu ở trên, ta có thể định nghĩa nón lồi theo cách như sau: nón lồi là [[nón tuyến tính]] mà [[kín]] đối với phép [[tổ hợp lồi]]; hay chỉ cần [[kín]] với phép [[phép cộng|cộng]]. Một cách ngắn gọn, ta nói tập ''C'' là nón lồi nếu và chỉ nếu λ''C'' = ''C'' và ''C'' + ''C'' = ''C'' với mọi số [[vô hướng]] [[dương]] α của ''V''.

Cũng suy ra rằng người ta có thể thay phát biểu "các số [[vô hướng]] [[dương]] α, β" trong định nghĩa nón lồi bằng phát biểu "các số [[vô hướng]] [[không âm]] không đồng thời bằng zero α, β".

==Nón tù và nón nhọn==
Dựa vào định nghĩa ở trên, chúng ta suy ra rằng: nếu ''C'' là một nón lồi thì ''C''<math>\cup</math>>{'''0'''} và ''C''<math>\setminus</math>{'''0'''} cũng là nón lồi. Một nón lồi được gọi là '''nhọn''' hay '''tù''' tùy thuộc vào việc nó có chứa vector 0 hay không. Thật ra với định nghĩa về nón lồi ở trên, nếu chúng ta thay điều kiện "dương" bằng điều kiện "không âm" của α, β thì ta đã loại trừ nón lồi bù trong phạm vi định nghĩa.

==Nữa không gian==

==Nón lồi nhô và các nữa không gian hoàn hảo==

==Mặt cắt và hình chiếu của một tập lồi==

===Mặt cắt phẳng===

===Mặt cắt cầu===

==Luật sắp thứ tự từng phần dựa vào một nón lồi==

==Nón lồi đúng==

==Các ví dụ về nón lồi==

==Xem thêm==

==Tham khảo==
{{tham khảo}}
{{chú thích sách
|tác giả = David Luenberger
|đồng tác giả = Yin-yu Ye
|tựa đề = Linear and Non-linear Programming
|nhà xuất bản = Springer
|bản thứ = 4
}}

[[Thể loại:Giải tích lồi]]
[[Thể loại:Hình học]]
[[Thể loại:Đại số tuyến tính]]