Xem mã nguồn của Số Cullen

{{pp-semi-indef|small=yes}}
Trong [[toán học]], '''số Cullen''' là số nằm trong [[dãy số]] <math>C_n = n \cdot 2^n + 1</math> (trong đó <math>n</math> là [[số tự nhiên]]). Các số Cullen được lần đầu nghiên cứu bởi nhà toán học [[James Cullen (nhà toán học)|James Cullen]] trong 1905. Các số này là trường hợp đặc biệt của [[số Proth]].

Nếu số <math>C_n</math> là số nguyên tố thì ta gọi số đó là '''số nguyên tố Cullen'''.

== Các tính chất ==
Trong 1976 [[Christopher Hooley]] đã chứng minh rằng [[mật độ tự nhiên]] của các [[số nguyên]] dương <math>n \leq x</math> sao cho ''C''<sub>''n''</sub> là số nguyên tố là vào khoảng [[Ký hiệu O lớn|''o''(''x'')]] khi <math>x \to \infty</math>. Tức là, [[gần như tất cả]] các số Cullen đều là [[hợp số]].<ref name=EPSW94>{{chú thích sách | last1=Everest | first1=Graham | last2=van der Poorten | first2=Alf | author2-link=Alfred van der Poorten | last3=Shparlinski | first3=Igor | last4=Ward | first4=Thomas | title=Recurrence sequences | series=Mathematical Surveys and Monographs | volume=104 | location=[[Providence, RI]] | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2003 | isbn=0-8218-3387-1 | zbl=1033.11006 | page=94 }}</ref>  Bài chứng minh của Hooley được viết lại bởi Hiromi Suyama để chứng tỏ rằng nó cũng đúng với mọi dãy số nguyên dưới dạng ''n''·2<sup>''n'' + ''a''</sup> + ''b'' trong đó ''a'' và ''b'' là các số nguyên, và đồng thời cũng đúng cho các [[số Woodall]]. Dãy các giá trị n sao cho số Cullen là số nguyên tố là''':'''
: 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 {{OEIS|id=A005849}}.

Song, các nhà toán học vẫn đặt giả thuyết rằng có vô hạn các số nguyên tố Cullen.

Số Cullen ''C''<sub>''n''</sub> [[chia hết]] cho ''p''&nbsp;=&nbsp;2''n''&nbsp;−&nbsp;1 nếu ''p'' là [[số nguyên tố]] nằm dưới dạng 8''k''&nbsp;−&nbsp;3; hơn nữa, bằng [[định lý bé Fermat]], ta sẽ suy ra được nếu ''p'' là số nguyên tố [[số lẻ|lẻ]], thì ''p'' là ước của ''C''<sub>''m''(''k'')</sub> và ''m''(''k'')&nbsp;=&nbsp;(2<sup>''k''</sup>&nbsp;−&nbsp;''k'')(''p''&nbsp;−&nbsp;1)&nbsp;−&nbsp;''k'' (với ''k''&nbsp;>&nbsp;0). Ta cũng chứng minh rằng số nguyên tố ''p'' là ước của ''C''<sub>(''p''&nbsp;+ 1)/2</sub> khi [[ký hiệu Jacobi]] (2&nbsp;|&nbsp;''p'') bằng −1, và ''p'' là ước của ''C''<sub>(3''p''&nbsp;− 1)/2</sub> khi ký hiệu Jacobi (2&nbsp;|&nbsp;''p'') bằng + 1.

Hiện ta chưa biết liệu có số nguyên tố ''p'' sao cho ''C''<sub>''p''</sub> cũng là số nguyên tố.

== Dạng tổng quát ==

'''Số Cullen tổng quát cơ số ''b''''' là các số có dạng ''n''·''b''<sup>''n''</sup> + 1, trong đó ''n''&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;>&nbsp;''b''; nếu một số nguyên tố có thể viết dưới dạng này thì số đó được gọi là '''số nguyên tố Cullen tổng quát'''. Các [[số Woodall]] còn được gọi là '''Số Cullen thuộc loại hai'''.<ref>{{chú thích tạp chí|last=Marques|first=Diego|year=2014|title=On Generalized Cullen and Woodall Numbers That are Also Fibonacci Numbers|url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL17/Marques/marques5r2.pdf|journal=Journal of Integer Sequences|volume=17}}</ref>

Tính đến tháng 10 năm 2021, số nguyên tố Cullen tổng quát lớn nhất được biết đến là số 2525532·73<sup>2525532</sup>&nbsp;+ 1. Nó có 4,705,888 chữ số và được phát hiện bởi Tom Greer, một trong những người tham gia dự án [[PrimeGrid]].<ref>{{chú thích web|url=https://www.primegrid.com/download/GC73-2525532.pdf|title=PrimeGrid Official Announcement|date=28 August 2021|website=Primegrid|access-date=14 November 2021}}</ref><ref>{{chú thích web|title=PrimePage Primes: 2525532 · 73^2525532 + 1|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132658|url-status=live|access-date=14 November 2021|website=primes.utm.edu|archive-url=https://web.archive.org/web/20210904094232/https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132658 |archive-date=2021-09-04 }}</ref>

Theo [[định lý bé Fermat]], nếu có số nguyên tố ''p'' sao cho ''n'' chia hết cho ''p'' − 1 và ''n'' + 1 chia hết cho ''p'' (đặc biệt là khi ''n'' = ''p'' − 1) và ''p'' không phải là ước của ''b'', thì ''b''<sup>''n''</sup> phải [[số học mô đun|đồng dư]] với 1 mod ''p'' (bởi ''b''<sup>''n''</sup> là luỹ thừa của ''b''<sup>''p'' − 1</sup> và ''b''<sup>''p'' − 1</sup> đồng dư với 1 mod ''p''). Do đó, ''n''·''b''<sup>''n''</sup> + 1 chia hết cho ''p'', nên nó không phải số nguyên tố. Lấy ví dụ, nếu ''n'' đồng dư với 2 mod 6 (tức là 2, 8, 14, 20, 26, 32, ...) và ''n''·''b''<sup>''n''</sup> + 1 là số nguyên tố, thì ''b'' phải chia hết cho 3 (trừ trường hợp ''b'' = 1).

Dãy các giá trị nhỏ nhất của ''n'' sao cho ''n''·''b''<sup>''n''</sup> + 1 là số nguyên tố (để dấu hỏi nếu phần tử này chưa biết là có hay không) là <ref>{{chú thích web|url=http://guenter.loeh.name/gc/status.html |title=Generalized Cullen primes |date=6 May 2017 |last=Löh |first=Günter }}</ref><ref>{{chú thích web|url=http://harvey563.tripod.com/GClist.txt |title=List of generalized Cullen primes base 101 to 10000 |date=6 May 2017 |last=Harvey |first=Steven }}</ref>
:1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, ?, 3, 8, 1, 19650, 1, 6460, 3, 2, 1, 4330, 2, 2805222, 117, 2, 1, ?, 1, 82960, 5, 2, 25, 304, 1, 36, 3, 368, 1, 1806676, 1, 390, 53, 2, 1, ?, 3, ?, 9665, 62, 1, 1341174, 3, ?, 1072, 234, 1, 220, 1, 142, 1295, 8, 3, 16990, 1, 474, 129897, ?, 1, 13948, 1, ?, 3, 2, 1161, 12198, 1, 682156, 5, 350, 1, 1242, 26, 186, 3, 2, 1, 298, 14, 101670, 9, 2, 775, 202, 1, 1374, 63, 2, 1, ... {{OEIS|id=A240234}}

{|class="wikitable"
|''b''
|Các số ''n'' sao cho ''n'' × ''b''<sup>''n''</sup> + 1  là số nguyên tố (các giá trị của ''n'' được kiểm tra lên tới 101757)
|Dãy [[OEIS]]
|-
|1
|1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, ... (loại trừ số 1 ra)
|{{OEIS link|id=A006093}}
|-
|2
|1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, ...
|{{OEIS link|id=A005849}}
|-
|3
|2, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590, 1183414, ...
|{{OEIS link|id=A006552}}
|-
|4
|1, 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375, ...
|{{OEIS link|id=A007646}}
|-
|5
|1242, 18390, ...
|
|-
|6
|1, 2, 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496, ...
|{{OEIS link|id=A242176}}
|-
|7
|34, 1980, 9898, ...
|{{OEIS link|id=A242177}}
|-
|8
|5, 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816, ..., 749130, ...
|{{OEIS link|id=A242178}}
|-
|9
|2, 12382, 27608, 31330, 117852, ...
|{{OEIS link|id=A265013}}
|-
|10
|1, 3, 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777, ...
|{{OEIS link|id=A007647}}
|-
|11
|10, ...
|
|-
|12
|1, 8, 247, 3610, 4775, 19789, 187895, ...
|{{OEIS link|id=A242196}}
|-
|13
|...
|
|-
|14
|3, 5, 6, 9, 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545, ...
|{{OEIS link|id=A242197}}
|-
|15
|8, 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430, ...
|{{OEIS link|id=A242198}}
|-
|16
|1, 3, 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301, ...
|{{OEIS link|id=A242199}}
|-
|17
|19650, 236418, ...
|
|-
|18
|1, 3, 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928, ...
|{{OEIS link|id=A007648}}
|-
|19
|6460, ...
|
|-
|20
|3, 6207, 8076, 22356, 151456, ...
|{{OEIS link|id=A338412}}
|-
|21
|2, 8, 26, 67100, ...
|
|-
|22
|1, 15, 189, 814, 19909, 72207, ...
|
|-
|23
|4330, 89350, ...
|
|-
|24
|2, 8, 368, ...
|
|-
|25
|2805222, ...
|
|-
|26
|117, 3143, 3886, 7763, 64020, 88900, ...
|
|-
|27
|2, 56, 23454, ..., 259738, ...
|
|-
|28
|1, 48, 468, 2655, 3741, 49930, ...
|
|-
|29
|...
|
|-
|30
|1, 2, 3, 7, 14, 17, 39, 79, 87, 99, 128, 169, 221, 252, 307, 3646, 6115, 19617, 49718, ...
|
|}

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

== Đọc thêm ==
* {{Citation |last=Cullen |first=James |title=Question 15897 |journal=Educ. Times |date=December 1905 |page=534}}.
* {{Citation |first=Richard K. |last=Guy |author-link=Richard K. Guy |title=Unsolved Problems in Number Theory |edition=3rd |publisher=[[Springer Verlag]] |location=New York |year=2004 |isbn=0-387-20860-7 | zbl=1058.11001 | at=Section B20 }}.
* {{Citation |last=Hooley |first=Christopher |author-link=Christopher Hooley |title=Applications of sieve methods |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1976 |isbn=0-521-20915-3 |pages=115–119 | zbl=0327.10044 | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=70 }}.
* {{Citation |first=Wilfrid |last=Keller |title=New Cullen Primes |journal=[[Mathematics of Computation]] |volume=64 |issue=212 |year=1995 |pages=1733–1741,S39–S46 |url=https://www.ams.org/mcom/1995-64-212/S0025-5718-1995-1308456-3/S0025-5718-1995-1308456-3.pdf | zbl=0851.11003 | issn=0025-5718 |doi=10.2307/2153382|doi-access=free }}.

== Liên kết ngoài ==
* Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=6 The Top Twenty: Cullen primes] at The [[Prime Pages]].
* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Cullens The Prime Glossary: Cullen number] at The Prime Pages.
* Chris Caldwell, [https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=42 The Top Twenty: Generalized Cullen] at The Prime Pages.
* {{MathWorld | urlname=CullenNumber | title=Cullen number}}
* [https://web.archive.org/web/20220318135759/http://www.prothsearch.com/cullen.html Cullen prime: definition and status] (outdated), Cullen Prime Search is now hosted at [[PrimeGrid]]
* Paul Leyland, [https://web.archive.org/web/20131219031355/http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cullen_woodall/cw.html (Generalized) Cullen and Woodall Numbers]

{{Phân loại các số nguyên tố}}
{{Classes of natural numbers}}

__NOTOC__

[[Thể loại:Chuỗi số nguyên]]
[[Thể loại:Lớp các số nguyên tố]]
[[Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số]]