Xem mã nguồn của Quaternion

{{Short description|Mở rộng không giao hoán trong số phức}}
{|class="wikitable" align="right" style="text-align:center; margin-left:0.5em; max-width: 230px;"

|+Bảng nhân quaternion
|-
!width=15 nowrap|&darr;&thinsp;&times;&thinsp;&rarr;
!width=15|{{math|1}}
!width=15|{{math|'''i'''}}
!width=15|{{math|'''j'''}}
!width=15|{{math|'''k'''}}
|-
!{{math|1}}
|{{math|1}}
|{{math|'''i'''}}
|{{math|'''j'''}}
|{{math|'''k'''}}
|-
!{{math|'''i'''}}
|{{math|'''i'''}}
|{{math|−1}}
|{{math|'''k'''}}
|{{math|−'''j'''}}
|-
!{{math|'''j'''}}
|{{math|'''j'''}}
|{{math|−'''k'''}}
|{{math|−1}}
|{{math|'''i'''}}
|-
!{{math|'''k'''}}
|{{math|'''k'''}}
|{{math|'''j'''}}
|{{math|−'''i'''}}
|{{math|−1}}
|-
|colspan=5 |Cột trái là phần tử đứng trước, hàng đầu là phần tử đứng sau. Bên cạnh đó, <math>a\mathbf{b}=\mathbf{b}a</math> và <math>-\mathbf{b} = (-1)\mathbf{b}</math> với <math>a\in \mathbb{R} </math>, <math>\mathbf{b}  = \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}  </math>.
|}
[[Tập tin:Cayley_Q8_quaternion_multiplication_graph.svg|thumb|[[đồ thị Cayley|Đồ thị Cayley Q8]] cho thấy sáu chu trình nhân bởi {{red|'''i'''}}, {{green|'''j'''}} và {{blue|'''k'''}}. (Nếu ảnh được mở trong [[Wikimedia Commons]] bằng cách nhấn đúp vào nó thì các chu trình có thể được tô đậm bằng cách kéo chuột qua hoặc nhấn vào]]

Trong [[toán học]], [[số|hệ]] '''quaternion''' mở rộng tiếp số phức. Các số quaternion được lần đầu mô tả bởi nhà toán học người Ireland [[William Rowan Hamilton]] trong 1843<ref>{{chú thích tạp chí |title=On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra |journal=Letter to John T. Graves |date=17 October 1843}}</ref><ref>{{chú thích sách |url=https://books.google.com/books?id=DRLpAFZM7uwC&pg=PA385 |title=The history of non-euclidean geometry: Evolution of the concept of a geometric space |year=1988 |publisher=Springer |first=Boris Abramovich |last=Rozenfelʹd |page=385 |isbn=9780387964584}}</ref> và áp dụng cho [[cơ học]] trong [[không gian ba chiều]]. Đại số của quaternion thường được ký hiệu bằng {{math|'''H'''}} (cho ''Hamilton''), hoặc trong [[phông chữ bảng đen in đậm]] <math>\mathbb H.</math> Mặc dù phép nhân của quaternion không có [[tính giao hoán]], nó đưa ra định nghĩa của thương của hai vectơ trong không gian ba chiều.<ref>{{chú thích sách |url=https://archive.org/details/bub_gb_TCwPAAAAIAAJ |quote=quaternion quotient lines tridimensional space time |title=Hamilton |page=[https://archive.org/details/bub_gb_TCwPAAAAIAAJ/page/n188 60] |year=1853 |publisher=Hodges and Smith}}</ref><ref>{{chú thích sách |url=https://books.google.com/books?id=YNE2AAAAMAAJ&q=quotient+two+vectors+called+quaternion |title=Hardy 1881 |page=32 |year=1881 |publisher=Ginn, Heath, & co.|isbn=9781429701860 }}</ref> Quaternion thường được biểu diễn dưới dạng

<math display=block>a + b\ \mathbf i + c\ \mathbf j +d\ \mathbf k,</math>

trong đó các hệ số {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, {{mvar|d}} đều là các [[số thực]], và {{math|1, '''i''', '''j'''}}, {{math|'''k'''}} được gọi là ''vectơ cơ sở'' hay ''phần tử cơ sở''.<ref>{{ citation | last = Curtis | first = Morton L. | title = Matrix Groups | edition = 2nd | location = New York | publisher = [[Springer-Verlag]] | year = 1984 | isbn = 978-0-387-96074-6 | page=10 }}</ref>

Quaternion được sử dụng trong [[toán học thuần tuý]], nhưng cũng có áp dụng thực tiễn trong [[toán học ứng dụng]], đặc biệt là cho [[quaternion và quay không gian|tính toán bao gồm quay trong không gian ba chiều]], chẳng hạn như trong [[đồ hoạ máy tính 3D]], [[thị giác máy tính]], và phân tích [[Kiến trúc (tinh thể)|kiến trúc tinh thể]].<ref name=Lunze>{{chú thích tạp chí |first1=Karsten |last1=Kunze |first2=Helmut |last2=Schaeben |title=The Bingham distribution of quaternions and its spherical radon transform in texture analysis |journal=Mathematical Geology |date=November 2004 |volume=36 |issue=8 |pages=917–943 |doi=10.1023/B:MATG.0000048799.56445.59|s2cid=55009081 }}</ref> Chúng được dùng bên cạnh các phương pháp quay khác, chẳng hạn như [[góc Euler]] và [[ma trận quay]], hoặc thay các phương pháp đó, tuỳ thuộc vào cách ứng dụng.

Trong thuật ngữ hiện đại, các quaternion lập thành [[đại số chia]] [[đại số hợp thành|định chuẩn]] và [[đại số hợp thành|hợp thành]] trên tập số thực, do đó lập thành 1 vành và đồng thời cũng là [[vành chia]] và [[miền (lý thuyết vành)|miền]]. Nó là trường hợp đặc biệt của [[đại số Clifford]], [[Phân loại đại số Clifford algebras|xếp thuộc loại]] <math>\operatorname{Cl}_{0,2}(\mathbb R)\cong \operatorname{Cl}_{3,0}^+(\mathbb R).</math> Nó là đại số chia không giao hoán đầu tiên được phát hiện.

Theo [[định lý Frobenius (đại số chia thực)|định lý Frobenius]], đại số <math>\mathbb H</math> là một trong duy nhất hai [[vành chia]] hữu hạn số chiều có [[vành con]] chân chính [[phép đẳng cấu|đẳng cấu]] với các số thực; cái còn lại là của số phức. Các vành này đồng thời đều là [[định lý Hurwitz (đại số hợp thành)|đại số Euclidean Hurwitz]], trong đó quaternion là đại số kết hợp lớn nhất và do đó là vành lớn nhất. Mở rộng tiếp các số quaternion sẽ ra các số [[octonion]] [[đại số không kết hợp|không kết hợp]], các số này là [[đại số chia định chuẩn]] cuối cùng trên các số thực. Mở rộng thêm lần nữa ra các số [[sedenion]], các số này có [[ước của không]] nên không thể lập thành đại số chia định chuẩn.<ref>{{chú thích web |url=http://www.tony5m17h.net/sedenion.html |title=Why not sedenion? |first=Frank (Tony) |last=Smith |access-date=8 June 2018 |archive-date=2024-01-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240114134612/https://www.tony5m17h.net/sedenion.html |url-status=dead }}</ref>

Các [[quaternion đơn vị]] có cấu trúc [[nhóm (toán học)|nhóm]] trên [[3-cầu]] (mặt cầu trong không gian bốn chiều) {{math|S<sup>3</sup>}} đẳng cấu với nhóm [[Spin(3)]] và [[SU(2)]], nhóm [[phủ phổ quát]] của [[SO(3)]]. Các phần tử cơ sở âm và dương cùng nhau lập thành [[nhóm quaternion]] 8 phần tử.

[[Tập tin:Quaternion 2.svg|thumb|right|Biểu diễn đồ họa của tích các đơn vị quaternion bằng các phép quay 90° trong các mặt phẳng của không gian 4 chiều, span bởi hai trong {{math|{1, '''i''', '''j''', '''k'''}.}} Phần tử trái được xem là quay bởi phần tử phải để chạm tới giá trị tích. Bên cạnh đó {{Math|1={{font color|blue|'''i{{nbsp}}⋅{{nbsp}}j'''}} = −{{font color|red|('''j{{nbsp}}⋅{{nbsp}}i''')}}}}.
{{bulleted list |
{{font color|blue|Trong ''màu xanh'':
{{bulleted list |{{Math|1=1{{nbsp}}⋅{{nbsp}}'''i'''{{nbsp}}{{=}}{{nbsp}}'''i'''}} (mặt 1/'''i''') | {{Math|1='''i'''{{nbsp}}⋅{{nbsp}}'''j'''{{nbsp}}{{=}}{{nbsp}}'''k'''}} (mặt '''i'''/'''k''')
}} }} |
{{font color|red|Trong ''màu đỏ'':
{{bulleted list |{{Math|1=1{{nbsp}}⋅{{nbsp}}'''j'''{{nbsp}}{{=}}{{nbsp}}'''j'''}} (mặt 1/'''j''') | {{Math|1='''j'''{{nbsp}}⋅{{nbsp}}'''i'''{{nbsp}}{{=}}{{nbsp}}−'''k'''}} (mặt '''j'''/'''k''')
}}
}}
}}]]

== Lịch sử ==
<!-- {{refimprove section|date=October 2015}} -->
{{main|Lịch sử quaternion}}

[[Tập tin:Inscription on Broom Bridge (Dublin) regarding the discovery of Quaternions multiplication by Sir William Rowan Hamilton.jpg|right|thumb|Tấm quaternion trên [[cầu Broom|cầu Brougham (Broom)]], [[Dublin]], viết:

<poem>
     Here as he walked by
on the 16th of October 1843
Sir William Rowan Hamilton
in a flash of genius discovered
the fundamental formula for
quaternion multiplication
     {{math|1=''i''<sup>2</sup> = ''j''<sup>2</sup> = ''k''<sup>2</sup> = ''i{{thinsp}}j{{thinsp}}k'' = −1}}
& cut it on a stone of this bridge
</poem>

Dịch: ''Tại đây vào ngày 16 tháng 10 năm 1843, ngài William Rowan Hamilton trong một cơn chớp thiên tài đã phát hiện ra công thức nền tảng cho phép nhân quaternion

{{math|1=''i''<sup>2</sup> = ''j''<sup>2</sup> = ''k''<sup>2</sup> = ''i{{thinsp}}j{{thinsp}}k'' = −1}}

và khắc nó lại trên một hòn đá của cây cầu này''
]]

Quaternion được giới thiệu bởi Hamilton vào năm 1843.<ref name="SeeHazewinkel">Xem {{harvnb|Hazewinkel|Gubareni|Kirichenko|2004|p=[https://books.google.com/books?id=AibpdVNkFDYC&pg=PA12 12]}}</ref> Những kết quả quan trọng đi trước công trình này bao [[định thức bốn số chính phương của Euler]] (1748) và  [[Tham số Euler–Rodrigues|phương pháp tham số hóa các phép quay chung bằng bốn tham số]] của [[Olinde Rodrigues]]' (1840), nhưng không tác giả nào trong đây đã xét tới các phép quay bốn tham số có thể lập thành thành một đại số.<ref>{{harvnb|Conway|Smith|2003|p=[https://books.google.com/books?id=E_HCwwxMbfMC&pg=PA9 9]}}</ref><ref>{{chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=75vJL_Y-PvsC&pg=PA193|title=Leonhard Euler: life, work and legacy|last1=Bradley|first1=Robert E.|last2=Sandifer|first2=Charles Edward|publisher=Elsevier|year=2007|isbn=978-0-444-52728-8|page=193}} They mention [[Wilhelm Blaschke]]'s claim in 1959 that "the quaternions were first identified by L.&nbsp;Euler in a letter to Goldbach written on 4&nbsp;May 1748," and they comment that "it makes no sense whatsoever to say that Euler "identified" the quaternions in this letter ... this claim is absurd."</ref> [[Carl Friedrich Gauss]] cũng đồng thời phát hiện ra quaternion trong 1819, nhưng công trình của ông phải mãi đến 1900 mới được xuất bản.<ref>Pujol, J., "[https://projecteuclid.org/journals/communications-in-mathematical-analysis/volume-13/issue-2/Hamilton-Rodrigues-Gauss-Quaternions-and-Rotations-a-Historical-Reassessment/cma/1349803591.full Hamilton, Rodrigues, Gauss, Quaternions, and Rotations: A Historical Reassessment]"  ''Communications in Mathematical Analysis'' (2012), 13(2), 1–14</ref><ref>{{chú thích sách |first=C.F. |last=Gauss |article=Mutationen des Raumes [Transformations of space] (c.&nbsp;1819) |others=article edited by Prof.&nbsp;Stäckel of Kiel, Germany |editor=Martin Brendel |title=Carl Friedrich Gauss Werke |trans-title=The works of Carl Friedrich Gauss |year=1900 |volume=8 |pages=357–361 |location=Göttingen, DE |publisher=Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften [Royal Society of Sciences] |url=https://books.google.com/books?id=aecGAAAAYAAJ&pg=PA357}}</ref>

Hamilton đã biết rằng các số phức có thể được coi là các [[điểm (hình học)|điểm]] trong một [[mặt phẳng]], và ông lúc đó đang tìm cách định nghĩa tương tự cho [[không gian (toán học)|không gian]] ba chiều. Các điểm trong không gian có thể được biểu diễn bằng tọa độ của chúng, tức một bộ ba số, và trong nhiều năm ông đã biết các để cách để cộng và trừ chúng. Tuy nhiên, cũng trong nhiều năm đó, ông cũng bị khựng lại trong vấn đề nhân và chia chúng. Ông không thể hình dung hay tưởng tượng ra cách nhân hai điểm trong một không gian (chỉ từ ba số). Quả thật, sau này [[Ferdinand Georg Frobenius]] [[định lý Frobenius (đại số chia thực)|đã chứng minh]] trong 1877 rằng để đại số chia trên các số thực vừa hữu hạn chiều vừa kết hợp, thì nó không thể ba chiều được, và chỉ có ba đại số chia như thế: <math>\mathbb {R, C}</math> (số phức) và <math>\mathbb H</math> (quaternion) với số chiều 1, 2, và 4 tương ứng.

Phát minh quan trọng với các số quaternion cuối cùng cũng đến vào ngày thứ hai, mùng 16 tháng 10 năm 1843 tại [[Dublin]], khi Hamilton đang trên đường tới [[học viện Hoàng gia Irish]] để chủ trì tại một cuộc họp hội đồng. Khi ông đang đi trên đường kéo tàu trên [[kênh Hoàng gia]] với vợ, các khái niệm đằng sau quaternion bắt đầu hiện hình trong đầu ông, và khi câu trả lời xuất hiện trong đầu, Hamilton đã không thể ngăn bản thân khỏi khắc lại công thức nhân các quaternion,

<math display=block>\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{i\,j\,k} = -1</math>

vào đá của [[cầu Broom Bridge|cầu Brougham]] khi ông dừng trên đó. Mặc dù vết khắc đã phai mờ đi, vẫn có cuộc hành hương diễn ra hằng năm kể từ năm 1989 được gọi là [[Hamilton Walk]] cho các nhà khoa học và các nhà toán học đi từ [[đài quan sát Dunsink]] cho tới cầu kênh hoàng gia để tưởng nhớ tới phát hiện của Hamilton.

Trong ngày hôm sau, Hamilton viết một bức thư cho bạn và đồng thời là nhà toán học, [[John T. Graves]], mô tả dòng tư tưởng dẫn tới phát hiện này. Bức thư này sau được xuất bản trong bức thư gửi đến ''[[báo khoa học và tạp chí triết học London, Edinburgh, và Dublin]]'';<ref name=letter1844>{{cite magazine |last=Hamilton |first=W.R. |title=Letter |magazine=London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science |volume=xxv |year=1844 |pages=489–495}}</ref> Hamilton đã nói rằng:
{{blockquote|And here there dawned on me the notion that we must admit, in some sense, a fourth dimension of space for the purpose of calculating with triples ... An electric circuit seemed to close, and a spark flashed forth.<ref name=letter1844/>}}
Tạm dịch: ''Và ngay khi đó, tôi nhận ra rằng chúng ta phải chấp nhận rằng, theo một cách nào đó, ta cần chiều thứ tư trong không gian để có thể tính toán với bộ ba số ... Một mạch điện đã đóng và từ đó một tia lửa đã được tóe ra''.

Hamilton gọi bộ bốn số này cùng với quy tắc nhân là ''quaternion'', và ông dành hầu như toàn bộ phần còn lại của cuộc đời để nghiên cứu và dạy chúng. [[quaternion cổ điển của Hamilton|Phương pháp xử lý của Hamilton]] nghiêng về [[hình học]] nhiều hơn hướng tiếp cận hiện đại sử dụng các tính chất [[đại số]]. Ông thành lập trường của các "quaternionist", và ông cũng đã gắng sức dạy và truyền bá quaternion trong nhiều sách. Cuốn cuối cùng và dài nhất của ông, ''Elements of Quaternions'',<ref name=HamiltonElements>{{chú thích sách |title=Elements of Quaternions |author=Hamilton, Sir W.R. |author-link=William Rowan Hamilton |editor=Hamilton, W.E. |editor-link=William Edwin Hamilton |year=1866 |url=https://archive.org/details/elementsofquater00hamiuoft |location=London |publisher=Longmans, Green, & Co.}}</ref> dài 800&nbsp;trang; nó được [[William Edwin Hamilton|con trai ông]] biên tập và được xuất bản không lâu sau khi ông mất đi.

Sau khi Hamilton mất đi, nhà toán học vật lý người Scotland [[Peter Guthrie Tait|Peter Tait]] trở thành người đứng đầu. Tại thời điểm đó, quaternion trở thành chủ đề bắt buộc trong các bài thi ở Dublin. Các chủ đề trong vật lý và hình học mà ngày nay thường được diễn giải bằng vectơ (chẳng hạn như [[chuyển động học]] trong không gian hay [[phương trình Maxwell]] thì lúc đó được mô tả toàn bộ bằng các quaternion. Thậm chí còn có một hiệp hội các chuyên gia nghiên cứu, [[Hiệp hội Quaternion]] tập trung nghiên cứu các số quaternion và các hệ [[số siêu phức]] khác.

Kể từ giữa khoảng 1880s, quaternion bắt đầu được thay dần bằng [[giải tích vectơ]], nhánh này được phát triển bởi [[Josiah Willard Gibbs]], [[Oliver Heaviside]], và [[Hermann von Helmholtz]]. Giải tích vectơ mô tả cùng một hiện tượng với các quaternion, do đó nó lấy một số ý tưởng và thuật ngữ từ các bài viết của quaternion sang. Tuy nhiên, giải tích vectơ đơn giản hơn khi nói về khái niệm hay ký hiệu và do đó, quaternion chỉ còn đóng vai trò nhỏ trong [[toán học]] và [[vật lý]]. Một hiệu ứng phụ trong sự chuyển đổi này là [[quaternion Hamilton cổ điển|công trình của Hamilton]] trở nên khó hiểu cho nhiều người đọc đương đại. Định nghĩa ban đầu của Hamilton không quen thuộc với hiện tại và cách viết của ông dài và rất khó có thể theo.

May mắn thay, quaternion được hồi sinh lại kể từ cuối thế kỉ 20, chủ yếu do ứng dụng của nó trong [[Quaternion và phép quay không gian|mô tả quay không gian]]. Biểu diễn của phép quay bằng quaternion gọn hơn và dễ tính hơn biểu diễn của [[ma trận (toán học)|ma trận]]. Bên cạnh đó, không như góc Euler, nó không bị dính "[[khóa gimbal]]". Bởi lý do này, quaternion được sử dụng trong [[đồ họa máy tính]],<ref name="Shoemake">{{chú thích tạp chí |doi=10.1145/325165.325242 |first=Ken |last=Shoemake |author-link=Ken Shoemake |year=1985 |url=https://www.cs.cmu.edu/~kiranb/animation/p245-shoemake.pdf |title=Animating Rotation with Quaternion Curves |journal=Computer Graphics |volume=19 |issue=3 |pages=245–254}} Presented at [[SIGGRAPH]] '85.</ref><ref>''[[Tomb Raider (trò chơi 1996)|Tomb Raider]]'' (1996) thường được chú tích là trò chơi điện tử thương mại đầu tiên sử dụng quaternion để đạt sự trơn suốt khi quay ba chiều. Xem chẳng hạn {{cite magazine|author=Nick Bobick|date=July 1998|title=Rotating objects using quaternions|url=http://www.gamasutra.com/view/feature/3278/rotating_objects_using_quaternions.php|magazine=Game Developer}}</ref> [[thị giác máy tính]], [[robotics]],<ref>{{chú thích sách |first=J.M. |last=McCarthy |title=An Introduction to Theoretical Kinematics |url=https://books.google.com/books?id=glOqQgAACAAJ |year=1990 |publisher=MIT Press |isbn=978-0-262-13252-7}}</ref> [[lý thuyết điều khiển tự động|lý thuyết điều khiển]], [[xử lý tín hiệu]], [[Điều khiển phương hướng phi thuyền|điều khiển phương hướng]], [[vật lý]], [[tin sinh học]], [[động lực phân tử]], [[mô phỏng máy tính]], và [[cơ học quỹ đạo]]. Thí dụ chẳng hạn, thường thì các hệ thống [[Điều khiển phương hướng phi thuyền|điều khiển phương hướng]] của các phi thuyền sẽ sử dụng quaternion.  Quaternion có ứng dụng khác với [[lý thuyết số]] bởi quan hệ của chúng với [[dạng toàn phương]].<ref>{{citation|last=Hurwitz|first=A.|title=Vorlesungen über die Zahlentheorie der Quaternionen|year=1919|place=Berlin|publisher=J. Springer|jfm=47.0106.01}}, concerning [[Hurwitz quaternion|Hurwitz quaternions]]</ref>

=== Quaternion trong vật lý ===
Bài viết năm 1984 của P.R. Girard ''The quaternion group and modern physics'' (''dịch: nhóm quaternion và vật lý hiện đại'')<ref>{{chú thích tạp chí |last=Girard |first=P.R. |title=The quaternion group and modern physics |year=1984 |journal=European Journal of Physics |volume=5 |issue=1 |pages=25–32 |doi=10.1088/0143-0807/5/1/007|bibcode=1984EJPh....5...25G |s2cid=250775753 }}</ref> thảo luận về một số vai trò của quaternion trong vật lý. Bài viết cho thấy một số nhóm hiệp phương sai trong vật lý, chẳng hạn như {{math|SO(3)}}, nhóm Lorentz, lý thuyết tổng quát của nhóm tương đối, đại số Clifford {{math|SU(2)}} và nhóm bảo giác, đều có thể liên hệ dễ dàng với [[nhóm quaternion]] trong [[đại số trừu tượng]]. <!--Bài viết bắt đầu từ lý thuyết [[biểu diễn nhóm]] và biểu diễn một số [[nhóm không gian]] của [[tinh thể]], sau đó nhắc tới [[cơ học]] của [[chuyển động]] vật rắn. Tiếp đến bài viết sử dụng quaternion phức ([[biquaternion]]) để biểu diễn [[nhóm Lorentz]] của tương đối đặc biệt, bao gồm cả [[tiến động Thomas]]. [[Ludwik Silberstein]] sử dụng hàm [[điện thế]] một [[biến số|biến]] quaternion để viết [[các phương trình Maxwell]] trong một [[phương trình vi phân]]. Khi nhắc đến thuyết tương đối rộng, bài viết sử dụng [[vectơ Runge–Lenz]]. Ông có nói đến biquaternion Clifford ([[biquaternion tách]]) là một trường hợp của đại số Clifford. Sử dụng nghịch đảo của biquaterion, bài viết mô tả các [[ánh xạ bảo giác]] trên [[không thời gian]]. Giữa 50 nội dung tham khảo, Girard bao gồm [[Alexander Macfarlane (nhà toán học)|Alexander Macfarlane]] và bài ''báo cáo'' của ông về [[hiệp hội Quaternion]].--> Trong 1999, Girard cho thấy rằng cách các phương trình Einstein trong thuyết tương đối rộng có thể viết lại trong khuôn khổ của một đại số Clifford liên kết trực tiếp với các quaternion.<ref>{{chú thích tạp chí |url=http://clifford-algebras.org/v9/v92/GIRAR92.pdf |title=Einstein's equations and Clifford algebra |archive-url=https://web.archive.org/web/20101217224618/http://clifford-algebras.org/v9/v92/GIRAR92.pdf |archive-date=17 December 2010 |journal=Advances in Applied Clifford Algebras |volume=9 |issue=2 |pages=225–230 |year=1999|doi=10.1007/BF03042377 |last1=Girard |first1=Patrick R. |s2cid=122211720 }}</ref>

Phát hiện trong 1924 rằng trong [[cơ học lượng tử]], [[Spin (vật lý)|spin]] của một electron và các hạt khác (được gọi là [[spinor]]) có thể mô tả bằng quaternion (dưới dạng ma trận spin Pauli nổi tiếng) làm tăng độ nổi bật của quaternion; quaternion giúp hiểu cách các phép quay các electron trong 360° có thể phân biệt với những cái trong 720° ("[[mẹo Plate]]").<ref>{{chú thích web |last1=Huerta |first1=John |title=Introducing The Quaternions |url=http://math.ucr.edu/~huerta/introquaternions.pdf |access-date=8 June 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141021093534/http://math.ucr.edu/~huerta/introquaternions.pdf |archive-date=2014-10-21 |url-status=live |date=27 September 2010}}</ref><ref>{{chú thích web |first=Charlie |last=Wood |title=The Strange Numbers That Birthed Modern Algebra |date=6 September 2018 |work=Abstractions blog |publisher=Quanta Magazine |url=https://www.quantamagazine.org/the-strange-numbers-that-birthed-modern-algebra-20180906/}}</ref> {{As of|2018}}, ứng dụng của nó vẫn chưa vượt qua [[nhóm trực giao|nhóm quay]].<ref group="lower-alpha">Một góc nhìn cá nhân hơn đến từ [[Joachim Lambek]] trong 1995. Ông viết trong bài văn ''If Hamilton had prevailed: quaternions in physics'' (dịch: ''Nếu Hamilton thắng thế: quaternion trong vật lý'') rằng : "My own interest as a graduate student was raised by the inspiring book by Silberstein". Ông kết luận bằng phát biểu rằng "I firmly believe that quaternions can supply a shortcut for pure mathematicians who wish to familiarize themselves with certain aspects of theoretical physics." (dịch: ''Tôi tin rằng các quaternion có thể dùng làm đường tắt cho những nhà toán học thuần tuý muốn làm quen với một số nội dung của vật lý lý thuyết'') {{cite magazine|author=Lambek, J.|year=1995|title=If Hamilton had prevailed: Quaternions in physics|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_fall-1995_17_4/page/7|volume=17|issue=4|pages=7–15|doi=10.1007/BF03024783|magazine=Math. Intelligencer}}</ref>

== Định nghĩa ==
''Quaternion'' là các con số được biểu diễn dưới dạng

<math display=block>a + b\,\mathbf{i} +  c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k}\ ,</math>

trong đó {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, {{mvar|d}}, là các số thực, và {{math|'''i'''}}, {{math|'''j'''}}, {{math|'''k'''}}, [[ký hiệu toán học|ký hiệu]] cho các vectơ đơn vị trên ba trục không gian. Trong thực tiễn, nếu như một trong {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, {{mvar|d}} bằng 0 thì ta bỏ phần tử tương ứng với nó; nếu {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, {{mvar|d}} đều bằng không, thì quaternion được gọi là ''quaternion không'', hay là 0; nếu một trong {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, {{mvar|d}} bằng với 1, thì có thể bỏ số 1 đó đi trong biểu diễn.

Hamilton mô tả quaternion <math>q = a + b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k}</math> bao gồm hai phần đó là phần [[Scalar (toán học)|vô hướng]] và phần vectơ. Quaternion <math> b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k}</math> được gọi là ''phần vectơ'' (đôi khi gọi là ''phần ảo'') của {{mvar|q}}, và {{mvar|a}} là ''phần vô hướng'' (đổi khi ''phần thực'') của {{mvar|q}}. Quaternion mà bằng với phần thực của nó (nghĩa là phần vectơ của nó là vectơ không) được gọi là ''quaternion vô hướng'' hoặc ''quaternion thực'', và được xác định bằng số thực tương ứng. Tức là, các số thực được ''nhúng'' trong các quaternion. (Nói rõ hơn, nghĩa là [[trường (toán học)|trường]] các số thực đẳng cấu với một tập con của tập các quaternion. Trường các số phức đẳng cấu với ba tập con của tập các quaternion.)<ref>{{harvtxt|Eves|1976|page=391}}</ref> Quaternion mà bằng với phần vectơ thì được gọi là ''quaternion vectơ ''.

Tập các quaternion lập thành [[không gian vectơ]] 4 chiều trên các số thực, với <math>\left\{ 1, \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k\right\}</math> làm [[cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]], theo phép cộng từng phần

<math display=block>\begin{align}
&(a_1+b_1\,\mathbf i + c_1\,\mathbf j + d_1\,\mathbf k) + (a_2 + b_2\,\mathbf i + c_2\,\mathbf j + d_2\,\mathbf k) \\[3mu]
&\qquad = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\,\mathbf i + (c_1 + c_2)\,\mathbf j + (d_1 + d_2)\,\mathbf k,
\end{align}</math>

và phép nhân vô hướng

<math display=block>\lambda(a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d\,\mathbf k) = \lambda a + (\lambda b)\,\mathbf i + (\lambda c)\,\mathbf j + (\lambda d)\,\mathbf k.</math>

Phép nhân, hay còn gọi là ''tích Hamilton'', có thể định nghĩa trên các quaternion như sau:
*Quaternion thực {{math|'''1'''}} là [[phần tử trung hòa]] (phần tử đơn vị).
*Các quaternion '''thực''' thì sẽ giao hoán với các quaternion khác, tức là {{math|''aq'' {{=}} ''qa''}} cho mọi quaternion {{mvar|q}} và cho mọi quaternion thực {{mvar|a}}. Trong đại số trừu tượng, cái này tương ứng với việc nói rằng trường các quaternion thực là [[tâm (lý thuyết vành)|''tâm'']] của đại số quaternion.
*Phép nhân đầu tiên định nghĩa trước cho các phần tử cơ sở (xem mục dưới), rồi mở rộng cho tất cả quaternion bằng cách dùng [[tính chất phân phối]] và tính chất tâm của các quaternion thực. Tích Hamilton không [[giao hoán]] nhưng có [[tính kết hợp]], và do vậy các quaternion lập thành đại số kết hợp trên các số thực.
*Bên cạnh đó, mỗi quaternion khác không đều có nghịch đảo tương ứng với tích Hamilton: <math display=block>(a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d \,\mathbf k)^{-1} = \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}\,(a - b\,\mathbf i - c\,\mathbf j- d\,\mathbf k).</math>
Do đó các số quaternion cũng lập thành đại số chia.

=== Nhân các phần tử cơ sở ===
{|class="wikitable" align="right" style="text-align:center"
|+[[Bảng nhân]]
|-
!width=15|×
!width=15|{{math|1}}
!width=15|{{math|'''i'''}}
!width=15|{{math|'''j'''}}
!width=15|{{math|'''k'''}}
|-
!{{math|1}}
|{{math|1}}
|{{math|'''i'''}}
|{{math|'''j'''}}
|{{math|'''k'''}}
|-
!{{math|'''i'''}}
|{{math|'''i'''}}
|{{math|−1}}
|style="background: #FF9999;"|{{math|'''k'''}}
|style="background: #9999FF;"|{{math|−'''j'''}}
|-
!{{math|'''j'''}}
|{{math|'''j'''}}
|style="background: #FF9999;"| {{math|−'''k'''}}
|{{math|−1}}
|style="background: #99FF99;"|{{math|'''i'''}}
|-
!{{math|'''k'''}}
|{{math|'''k'''}}
|style="background: #9999FF;"|{{math|'''j'''}}
|style="background: #99FF99;"|{{math|−'''i'''}}
|{{math|−1}}
|-
|+Tính không giao hoán được nhấn mạnh bởi các ô tô màu 
|}
Phép nhân của {{math|1}} với các phần tử còn lại {{math|'''i''', '''j'''}}, và {{math|'''k'''}} được định nghĩa dựa trên nội dung {{math|1}} là phần tử trung hòa, nghĩa là

<math display=block>\mathbf i \, 1 = 1 \, \mathbf i = \mathbf i, \qquad \mathbf j \, 1 = 1 \, \mathbf j = \mathbf j, \qquad \mathbf k \, 1 = 1 \, \mathbf k= \mathbf k \,.</math>

Tích của các phần tử cơ sở khác là

<math display=block>\begin{align}
\mathbf i^2 &= \mathbf j^2 = \mathbf k^2 = -1, \\[5mu]
\mathbf{i\,j} &= - \mathbf{j\,i} = \mathbf k, \qquad
\mathbf{j\,k} = - \mathbf{k\,j} = \mathbf i, \qquad
\mathbf{k\,i} = - \mathbf{i\,k} = \mathbf j.
\end{align}</math>

Kết hợp các luật này lại,

<math display=block>\begin{align}
\mathbf{i\,j\,k}&=-1.
\end{align}</math>

=== Tâm ===
[[Tâm (lý thuyết vành)|''Tâm'']] của [[vành không giao hoán]] là [[vành con]] của các phần tử {{mvar|c}} thỏa mãn {{math|1=''cx'' = ''xc''}} với mọi {{mvar|x}}. Tâm của đại số quaternion là trường con của các quaternion thực. Thậm chí, nó còn là một phần của định nghĩa rằng các quaternion thuộc về tâm. Ngược lại, nếu {{math|''q'' {{=}} ''a'' + ''b'' '''i''' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k'''}} thuộc về tâm, thì

<math display=block>0 = \mathbf i\,q - q\,\mathbf i = 2c\,\mathbf{ij} + 2d\,\mathbf{ik} = 2c\,\mathbf k - 2d\,\mathbf j\,,</math>

và {{math|''c'' {{=}} ''d'' {{=}} 0}}. Tính toán tương tự với {{math|'''j'''}} thay cho {{math|'''i'''}} cho thấy {{math|''b'' {{=}} 0}}. Do đó {{math|''q'' {{=}} ''a''}} là quaternion ''thực''.

Các quaternion lập thành đại số chia. Điều này có nghĩa là chỉ có duy nhất tính không giao hoán của quaternion khiến cho chúng không thể lập thành một trường. Tính không giao hoán này có một số hệ quả, trong đó bao gồm [[phương trình đa thức]] trên các quaternion có thể có nhiều nghiệm phân biệt hơn số bậc trong đa thức. Ví dụ, phương trình {{nowrap|{{math|''z''<sup>2</sup> + 1 {{=}} 0}},}} có vô số nghiệm quaternion, là các quaternion {{math|''z'' {{=}} ''b'' '''i''' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k'''}} thỏa mãn {{math|''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup> {{=}} 1}}. Do đó "căn bậc hai của –1" lập thành [[mặt cầu đơn vị]] trong không gian ba chiều của các quaternion vectơ.

=== Tích Hamilton ===
Cho hai phần tử {{math|''a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub>'''i''' + ''c''<sub>1</sub>'''j''' + ''d''<sub>1</sub>'''k'''}} and {{math|''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>2</sub>'''i''' + ''c''<sub>2</sub>'''j''' + ''d''<sub>2</sub>'''k'''}}, tích của chúng, được gọi là '''tích Hamilton''' ({{math|''a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub>'''i''' + ''c''<sub>1</sub>'''j''' + ''d''<sub>1</sub>'''k'''}}) ({{math|''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>2</sub>'''i''' + ''c''<sub>2</sub>'''j''' + ''d''<sub>2</sub>'''k'''}}), được xác định bởi tích các phần tử cơ sở và [[luật phân phối]]. Nhờ có luật phân phối mà ta có thể khai triển tích thành tổng của tích các phần tử cơ sở. Ta được kết quả sau:

<math display=block>\begin{alignat}{4}
        &a_1a_2  &&+ a_1b_2 \mathbf i   &&+ a_1c_2 \mathbf j   &&+ a_1d_2 \mathbf k\\
  {}+{} &b_1a_2 \mathbf i &&+ b_1b_2 \mathbf i^2 &&+ b_1c_2 \mathbf{ij} &&+ b_1d_2 \mathbf{ik}\\
  {}+{} &c_1a_2 \mathbf j &&+ c_1b_2 \mathbf{ji} &&+ c_1c_2 \mathbf j^2 &&+ c_1d_2 \mathbf{jk}\\
  {}+{} &d_1a_2 \mathbf k &&+ d_1b_2 \mathbf{ki} &&+ d_1c_2 \mathbf{kj}  &&+ d_1d_2 \mathbf k^2
\end{alignat}</math>

Sau đó, các phần tử cơ sở có thể nhân với nhau theo luật trên để thu được:<ref name="SeeHazewinkel" />

<math display=block>\begin{alignat}{4}
          &a_1a_2 &&- b_1b_2 &&- c_1c_2 &&- d_1d_2\\
   {}+{} (&a_1b_2 &&+ b_1a_2 &&+ c_1d_2 &&- d_1c_2) \mathbf i\\
   {}+{} (&a_1c_2 &&- b_1d_2 &&+ c_1a_2 &&+ d_1b_2) \mathbf j\\
   {}+{} (&a_1d_2 &&+ b_1c_2 &&- c_1b_2 &&+ d_1a_2) \mathbf k
\end{alignat}</math>

Tích của hai [[Quaternion và phép quay không gian|quaternion quay]]<ref>{{chú thích web |title=Maths – Transformations using Quaternions |url=http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/transforms/index.htm |website=EuclideanSpace |quote=A rotation of {{math|q1}} followed by a rotation of {{math|q2}} is equivalent to a single rotation of {{math|q2 q1}}. Note the reversal of order, that is, we put the first rotation on the right hand side of the multiplication.}}</ref> sẽ tương ứng với phép quay {{nowrap|{{math|''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>2</sub>'''i''' + ''c''<sub>2</sub>'''j''' + ''d''<sub>2</sub>'''k'''}}}} theo sau bởi phép quay với  {{nowrap|{{math|''a''<sub>1</sub> + ''b''<sub>1</sub>'''i''' + ''c''<sub>1</sub>'''j''' + ''d''<sub>1</sub>'''k'''}}.}}

=== Phần vô hướng và phần thực ===
Quaternion dưới dạng {{math|''a'' + 0 '''i''' + 0 '''j''' + 0 '''k'''}}, trong đó phần tử {{mvar|a}} là số thực và được gọi là '''phần tử vô hướng''',còn quaternion dạng {{math|0 + ''b'' '''i''' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k'''}}, trong đó {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, và {{mvar|d}} là số thực và có ít nhất một trong {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, hoặc {{mvar|d}} khác không, thì được gọi là '''quaternion vector'''.  Nếu {{math|''a'' + ''b'' '''i''' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k'''}} là quaternion tuỳ ý, thì {{mvar|a}} được gọi là '''phần vô hướng''' và {{math|''b'' '''i''' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k'''}} được gọi là '''phần vector''' của nó. Mặc dù mọi quaternion có thể xem là vector trong không gian vectơ bốn chiều, người ta thường hay xem phần '''vector''' là vectơ trong không gian ba chiều hơn. Với cách quy ước này, phần vector tương tự với phần tử của không gian vectơ ba chiều <math>\mathbb R^3.</math>{{efn|It is important to note that the vector part of a quaternion is, in truth, an "axial" vector or "[[pseudovector]]", ''not'' an ordinary or "polar" vector, as was formally proven by Altmann (1986).<ref>{{chú thích sách |first=S.L. |last=Altmann |at=Ch.&nbsp;12 |title=Rotations, Quaternions, and Double Groups}}</ref> A polar vector can be represented in calculations (for example, for rotation by a quaternion "similarity transform") by a pure imaginary quaternion, with no loss of information, but the two should not be confused. The axis of a "binary" (180°) rotation quaternion corresponds to the direction of the represented polar vector in such a case.}}

Hamilton còn gọi quaternion vectơ là các '''quaternion phải'''<ref>{{chú thích sách |url=https://archive.org/details/bub_gb_fIRAAAAAIAAJ |title=Elements of Quaternions |publisher=Longmans, Green, & Company |article=Article 285 |page=[https://archive.org/details/bub_gb_fIRAAAAAIAAJ/page/n381 310] |author=Hamilton, Sir William Rowan |year=1866}}</ref><ref>{{chú thích tạp chí |url=http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=math;cc=math;q1=right%20quaternion;rgn=full%20text;idno=05140001;didno=05140001;view=image;seq=81 |author=Hardy |title=Elements of Quaternions |journal=Science |year=1881 |volume=2 |issue=75 |page=65 |publisher=library.cornell.edu|doi=10.1126/science.os-2.75.564 |pmid=17819877 }}</ref> và gọi các số thực (được coi là các quaternion có phần vectơ là vectơ không) là '''quaternion vô hướng'''.

Nếu một quaternion được chia thành phần vô hướng và phần vectơ:

<math display=block>
\mathbf q = (r,\ \vec{v}),~~ \mathbf q \in \mathbb{H},~~ r \in \mathbb{R},~~ \vec{v}\in \mathbb{R}^3,
</math>

thì công thức cho phép cộng, phép nhân và nghịch đảo của phép nhân sẽ là

<math display=block>\begin{align}
(r_1,\ \vec{v}_1) + (r_2,\ \vec{v}_2)
&= (r_1 + r_2,\ \vec{v}_1+\vec{v}_2)\,, \\[5mu]
(r_1,\ \vec{v}_1) (r_2,\ \vec{v}_2)
&= (r_1 r_2 - \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2,\ r_1\vec{v}_2+r_2\vec{v}_1 + \vec{v}_1\times\vec{v}_2)\,, \\[5mu]
(r, \vec{v})^{-1}
&= \left(\frac{r}{r^2 + \vec{v}\cdot\vec{v}}, \frac{-\vec{v}}{r^2 + \vec{v}\cdot\vec{v}}\right)\,,
\end{align}</math>

trong đó "<math>\cdot</math>" và "<math>\times</math>" ký hiệu tương ứng [[tích vô hướng]] và [[tích có hướng]].

== Liên hợp, chuẩn và nghịch đảo phép nhân ==
<!-- Should perhaps add an {{anchor|section name}} here if the section name changes -->

Liên hợp của quaternion giống với liên hợp của số phức và giống với chuyển vị (hay còn gọi là đảo chiều ) của các phần tử của đại số Clifford. Để định nghĩa, gọi <math>q = a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d\,\mathbf k </math> là quaternion. '''[[Liên hợp (đại số)|liên hợp]]''' của {{mvar|q}} là quaternion <math> q^* = a - b\,\mathbf i - c\,\mathbf j - d\,\mathbf k </math>. Nó được ký hiệu bằng {{math|''q''<sup>∗</sup>}}, ''q<sup>t</sup>'', <math>\tilde q</math>, hay {{overline|''q''}}.<ref name="SeeHazewinkel"/> Phép liên hợp là [[phép đối hợp]], nghĩa là nó là [[hàm ngược|nghịch đảo]] của chính nó, do đó liên hợp lại một quaternion đã được liên hợp sẽ ra quaternion gốc. Liên hợp của tích hai quaternion là tích của hai liên hợp theo ''thứ tự ngược lại''. Tức là nếu {{mvar|p}} và {{mvar|q}} là quaternion, thì {{math|1=(''pq'')<sup>∗</sup> = ''q''<sup>∗</sup>''p''<sup>∗</sup>}}, chứ không phải {{math|''p''<sup>∗</sup>''q''<sup>∗</sup>}}.

<!-- While the conjugation of a complex number is a special function, that requires, e.g., isolating the imaginary part, and cannot be performed by only applying addition, multiplication and the construction of the respective inverses, which make up the field of complex numbers (in fact, there is no holomorphic function doing the conjugation), – This should be in the section on complex numbers --> 
Liên hợp của quaternion trái ngược bên ngoài với các số phức ở chỗ các liên hợp của chúng đều có thể biểu diễn bằng phép nhân và cộng của quaternion:

<math display=block>
q^* = - \frac{1}{2} (q + \,\mathbf i \,q \,\mathbf i + \,\mathbf j \,q \,\mathbf j + \,\mathbf k \,q \,\mathbf k).
</math>

Phép liên hợp có thể dùng để lấy phần vô hướng và phần vectơ của quaternion. Phần vô hướng của {{mvar|p}} là {{math|{{sfrac|1|2}}(''p'' + ''p''<sup>∗</sup>)}}, còn phần vectơ của {{mvar|p}} là {{math|{{sfrac|1|2}}(''p'' − ''p''<sup>∗</sup>)}}.

[[Căn bậc hai]] của tích của một quaternion với liên hợp của chính nó được gọi là [[chuẩn (toán học)|''chuẩn'']] và được ký hiệu là {{math|{{|''q''}}}} (Hamilton gọi giá trị này là [[Tensor của quaternion|''tensor'' của ''q'']], song điều này dẫn tới mâu thuẫn với định nghĩa đương đại của "[[tensor]]"). Trong các công thức, nó được biểu diễn như sau:

<math display=block>\lVert q \rVert = \sqrt{\,qq^*~} = \sqrt{\,q^*q~} = \sqrt{\,a^2 + b^2 + c^2 + d^2~}</math>

Kết quả luôn là số thực không âm, và nó tương tự với chuẩn Euclid khi <math>\mathbb H</math> được xét là không gian vectơ<math>\mathbb R^4</math>. Nhân quaternion bằng một số thực thì cũng sẽ nhân lên giá trị tuyệt đối của số thực đó vào chuẩn. Nghĩa là, nếu {{mvar|α}} thực, thì

<math display=block>\lVert\alpha q\rVert = \left| \alpha\right|\,\lVert q\rVert~.</math>

Đây là trường hợp đặc biệt của nội dung chuẩn có tính ''nhân tính'', tức là

<math display=block>\lVert pq \rVert = \lVert p \rVert\,\lVert q \rVert</math>

với mọi quaternion {{mvar|p}} và {{mvar|q}}. Tính nhân tính là hệ quả của công thức liên hợp của tích. Hoặc ta có thể chứng minh từ định thức.

<math display=block> \det \begin{pmatrix}
a + i b & i d + c \\
 i d - c & a - i b
\end{pmatrix} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2,</math>

(trong đó {{mvar|i}} là [[đơn vị ảo]] quen thuộc) và từ tính nhân tính của [[định thức]] của các ma trận vuông.

Chuẩn này cho phép ta định nghĩa '''khoảng cách''' {{math|''d''(''p'', ''q'')}} giữa {{mvar|p}} và {{mvar|q}} là chuẩn của hiệu giữa chúng:

<math display=block>d(p, q) = \lVert p - q \rVert~.</math>

Từ đây, <math>\mathbb H</math> là [[không gian mêtric]].
Phép cộng và phép nhân [[hàm liên tục (tô pô)|liên tục]] tương ứng với [[Không gian mêtric#Open and closed sets, topology and convergence|tô pô mêtric]].
Cái này có thể lập luận từ cùng một bài chứng minh cho số thực <math>\mathbb R</math> từ nội dung <math>\mathbb H</math> là đại số định chuẩn.

=== Quaternion đơn vị ===
{{Main|Versor}}
'''Quaternion đơn vị''' là quaternion có chuẩn 1. Chia quaternion {{mvar|q}} khác không cho chuẩn không của nó sẽ ra quaternion đơn vị {{math|'''U'''''q''}} được gọi là ''[[versor]]'' của {{mvar|q}}:

<math display=block>\mathbf{U}q = \frac{q}{\lVert q\rVert}.</math>

Mỗi quaternion khác không đều có dạng [[phân tích cực]] duy nhất <math> q = \lVert q \rVert \cdot \mathbf{U} q </math>, trong khi ''quaternion không'' có thể lập thành từ bất kỳ quaternion đơn vị.

Sử dụng liên hợp và chuẩn giúp định nghĩa [[Nghịch đảo phép nhân|nghịch đảo]] của quaternion đơn vị. Tích của quaternion với nghịch đảo của nó phải bằng 1, và từ các nội dung trên sẽ suy ra rằng tích của <math>q</math> và <math>q^* / \left \Vert q \right \| ^2</math> bằng 1 (theo cả hai hướng nhân). Do đó ''[[reciprocal (mathematics)|nghịch đảo]]'' của {{mvar|q}} được định nghĩa là

<math display=block>q^{-1} = \frac{q^*}{\lVert q\rVert^2}.</math>

Bởi phép nhân không giao hoán, các giá trị {{math|''p q''<sup>−1</sup>}} hoặc {{math|''q''<sup>−1</sup>''p''}}&nbsp; khác nhau (trừ khi {{mvar|p}} và {{mvar|q}} là bội của nhau hoặc một trong số chúng vô hướng): ký hiệu {{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} không xác định và do đó không nên dùng.

== Tính chất đại số ==
[[Tập tin:Cayley graph Q8.svg|right|thumb|[[Đồ thị Cayley]] của {{math|Q<sub>8</sub>}}. Mũi tên màu đỏ biểu diễn phép nhân bên phải với {{math|'''i'''}}, còn mũi tên màu xanh biểu diễn phép nhân bên phải với {{math|'''j'''}}.]]

Tập hợp <math>\mathbb H</math> của tất cả quaternion là không gian vectơ trên số thực với số [[Chiều (không gian vectơ)|chiều]]&nbsp;4.{{efn|Để so sánh, các số thực <math>\mathbb R</math> có số chiều&nbsp;1, số phức <math>\mathbb C</math> có số chiều&nbsp;2, và các octonion <math>\mathbb O</math> có số chiều&nbsp;8.}} Phép nhân các quaternion có tính kết hợp và phân phối trên phép cộng vectơ. Trừ khi là nhân với phần tử trong tập các phần tử vô hướng, phép nhân không có tính giao hoán . Do đó, tập các quaternion <math>\mathbb H</math> là đại số kết hợp và không giao hoán trên số thực. Mặc dù <math>\mathbb H</math> có chứa bản sao của số phức, nó không phải đại số kết hợp trên số phức.

Bởi có thể chia quaternion, chúng lập thành đại số chia. Cấu trúc tương tự với trường ngoại trừ tính không giao hoán của phép nhân. Đại số chia, kết hợp mà hữu hạn chiều trên số thực cực kỳ hiếm. [[Định lý Frobenius (đại số chia thực)|Định lý Frobenius]] phát biểu chỉ có ba đại số như thế: <math>\mathbb R</math>, <math>\mathbb C</math>, và <math>\mathbb H</math>. Định nghĩa chuẩn khiến cho tập các quaternion lập [[đại số định chuẩn]]. Đại số định chuẩn trên số thực cũng rất hiếm, [[Định lýHurwitz (đại số hợp thành)|định lý Hurwitz]] nói rằng chỉ có đúng bốn: <math>\mathbb R</math>, <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math>, và <math>\mathbb O</math> (octonion). Các quaternion còn là ví dụ của [[đại số hợp thành]] và của [[đại số Banach]] unita.

[[Tập tin:Quaternion-multiplication-cayley-3d-with-legend.png|thumb|Đồ thị ba chiều của Q<sub>8</sub>. Mũi tên màu đỏ, xanh lá và xanh dương biểu diễn nhân tương ứng với {{math|'''i'''}}, {{math|'''j'''}}, và {{math|'''k'''}}. Để dễ nhìn, trong hình đã bỏ đi nhân với số âm.]]

Bởi tích của hai vectơ cơ sở hoặc ra giá trị âm hoặc ra giá trị dương của vectơ cơ sở còn lại, tập {{math|{{mset|±1, ±'''i''', ±'''j''', ±'''k'''}}}} lập thành một nhóm dưới phép nhân. [[Nhóm phi giao hoán|Nhóm không giao hoán]] này được gọi là nhóm quaternion và ký hiệu là {{math|Q<sub>8</sub>}}.<ref>{{chú thích web |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=quaternion+group |title=quaternion group |work=Wolframalpha.com}}</ref> [[Vành nhóm]] thực của {{math|Q<sub>8</sub>}} là vành <math>\mathbb R[\mathrm Q_8]</math> và cũng đồng thời là không gian vectơ 8 chiều trên <math>\mathbb R.</math> Nó có một vectơ cơ sở cho mỗi phần tử của <math>\mathrm Q_8.</math> Các quaternion đẳng cấu với [[vành thương]] của <math>\mathbb R[\mathrm Q_8]</math> chia bởi [[I-đê-an|ideal]] sinh bởi các phần tử {{math|1 + (−1)}}, {{math|'''i''' + (−'''i''')}}, {{math|'''j''' + (−'''j''')}}, và {{math|'''k''' + (−'''k''')}}. Ở đây phần tử đầu tiên trong mỗi hiệu là một trong các phần tử cơ sở {{math|1, '''i''', '''j'''}}, và {{math|'''k'''}}, còn phần tử cơ sở thứ hai là một trong {{math|−1, −'''i''', −'''j'''}}, và {{math|−'''k'''}}, chứ không phải nghịch đảo phép cộng của {{math|1, '''i''', '''j'''}}, và {{math|'''k'''}}.

== Quaternion và hình học ba chiều ==
Phần vectơ của quaternion có thể xem là vectơ toạ độ trong <math>\mathbb R^3;</math> do đó các phép toán đại số với quaternion phản ánh hình học của <math>\mathbb R^3.</math> Các phép toán như phép nhân vô hướng và phép nhân có hướng có thể định nghĩa bằng quaternion, và do đó ta có thể áp dung chúng bất cứ khi nào xuất hiện vectơ không gian. Một ứng dụng hữu ích của quaternion đó là nội suy giữa các hướng của khung chính trong đồ hoạ máy tính.<ref name="Shoemake"/>

Trong phần còn lại của mục này, {{math|'''i'''}}, {{math|'''j'''}}, và {{math|'''k'''}} sẽ đồng thời ký hiệu<ref>{{chú thích sách |url=https://archive.org/details/vectoranalysisa00wilsgoog |quote=right tensor dyadic |title=Vector Analysis |publisher=Yale University Press |last1=Gibbs |first1=J. Willard |last2=Wilson |first2= Edwin Bidwell |year=1901 |page=[https://archive.org/details/vectoranalysisa00wilsgoog/page/n452 428]}}</ref> ba vectơ cơ sở ảo của <math>\mathbb H</math> và là cơ sở của <math>\mathbb R^3.</math> Thay {{math|'''i'''}} bằng {{math|−'''i'''}}, {{math|'''j'''}} bằng {{math|−'''j'''}}, và {{math|'''k'''}} bằng {{math|−'''k'''}} sẽ đổi vectơ thành nghịch đảo phép cộng của nó, do đó nghịch đảo phép cộng của vectơ tương ứng với liên hợp của quaternion. Vì vậy, đôi khi liên hợp được gọi là ''nghịch đảo không gian''.

Cho hai quaternion {{nowrap|{{math|''p'' {{=}} ''b''<sub>1</sub>'''i''' + ''c''<sub>1</sub>'''j''' + ''d''<sub>1</sub>'''k'''}} }} và {{nowrap|{{math|''q'' {{=}} ''b''<sub>2</sub>'''i''' + ''c''<sub>2</sub>'''j''' + ''d''<sub>2</sub>'''k'''}} }}, [[tích vô hướng]] của chúng tương ứng với vectơ trong <math>\mathbb R^3,</math> là

<math display=block>p \cdot q = b_1 b_2 + c_1 c_2 + d_1 d_2~.</math>

Nó cũng có thể biểu diễn như sau mà không phải phân tích ra

<math display=block>p \cdot q = \textstyle\frac{1}{2}(p^*q + q^*p) = \textstyle\frac{1}{2}(pq^* + qp^*).</math>

Giá trị này bằng với phần vô hướng của {{math|''pq''<sup>∗</sup>, ''qp''<sup>∗</sup>, ''p''<sup>∗</sup>''q'', và ''q''<sup>∗</sup>''p''}}. Lưu ý phần vectơ của chúng khác nhau.

Tích có hướng của {{mvar|p}} và {{mvar|q}} tương ứng với hướng xác định bởi {{math|'''i''', '''j'''}}, và {{math|'''k'''}} là

<math display="block">p \times q = (c_1 d_2 - d_1 c_2)\mathbf i + (d_1 b_2 - b_1 d_2)\mathbf j + (b_1 c_2 - c_1 b_2)\mathbf k\,.</math>

(Lưu ý hướng được dùng để xác định dấu.) Giá trị này bằng với phần vectơ của {{math|''pq''}}, và cũng bằng phần vectơ của {{math|−''q''<sup>∗</sup>''p''<sup>∗</sup>}}. Nó có công thức sau

<math display=block>p \times q = \textstyle\tfrac{1}{2}(pq - qp).</math>

Đối với [[giao hoán tử]], {{math|[''p'', ''q''] {{=}} ''pq'' − ''qp''}}, ta cũng có thể suy ra rằng

<math display=block>[p,q]= 2p \times q.</math>

Tổng quát, gọi {{mvar|p}} và {{mvar|q}} là quaternion và viết

<math display=block>\begin{align}
p &= p_\text{s} + p_\text{v}, \\[5mu]
q &= q_\text{s} + q_\text{v},
\end{align}</math>

trong đó {{math|''p''<sub>s</sub>}} và {{math|''q''<sub>s</sub>}} là phần vô hướng, còn {{math|''p''<sub>v</sub>}} là {{math|''q''<sub>v</sub>}} là phần vectơ của {{mvar|p}} và {{mvar|q}}, thì ta có công thức

<math display="block">pq = (pq)_\text{s} + (pq)_\text{v} = (p_\text{s}q_\text{s} - p_\text{v}\cdot q_\text{v}) + (p_\text{s} q_\text{v} + q_\text{s} p_\text{v}  + p_\text{v} \times q_\text{v}).</math>

Công thức cho thấy tính không giao hoán của phép nhân quaternion đến từ phép nhân phần vectơ của chúng. Nó cũng cho thấy hai quaternion giao hoán với nhau khi phần vectơ của chúng đối tuyến tính. Hamilton<ref name="Hamilton">{{chú thích tạp chí |author-link=William Rowan Hamilton |first=W.R. |last=Hamilton |year=1844–1850 |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/OnQuat/ |title=On quaternions or a new system of imaginaries in algebra |journal=[[Philosophical Magazine]] |department=David R. Wilkins collection |publisher=[[Trinity College Dublin]]}}</ref> chứng minh rằng tích này tính ra toạ độ thứ ba của hình tam giác cầu từ hai đỉnh cho trước và độ dài góc tương ứng của chúng, và cũng đồng thời là đại số điểm trong [[hình học elliptic]].

Quaternion đơn vị đồng nhất với phép quay trong <math>\mathbb R^3</math> và được gọi là [[versor]] bởi Hamilton.<ref name="Hamilton" /> Để hiểu rõ hơn, xem [[quaternion và phép quay không gian]] về mô hình hoá quay ba chiều sử dụng quaternion.

Xem [[Andrew J. Hanson|Hanson]] (2005)<ref>{{chú thích web |url=http://www.cs.indiana.edu/~hanson/quatvis/ |title=Visualizing Quaternions |publisher=Morgan-Kaufmann/Elsevier |year=2005}}</ref> cách hiển thị quaternion.

== Biểu diễn ma trận ==
Tương tự như [[số phức]], quaternion có thể biểu diễn bằng ma trận. Có ít nhất hai cách biểu diễn các quaternion sao cho phép cộng và phép nhân của quaternion tương ứng với phép cộng và phép nhân của [[Ma trận (toán học)|ma trận]]. Một trong số đó là dùng ma trận phức 2 × 2, và một cách khác là dùng ma trận [[Số thực|thực]] 4 × 4.Trong mỗi cách, biểu diễn thu được là một trong họ các biểu diễn tuyến tính tương tự. Sử dụng [[đại số trừu tượng]], đây là các [[đơn cấu]] từ <math>\mathbb H</math> tới [[vành ma trận]] {{math|M(2,'''C''')}} và {{math|M(4,'''R''')}}, tương ứng.

Quaternion {{math|''a'' + ''b'''''i''' + ''c'''''j''' + ''d'''''k'''}} có thể biểu diễn thành ma trận phức 2 × 2 như sau

: <math> \left[ \begin{array}{rr}  a+bi & c+di \\ -c + d i & a - b i \end{array} \right].</math>

Cách biểu diễn này có các tính chất sau:
* Buộc hai trong {{mvar|b}}, {{mvar|c}} và {{mvar|d}} bằng 0 sẽ ra số phức.Ví dụ, đặt {{math|1=''c'' = ''d'' = 0}} sẽ ra biểu diễn ma trận chéo phức của số phức, còn nếu dùng {{math|1=''b'' = ''d'' = 0}} thì sẽ ra biểu diễn ma trận thực.
* Chuẩn của quaternion (căn bậc hai của tích với liên hợp, giống với số phức) là căn bậc hai của [[định thức]] của ma trận tương ứng.<ref>{{chú thích web |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=det+%7B{a%2Bb*i%2C+c%2Bd*i}%2C+{-c%2Bd*i%2C+a-b*i}%7D |title=[no title cited; determinant evaluation] |website=Wolframalpha.com}}</ref>
* Liên hợp của quaternion tương ứng với [[chuyển hợp]] của ma trận.
* Khi giới hạn, biểu diễn này ra [[đẳng cấu]] giữa nhóm các quaternion đơn vị với ảnh của chúng [[SU(2)]]. Trong tô pô, tập các [[unit quaternion|quaternion đơn vị]] lập 3-cầu, do đó không gian nền của SU(2) cũng là 3-cầu. Nhóm {{math|SU(2)}} quan trọng cho mô tả [[spin]] trong vật lý lượng tử; xem [[ma trận Pauli]].
* Có mối quan hệ mạnh mẽ giữa các quaternion đơn vị với các ma trận Pauli. Ta thu về tám ma trận quaternion đơn vị bằng cách xét {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} và {{mvar|d}}, đặt một trong số chúng bằng 0 và cái còn lại lấy 1 hoặc −1. Nhân bất kỳ hai trong ba ma trận Pauli sẽ luôn ra ma trận quaternion đơn vị, tất cả ngoại trừ -1. Ta thu −1 qua {{nowrap|{{math|1='''i'''<sup>2</sup> = '''j'''<sup>2</sup> = '''k'''<sup>2</sup> = '''i j k''' = −1}}}}; tức đẳng thức cuối là<math display=block>ijk = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = -1.</math>

Sử dung các ma trận thực 4 × 4, cũng cùng quaternion đó có thể viết như sau

<math display=block>\begin{align}
\left[ \begin{array}{rrrr}
 a & -b & -c & -d \\ 
 b & a & -d & c \\
 c & d & a & -b \\
 d & -c & b & a 
\end{array} \right]
&= a
\left[ \begin{array}{rrrr}
 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1 
\end{array} \right]
+ b
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & -1 & 0 & 0 \\ 
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 0 & 0 & 1 & 0 
\end{array} \right] \\[10mu]
&\qquad + c
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & -1 & 0 \\ 
 0 & 0 & 0 & 1 \\
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & -1 & 0 & 0 
\end{array} \right]
+ d
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & 0 & -1 \\ 
 0 & 0 & -1 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 1 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right].
\end{align}</math>

Tuy nhiên, biểu diễn của quaternion trong {{math|M(4,'''R''')}} không độc nhất. Chẳng hạn, vẫn cùng quaternion trên, nó có thể biểu diễn thành

<math display=block>\begin{align}
\left[ \begin{array}{rrrr}
 a & d & -b & -c \\ 
 -d & a & c & -b \\
 b & -c & a & -d \\
 c & b & d & a 
\end{array} \right]
&= a
\left[ \begin{array}{rrrr}
 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1 
\end{array} \right]
+ b
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & -1 & 0 \\ 
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 
\end{array} \right] \\[10mu]
&\qquad + c
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & 0 & -1 \\ 
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & -1 & 0 & 0 \\
 1 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right]
+ d
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 1 & 0 & 0 \\ 
 -1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 0 & 0 & 1 & 0 
\end{array} \right].
\end{align}</math>

Có 48&nbsp;cách biểu diễn ma trận riêng biệt dưới dạng này trong đó một trong số các ma trận biểu diễn phần vô hướng còn ba ma trận còn lại đều phản đối xứng. Cụ thể hơn, có 48&nbsp;tập các bộ bốn ma trận với ràng buộc đối xứng sao cho hàm gửi {{math|1, '''i''', '''j'''}}, và {{math|'''k'''}} đến các ma trận trong bộ bốn là đồng cấu, tức là nó gửi tổng và tích của quaternion tới tổng và tích của ma trận.<ref name="MatRep">{{chú thích tạp chí |last1=Farebrother |first1=Richard William |last2=Groß |first2=Jürgen |last3=Troschke |first3=Sven-Oliver |title=Matrix representation of quaternions |url=https://archive.org/details/sim_linear-algebra-and-its-applications_2003-03-15_362/page/n262 |journal=Linear Algebra and Its Applications |date=2003 |volume=362 |pages=251–255 |doi=10.1016/s0024-3795(02)00535-9 | doi-access=free }}</ref> 
Trong cách biểu diễn này, liên hợp của quaternion tương ứng với [[Ma trận chuyển vị|chuyển vị]] của ma trận. Luỹ thừa bậc bốn của chuẩn của quaternion là định thức của ma trận tương ứng . Giống với biểu diễn phức 2 × 2 ở trên, có thể viết biểu diễn các số phức bằng cách ràng buộc hợp lý các giá trị; ví dụ, biểu diễn thành ma trận khối chéo với hai khối 2 × 2 bằng cách đặt {{math|1=''c'' = ''d'' = 0}}.

Mỗi biểu diễn ma trận 4×4 của quaternion tương ứng với một bảng nhân của các quaternion đơn vị. Ví dụ chẳng hạn, biểu diễn thứ hai ở trên tương ứng với bảng nhân
{|class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!width=15|×
!width=15|''a''
!width=15|''d''
!width=15|−''b''
!width=15|−''c''
|-
!''a''
|''a''
|''d''
|''−b''
|''−c''
|-
!''−d''
|''−d''
|''a''
|''c''
|''−b''
|-
!''b''
|''b''
| −''c''
|''a''
|−''d''
|-
!''c''
|''c''
|''b''
|''d''
|''a''
|-
|}

đẳng cấu — qua <math>\{a \mapsto 1, b \mapsto i, c \mapsto j, d \mapsto k\}</math> — với

{|class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!width=15|×
!width=15| 1 
!width=15|'''k'''
!width=15|−'''i'''
!width=15|−'''j'''
|-
!1 
|1 
|'''k'''
|−'''i'''
|−'''j'''
|-
!−'''k'''
|−'''k'''
|1
|'''j'''
|−'''i'''
|-
!'''i'''
|'''i'''
|−'''j'''
|1 
|−'''k'''
|-
!'''j'''
|'''j'''
|'''i'''
|'''k'''
|1
|-
|}

Buộc bất kỳ bảng nhân phải để phần tử trung hoà ở hàng đầu và cột đầu và dấu của các đầu hàng phải trái với dấu của đầu cột, thì có 3 lựa chọn khả thi cho cột thứ hai (không quan tâm dấu), 2 lựa chọn khả thi cho cột thứ ba (không quan tâm dấu) và 1 lựa chọn khả thi  (không quan tâm dấu) cho cột thứ tư; ta được sáu lựa chọn khả thi. Sau đó khi quan tâm dấu, mỗi cột có thể âm hoặc dương, có ba cột và vì vậy có 2<sup>3</sup>=8 lựa chọn cho dấu mỗi cột. Nhân số lựa chọn phần tử với số lựa chọn dấu sẽ ra 48. Sau đó thay {{math|1}} bằng {{mvar|a}}, {{math|'''i'''}} bằng {{mvar|b}}, {{math|'''j'''}} bằng {{mvar|c}}, và {{math|'''k'''}} bằng {{mvar|d}} rồi bỏ các hàng đầu và cột đầu sẽ ra biểu diễn ma trận của {{math|''a'' + ''b'' '''i''' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k''' }}.

== Định lý bốn số chính phương của Lagrange ==
{{Main|Định lý bốn số chính phương của Lagrange}}
Quaternion cũng được dùng trong một trong trong các bài chứng minh cho định lý bốn số chính phương của Lagrange trong lý thuyết số, định lý này phát biểu rằng mọi số nguyên không âm là tổng của bốn số chính phương. Bên cạnh việc định lý này rất là gọn, định lý còn có ứng dụng hữu ích trong các nhánh toán học ngoài lý thuyết số, chẳng hạn như trong lý thuyết [[thiết kế tổ hợp]]. Bài chứng minh dựa trên quaternion sử dụng các [[quaternion Hurwitz]], các quaternion này là vành con của vành các quaternion có chứa thuật toán với [[thuật toán Euclid]].

== Quaternion  là cặp số phức ==
{{Main|Xây dựng Cayley–Dickson}}
Quaternion có thể biểu diễn bằng cặp hai số phức. Từ góc nhìn này, các quaternion là kết quả của việc áp dụng [[xây dựng Cayley–Dickson]] đến số phức. Đây là dạng tổng quát của xây dựng số phức từ cặp hai số thực.

Gọi <math>\mathbb C^2</math> là không gian vectơ hai chiều trên số phức. Chọn cơ sở bao gồm hai phần tử  {{math|1}} và {{math|'''j'''}}. Một vectơ trong <math>\mathbb C^2</math> có thể viết thành tổ hợp của các phần tử cơ sở {{math|1}} và {{math|'''j'''}} như sau

<math display=block>(a + b i)1 + (c + d i)\mathbf j\,. </math>

Nếu ta định nghĩa {{math|1='''j'''<sup>2</sup> = −1}} và {{math|1=''i'' '''j''' = −'''j''' ''i''}}, thì ta có thể định nghĩa phép nhân vectơ sử dụng luật phân phối. Sử dụng {{math|'''k'''}} làm ký hiệu viết tắt cho tích {{math|''i'' '''j'''}} dẫn tới cùng luật cho phép nhân của quaternion. Do đó, vectơ trên của các số phức tương ứng với quaternion {{math|''a'' + ''b i'' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k'''}}. Nếu ta viết phần tử của <math>\mathbb C^2</math> là [[cặp được sắp]] và các quaternion là bộ bốn, thì tương ứng giữa chúng

<math display=block>(a + bi,\ c + di) \leftrightarrow (a, b, c, d).</math>

== Căn bậc hai ==

=== Căn bậc hai của −1 ===
Trong số phức, <math>\mathbb C,</math> có đúng hai số, {{mvar|i}} và {{math|−''i''}}, cho ra −1 khi bình phương lên. Trong <math>\mathbb H</math>, có vô hạn giá trị cho căn bậc hai của -1: nghiệm quaternion cho căn bậc hai của −1 là [[mặt cầu]] đơn vị trong <math>\mathbb R^3.</math>Để hiểu rõ, gọi {{nowrap|{{math|''q'' {{=}} ''a'' + ''b'' '''i''' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k'''}} }} là quaternion và là căn bậc hai của −1. Khi đó, xét {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, và {{mvar|d}}, ta được

<math display=block>\begin{align}
a^2 - b^2 - c^2 - d^2 &= -1, \vphantom{x^|} \\[3mu]
2ab &= 0, \\[3mu]
2ac &= 0, \\[3mu]
2ad &= 0.
\end{align}</math>

Để thoả mãn ba phương trình cuối, hoặc {{nowrap|{{math|''a'' {{=}} 0}}}} hoặc {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, và {{mvar|d}} đều bằng 0. Lựa chọn sau bất khả thi bởi ''a'' là số thực và nếu chọn như thế thì sẽ suy ra {{nowrap|{{math|''a''<sup>2</sup> {{=}} −1}}.}} Do đó, {{nowrap|{{math|''a'' {{=}} 0}}}} và {{nowrap|{{math|''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup> {{=}} 1}}.}} Nói cách khác: quaternion có bình phương bằng −1 khi và chỉ khi nó là quaternion vectơ với chuẩn 1. Theo định nghĩa, mọi vectơ như thế lập thành mặt cầu đơn vị.

Chỉ có số quaternion thực và âm mới có vô hạn số căn bậc hai. Những giá trị còn lại chỉ có hai (hoặc một trong trường hợp của 0).{{citation needed|date=September 2017}}{{efn|Xác định căn bậc hai của âm một trong <math>\mathbb H</math> được thực hiện bởi Hamilton<ref>{{chú thích sách |author=Hamilton, W.R. |year=1899 |title=Elements of Quaternions |edition=2nd |page=244 |publisher=Cambridge University Press |isbn=1-108-00171-8}}</ref> nhưng thường thì bỏ đi trong các văn bản khác. Vào 1971, nội dung mặt cầu được Sam Perlis thêm vào trong bài in phần trình bày ba trang của ông trong cuốn ''Historical Topics in Algebra'' xuất bản bởi [[National Council of Teachers of Mathematics]].<ref>{{chú thích sách |last=Perlis |first=Sam |chapter=Capsule 77: Quaternions |title=Historical Topics in Algebra |url=https://archive.org/details/historicaltopics0000nati/page/38/mode/2up |url-access=registration |publisher=[[National Council of Teachers of Mathematics]] |location=Reston, VA |series=Historical Topics for the Mathematical Classroom |volume=31 |year=1971 |page=39 |isbn=9780873530583 |oclc=195566 }}</ref> Gần đây hơn, mặt cầu của các căn bậc hai của -1 được mô tả trong mệnh đề 8.13 trong cuốn sách ''Clifford Algebras and the Classical Groups'' (dịch: ''đại số Clifford và các nhóm cổ điển'') (Cambridge, 1995) của [[Ian R. Porteous]] .<ref>{{chú thích sách |last=Porteous |first=Ian R. |author-link=Ian R. Porteous |chapter=Chapter 8: Quaternions |url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/porteous3.pdf |title=Clifford Algebras and the Classical Groups |series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |publisher=[[Cambridge University Press]] |location=Cambridge |volume=50 |pages=60 |year=1995 |doi=10.1017/CBO9780511470912.009 |isbn=9780521551779 |oclc=32348823 |mr=1369094 }}</ref>}}

==== Khi là hợp của các mặt phẳng phức ====
Mỗi [[điểm đối cực|cặp đối cực]] của căn bậc hai của −1 tạo một bản sao phân biệt của số phức trong các quaternion. Nếu {{nowrap|{{math|''q''<sup>2</sup> {{=}} −1}},}} thì bản sao là [[ảnh (toán học)|ảnh]] của hàm số

<math display=block>a + bi \mapsto a + b q\,.</math>

Đây là [[đơn ánh|đơn]] [[đồng cấu vành|cấu vành]] từ <math>\mathbb C</math> đến <math>\mathbb H,</math> định nghĩa [[đẳng cấu trường]] từ <math>\Complex</math> đến [[ảnh (toán học)|ảnh]] của nó. Ảnh của phép nhúng tương ứng với {{mvar|q}} và −{{mvar|q}} bằng nhau.

Mọi quaternion không thực sinh [[đại số con]] của các quaternion mà đẳng cấu với <math>\mathbb C,</math> và do đó là không gian con phẳng của <math>\mathbb H\colon</math> viết {{mvar|q}} thành tổng của phần vô hướng và phần vectơ:

<math display=block>q = q_s + \vec{q}_v.</math>

Phân tích phần vectơ thành tích của chuẩn của nó với [[versor]]:

<math display=block>q = q_s + \lVert\vec{q}_v\rVert\cdot\mathbf{U}\vec{q}_v=q_s+\|\vec q_v\|\,\frac{\vec q_v}{\|\vec q_v\|}.</math>

(Cái này khác với <math>q_s + \lVert q\rVert\cdot\mathbf{U}q</math>.) Versor của phần vectơ {{mvar|q}}, <math>\mathbf{U}\vec{q}_v</math>, là versor phải với –1 là bình phương của nó. Dễ kiểm chứng rằng
<math display=block>a + bi \mapsto a + b\mathbf{U}\vec{q}_v</math>
định nghĩa [[đồng cấu đại số]] có tính đơn ánh của các [[đại số định chuẩn]] từ <math>\mathbb C</math> đến các quaternion. Dưới đồng cấu này, {{mvar|q}} là ảnh của số phức <math>q_s + \lVert\vec{q}_v\rVert i</math>.

Bởi <math>\mathbb H</math> là [[phép hợp|hợp]] của tất cả các ảnh của đồng cấu, ta có thể xem các quaternion là [[chùm các mặt phẳng]] giao nhau trên [[đường số thực]]. Mỗi [[mặt phẳng phức]] này chỉ chứa cặp hai [[điểm đối cực]] của mặt cầu của căn bậc hai của -1.

==== Vành con giao hoán ====
Mối quan hệ của các quaternion với nhau trong mặt phẳng phức của <math>\mathbb H</math> có thể xác định và biểu diễn bằng các [[vành con]] [[vành giao hoán|giao hoán]]. Cụ thể, bởi hai quaternion {{mvar|p}} và {{mvar|q}} giao hoán (tức {{math|''p q'' {{=}} ''q p''}}) chỉ khi chúng nằm trong cùng mặt phẳng phức của <math>\mathbb H</math>, ý tưởng <math>\mathbb H</math> là hợp của các mặt phức nảy sinh khi ta muốn tìm tất cả vành con giao hoán của vành quaternion.

=== Căn bậc hai của quaternion tuỳ ý ===

Bất kỳ quaternion <math>\mathbf q = (r,\, \vec{v})</math> (biểu diễn dưới dạng cặp vô hướng và vectơ) có ít nhất một căn bậc hai <math>\sqrt{\mathbf q} = (x,\, \vec{y})</math> giải phương trình <math>\sqrt{\mathbf q}^2 = (x,\, \vec{y})^2 = \mathbf q</math>. Nhìn riêng biệt vào phần vô hướng và vectơ trong phương trình sẽ ra hai phương trình, sau khi giải chúng sẽ ra nghiệm

<math display=block>
\sqrt{\mathbf q}
= \sqrt{(r,\, \vec{v}\,)}
= \pm\left(\sqrt{\frac{\|\mathbf q\|+r}{2}},\ \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}\sqrt{\frac{\|\mathbf q\|-r}{2}}\right),
</math>

trong đó <math display="inline">\|\vec{v}\| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{-\vec v^2}</math> là chuẩn của <math>\vec{v}</math> và <math display="inline">\|\mathbf q\| = \sqrt{\mathbf q^*\mathbf q} = r^2 + \|\vec{v}\|^2</math> là chuẩn của <math>\mathbf q</math>. Đối với quaternion vô hướng <math>\mathbf q</math>, phương trình này cho đúng giá trị căn bậc hai nếu <math display="inline">\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}</math> được coi là vectơ đơn vị tuỳ ý.

Do đó, các quaternion không vô hướng và khác không hoặc các quaternion dương có chính xác hai căn bậc hai, trong khi 0 chỉ có một (0), còn quaternion vô hướng và âm thì có vô số căn bậc hai, và là các quaternion vectơ nằm trên <math>\{0\} \times S^2(\sqrt{-r})</math>,tức phần vô hướng bằng 0 còn phần vectơ thì nằm trên [[N-cầu|2-cầu]] có bán kinh <math>\sqrt{-r}</math>.

==Hàm với biến quaternion==
{{Main|Giải tích quaternion}}
[[Tập tin:Quaternion Julia x=-0,75 y=-0,14.jpg|thumb|Các tập Julia và tập Mandelbrot có thể mở rộng sang các quaternion, nhưng chúng phải dùng mặt cắt để có thể hình dung trong không gian 3 chiều. Tập Julia này được cắt bởi mặt phẳng {{mvar|x y}}.]]
Giống hàm số với [[biến phức]], các hàm với biến quaternion gợi ý đến mô hình vật lý hữu dụng. Chẳng hạn, mô tả gốc của Maxwell về từ trường và điện trường sử dụng hàm biến quaternion. Các ví dụ khác bao gồm mở rộng  [[tập Mandelbrot]] và [[tập Julia]] sang không gian bốn chiều.<ref>{{chú thích web |title=[no title cited] |website=bridgesmathart.org |series=archive |url=http://archive.bridgesmathart.org/2010/bridges2010-247.pdf |access-date=19 August 2018}}</ref>

===Hàm mũ, hàm lôgarit và hàm luỹ thừa===
Cho quaternion,

<math display=block> q = a + b\mathbf i + c\mathbf j + d\mathbf k = a + \mathbf{v}, </math>

hàm mũ được tính như sau<ref name=Särkkä2007>{{chú thích web |url=http://www.lce.hut.fi/~ssarkka/pub/quat.pdf |website=Lce.hut.fi |title=Notes on Quaternions |first=Simo |last=Särkkä |date=June 28, 2007 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170705123142/http://www.lce.hut.fi/~ssarkka/pub/quat.pdf |archive-date=5 July 2017}}</ref>

<math display=block>
\exp(q)
= \sum_{n=0}^\infty \frac{q^n}{n!}
= e^{a} \left(\cos \|\mathbf{v}\| + \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \sin \|\mathbf{v}\|\right),
</math>

còn hàm lôgarit là<ref name=Särkkä2007/>

<math display=block>\ln(q) = \ln \|q\| + \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \arccos \frac{a}{\|q\|}.</math>

Từ đây, ta có thể viết dạng cực (dạng lượng giác) của quaternion

<math display=block>q=\|q\|e^{\hat{n}\varphi} = \|q\| \left(\cos(\varphi) + \hat{n} \sin(\varphi)\right),</math>

trong đó [[góc]] đến từ{{efn|name="θ"|Các sách trên toán học ứng dụng, chẳng hạn như của Corke (2017)<ref>{{chú thích sách |title=Robotics, Vision, and Control – Fundamental Algorithms in MATLAB |last=Corke |first=Peter |publisher=[[Springer Publishing|Springer]] |year=2017 |isbn=978-3-319-54413-7}}</ref> thường dùng ký hiệu khác {{math|''φ'' :{{=}} {{sfrac|1|2}}''θ''}} — tức là, [[thay biến|thay thành]] {{math|''θ'' {{=}} 2''φ''}}.}}

<math display=block>a = \| q \| \cos( \varphi )</math>

còn vectơ đơn vị <math>\hat{n}</math> định nghĩa bởi:

<math display=block>\mathbf{v} = \hat{n} \|\mathbf{v}\|= \hat{n}\|q\|\sin(\varphi)\,.</math>

Bất kỳ quaternion đơn vị có thể biểu diễn dưới dạng cực như sau:

<math display=block>q=\exp{(\hat{n}\varphi)}.</math>

[[Lũy thừa|Luỹ thừa]] của quaternion với bậc {{mvar|x}} thực tuy ý là:

<math display=block>q^x = \|q\|^x e^{\hat{n} x \varphi} = \|q\|^x \left(\cos(x\varphi) + \hat{n}\,\sin(x\varphi)\right)~.</math>

===Chuẩn trắc địa===
[[Khoảng cách đường tròn lớn|Khoảng cách trắc địa]] {{nowrap|{{math|''d''<sub>g</sub>(''p'', ''q'')}}}} giữa quaternion đơn vị {{mvar|p}} và {{mvar|q}} được định nghĩa là:<ref name=Geodesic>{{chú thích tạp chí |last1=Park |first1=F.C. |last2=Ravani |first2=Bahram |title=Smooth invariant interpolation of rotations |url=https://archive.org/details/sim_acm-transactions-on-graphics_1997-07_16_3/page/277 |journal=ACM Transactions on Graphics |date=1997 |volume=16 |number=3 |pages=277–295 |doi=10.1145/256157.256160|s2cid=6192031 |doi-access=free }}</ref>

<math display=block>d_\text{g}(p, q) = \lVert \ln(p^{-1} q) \rVert.</math>

và tương ứng với giá trị tuyệt đối của một nửa góc đối diện bởi  {{mvar|p}} và {{mvar|q}} trên [[Cung (hình học)|cung lớn]] của mặt {{math|S<sup>3</sup>}}-cầu.
Góc này cũng có thể tính từ tích vô hướng của quaternion mà không sử dụng lôgarit:

<math display=block>\arccos(2(p \cdot q)^2 - 1).</math>

==Nhóm quay ba chiều và nhóm quay bốn chiều==
{{unreferenced section|date=October 2018}}
{{Main|Quaternion và quay không gian|Toán tử quay (không gian vectơ)}}
Từ "[[liên hợp (lý thuyết nhóm)|liên hợp]]", ngoài nghĩa ở trên còn có nghĩa là biến đổi phần tử {{mvar|a}} thành {{math|''r a r''<sup>−1</sup>}} trong {{mvar|r}} là quaternion khác không nào đó. Tất cả [[lớp liên hợp|phần tử liên hợp với một phần tử cho trước]] (theo nghĩa của "liên hợp" trong đây) có cùng phần thực và cùng giá trị chuẩn của phần vectơ. (Do đó liên hợp ở trên là một trong họ các phần tử "liên hợp" dưới đây.) <ref>{{cite arXiv |last=Hanson |first=Jason |year=2011 |title=Rotations in three, four, and five dimensions |class=math.MG |eprint=1103.5263 }}</ref>

Do vậy, nhóm nhân tính của quaternion khác không tác động bằng liên hợp lên bản sao của <math>\mathbb R^3</math> bao gồm các quaternion có phần thực bằng không. Liên hợp bởi quaternion đơn vị (quaternion có chuẩn 1) với phần thực {{math|cos(''φ'')}} là phép quay với góc {{math|2''φ''}}, trục quay là hướng của phần vectơ. Các ưu điểm của phép quay bằng quaternion này là:<ref>{{cite thesis |type=BS |last=Günaşti |first=Gökmen |year=2016 |title=Quaternions Algebra, Their Applications in Rotations and Beyond Quaternions |publisher=Linnaeus University |url=http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:535712/FULLTEXT02 }}</ref>

* Tránh [[khoá gimbal]] (gimbal lock), một vấn đề với các hệ thống như góc Euler.
* Nhanh hơn và gọn hơn khi tính với ma trận.
* Biểu diễn không kỳ dị (so sánh với góc Euler chẳng hạn).
* Cặp quaternion đơn vị có thể biểu diễn phép quay trong [[không gian bốn chiều]] (xem [[Quay trong không gian Euclid 4 chiều]]).

<!-- ''S''³ itself has not a canonical group structure -->Tập các quaternion đơn vị ([[versor]]) lập thành 3-cầu {{math|''S''<sup>3</sup>}} và nhóm ([[nhóm Lie]]) dưới phép nhân, [[không gian phủ#Properties|phủ hai lần]] nhóm  <math>\text{SO}(3,\mathbb{R})</math> của các [[ma trận trực giao]] thực 3×3&nbsp;với [[định thức]]&nbsp;1 bởi ''hai'' quaternion đơn vị tương ứng với phép quay dưới tương ứng trên. Xem [[mẹo đĩa]].
{{further|Nhóm điểm trong ba chiều}}
Ảnh của nhóm con các versor  là [[Nhóm điểm trong ba chiều|nhóm điểm]], và ngược lại, tạo ảnh của nhóm điểm là nhóm con các versor. Tạo ảnh của nhóm điểm hữu hạn được gọi cùng tên nhưng thêm hậu tố ''nhị phân''. Lấy ví dụ, tạo ảnh của [[nhóm icosahedral]] là [[nhóm icosahedral nhị phân]].

Nhóm các versor đẳng cấu với {{math|SU(2)}}, nhóm các [[ma trận unita]] 2×2&nbsp; có [[định thức]] 1.

Gọi {{mvar|A}} là tập các quaternion dưới dạng {{nowrap|{{math|''a'' + ''b'' '''i''' + ''c'' '''j''' + ''d'' '''k'''}} }} trong đó {{mvar|a, b, c,}} và {{mvar|d}} hoặc đều là [[số nguyên]] hoặc đều là [[số bán nguyên]]. Tập {{mvar|A}} này là vành (thậm chí còn là [[miền (lý thuyết vành)|miền]]) và là [[lưới (nhóm)|lưới]], được gọi là vành các quaternion Hurwitz . Có 24 quaternion đơn vị này và chúng đều là đỉnh của [[24-cell|24-cell đều]] (hình 24 đỉnh trong không gian 4 chiều) với [[dấu Schläfli]] {{math|{3,4,3}.}} <!--They correspond to the double cover of the rotational symmetry group of the regular [[tetrahedron]]. Similarly, the vertices of a [[600-cell|regular 600 cell]] with Schläfli symbol {{math|{3,3,5}}} can be taken as the unit [[icosian]]s, corresponding to the double cover of the rotational symmetry group of the [[regular icosahedron]]. The double cover of the rotational symmetry group of the regular [[octahedron]] corresponds to the quaternions that represent the vertices of the [[disphenoidal 288-cell]].--><ref>{{chú thích web |title=Three-Dimensional Point Groups |url=https://www.classe.cornell.edu/~dms79/xrd/xtallography/Three-Dimensional%20Point%20Groups.htm |access-date=2022-12-09 |website=www.classe.cornell.edu}}</ref>

== Đại số quaternion ==
{{Main|Đại số quaternion}}

Các quaternion có tổng quát hơn nữa thành đại số gọi là ''đại số quaternion''. Gọi {{mvar|F}} là bất kỳ có đặc trưng khác 2, và {{mvar|a}} và {{mvar|b}} là các phần tử của {{mvar|F}}; đại số kết hợp, unita và bốn chiều có thể định nghĩa trên {{mvar|F}} với cơ sở {{math| 1, '''i''', '''j''',}} và {{math|'''i j'''}}, trong đó {{nowrap|{{math|'''i'''<sup>2</sup> {{=}} ''a''}}}}, {{nowrap|{{math|'''j'''<sup>2</sup> {{=}} ''b''}}}} và {{nowrap|{{math|'''i j''' {{=}} −'''j i'''}}}} (nên {{nowrap|{{math|'''(i j)'''<sup>2</sup> {{=}} −''a b''}}}}).

Đại số quaternion đẳng cấu với đại số các ma trận 2×2 trên {{mvar|F}} <!--or form division algebras over {{mvar|F}}, depending on the choice of {{mvar|a}} and {{mvar|b}}-->.

== Quaternion là phần chẵn của {{math|Cl<sub>3,0</sub>(R)}} ==
{{main|Spinor}}
Tính hữu dụng của quaternion cho tính toán hình học có thể tổng quát cho các chiều khác bằng việc xác định quaternion là phần chẵn <math>\operatorname{Cl}_{3,0}^+(\mathbb R)</math> của đại số Clifford <math>\operatorname{Cl}_{3,0}(\mathbb R).</math> Đây là đại số đa vectơ kết hợp được xây từ các phần tử cơ sở nền tảng {{math|[[Ma trận Pauli|''σ''<sub>1</sub>, ''σ''<sub>2</sub>, ''σ''<sub>3</sub>]]}} sử dụng quy tắc tính tích sau

<math display=block>\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1,</math>
<math display=block>\sigma_i \sigma_j = - \sigma_j \sigma_i \qquad (j \neq i).</math>

Nếu các phần tử cơ sở này được dùng để biểu diễn vectơ trong không gian 3D, thì ta có thể nhận ra rằng ''phản xạ'' của vectơ {{mvar|r}} trong mặt phẳng vuông góc với vectơ đơn vị {{mvar|w}} có thể viết thành:

<math display=block>r^{\prime} = - w\, r\, w.</math>

Hai phản xạ sẽ tạo phép quay bởi góc gấp đối góc giữa hai mặt phẳng phản xạ, do đó

<math display=block>r^{\prime\prime} = \sigma_2 \sigma_1 \, r \, \sigma_1 \sigma_2 </math>

tương ứng với quay 180° trong mặt phẳng chứa ''σ''<sub>1</sub> và ''σ''<sub>2</sub>.  Điều này rất tương tự với công thức quaternion tương ứng,

<math display=block>r^{\prime\prime} = -\mathbf{k}\, r\, \mathbf{k}. </math>

Thật vậy, hai cấu trúc <math>\operatorname{Cl}_{3,0}^+(\mathbb R)</math> và <math>\mathbb H</math> [[phép đẳng cấu|đẳng cấu với nhau]]. Một ánh xạ dễ tìm đó là

<math display=block>1 \mapsto 1\,, \quad \mathbf{k} \mapsto \sigma_2 \sigma_1\,, \quad \mathbf{i} \mapsto \sigma_3 \sigma_2\,, \quad \mathbf{j} \mapsto \sigma_1 \sigma_3\,,</math>

và dễ kiểm chứng lại nó bảo toàn các quan hệ của Hamilton

<math display=block>\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{i \,j \,k} = -1~.</math>

<!--In this picture, so-called "vector quaternions" (that is, pure imaginary quaternions) correspond not to vectors but to [[bivector]]s – quantities with magnitude and orientations associated with particular 2D&nbsp;''planes'' rather than 1D&nbsp;''directions''. The relation to complex numbers becomes clearer, too: in 2D, with two vector directions {{math|''σ''<sub>1</sub>}} and {{math|''σ''<sub>2</sub>}}, there is only one bivector basis element {{math|''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>}}, so only one imaginary. But in 3D, with three vector directions, there are three bivector basis elements {{math|''σ''<sub>1</sub>''σ''<sub>2</sub>}}, {{math|''σ''<sub>2</sub>''σ''<sub>3</sub>}}, {{math|''σ''<sub>3</sub>''σ''<sub>1</sub>}}, so three imaginaries.

This reasoning extends further. In the Clifford algebra <math>\operatorname{Cl}_{4,0}(\mathbb R),</math> there are six bivector basis elements, since with four different basic vector directions, six different pairs and therefore six different linearly independent planes can be defined. Rotations in such spaces using these generalisations of quaternions, called [[rotor (mathematics)|rotors]], can be very useful for applications involving [[homogeneous coordinates]].  But it is only in 3D that the number of basis bivectors equals the number of basis vectors, and each bivector can be identified as a [[pseudovector]].

There are several advantages for placing quaternions in this wider setting:<ref>{{chú thích web |url=http://www.geometricalgebra.net/quaternions.html |title=Quaternions and Geometric Algebra |website=geometricalgebra.net |access-date=2008-09-12}} See also: {{chú thích sách |first1=Leo |last1=Dorst |first2=Daniel |last2=Fontijne |first3=Stephen |last3=Mann |year=2007 |url=http://www.geometricalgebra.net/index.html |title=Geometric Algebra for Computer Science |publisher=[[Morgan Kaufmann]] |isbn=978-0-12-369465-2}}</ref>
* Rotors are a natural part of geometric algebra and easily understood as the encoding of a double reflection.
* In geometric algebra, a rotor and the objects it acts on live in the same space. This eliminates the need to change representations and to encode new data structures and methods, which is traditionally required when augmenting linear algebra with quaternions.
* Rotors are universally applicable to any element of the algebra, not just vectors and other quaternions, but also lines, planes, circles, spheres, rays, and so on.
* In the [[Conformal geometric algebra|conformal model]] of Euclidean geometry, rotors allow the encoding of rotation, translation and scaling in a single element of the algebra, universally acting on any element. In particular, this means that rotors can represent rotations around an arbitrary axis, whereas quaternions are limited to an axis through the origin.
* Rotor-encoded transformations make interpolation particularly straightforward.
* Rotors carry over naturally to [[pseudo-Euclidean space]]s, for example, the [[Minkowski space]] of [[special relativity]]. In such spaces rotors can be used to efficiently represent [[Lorentz boost]]s, and to interpret formulas involving the [[gamma matrices]].

For further detail about the geometrical uses of Clifford algebras, see [[Geometric algebra]].

== Nhóm Brauer ==
{{further|Nhóm Brauer}}

The quaternions are "essentially" the only (non-trivial) [[central simple algebra]] (CSA) over the real numbers, in the sense that every CSA over the real numbers is [[Brauer equivalent]] to either the real numbers or the quaternions. Explicitly, the [[Brauer group]] of the real numbers consists of two classes, represented by the real numbers and the quaternions, where the Brauer group is the set of all CSAs, up to equivalence relation of one CSA being a [[matrix ring]] over another. By the [[Artin–Wedderburn theorem]] (specifically, Wedderburn's part), CSAs are all matrix algebras over a division algebra, and thus the quaternions are the only non-trivial division algebra over the real numbers.

CSAs – finite dimensional rings over a field, which are [[simple algebra]]s (have no non-trivial 2-sided ideals, just as with fields) whose center is exactly the field – are a noncommutative analog of [[extension field]]s, and are more restrictive than general ring extensions. The fact that the quaternions are the only non-trivial CSA over the real numbers (up to equivalence) may be compared with the fact that the complex numbers are the only non-trivial finite field extension of the real numbers.-->

== Trích dẫn ==
{{blockquote|text=I regard it as an inelegance, or imperfection, in quaternions, or rather in the state to which it has been hitherto unfolded, whenever it becomes or seems to become necessary to have recourse to {{math|x, y, z,}} etc.|author=William Rowan Hamilton (circa 1848)<ref>{{chú thích sách |last1=Hamilton |first1=William Rowan |title=Lectures on quaternions |date=1853 |publisher=Dublin: Hodges and Smith |page=522 |url=https://archive.org/details/lecturesonquater00hami/page/522/mode/2up}}</ref>}}

{{blockquote|text=Time is said to have only one dimension, and space to have three dimensions.&nbsp;... The mathematical quaternion partakes of both these elements; in technical language it may be said to be "time plus space", or "space plus time": and in this sense it has, or at least involves a reference to, four dimensions.&nbsp;... ''And how the One of Time, of Space the Three, Might in the Chain of Symbols girdled be''.|author=William Rowan Hamilton (circa 1853)<ref>{{chú thích sách |first=R.P. |last=Graves |title=Life of Sir William Rowan Hamilton|url=https://archive.org/details/lifeofsirwilliam03gravuoft/page/634/mode/2up|pages=635–636 |publisher=Dublin Hodges, Figgis }}</ref>}}

{{blockquote|text=Quaternions came from Hamilton after his really good work had been done; and, though beautifully ingenious, have been an unmixed evil to those who have touched them in any way, including [[James Clerk Maxwell|Clerk Maxwell]].|author=[[Lord Kelvin|W. Thompson, Lord Kelvin]] (1892)<ref>{{chú thích sách |last1=Thompson |first1=Silvanus Phillips |title=The life of William Thomson (Vol. 2) |date=1910 |publisher=London, Macmillan |page=1138 |url=https://archive.org/details/lifeofwillthom02thomrich/page/n581/mode/2up}}</ref>}}

{{blockquote|text=There was a time, indeed, when I, although recognizing the appropriateness of vector analysis in electromagnetic theory (and in mathematical physics generally), did think it was harder to understand and to work than the Cartesian analysis. But that was before I had thrown off the quaternionic old-man-of-the-sea who fastened himself about my shoulders when reading the only accessible treatise on the subject – Prof. Tait's Quaternions. But I came later to see that, so far as the vector analysis I required was concerned, the quaternion was not only not required, but was a positive evil of no inconsiderable magnitude; and that by its avoidance the establishment of vector analysis was made quite simple and its working also simplified, and that it could be conveniently harmonised with ordinary Cartesian work. There is not a ghost of a quaternion in any of my papers (except in one, for a special purpose). The vector analysis I use may be described either as a convenient and systematic abbreviation of Cartesian analysis; or else, as Quaternions without the quaternions, .... "Quaternion" was, I think, defined by an American schoolgirl to be "an ancient religious ceremony". This was, however, a complete mistake. The ancients – unlike Prof. Tait – knew not, and did not worship Quaternions. |author=[[Oliver Heaviside]] (1893)<ref>{{chú thích sách |first=Oliver |last=Heaviside |author-link=Oliver Heaviside |year=1893 |title=Electromagnetic Theory |volume=I |pages=134–135 |place=London, UK |publisher=The Electrician Printing and Publishing Company |url=https://archive.org/details/electromagnetict01heavrich/page/134/ }}</ref>}}

{{blockquote|text=Neither matrices nor quaternions and ordinary vectors were banished from these ten [additional] chapters. For, in spite of the uncontested power of the modern Tensor Calculus, those older mathematical languages continue, in my opinion, to offer conspicuous advantages in the restricted field of special relativity. Moreover, in science as well as in everyday life, the mastery of more than one language is also precious, as it broadens our views, is conducive to criticism with regard to, and guards against hypostasy [weak-foundation] of, the matter expressed by words or mathematical symbols.|author=[[Ludwik Silberstein]] (1924)<ref>Ludwik Silberstein (1924). [https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212395/page/n5/mode/2up?view=theater Preface to second edition] of ''The Theory of Relativity''</ref>}}

{{blockquote|text=...&nbsp;quaternions appear to exude an air of nineteenth century decay, as a rather unsuccessful species in the struggle-for-life of mathematical ideas. Mathematicians, admittedly, still keep a warm place in their hearts for the remarkable algebraic properties of quaternions but, alas, such enthusiasm means little to the harder-headed physical scientist.|author=Simon L. Altmann (1986)<ref>{{chú thích sách |first=Simon L. |last=Altmann |title=Rotations, quaternions, and double groups |url=https://archive.org/details/rotationsquatern0000altm |publisher=Clarendon Press |year=1986 |isbn=0-19-855372-2 |lccn=85013615 }}</ref>}}

== Xem thêm ==
* {{Annotated link|Biến đổi giữa quaternion và góc Euler}}
* {{Annotated link|Quaternion đối ngẫu}}
* {{Annotated link|Số phức đối ngẫu}}
* {{Annotated link|Đại số ngoài}}
* {{Annotated link|Thứ tự quaternion Hurwitz}}
* {{Annotated link|Quaternion hyperbolic}}
* {{Annotated link|Quả cầu Lénárt}}
* {{Annotated link|Ma trận Pauli}}
* {{Annotated link|Đa tạp quaternion}}
* {{Annotated link|Ma trận quaternion}}
* {{Annotated link|Polytope quaternion}}
* {{Annotated link|Không gian xạ ảnh quaternion}}
* {{Annotated link|Phép quay trong không gian Euclid 4 chiều}}
* {{Annotated link|Slerp}}
* {{Annotated link|Quaternion-tách}}
* {{Annotated link|Tesseract}}

==Chú thích==
{{notelist}}

==Tham khảo==
{{tham khảo|25em}}

==Đọc thêm==
===Sách và xuất bản===
{{refbegin|30em}}
*{{chú thích tạp chí |author-link=William Rowan Hamilton |first=William Rowan |last=Hamilton |title=On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra |journal=Philosophical Magazine |volume=25 |issue=3 |pages=489–495 |year=1844 |doi=10.1080/14786444408645047 |url=https://zenodo.org/record/1431043 }}
*[[William Rowan Hamilton|Hamilton, William Rowan]] (1853), "''[https://web.archive.org/web/20140808040037/http://www.ugcs.caltech.edu/~presto/papers/Quaternions-Britannica.ps.bz2 Lectures on Quaternions]''". Royal Irish Academy.
*Hamilton (1866) ''[https://archive.org/details/bub_gb_fIRAAAAAIAAJ Elements of Quaternions]'' [[University of Dublin]] Press. Edited by William Edwin Hamilton, son of the deceased author.
*Hamilton (1899) ''Elements of Quaternions'' volume I, (1901) volume II. Edited by [[Charles Jasper Joly]]; published by [[Longmans, Green & Co.]]
*[[Peter Guthrie Tait|Tait, Peter Guthrie]] (1873), "''An elementary treatise on quaternions''". 2d ed., Cambridge, [Eng.] : The University Press.
*Maxwell, James Clerk (1873), "''[[A Treatise on Electricity and Magnetism]]''". Clarendon Press, Oxford.
*[[Peter Guthrie Tait|Tait, Peter Guthrie]] (1886), "''{{chú thích web|url=http://www.ugcs.caltech.edu/~presto/papers/Quaternions-Britannica.ps.bz2 |title=Archived copy |access-date=June 26, 2005 |url-status=unfit |archive-url=https://web.archive.org/web/20140808040037/http://www.ugcs.caltech.edu/~presto/papers/Quaternions-Britannica.ps.bz2 |archive-date=August 8, 2014 }}''". M.A. Sec. R.S.E. [[Encyclopædia Britannica]], Ninth Edition, 1886, Vol. XX, pp.&nbsp;160&ndash;164. (bzipped [[PostScript]] file)
*{{chú thích sách |first=Charles Jasper |last=Joly |title=A manual of quaternions |url=https://archive.org/details/manualofquaterni00jolyuoft |publisher=Macmillan |year=1905 |lccn=05036137}}
*{{chú thích sách |author-link=Alexander Macfarlane |first=Alexander |last=Macfarlane |title=Vector analysis and quaternions |url=https://archive.org/details/vectoranalysisqu00amac_360 |publisher=Wiley |edition=4th |year=1906 |lccn=16000048}}
*{{cite EB1911|wstitle=Algebra}} (''See section on quaternions.'')
*{{chú thích tạp chí |last1=Finkelstein |first1=David |first2=Josef M. |last2=Jauch |first3=Samuel |last3=Schiminovich |first4=David |last4=Speiser |title=Foundations of quaternion quantum mechanics |journal=J. Math. Phys. |volume=3 |pages=207–220 |year=1962 |issue=2 |doi=10.1063/1.1703794 |bibcode=1962JMP.....3..207F |s2cid=121453456 |url=https://archive-ouverte.unige.ch/unige:162173 }}
*{{chú thích sách |author-link=Patrick du Val |first=Patrick |last=Du Val |title=Homographies, quaternions, and rotations |publisher=Clarendon Press |series=Oxford mathematical monographs |year=1964 |lccn=64056979}}
*Michael J. Crowe (1967), [[A History of Vector Analysis]]: ''The Evolution of the Idea of a Vectorial System'', University of Notre Dame Press. Surveys the major and minor vector systems of the 19th century (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside).
*{{chú thích tạp chí |first=Simon L. |last=Altmann |title=Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1989-12_62_5/page/291 |journal=Mathematics Magazine |volume=62 |issue=5 |pages=291–308 |year=1989 |doi=10.1080/0025570X.1989.11977459 }}
*{{chú thích tạp chí |first=Jose |last=Pujol |title=On Hamilton's Nearly-Forgotten Early Work on the Relation between Rotations and Quaternions and on the Composition of Rotations |journal=The American Mathematical Monthly |volume=121 |issue=6 |pages=515–522 |year=2014 |doi=10.4169/amer.math.monthly.121.06.515 |s2cid=1543951 }}
*{{chú thích sách |first=Stephen L. |last=Adler |title=Quaternionic quantum mechanics and quantum fields |publisher=Oxford University Press |year=1995 |isbn=0-19-506643-X |lccn=94006306 |series=International series of monographs on physics  |volume=88}}
*{{chú thích sách |first=J.P. |last=Ward |title=Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications |url=https://archive.org/details/quaternionscayle0000ward |publisher=Kluwer Academic |year=1997 |isbn=0-7923-4513-4 }}
*{{chú thích sách |last1=Kantor |first1=I.L. |last2=Solodnikov |first2=A.S. |title=Hypercomplex numbers, an elementary introduction to algebras |url=https://archive.org/details/hypercomplexnumb0000kant |publisher=Springer-Verlag |year=1989 |isbn=0-387-96980-2 }}
*{{chú thích sách |last1=Gürlebeck |first1=Klaus |last2=Sprössig |first2=Wolfgang |title=Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers |publisher=Wiley |year=1997 |isbn=0-471-96200-7 |series=Mathematical methods in practice |volume=1 |lccn=98169958}}
*{{chú thích sách |first=Jack |last=Kuipers |title=Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality |publisher=[[Princeton University Press]] |year=2002 |isbn=0-691-10298-8 }}
*{{chú thích sách |author-link=John Horton Conway |last1=Conway |first1=John Horton |last2=Smith |first2=Derek A. |title=On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry |publisher=A.K. Peters |year=2003 |isbn=1-56881-134-9 }} ([http://nugae.wordpress.com/2007/04/25/on-quaternions-and-octonions/ review]).
*{{cite arXiv |first=P.M. |last=Jack |title=Physical space as a quaternion structure, I: Maxwell equations. A brief Note |date=2003 |eprint=math-ph/0307038}} 
*{{chú thích sách |author-link=Vladislav Kravchenko |first=Vladislav |last=Kravchenko |title=Applied Quaternionic Analysis |publisher=Heldermann Verlag |year=2003 |isbn=3-88538-228-8 }}
*{{chú thích sách |author-link=Michiel Hazewinkel |first1=Michiel |last1=Hazewinkel |first2=Nadiya |last2=Gubareni |first3=Vladimir V. |last3=Kirichenko |title=Algebras, rings and modules |publisher=Springer |year=2004 |isbn=1-4020-2690-0 |volume=1 |url=https://books.google.com/books?id=AibpdVNkFDYC}}
*{{chú thích sách |first=Andrew J. |last=Hanson |title=Visualizing Quaternions |publisher=Elsevier |year=2006 |isbn=0-12-088400-3 |url=http://www.cs.indiana.edu/~hanson/quatvis/}}
*{{chú thích sách |first1=Ernst |last1=Binz |first2=Sonja |last2=Pods |chapter=1. The Skew Field of Quaternions |title=Geometry of Heisenberg Groups |publisher=[[American Mathematical Society]] |year=2008 |isbn=978-0-8218-4495-3 }}
*{{chú thích sách |first1=Chris J.L. |last1=Doran |first2=Anthony N. |last2=Lasenby |title=Geometric Algebra for Physicists |year=2003 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-48022-2 |author1-link=Chris J. L. Doran}}
*{{chú thích sách |first=John A. |last=Vince |title=Geometric Algebra for Computer Graphics |publisher=Springer |year=2008 |isbn=978-1-84628-996-5 }}
*For molecules that can be regarded as classical rigid bodies [[molecular dynamics]] computer simulation employs quaternions.  They were first introduced for this purpose by {{chú thích tạp chí |first=D.J. |last=Evans |title=On the Representation of Orientation Space |journal=Mol. Phys. |volume=34 |issue=2 |pages=317–325 |year=1977 |doi=10.1080/00268977700101751 |bibcode=1977MolPh..34..317E }}
*{{chú thích tạp chí |first=Fuzhen |last=Zhang |title=Quaternions and Matrices of Quaternions |url=https://archive.org/details/sim_linear-algebra-and-its-applications_1997-01-15_251/page/n30 |journal=Linear Algebra and Its Applications |volume=251 |pages=21–57 |year=1997 |doi=10.1016/0024-3795(95)00543-9 |doi-access=free }}
* {{chú thích sách|author=Ron Goldman|title=Rethinking Quaternions: Theory and Computation|year=2010|publisher=Morgan & Claypool |isbn=978-1-60845-420-4}}
* {{ citation | last1 = Eves | first1 = Howard | title = An Introduction to the History of Mathematics | edition = 4th | location = New York | publisher = [[Holt, Rinehart and Winston]] | year = 1976 | isbn = 0-03-089539-1 }}
*{{chú thích sách |first=John |last=Voight |title=Quaternion Algebras |series=Graduate Texts in Mathematics |publisher=Springer |year=2021 |volume=288 |isbn=978-3-030-57467-3 |doi=10.1007/978-3-030-56694-4 |doi-access=free }}
{{refend}}

===Liên kết và chuyên khảo===
{{refbegin|30em}}
* {{chú thích web |title=Quaternion Notices |url=https://quaternionnews.commons.gc.cuny.edu/ }} Notices and materials related to Quaternion conference presentations
* {{springer|title=Quaternion|id=p/q076770}}
* {{chú thích web |title=Frequently Asked Questions |work=Matrix and Quaternion  |id=1.21 |url=http://www.j3d.org/matrix_faq/matrfaq_latest.html}}
* {{chú thích web |first=Doug |last=Sweetser |title=Doing Physics with Quaternions |url=http://world.std.com/~sweetser/quaternions/qindex/qindex.html }}
* [https://web.archive.org/web/20050408193941/http://www.fho-emden.de/~hoffmann/quater12012002.pdf Quaternions for Computer Graphics and Mechanics (Gernot Hoffman)]
* {{cite arXiv |title=The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton |eprint=math-ph/0201058|last1=Gsponer|first1=Andre|last2=Hurni|first2=Jean-Pierre|year=2002}}
* {{chú thích web |first=D.R. |last=Wilkins |title=Hamilton's Research on Quaternions |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Quaternions.html }}
* {{chú thích web |first=David J. |last=Grossman |title=Quaternion Julia Fractals |url=http://www.unpronounceable.com/julia/ }} 3D Raytraced Quaternion [[Julia set|Julia Fractals]]
* {{chú thích web |title=Quaternion Math and Conversions |url=http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/index.htm}} Great page explaining basic math with links to straight forward rotation conversion formulae.
* {{chú thích web |first=John H. |last=Mathews |title=Bibliography for Quaternions |url=http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/QuaternionBib/Links/QuaternionBib_lnk_3.html|archive-url=https://web.archive.org/web/20060902200454/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/QuaternionBib/Links/QuaternionBib_lnk_3.html |archive-date=2006-09-02 }} 
* {{chú thích web |title=Quaternion powers |publisher=GameDev.net |url=https://www.gamedev.net/articles/programming/math-and-physics/quaternion-powers-r1095/}}
* {{chú thích web |first=Andrew |last=Hanson |title=Visualizing Quaternions home page |url=http://books.elsevier.com/companions/0120884003/vq/index.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20061105174313/http://books.elsevier.com/companions/0120884003/vq/index.html |archive-date=2006-11-05 }}
* {{chú thích tạp chí |first=Charles F.F. |last=Karney |title=Quaternions in molecular modeling |journal=J. Mol. Graph. Mod. |volume=25 |issue=5 |pages=595–604 |date=January 2007 |doi=10.1016/j.jmgm.2006.04.002 |pmid=16777449 |arxiv=physics/0506177|s2cid=6690718 }}
* {{cite arXiv |first=Johan E. |last=Mebius |title=A matrix-based proof of the quaternion representation theorem for four-dimensional rotations |year=2005 |eprint=math/0501249}}
* {{cite arXiv |first=Johan E. |last=Mebius |title=Derivation of the Euler–Rodrigues formula for three-dimensional rotations from the general formula for four-dimensional rotations |year=2007 |eprint=math/0701759}}  
* {{chú thích web |title=Hamilton Walk |publisher=Department of Mathematics, [[NUI Maynooth]] |url=http://www.maths.nuim.ie/links/hamilton.shtml}}
* {{chú thích web |title=Using Quaternions to represent rotation |work=OpenGL:Tutorials |url=http://gpwiki.org/index.php/OpenGL:Tutorials:Using_Quaternions_to_represent_rotation |archive-url=https://web.archive.org/web/20071215235040/http://gpwiki.org/index.php/OpenGL:Tutorials:Using_Quaternions_to_represent_rotation |archive-date=2007-12-15 }}
* David Erickson, [[Defence Research and Development Canada]] (DRDC), Complete derivation of rotation matrix from unitary quaternion representation in DRDC TR 2005-228 paper. 
* {{chú thích web |first=Alberto |last=Martinez |title=Negative Math, How Mathematical Rules Can Be Positively Bent |publisher=Department of History, University of Texas |url=https://webspace.utexas.edu/aam829/1/m/NegativeMath.html|archive-url=https://web.archive.org/web/20110924161347/https://webspace.utexas.edu/aam829/1/m/NegativeMath.html |archive-date=2011-09-24 }}
* {{chú thích web |first=D. |last=Stahlke |title=Quaternions in Classical Mechanics |url=http://www.stahlke.org/dan/phys-papers/quaternion-paper.pdf}}
* {{cite arXiv |last1=Morier-Genoud |first1=Sophie |first2=Valentin |last2=Ovsienko |title=Well, Papa, can you multiply triplets? |year=2008 |class=math.AC |eprint=0810.5562}} describes how the quaternions can be made into a skew-commutative algebra graded by {{nowrap|'''Z'''/2 × '''Z'''/2 × '''Z'''/2}}.
* {{chú thích web |first=Helen |last=Joyce |title=Curious Quaternions |date=November 2004 |publisher=hosted by [[John Baez]] |url=http://plus.maths.org/content/os/issue32/features/baez/index}}
* {{chú thích web |first=Luis |last=Ibanez |title=Tutorial on Quaternions. Part I |url=http://www.itk.org/CourseWare/Training/QuaternionsI.pdf |access-date=2011-12-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120204055438/http://www.itk.org/CourseWare/Training/QuaternionsI.pdf |archive-date=2012-02-04 |url-status=dead }} [https://web.archive.org/web/20121005003247/http://www.itk.org/CourseWare/Training/QuaternionsII.pdf Part II] (PDF; using Hamilton's terminology, which differs from the modern usage)
* {{chú thích tạp chí |first1=R. |last1=Ghiloni |first2=V. |last2=Moretti |first3=A. |last3=Perotti |title=Continuous slice functional calculus in quaternionic Hilbert spaces |journal=Rev. Math. Phys. |volume=25 |pages=1350006–126 |year=2013 |issue=4 |doi=10.1142/S0129055X13500062 |arxiv=1207.0666|bibcode=2013RvMaP..2550006G |s2cid=119651315 }}<br />{{chú thích tạp chí |first1=R. |last1=Ghiloni |first2=V. |last2=Moretti |first3=A. |last3=Perotti |title=Spectral representations of normal operators via Intertwining Quaternionic Projection Valued Measures |journal=Rev. Math. Phys. |volume=29 |pages=1750034 |year=2017 |doi=10.1142/S0129055X17500349 |arxiv=1602.02661|s2cid=124709652 }} two expository papers about continuous functional calculus and spectral theory in quanternionic Hilbert spaces useful in rigorous quaternionic quantum mechanics.
* [https://play.google.com/store/apps/details?id=com.MoritzWillProduction.Quaternions Quaternions] the Android app shows the quaternion corresponding to the orientation of the device.
* [https://www.gamasutra.com/view/feature/131686/rotating_objects_using_quaternions.php Rotating Objects Using Quaternions] article speaking to the use of Quaternions for rotation in video games/computer graphics.
{{refend}}

==Liên kết ngoài==
{{wikibooks|Associative Composition Algebra|Quaternions}}
{{Wikiquote}}
{{Wiktionary}}
*{{Thể loại Commons nội dòng}}
* [[Lawrence Paulson|Paulson, Lawrence C.]] [https://www.isa-afp.org/entries/Quaternions.html Quaternions (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs) ]
* [https://quaternions.online/ Quaternions – Visualisation]

{{Hệ thống số}}

{{Authority control}}

[[Thể loại:Đại số hợp thành]]
[[Thể loại:Quaternion| ]]
[[Thể loại:William Rowan Hamilton]]