Xem mã nguồn của Số đại số

[[Tập tin:Isosceles right triangle with legs length 1.svg|thumb|200px|Căn bậc hai của 2 là số đại số bằng độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông có chân là độ dài 1.]]

Trong [[toán học]], một '''số đại số''' là một [[nghiệm số|nghiệm]] ([[số thực|thực]] hoặc [[số phức|phức]]) của một [[phương trình đại số]].<ref> Hardy and Wright 1972:160 / 2008:205
</ref> Nói cách khác, một số đại số là một nghiệm của một [[đa thức]] với hệ số nguyên (hay tương đương- hệ số hữu tỷ). Với quan niệm rộng hơn, số đại số có thể không chỉ là [[số phức]], mà cũng có thể là các số đại số trên các [[trường (đại số)|trường]] khác, chẳng hạn trường các [[số p-adic|số ''p''-adic]] (''[[p-adic number]]'').

== Các số đại số ==
Tất cả các số đại số lập thành [[trường các số đại số]].

* [[Số tự nhiên]]
* [[Số nguyên]]
* [[Phân số]]
* [[Số vô tỉ|Số vô tỷ]]
* [[Số hữu tỉ|Số hữu tỷ]]
* [[Số phức]]
* [[Số nguyên tố]]
* [[Số nguyên Gauss]]
* [[Số nguyên Eisenstein]]
* [[Số vô tỷ Quadratic]]
* [[Căn của đơn vị]]
* [[Gaussian period]]
* [[Số Pisot-Vijayaraghavan]]
* [[Số Salem]]

== Ví dụ ==
Tất cả các [[số hữu tỉ|số hữu tỷ]] là số đại số. Một [[số vô tỉ|số vô tỷ]] có thể là số đại số khoặc không. Chẳng hạn, <math>\sqrt 2</math> và <math>\frac {\sqrt [3] {3}} 2</math> là các số đại số vì chúng là nghiệm của các phương trình
:''x''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;0 và 8''x''<sup>3</sup>&nbsp;−&nbsp;3&nbsp;=&nbsp;0. [[Đơn vị ảo]] ''i'' là số đại số vì nó là nghiệm của phương trình ''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0.

== Các tính chất ==
Các số không phải là các số đại số được gọi là các [[số siêu việt]]. Hầu hết các [[số thực]] và [[số phức]] là số siêu việt vì tập hợp các số đại số là [[tập hợp đếm được|đếm được]] trong khi tập các số phức và tập hợp số thực, do đó chính tập các số siêu việt là [[tập hợp#Lực lượng của tập hợp - Hữu hạn và vô hạn|tập hợp vô hạn không đếm được]]. Các ví dụ về số siêu việt là các số [[Pi|π]] và ''[[số e|e]]''. Các ví dụ khác được đưa ra bởi [[định lý Gelfond-Schneider]].<ref> Niven 1956, Theorem 7.5.
</ref>

* Tập hợp tất cả các số đại số là [[tập hợp đếm được|đếm được]] và do đó là [[Definable real number|''tập hợp xác định'']].{{cần chú thích}}
* Nếu một số đại số thỏa mãn một phương trình đa thức bậc ''n'' và không thỏa mãn một phương trình nào khác bậc thấp hơn ''n'' thì nó được gọi là ''số đại số bậc ''n''. Một số đại số bậc 1 là một [[số hữu tỉ|số hữu tỷ]].
{{chính|Bậc của số đại số}}
* Khái niệm số đại số có thể tổng quát hóa thành các [[mở rộng trường]]; các phần tử trong một mở rộng trường thỏa mãn một phương trình đa thức được gọi là các [[phần tử đại số]].

== Trường các số đại số ==
{{chính|Trường số đại số}}
[[Tập tin:Algebraic number in the complex plane.png|thumb|Các số đại số được tô màu theo độ (xanh dương = 4, lục lam = 3, đỏ = 2, lục = 1). Vòng tròn đơn vị có màu đen.]]
Tổng, hiệu, tích, thương của các số đại số lại là số đại số. Do đó chúng tạo thành một [[trường (đại số)|trường]]. Một số người ký hiệu trường này bằng <math>\mathbb{A}</math> hoặc <math>\overline{\mathbb{Q}}</math>. Có thể thấy rằng mọi [[nghiệm số|nghiệm]] của đa thức với hệ số là các số đại số cũng là số đại số. Do đó ta nói rằng trường các số đại số là [[trường đóng đại số]]. Như vậy nó là trường đóng đại số nhỏ nhất chứa [[trường số hữu tỷ]], và được gọi là [[bao đóng đại số]] của các số hữu tỷ.<ref>Niven 1956, p. 92.</ref>

Tất cả các kết quả trên được chứng minh trong cơ sở đại số của mở rộng trường.

== Các số được xác định nhờ căn thức ==
Tất cả các số có thể tính toán từ các số nguyên qua một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, căn bậc ''n'' (trong đó ''n'' nguyên dương) đều là các số đại số. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng: có các số đại số không thể tính như vậy. Đó là các số là nghiệm của các phương trình đại số bậc ≥&nbsp;5. Đó là kết quả của [[lý thuyết Galois]] (xem [[phương trình bậc năm]] và [[định lý Abel-Ruffini]]). Một ví dụ cho số loại này là nghiệm thực duy nhất của phương trình ''x''<sup>5</sup>&nbsp;−&nbsp;x&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0.

== Số đại số nguyên ==
Một số đại số thỏa mãn [[phương trình đa thức]] bậc ''n'' với hệ số cao nhất ''a''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;1 và tất cả các hệ số còn lại ''a''<sub>''i''</sub> thuộc tập số nguyên '''Z''', được gọi là [[số đại số nguyên]]. Ví dụ <math>3 \sqrt 2 + 5</math> và 6''i''&nbsp;-&nbsp;2.

Tổng, hiệu và tích các số đại số nguyên lại là số đại số nguyên, nghĩa là các số đại số nguyên tạo thành một [[vành]]. Tên gọi ''số đại số nguyên'' là do chỉ có các số hữu tỷ là đại số nguyên sẽ là số nguyên và vì các số đại số nguyên trong trường các số đại số có nhiều tính chất tương tự các số nguyên. Nếu ''K'' là một trường số, vành các số nguyên của nó là vành con của các số đại số nguyên trong ''K'', và thường được ký hiệu là ''O''<sub>K</sub>.

== Xem thêm ==
* [[Số siêu phức]]
* [[Số siêu việt]]

==Tham khảo==
{{tham khảo}}
== Liên kết ngoài ==
* {{Britannica|14948|Algebraic number}}
*{{Chú thích|last=Artin |first=Michael |author-link=Michael Artin |title=Algebra |publisher=[[Prentice Hall]] |isbn=0-13-004763-5 |mr=1129886 |year=1991}}
*[[G. H. Hardy|Hardy, G. H.]] and [[E. M. Wright|Wright, E. M.]] 1978, 2000 (with general index) ''An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition'', Clarendon Press, Oxford UK, {{ISBN|0-19-853171-0}}
*{{Chú thích|last1=Ireland |first1=Kenneth |last2=Rosen |first2=Michael |title=A Classical Introduction to Modern Number Theory |edition=Second |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, New York |series=Graduate Texts in Mathematics |isbn=0-387-97329-X |mr=1070716 |year=1990 |volume=84 |doi=10.1007/978-1-4757-2103-4}}
*[[Ivan M. Niven|Niven, Ivan]] 1956. ''Irrational Numbers'', Carus Mathematical Monograph no. 11, [[Mathematical Association of America]].
*[[Øystein Ore|Ore, Øystein]] 1948, 1988, ''Number Theory and Its History'', Dover Publications, Inc. New York, {{ISBN|0-486-65620-9}} (pbk.)

{{Hệ thống số}}
{{Lý thuyết số }}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}

[[Thể loại:Đại số trừu tượng]]
[[Thể loại:Đại số]]
[[Thể loại:Số đại số|*]]
[[Thể loại:Lý thuyết số]]