Xem mã nguồn của Số ảo

{{Thanh bên giải tích phức}}
'''Số ảo''' hay '''số thuần ảo''' là một [[số phức]] mà khi [[bình phương]] lên được [[kết quả]] là một số nguyên không dương. Số ảo là tích của một số thực <math>x</math> với <math>i</math>, trong đó <math>i^2=-1</math>.<ref>{{chú thích sách
 |title= Fundamentals of waves & oscillations
 |first= K.
 |last= Uno Ingard
 |publisher= Cambridge University Press
 |year= 1988
 |isbn= 0-521-33957-X
 |chapter= Chapter 2
 |page= 38
 |url= https://books.google.com/books?id=SGVfGIewvxkC&pg=PA38}}
</ref>

Được đặt ra vào thế kỷ 17 như là một thuật ngữ mang tính chế giễu và được coi là hư cấu hoặc vô dụng, khái niệm số ảo đã được chấp nhận rộng rãi sau khi các công trình của [[Leonhard Euler]] và [[Carl Friedrich Gauss]] được công bố.

Một số ảo <math>bi</math> có thể được thêm vào một [[số thực]] <math>a</math> để tạo thành một [[số phức]] <math>a+bi</math>, trong đó <math>a</math> và <math>b</math> được gọi là phần thực và phần ảo của số phức trên.

==Biểu diễn==
Số ảo được biểu diễn như là một đơn thức <math>bi</math> trong đó <math>b</math> là số thực khác 0, <math>i</math> là [[đơn vị ảo]] có giá trị thỏa mãn phương trình đại số <math>i^2=-1</math>.Kết hợp với một số thực <math>a</math>, nó tạo thành "[[phần ảo]]" <math>b</math> và "[[phần thực]]" <math>a</math> của [[số phức]] <math>a+bi</math>.

: <math>i = \sqrt{-1}</math>
: <math>j = \sqrt{-1}</math>

<ref>{{chú thích
|title=Fundamentals of waves & oscillations
|first1=K.
|last1=Uno Ingard
|publisher=Cambridge University Press
|year=1988
|isbn=0-521-33957-X
|page=38
|url=http://books.google.com/books?id=SGVfGIewvxkC}}, [http://books.google.com/books?id=SGVfGIewvxkC&pg=PA38 Chapter 2, p 38]
</ref>

==Lịch sử==
[[Hero xứ Alexandria]] là người đầu tiên đề cập đến số ảo này vào khoảng thế kỷ I trước công nguyên trong khi tính toán khối hình lượng [[kim tự tháp]]<ref>Nahin, Paul."An Imaginary Tale: The story of [the square root of minus one]. Princeton University Press. 1998"</ref>, tuy nhiên, việc nghiên cứu số ảo chỉ thực sự bắt đầu bởi [[danh sách nhà toán học|nhà toán học]] [[người Ý]] [[Rafael Bombelli]] (1526-1572) trong cuốn sách đại số ''L'Algebra'' viết năm 1569. Rafael Bombelli là người đưa ra ký hiệu đơn vị ảo <math>i</math> và mô tả các tính chất của nó.

==Hình học giải tích==

==Ứng dụng của số ảo==

=== Lũy thừa ===
Lấy bình phương, lập phương... của hai vế của đẳng thức <math>i=\sqrt{-1}</math>, ta có:

<math>i^2=-1</math>

<math>i^3=-i</math>

<math>i^4=1</math>

<math>i^5=i</math>

<math>i^6=-1</math>...

Vì vậy với <math>n\in\mathbb{N}</math>, ta có thể viết như sau:

<math>i^{4n}=1</math>

<math>i^{4n+1}=i</math>

<math>i^{4n+2}=-1</math>

<math>i^{4n+3}=-i</math>

=== [[Phương trình bậc hai]] ===
[[Phương trình bậc hai]] với b<sup>2</sup> - 4ac < 0 như <math>x^2+x+1=0</math>.

Do [[công thức nghiệm]] tại đẳng thức này,

<math>x_{1;2} = \frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}</math>

Tuy nhiên, ta được đơn giản hơn do số ảo.

<math>x_{1;2} = \frac{-1\pm\sqrt{3.-1}}{2} =  \frac{-1\pm\sqrt{3}\sqrt{-1}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}</math>

=== [[Phân tích nhân tử]] ===
Nói chung, [[đa thức]] như <math>x^2 + a^2</math> không có thừa số.

Tuy nhiên ta được viết như sau (Tại -(-a)=+a)

<math>x^2 - (-a^2)</math>

Vì vậy ta có thể viết với số ảo như sau:

<math>x^2 - (-a^2) = x^2 - ((ai)^2) = (x+ai)(x-ai).</math>

=== Căn của số ảo ===
Sử dụng [[Công thức Euler]] ở x=π,

<math>e^{i\pi} = \cos(\pi)+i\sin(\pi) = -1 + 0i = -1</math>

Tiếp theo lấy [[Căn bậc hai|căn bậc bốn]] của hai vế.

<math>e^{\frac{i\pi}{4}} = \sqrt[4]{-1} = \sqrt i</math>

Do Công thức Euler ta có:

<math>e^{\frac{i\pi}{4}} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}i </math>

Vì vậy:

<math>\sqrt i = \frac{1+i}{\sqrt2}</math>

=== Căn bậc ba của số ảo ===
Lấy căn bậc sáu của hai vế của [[Công thức Euler]] ở x=π.

<math>e^{\frac{i\pi}{6}} =  \sqrt[3] i = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt 3}{2} + \frac{1}{2}i </math>

Do đó <math>\sqrt[3]{i} = \frac{\sqrt3 + i}{2}.</math>

==Xem thêm==
Người ta ứng dụng số ảo vào để tính toán liên quan đến mạch [[điện xoay chiều]] để công việc tính toán dễ dàng hơn.

==Tham khảo==
{{Tham khảo}}
==Liên kết ngoài==
* [http://www.math.toronto.edu/mathnet/answers/imagexist.html How can one show that imaginary numbers really do exist?] - an article which discusses the existence of imaginary numbers.
* [http://www.bbc.co.uk/programmes/b00tt6b2 In our time: Imaginary numbers] Discussion of imaginary numbers on [[BBC]] Radio 4.
* [http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers4.shtml 5Numbers programme 4] BBC Radio 4 programme
{{Sơ khai toán học}}{{Hệ thống số}}
[[Thể loại:Số phức]]
[[Thể loại:Đại số]]