Xem mã nguồn của Phép hợp

[[Tập tin:Venn A union B.png|250px|phải|nhỏ|Hợp của ''A'' và ''B'']]
Cho ''A'' và ''B'' là các [[tập hợp]], khi đó '''hợp''' (cũng được gọi là '''hội''' hay '''union''') của ''A'' và ''B'' là tập gồm tất cả các [[Phần tử (toán học)|phần tử]] ''A'' và các phần tử của ''B'', và không chứa phần tử nào khác. Hợp của ''A'' và ''B'' được viết là "''A'' ∪'' B''".<ref>Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 11</ref> Hợp là khi chúng ta ''gộp'' 2 tập hợp lại với nhau.

== Hợp của hai tập hợp ==
Hợp của hai tập hợp ''A'' và ''B'' là tập các phần tử vừa thuộc ''A'', vừa thuộc ''B'', hoặc thuộc cả hai ''A'' và ''B''.<ref name=":3">{{chú thích web |title=Set Operations {{!}} Union {{!}} Intersection {{!}} Complement {{!}} Difference {{!}} Mutually Exclusive {{!}} Partitions {{!}} De Morgan's Law {{!}} Distributive Law {{!}} Cartesian Product |url=https://www.probabilitycourse.com/chapter1/1_2_2_set_operations.php |access-date=2020-09-05 |website=Probability Course}}</ref>  Sử dụng [[ký pháp xây dựng tập hợp]],

:<math>A  \cup B = \{ x: x \in A \text{  hoặc  } x \in B\}</math>.<ref name=":0">{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=LBvpfEMhurwC|title=Basic Set Theory|last=Vereshchagin|first=Nikolai Konstantinovich|last2=Shen|first2=Alexander|date=2002-01-01|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=9780821827314|language=en}}</ref>

Lấy ví dụ, nếu ''A'' = {1, 2, 3, 4} và ''B'' = {1, 2, 4, 6, 7} thì ''A'' ∪ ''B'' = {1, 2, 3, 4, 6, 7}.  Một ví dụ bao gồm hai tập vô hạn là:
: ''A'' = {''x'' là [[số nguyên]] chẵn lớn hơn 1}
: ''B'' = {''x'' là số nguyên lẻ lớn hơn 1}
: <math>A \cup B = \{2,3,4,5,6, \dots\}</math>

Một ví dụ nữa về tính chất là phần tử của: số 9 ''không'' nằm trong hợp của các [[số nguyên tố]] {2, 3, 5, 7, 11, ...} và tập các [[số chẵn]] {2, 4, 6, 8, 10, ...}, vì 9 không nguyên tố và cũng không chẵn.

Tập hợp không thể lặp lại phần tử,<ref name=":0" /><ref>{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=2hM3-xxZC-8C&pg=PA24|title=Applied Mathematics for Database Professionals|last=deHaan|first=Lex|last2=Koppelaars|first2=Toon|date=2007-10-25|publisher=Apress|isbn=9781430203483|language=en}}</ref> nên hợp của hai tập {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là {1, 2, 3, 4}.

== Tính chất đại số ==
{{See also|Danh sách các định thức và quan hệ tập hợp|Đại số tập hợp}}

Phép hợp hai tập hợp là [[phép toán hai ngôi]] có tính [[tính kết hợp|kết hợp]]; nghĩa là, cho bất kỳ tập <math>A, B, \text{ và } C,</math>
<math display=block>A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C.</math>

Do vậy, có thể bỏ dấu ngoặc đi mà không làm mất giá trị: cả hai cách viết ở trên đều có thể viết thành <math>A \cup B \cup C.</math> Ngoài ra phép hợp còn có [[tính giao hoán|giao hoán]],do đó có thể đổi chỗ các tập hợp trong biểu thức .<ref>{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=jV_aBwAAQBAJ|title=Naive Set Theory|last=Halmos|first=P. R.|date=2013-11-27|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781475716450|language=en}}</ref>
[[Tập rỗng]] là [[phần tử trung hòa]] cho phép hợp. Tức là, <math>A \cup \varnothing = A,</math> với mọi tập <math>A.</math> Bên cạnh đó phép hợp còn có tính [[lũy đẳng]]: <math>A \cup A = A.</math>  Tất cả tính chất này đều tương tự với [[phép tuyển]].

Phép giao phân phối trên phép hợp
<math display=block>A \cap (B \cup C) = (A \cap B)\cup(A \cap C)</math> 
và ngược lại, phép hợp phân phối trên phép giao<ref name=":3" />
<math display=block>A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).</math>

[[Tập lũy thừa]] của tập hợp <math>U,</math> cùng với phép hợp, [[phép giao]], và [[Phần bù (lý thuyết tập hợp)|phép bù]] là [[Đại số Boole (cấu trúc)|đại số Boole]].  Trong đại số Boole này, phép hợp có thể biểu diễn bằng phép giao và bù bằng công thức
<math display=block>A \cup B = \left(A^\text{c} \cap B^\text{c} \right)^\text{c},</math>
trong đó chữ <math>{}^\text{c}</math> viết trên ký hiệu phần bù trong [[Vũ trụ (toán học)|tập phổ dụng]] <math>U.</math>

== Hợp hữu hạn các tập hợp ==
Mở rộng hơn, ta có thể xét hợp của nhiều tập hợp cùng một lúc.Ví dụ chẳng hạn: hợp của ba tập ''A'', ''B'', và ''C'' chứa tất cả các phần tử thuộc ''A'', và tất cả thuộc ''B'', và tất cả thuộc ''C'', và không gì khác nữa. Do vậy, ''x'' là phần tử thuộc ''A'' ∪ ''B'' ∪ ''C'' khi và chỉ khi ''x'' thuộc ít nhất một trong ba tập ''A'', ''B'', và ''C''.

'''Hợp hữu hạn''' là hợp của hữu hạn số các tập hợp; song điều này không có nghĩa phép hợp chỉ áp dụng với hữu hạn số các tập hợp hay phép hợp chỉ áp dụng với [[tập hữu hạn]].<ref>{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=u06-BAAAQBAJ|title=Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets|last=Dasgupta|first=Abhijit|date=2013-12-11|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781461488545|language=en}}</ref><ref>{{chú thích web |title=Finite Union of Finite Sets is Finite |url=https://proofwiki.org/wiki/Finite_Union_of_Finite_Sets_is_Finite |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20140911224545/https://proofwiki.org/wiki/Finite_Union_of_Finite_Sets_is_Finite |archive-date=11 September 2014 |access-date=29 April 2018 |website=ProofWiki}}</ref>

== Hợp của một họ tập hợp ==

Cách viết tổng quát nhất là hợp của một họ tùy ý các tập hợp, đôi khi được gọi là ''họ vô hạn''. Nếu '''M''' là tập hợp hay [[Lớp (lý thuyết tập hợp)|lớp]] mà các phần tử là các tập hợp thì ''x'' là phần tử thuộc hợp của '''M''' [[khi và chỉ khi]] [[lượng từ tồn tại|tồn tại ít nhất]] một phần tử ''A'' thuộc '''M''' sao cho ''x'' là phần tử của ''A''.<ref name=":1">{{chú thích sách |last=Smith |first=Douglas |url=https://archive.org/details/transitiontoadva0000smit |title=A Transition to Advanced Mathematics |last2=Eggen |first2=Maurice |last3=Andre |first3=Richard St |date=2014-08-01 |publisher=Cengage Learning |isbn=9781285463261 |language=en |url-access=registration}}</ref> Dưới ký hiệu:
: <math>x \in \bigcup \mathbf{M} \iff \exists A \in \mathbf{M},\ x \in A.</math>
Cách viết này tổng quát hóa cho ví dụ trước, ''A'' ∪ ''B'' ∪ ''C'' là hợp của họ {''A'', ''B'', ''C''}. Ngoài ra, nếu họ '''M''' rỗng, thì hợp của '''M''' cũng rỗng.

=== Ký hiệu ===
Ký hiệu cho hợp của một họ có thể khác nhau. Đối với họ hữu hạn các tập <math>S_1, S_2, S_3, \dots , S_n</math>, ta có thể viết <math>S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup \dots \cup S_n</math> hoặc <math>\bigcup_{i=1}^n S_i</math>.  Các cách ký hiệu khác bao gồm  <math>\bigcup \mathbf{M}</math>, <math>\bigcup_{A\in\mathbf{M}} A</math>, và <math>\bigcup_{i\in I} A_{i}</math>. Cách ký hiệu cuối <math>\left\{A_i : i \in I\right\}</math> được dùng khi ''I'' là [[tập chỉ số]] và <math>A_i</math> là tâp hợp với mọi <math>i \in I</math>. Trong trường hợp tập chỉ số ''I'' là tập các [[số tự nhiên]], ta có thể dùng ký hiệu <math>\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}</math>, tương tự với [[tổng vô hạn]] trong chuỗi.<ref name=":1" />

==Mã hóa ký hiệu==

Trong [[Unicode]], phép hợp được biểu diễn bằng ký tự {{unichar|222A|Union}}.<ref>{{chú thích web |title=The Unicode Standard, Version 15.0 - Mathematical Operators - Range: 2200–22FF |url=https://www.unicode.org/charts/PDF/U2200.pdf |website=[[Unicode]] |page=3}}</ref> Trong [[TeX]], <math>\cup</math> được viết là  <code>\cup</code> còn <math>\bigcup</math> được viết từ <code>\bigcup</code>.

==Xem thêm==
{{Portal|Toán học}}
* {{annotated link|Đại số tập hợp}}
* {{annotated link|Phép thay phiên (lý thuyết ngôn ngữ hình thức)}}
* {{annotated link|Tiên đề hợp}}
* {{annotated link|Hợp không giao nhau}}
* {{annotated link|Nguyên lý bao hàm-loại trừ}}
* {{annotated link|Phép giao}}
* {{annotated link|Danh sách các định thức và quan hệ tập hợp}}
* {{annotated link|Lý thuyết tập hợp ngây thơ}}
* {{annotated link|Hiệu đối xứng}}

==Tham khảo==
{{tham khảo}}

== Thư mục ==

* Nguyễn Tiến Quang (2008), ''Đại số đại cương'', Nhà xuất bản giáo dục
* [[Hoàng Xuân Sính]] (1972), ''Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám)'', Nhà xuất bản giáo dục

==Liên kết ngoài==
* {{springer|title=Union of sets|id=p/u095390}}
* [http://www.apronus.com/provenmath/sum.htm Infinite Union and Intersection at ProvenMath] De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.
{{Lý thuyết tập hợp}}
{{thể loại Commons|Union (set theory)}}

[[Thể loại:Lý thuyết tập hợp]]
[[Thể loại:Phép toán hai ngôi]]
[[Thể loại:Khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập hợp]]