Xem mã nguồn của Nhóm trực giao

{{Group theory sidebar|Topological}}Trong [[toán học]], '''nhóm trực giao''' với số chiều <math>n</math>, được ký hiệu là <math>\operatorname{O}(n)</math>, là [[Nhóm (toán học)|nhóm]] gồm các [[Phép đẳng cự|phép biến đổi bảo toàn khoảng cách]] trong một [[không gian Euclid]] <math>n</math> chiều bảo toàn một điểm cố định, với phép toán nhóm được cho bởi [[Hàm hợp|phép hợp ánh xạ]]. Một định nghĩa tương đương, đó là nhóm các [[ma trận trực giao]] kích cỡ <math>n\times n</math>, và phép toán nhóm được cho bởi [[phép nhân ma trận]] (một ma trận trực giao là một [[Ma trận (toán học)|ma trận thực]] mà [[Ma trận khả nghịch|nghịch đảo]] của nó cũng là [[Ma trận chuyển vị|chuyển vị]]). Nhóm trực giao đôi khi cũng được gọi là '''nhóm trực giao tổng quát''', cách gọi này tương tự với [[nhóm tuyến tính tổng quát]]. Nhóm trực giao là một [[nhóm đại số]], [[nhóm Lie]] và [[Nhóm compact|compact]].

Nhóm trực giao với số chiều <math>n</math> gồm hai thành phần là các [[Tập hợp liên thông|tập liên thông]], trong đó tập hợp chứa [[phần tử đơn vị]] là một [[nhóm con chuẩn tắc]], được gọi là '''nhóm trực giao đặc biệt''', và được ký hiệu là <math>\operatorname{SO}(n)</math>. Nó gồm tất cả các ma trận trực giao với [[định thức]] bằng 1. Nhóm này còn được gọi là '''nhóm quay''', tổng quát hóa cho điều rằng số chiều 2 và 3, các phần tử của nó là các [[phép quay]] quanh một điểm cố định (đối với 2 chiều) hoặc quanh một đường thẳng (đối với 3 chiều). Trong các số chiều thấp, những nhóm này đã được nghiên cứu rộng rãi, bao gồm {{math|[[SO(2)]]}}, {{math|[[SO(3)]]}} và {{math|[[SO(4)]]}}. Tập hợp còn lại chứa các ma trận trực giao có định thức bằng {{math|–1}}. Thành phần này không lập thành một nhóm, bởi tích của hai phần tử bất kỳ của nó sẽ có định thức bằng 1, và do đó không phải là một phần tử của tập hợp này.

Một cách mở rộng, đối với một trường bất kỳ <math>F</math>, một ma trận <math>n\times n</math> với các phần tử trong <math>F</math> sao cho nghịch đảo của nó bằng chuyển vị được gọi là một ''ma trận trực giao trên trường'' <math>F</math>. Các ma trận trực giao <math>n\times n</math> lập thành một nhóm con, được ký hiệu là <math>\operatorname{O}(n,F)</math>, thuộc [[nhóm tuyến tính tổng quát]] <math>\operatorname{GL}(n,F)</math>; tức là<math display="block">\operatorname{O}(n, F) = \left\{Q \in \operatorname{GL}(n, F) \mid Q^\mathsf{T} Q = Q Q^\mathsf{T} = I \right\} .</math>Khái quát hơn, cho một [[dạng song tuyến tính đối xứng]] không suy biến hay một [[dạng toàn phương]]<ref>For base fields of [[Characteristic (algebra)|characteristic]] not 2, the definition in terms of a [[symmetric bilinear form]] is equivalent to that in terms of a [[quadratic form]], but in characteristic 2 these notions differ.</ref> trên một [[không gian vectơ]] trên một [[Trường (đại số)|trường]], ''nhóm trực giao của dạng'' là một nhóm các [[Biến đổi tuyến tính|ánh xạ tuyến tính]] khả nghịch bảo toàn dạng. Nhóm trực giao trước là trường hợp đặc biệt mà trong đó, trên một số cơ sở, dạng song tuyến tính là [[tích vô hướng]], hay một cách tương đương, dạng toàn phương là tổng bình phương của các tọa độ.

Tất cả các nhóm trực giao đều là [[nhóm đại số]], bởi vì điều kiện bảo toàn một dạng có thể được biểu diễn bằng một đẳng thức giữa các ma trận.

== Tên gọi ==
Tên gọi "nhóm [[trực giao]]" (''orthogonal group'') bắt nguồn từ tính chất sau đây của các phần tử của nó. Cho một [[không gian vectơ Euclid]] <math>E</math> với [[Chiều (không gian vectơ)|số chiều]] <math>n</math>, các phần tử của nhóm trực giao <math>\operatorname{O}(n)</math> là [[Quan hệ tương đương|tương đương]] dưới phép phóng tỉ lệ đồng nhất ([[phép vị tự]]), các [[ánh xạ tuyến tính]] từ <math>E</math> vào chính <math>E</math> trong đó ảnh của các [[Không gian tích trong|vectơ trực giao]] cũng là các vectơ trực giao.

== Trong hình học Euclid ==
Nhóm trực giao <math>\operatorname{O}(n)</math> là nhóm con của [[nhóm tuyến tính tổng quát]] <math>\operatorname{GL}(n,\R)</math>, và bao gồm tất cả các [[Tự đồng cấu tuyến tính|tự đồng cấu]] bảo toàn [[chuẩn Euclid]]; tức là các tự đồng cấu <math>g</math> sao cho <math>\|g(x)\| = \|x\|.</math>

Cho <math>\operatorname{E}(n)</math> là nhóm các [[phép đẳng cự]] Euclid của một [[không gian Euclid]] <math>S</math> với số chiều <math>n</math>. Nhóm này không phụ thuộc vào cách chọn một không gian cụ thể, bởi mọi không gian Euclid cùng số chiều là [[đẳng cấu]]. [[Tác động nhóm|Nhóm con ổn định hóa]] của một điểm <math>x\in S</math> là nhóm con của các phần tử <math>g\in\operatorname{E}(n)</math> sao cho <math>g(x)=x</math>. Nhóm ổn định hóa này đẳng cấu với <math>\operatorname{O}(n)</math>, do sự lựa chọn một điểm làm gốc định ra một đẳng cấu giữa không gian vectơ Euclid và không gian vectơ Euclid tương ứng với nó.

Tồn tại một [[đồng cấu nhóm]] tự nhiên <math>p</math> từ <math>\operatorname{E}(n)</math> vào <math>\operatorname{O}(n)</math>, được xác định bởi:

: <math>p(g)(y-x) = g(y)-g(x),</math>

trong đó, như bình thường phép trừ giữa hai điểm thể hiện vectơ tịnh tiến ánh xạ điểm thứ hai vào điểm thứ nhất. Đây là một đồng cấu xác định tốt, bởi dễ dàng kiểm chứng được rằng nếu hai cặp điểm có cùng hiệu thì điều này cũng đúng với ảnh của chúng qua <math>g</math> (xem thêm [[không gian afin]] và các [[tiên đề Weyl]]).

[[Hạt nhân (đại số tuyến tính)|Hạt nhân]] của <math>p</math> là không gian vectơ của các phép tịnh tiến. Do đó, phép tịnh tiến lập thành một [[nhóm con chuẩn tắc]] của <math>\operatorname{E}(n)</math>, ổn định hóa của hai điểm là [[Nhóm con liên hợp|liên hợp]] dưới tác động của phép tịnh tiến, và tất cả ổn định hóa đều đẳng cấu với <math>\operatorname{O}(n)</math>.

Hơn nữa, nhóm Euclid là một [[tích nửa trực tiếp]] của <math>\operatorname{O}(n)</math> và nhóm các phép tịnh tiến. Từ điều này suy ra rằng việc nghiên cứu nhóm Euclid được đơn giản hóa chủ yếu về nghiên cứu nhóm <math>\operatorname{O}(n)</math>.

=== Nhóm trực giao đặc biệt ===
Bằng cách chọn một [[cơ sở trực chuẩn]] của một không gian vectơ Euclid, nhóm trực giao có thể được đồng nhất (dưới phép nhân ma trận) với nhóm các [[ma trận trực giao]], tức là các ma trận sao cho

: <math> Q Q^\mathsf{T} = I. </math>

Từ phương trình này có thể suy ra rằng bình phương [[định thức]] của {{mvar|Q}} bằng {{math|1}}, và do đó định thức của {{mvar|Q}} là {{math|1}} hoặc {{math|–1}}. Các ma trận trực giao có định thức bằng {{math|1}} lập thành một nhóm con được gọi là ''nhóm trực giao đặc biệt'', ký hiệu là {{math|SO(''n'')}}, bao gồm tất cả phép [[Nhóm Euclid|đẳng cự trực tiếp]] của {{math|O(''n'')}}, tức là các nhóm bảo toàn định hướng không gian.

Nhóm {{math|SO(2)}} là [[nhóm Abel]] hay [[Tính giao hoán|giao hoán]], nhưng điều này không đúng với các nhóm {{math|SO(''n'')}} với mọi {{math|''n'' > 2}}. Các nhóm con hữu hạn của {{math|SO(2)}} là [[nhóm cyclic]] {{math|''C''<sub>''k''</sub>}} của các [[Đối xứng quay|đối xứng quay bậc {{math|''k''}}]], với mỗi số nguyên dương {{mvar|k}}. Tất cả những nhóm này đều là những nhóm chuẩn tắc của {{math|O(2)}} và {{math|SO(2)}}.

=== Dạng chuẩn tắc ===
Với một phần tử bất kỳ của {{math|O(''n'')}} tồn tại một cơ sở trực giao, trong đó ma trận của nó có dạng

: <math>\begin{bmatrix}
  \begin{matrix}
    R_1 &        & \\
        & \ddots & \\
        &        & R_k
  \end{matrix} & 0 \\
  0 & \begin{matrix}
    \pm 1 &        & \\
          & \ddots & \\
          &        & \pm 1
  \end{matrix}\\
\end{bmatrix},</math>

ở đây các ma trận {{math|''R''<sub>1</sub>, ..., ''R''<sub>''k''</sub>}} đều là các [[ma trận quay]] 2×2, tức là các ma trận có dạng

: <math>\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix},</math>

với <math>a^2+b^2=1.</math>

Điều này được suy ra từ [[định lý phổ]] bằng cách nhóm các cặp [[giá trị riêng]] là [[liên hợp phức]], và chú ý rằng trị tuyệt đối của các giá trị riêng của một ma trận trực giao đều bằng 1.

Một phần tử thuộc {{math|SO(''n'')}} khi và chỉ khi có một số chẵn các số {{math|–1}} trên [[đường chéo chính]].

Trường hợp đặc biệt với {{math|1=''n'' = 3}} được biết với [[định lý quay Euler]], khẳng định rằng mọi phần tử khác đơn vị của {{math|SO(3)}} là một sự quay với một góc quanh một trục đơn nhất.

=== Phép phản xạ ===
[[Phép phản xạ]] là những phần tử của {{math|O(''n'')}} có dạng chuẩn tắc là

: <math>\begin{bmatrix}-1&0\\0&I\end{bmatrix},</math>

trong đó {{mvar|I}} là ma trận đơn vị {{math|(''n''–1)×(''n''–1)}}, và các số 0 thể hiện các hàng hoặc các cột ma trận zero. Nói cách khác, một phép phản xạ là một phép biến hình biến đổi không gian thành [[Ảnh phản chiếu|ảnh gương]] của nó qua một [[siêu phẳng]] nào đó.

Trong không gian hai chiều, mỗi phép quay là tích của hai phép phản xạ. Nói chính xác hơn, một phép quay với góc ''θ'' là tích của hai phép phản xạ trong đó các trục tạo một góc ''θ''/2.

Mỗi phần tử của {{math|O(''n'')}} là tích của tối đa {{mvar|n}} phép phản xạ. Điều này được suy ra ngay từ dạng chuẩn tắc trên và trường hợp số chiều 2.

[[Định lý Cartan–Dieudonné]] là tổng quát hóa của kết quả này cho nhóm trực giao của một dạng toàn phương không suy biến trên một trường có [[đặc số]] khác 2.

Phép [[đối xứng tâm]] qua gốc tọa độ (ánh xạ {{math|''v'' ↦ −''v''}}) là một ví dụ của một phần tử trong {{math|O(''n'')}} không là một tích của ít hơn {{mvar|n}} phép phản xạ.

=== Nhóm đối xứng của mặt cầu ===
Nhóm trực giao {{math|O(''n'')}} là [[nhóm đối xứng]] của [[N-mặt cầu|{{math|(''n'' − 1)}}-mặt cầu]] (với không gian chiều {{math|1=''n'' = 3}}, đây chỉ là [[mặt cầu]]) và mọi đối tượng với đối xứng cầu, nếu gốc tọa độ được chọn làm tâm. [[Nhóm đối xứng]] của một [[đường tròn]] là {{math|O(2)}}.<!--
[[Dihedral group|Dih]]('''S'''<sup>1</sup>), where '''S'''<sup>1</sup> denotes the multiplicative group of [[complex number]]s of [[absolute value]]&nbsp;1.
--> Nhóm con bảo toàn định hướng {{math|SO(2)}} là đẳng cấu (dưới dạng nhóm Lie ''thực'') với [[nhóm đường tròn]], còn được ký hiệu là {{math|[[nhóm unita|U]](1)}}, tức là nhóm nhân của các [[số phức]] với trị tuyệt đối bằng 1. Đẳng cấu này ánh xạ số phức {{math|1=exp(''φ'' ''i'') = cos(''φ'') + ''i'' sin(''φ'')}} với [[Giá trị tuyệt đối|trị tuyệt đối]]&nbsp;{{math|1}} tới ma trận trực giao đặc biệt

: <math>\begin{bmatrix}
  \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\
  \sin(\varphi) &  \cos(\varphi)
\end{bmatrix}.</math>

Trong số chiều cao hơn, {{math|O(''n'')}} có một cấu trúc phức tạp hơn (chẳng hạn, nó không còn giao hoán). Các cấu trúc [[tô pô]] của {{mvar|n}}-mặt cầu và {{math|O(''n'')}} có liên hệ chặt chẽ, và sự liên hệ này được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu cả hai [[không gian tô pô]] nói trên.

== Cấu trúc nhóm ==
Các nhóm {{math|O(''n'')}} và {{math|SO(''n'')}} là các [[nhóm Lie]] [[compact]] thực với [[Chiều|số chiều]] {{math|''n''(''n'' − 1)/2}}. Nhóm {{math|O(''n'')}} có hai [[Tập hợp liên thông|thành phần liên thông]], với {{math|SO(''n'')}} là [[thành phần đơn vị]], tức là thành phần liên thông chứa [[ma trận đơn vị]].

=== Nhóm đại số ===
Nhóm trực giao {{math|O(''n'')}} có thể được đồng nhất với nhóm các ma trận {{mvar|A}} sao cho  <math>A^\mathsf{T}A = I.</math> Do cả hai vế của phương trình này đều là các [[ma trận đối xứng]], điều này dẫn đến <math>\textstyle \frac {n(n + 1)}2</math> phương trình mà các hệ số của một ma trận trực giao phải thỏa mãn, và không phải tất cả chúng đều được thỏa mãn bởi các hệ số của một ma trận không trực giao bất kỳ.

Điều này chứng tỏ rằng {{math|O(''n'')}} là một [[Đa tạp đại số|tập đại số]]. Hơn nữa, có thể chứng minh được rằng{{cn|date=July 2022}} số chiều của nó là

: <math>\frac{n(n - 1)}{2} = n^2 - \frac{n(n + 1)}{2},</math>

điều này dẫn đến rằng {{math|O(''n'')}} là một [[phần giao hoàn chỉnh]], tức là mọi [[thành phần bất khả quy]] của nó đều có cùng số chiều, và nó không có [[thành phần nhúng]]. Thật vậy, {{math|O(''n'')}} có hai thành phần bất khả quy được phân biệt bởi dấu của định thức (tức là {{math|1=det(''A'') = 1}} hoặc {{math|1=det(''A'') = –1}}). Cả hai đều là [[Điểm suy biến của một đa tạp đại số|đa tạp đại số không suy biến]] với cùng số chiều {{math|''n''(''n'' – 1) / 2}}. Thành phần với {{math|1=det(''A'') = 1}} là {{math|SO(''n'')}}.

== Trích dẫn ==
{{Reflist}}

== Tham khảo ==
{{refbegin}}
* {{citation|last=Cassels|first=J.W.S.|title=Rational Quadratic Forms|volume=13|year=1978|series=London Mathematical Society Monographs|publisher=[[Academic Press]]|isbn=0-12-163260-1|zbl=0395.10029|author-link=J. W. S. Cassels}}
* {{Citation|last1=Grove|first1=Larry C.|title=Classical groups and geometric algebra|volume=39|year=2002|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|location=Providence, R.I.|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=978-0-8218-2019-3|mr=1859189}}
* {{Citation|last=Hall|first=Brian C.|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|volume=222|year=2015|series=Graduate Texts in Mathematics|edition=2nd|publisher=Springer|isbn=978-3319134666}}
* {{Citation|last1=Taylor|first1=Donald E.|title=The Geometry of the Classical Groups|volume=9|year=1992|series=Sigma Series in Pure Mathematics|location=Berlin|publisher=Heldermann Verlag|isbn=3-88538-009-9|mr=1189139|zbl=0767.20001}}
{{refend}}

== Liên kết ngoài ==

* {{springer|title=Orthogonal group|id=p/o070300}}
* [http://math.ucr.edu/home/baez/week105.html John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105]
* [http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node10.html John Baez on Octonions]
* {{in lang|it}} [http://ansi.altervista.org n-dimensional Special Orthogonal Group parametrization]

[[Thể loại:Nhóm Lie]]
[[Thể loại:Dạng toàn phương]]
[[Thể loại:Đối xứng Euclide]]
[[Thể loại:Nhóm tuyến tính đại số]]