Xem mã nguồn của Nhóm con

{{Thanh bên lý thuyết nhóm}}
Trong [[lý thuyết nhóm]], một tập con của một nhóm có thể là một nhóm hoặc không.
Trong trường hợp nó là một nhóm, nó được gọi là '''nhóm con''' của G.

== Định nghĩa ==
{{TOCright}}
Cho một [[nhóm (đại số)|nhóm]] ''G'' với [[phép toán hai ngôi]] *, và tập con ''H'' của ''G''. ''H'' được gọi là '''nhóm con''' của ''G'' nếu chính ''H'' là một nhóm với phép toán * của ''G''.

== Các điều kiện tương đương ==
Cho tập con ''H'' của nhóm ''G''. Các mệnh đề sau là tương đương:
# ''H'' là nhóm con của ''G'';
# Với mọi ''a'', ''b'' <math>\in</math> ''H'' ta có <math>a*b \in H</math> và <math>a^{-1} \in H</math>; 
# Với mọi ''a'', ''b'' <math>\in</math> ''H'' ta có <math>a*b^{-1} \in H</math>;

== Các nhóm con đặc biệt ==
* Cho ''G'' là một nhóm với phép toán * và phần tử đơn vị 1.
# Chính ''G'' là một nhóm con của ''G''
# Tập con gồm một phần tử đơn vị {''1''} của ''G'' là một nhóm con của ''G'' (gọi là nhóm con tầm thường).
# Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của ''G'' là một nhóm con của ''G''.
# Nếu a <math>\in</math> ''G'' thì tập H các phần tử là luỹ thừa của phần tử a
:::H=<math>\left \{a^n | n \in \mathbb Z \right \}</math>
:là một nhóm con của ''G''.

=== Nhóm con sinh bởi một tập con ===
* Cho A là tập con của ''G''. Nhóm con nhỏ nhất ''H'' của ''G'' chứa ''A'' được gọi là nhóm con sinh bởi ''A''. Nếu ''H''=''G'' ta nói ''A'' là tập sinh của ''G''. 
* Nếu nhóm ''G'' sinh bởi một tập con có một phần tử {''a''} thì ''G'' được gọi là nhóm ''cyclic'', phần tử ''a'' được gọi là phần tử sinh của ''G''
Các [[nhóm cyclic]] hữu hạn có nhiều ứng dụng trong [[mật mã học|lý thuyết mật mã]].

==== Các ví dụ ====
* Xét tập các số nguyên <math>\mathbb Z</math> như một nhóm với phép cộng.
# Nhóm con sinh bởi tập hợp gồm một số nguyên ''k'' là {x.k | x <math>\in \mathbb Z</math> }
# Nhóm con sinh bởi tập m số nguyên <math>\left \{k_1,k_2,...,k_m \right \}</math>
là tập <math>\left \{k_1 \cdot x_1+ k_2 \cdot x_2+...+k_m \cdot x_m \right \}</math>
* Xét nhóm cộng theo modulo 6 các số tự nhiên nhỏ hơn 6.
: <math>{\mathbb Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}</math>
Ta có các nhóm con sinh bởi các phần tử 2,3 là:
:<math>\left \langle \;2\; \right \rangle</math>= <math>\{0,\; 2 \;, 4 \}</math>
:<math>\left \langle \;3\; \right \rangle</math>= <math>\{0,\; 3 \;\}</math>
* Xét tập các số tự nhiên nhỏ hơn 12 và nguyên tố với 12:
::<math>{\mathbb Z}_{12}^*</math>={ 1, 5, 7, 11} 
:với phép nhân modulo 12. Ta có bảng nhân sau:
<center>
{|class="prettytable"
|*||'''1'''||'''5'''||'''7'''||'''11'''
|-
|'''1'''||''1''||''5''||''7''||''11''
|-
|'''5'''||''5''||''1''||''11''||''7''
|-
|'''7'''||''7''||''11''||''1''||''5''
|-
|'''11'''||''11''||''7''||''5''||''1''
|}
</center>
:Ta có các nhóm con của nhóm nhân <math>{\mathbb Z}_{12}^*</math> sau:
# Nhóm con { 1} sinh bởi phần tử 1
# Nhóm con { 1, 5} sinh bởi phần tử 5
# Nhóm con { 1, 7} sinh bởi phần tử 7
# Nhóm con { 1, 11} sinh bởi phần tử 11
# Các nhóm con chứa nhiều hơn một phần tử khác 1 đều trùng với chính <math>{\mathbb Z}_{12}^*</math>

=== Nhóm con chuẩn tắc ===
Cho ''H'' là một nhóm con của ''G''.

Ký hiệu ''xH'' là tập con của ''G'' gồm các phần tử dạng ''x.h'' trong đó ''x'' <math>\in</math> ''G'' và ''h'' <math>\in</math> ''H''. ''xH'' được gọi là lớp trái của ''H''.

Tương tự Ký hiệu ''Hx'' là tập con của ''G'' gồm các phần tử dạng ''h.x'' trong đó ''x'' <math>\in</math> ''G'' và ''h'' <math>\in</math> ''H''. ''Hx'' được gọi là lớp phải của ''H''.

'''Định lý'''
# Các lớp ''xH'', ''x'' <math>\in</math> ''G'' tạo thành một phân hoạch của tập ''G'';
# Các lớp ''Hx'', ''x'' <math>\in</math> ''G'' tạo thành một phân hoạch của tập ''G'';
# ''Hx''=''xH'' với mọi ''x''<math>\in</math>''G'' khi và chỉ khi <math>x^{-1}.h.x \in H</math> với mọi ''x''<math>\in</math>''G'' và mọi ''h'' <math>\in</math> ''H''.
'''Định nghĩa'''

Nhóm con ''H'' của ''G'' được gọi là '''nhóm con chuẩn tắc''' của ''G'' nếu ''Hx''=''xH'' với mọi ''x''<math>\in</math>''G'', hay tương đương <math>x^{-1}.h.x \in H</math> với mọi ''x''<math>\in</math>''G'' và mọi ''h'' <math>\in</math> ''H''.

==== Ví dụ ====
# Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc.
# Xét nhóm các phép thế S<sub>3</sub> của ba số tự nhiên dương đầu tiên 1, 2, 3. S<sub>3</sub> gồm 6 phép thế sau:
<center>
{|
|<math>{\sigma}_1=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3 \end{pmatrix}=e</math>;
||<math>{\sigma}_2=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}</math>;
||<math>{\sigma}_3=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\3&1&2\end{pmatrix}</math>;
|-
|<math>{\sigma}_4=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}</math>;
||<math>{\sigma}_5=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}</math>;
||<math>{\sigma}_6=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}</math>
|}
</center>
Ta có bảng nhân của <math>S_3</math> 
<center>
{|border="1"
|*||'''<math>\sigma_1</math>'''
||'''<math> \sigma_2</math>'''
||'''<math>\sigma_3</math>'''
||'''<math>\sigma_4</math>'''
||'''<math> \sigma_5</math>'''
||'''<math> \sigma_6</math>'''
|-
|bgcolor="#H00C0FFC0"|'''<math> \sigma_1</math>'''||<math> \sigma_1</math>||<math> \sigma_2</math>||<math> \sigma_3</math>||<math> \sigma_4</math>||<math> \sigma_5</math>||<math> \sigma_6</math>
|-
|bgcolor="#H00C0FFC0"|'''<math> \sigma_2</math>'''||<math> \sigma_2</math>||<math> \sigma_3</math>||<math> \sigma_1</math>||<math> \sigma_6</math>||<math> \sigma_4</math>||<math> \sigma_5</math>
|-
|bgcolor="#H00C0FFC0"|'''<math> \sigma_3</math>'''||<math> \sigma_3</math>||<math> \sigma_1</math>||<math> \sigma_2</math>||<math> \sigma_5</math>||<math> \sigma_6</math>||<math> \sigma_4</math>
|-
|bgcolor="#H00C0FFC0"|'''<math> \sigma_4</math>'''||<math> \sigma_4</math>||<math> \sigma_5</math>||<math> \sigma_6</math>||<math> \sigma_1</math>||<math> \sigma_2</math>||<math> \sigma_3</math>
|-
|bgcolor="#H00C0FFC0"|'''<math> \sigma_5</math>'''||<math> \sigma_5</math>||<math> \sigma_6</math>||<math> \sigma_4</math>||<math> \sigma_3</math>||<math> \sigma_1</math>||<math> \sigma_2</math>
|-
|bgcolor="#H00C0FFC0"|'''<math> \sigma_6</math>'''||<math> \sigma_6</math>||<math> \sigma_4</math>||<math> \sigma_5</math>||<math> \sigma_2</math>||<math> \sigma_3</math>||<math> \sigma_1</math>
|}
</center>

Có thể kiểm tra 
# Nhóm con của <math>S_3</math> sinh bởi <math>\sigma_2</math> gồm e, <math> \sigma_2,\sigma_3</math>;
# Nhóm con của <math>S_3</math> sinh bởi <math>\sigma_3</math> gồm e, <math>\sigma_2, \sigma_3</math>;
# Nhóm con của <math>S_3</math> sinh bởi <math>\sigma_4</math> gồm e, <math>\sigma_4</math>;
# Nhóm con của <math>S_3</math> sinh bởi <math>\sigma_5</math> gồm e, <math>\sigma_5</math>;
# Nhóm con của <math>S_3</math> sinh bởi <math>\sigma_6</math> gồm e, <math>\sigma_6</math>

== Xem thêm ==
* [[Nhóm (đại số)|Nhóm]]
* [[Lý thuyết nhóm]]

==Tham khảo==
{{tham khảo}}
{{Group navbox}}

[[Thể loại:Lý thuyết nhóm]]