Xem mã nguồn của Số Skewes

{{Vấn đề mở|toán học|Tìm giá trị của số Skewes nhỏ nhất}}
Trong [[lý thuyết số]], '''số Skewes''' là bất kỳ [[số lớn]] nào được nhà toán học [[Nam Phi]] [[Stanley Skewes]] đặt làm cận trên cho [[số tự nhiên]] {{Mvar|x}} nhỏ nhất thỏa mãn

: <math>\pi(x) > \operatorname{li}(x),</math>

trong đó <math>\pi</math> là [[hàm đếm số nguyên tố]] và <math>li</math> là [[hàm tích phân lôga]]. Số Skewes rất lớn, nhưng nay người ta đã biết có một giao điểm nằm giữa <math>\pi(x) < \operatorname{li}(x)</math> và <math>\pi(x) > \operatorname{li}(x)</math> gần <math>e^{727,95133} < 1,397 \times 10^{316},</math> song vẫn chưa rõ liệu đây đã là giao điểm nhỏ nhất hay chưa.

== Các số Skewes ==
[[John Edensor Littlewood]], người giám sát nghiên cứu của Skewes, đã chứng minh trong {{Harvard citation text|Littlewood|1914}} rằng tồn tại một số như vậy (và do đó, sẽ là số Skewes đầu tiên); ông thực sự đã phát hiện ra rằng dấu của hiệu <math>\pi(x) - \operatorname{li}(x)</math> đổi vô số lần. Vào thời điểm đó, mọi chứng minh tính toán đều cho rằng <math>\pi(x)</math> luôn nhỏ hơn <math>\operatorname{li}(x)</math>. Tuy nhiên, chứng minh của Littlewood không đưa ra một số {{Mvar|x}} cụ thể.

{{Harvard citation text|Skewes|1933}} chứng minh rằng, giả sử [[giả thuyết Riemann]] là đúng, thì tồn tại số <math>x</math> vi phạm <math>\pi(x) < \operatorname{li}(x)</math> nằm dưới

: <math>e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}</math> .

Trong {{Harvard citation text|Skewes|1955}}, không dùng đến giả thuyết Riemann, Skewes đã chứng minh rằng tồn tại <math>x</math> nằm dưới

: <math>e^{e^{e^{e^{7,705}}}}<10^{10^{10^{964}}}</math> .

Nhiệm vụ của Skewes là đảm bảo bài chứng minh tính tồn tại trên của Littlewood có [[Giá trị có hiệu lực trong lý thuyết số|hiệu lực]]: biểu diễn một số cận trên cụ thể cho lần đầu đổi dấu. Theo [[Georg Kreisel]], tại thời điểm đó nó chưa được coi là điều hiển nhiên, kể cả trên nguyên lý. 

== Các ước tính gần đây ==
Từ thời điểm đó, các giá trị cận trên được giảm đi đáng kể nhờ dùng tính toán bằng điện tính cỡ lớn các nghiệm của hàm [[Hàm zeta Riemann|zeta Riemann]]. Ước lượng đầu tiên cho giá trị thực sự của giao điểm được cho bởi {{Harvard citation text|Lehman|1966}}, người chứng tỏ rằng giữa <math>1,53\times 10^{1165}</math> và <math>1,65\times 10^{1165}</math> có hơn <math>10^{500}</math> số nguyên <math>x</math> liên tiếp thỏa mãn <math>\pi(x) > \operatorname{li}(x)</math>. Không dùng giả thuyết Riemann, H. J. J. te Riele (1987) chứng minh một cận trên bằng <math>7\times 10^{370}</math>. Một ước tính tốt hơn là <math>1,39822\times 10^{316}</math> do {{Harvard citation text|Bays|Hudson|2000}} tìm thấy, bộ đôi này đã chứng minh có ít nhất <math>10^{153}</math> số nguyên liên tiếp đâu đó gần giá trị này thỏa mãn <math>\pi(x) > \operatorname{li}(x)</math>. Bays và Hudson tìm thấy các giá trị nhỏ hơn nhiều của <math>x</math> sao cho <math>\pi(x)</math> tới gần <math>\operatorname{li}(x)</math>; thể hiện khả năng vẫn có các giao điểm chưa được xét, mặc dù điện toán cho rằng các giá trị này có thể không tồn tại. {{Harvard citation text|Chao|Plymen|2010}} củng cố một chút kết quả của  Bays và Hudson.  {{Harvard citation text|Saouter|Demichel|2010}} tìm một khoảng nhỏ hơn, sau được cải thiện bởi {{Harvard citation text|Zegowitz|2010}}. Cùng nguồn đấy cũng chỉ rằng tồn tại số <math>x</math> vi phạm <math>\pi(x) < \operatorname{li}(x),</math> nằm dưới <math>e^{727,9513468}< 1,39718 \times 10^{316}</math>. Giá trị này có thể giảm xuống dưới <math>e^{727,9513386}< 1,39717 \times 10^{316}</math> nếu giả sử giả thuyết Riemann đúng. {{Harvard citation text|Stoll|Demichel|2011}} cho <math>1,39716 \times 10^{316}</math>.
{| class="wikitable" style="text-align:left"
!Năm
! Gần ''x''
!Số nghiệm phức được dùng
!Bởi
|-
| 2000
| 1,39822 {{E|316}}  
| 1 {{E|6}}  
| Bays và Hudson
|-
| 2010
| 1,39801 {{E|316}}  
| 1 {{E|7}}  
| Chao và Plymen
|-
| 2010
| 1,397166 {{E|316}}  
| 2,2 {{E|7}}  
| Saouter và Demichel
|-
| 2011
| 1,397162 {{E|316}}  
| 2,0 {{E|11}}  
| Stoll và Demichel
|-
|}
{{Harvard citation text|Rosser|Schoenfeld|1962}} đã chứng minh chặt chẽ rằng không có giao điểm nào dưới <math>x = 10^8</math>, được {{Harvard citation text|Brent|1975}}  cải tiến thành <math>8\times 10^{10}</math>, {{Harvard citation text|Kotnik|2008}} tới <math>10^{14}</math>, {{Harvard citation text|Platt|Trudgian|2014}} tới <math>1,39\times 10^{17}</math>, và {{Harvard citation text|Büthe|2015}} tới <math>10^{19}</math>. 

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}
{{Refbegin}}
*{{citation|mr=1752093|first=C.|last= Bays |first2=R. H.|last2= Hudson |url=http://www.ams.org/mcom/2000-69-231/S0025-5718-99-01104-7/S0025-5718-99-01104-7.pdf |title=A new bound for the smallest <math>x</math> with <math>\pi(x) > \operatorname{li}(x)</math> |journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=69|year=2000 |issue= 231|pages= 1285–1296 | zbl=1042.11001 | doi=10.1090/S0025-5718-99-01104-7 |doi-access=free }}
*{{citation|mr=0369287|first=R. P.|last= Brent|authorlink=Richard P. Brent |title=Irregularities in the distribution of primes and twin primes |journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=29|year=1975 |pages= 43–56|doi=10.2307/2005460| zbl=0295.10002 | jstor=2005460|issue=129|doi-access=free}}
*{{citation|first=Jan|last=Büthe| title=An analytic method for bounding <math>\psi(x)</math>|year=2015|arxiv=1511.02032|bibcode=2015arXiv151102032B}}
*{{citation | title=A new bound for the smallest <math>x</math> with <math>\pi(x) > \operatorname{li}(x)</math>|first=Kuok Fai|last= Chao|first2= Roger|last2= Plymen|year=2010| arxiv=math/0509312 |journal= [[International Journal of Number Theory]] |volume= 6|issue=03|pages= 681–690|mr=2652902 | zbl=1215.11084 | doi=10.1142/S1793042110003125 }}
*{{citation|first= T.|last= Kotnik |doi=10.1007/s10444-007-9039-2 |title=The prime-counting function and its analytic approximations |journal=Advances in Computational Mathematics|volume=29|issue= 1|year=2008|pages= 55–70 | zbl=1149.11004 | mr = 2420864}}
*{{citation|first= R. Sherman |last=Lehman|title= On the difference <math>\pi(x)-\operatorname{li}(x)</math>|journal= [[Acta Arithmetica]] |volume=11 |year=1966|pages= 397–410 | zbl=0151.04101 | mr=0202686 | url=https://eudml.org/doc/204773 | doi=10.4064/aa-11-4-397-410|doi-access=free }}
* {{citation|first=J. E.|last= Littlewood | authorlink=J. E. Littlewood | title=Sur la distribution des nombres premiers|journal=[[Comptes Rendus]]|volume= 158 |year=1914|pages= 1869–1872 | jfm=45.0305.01}}
* {{citation|first1=D. J.|last1= Platt | first2=T. S.|last2= Trudgian| title=On the first sign change of <math>\theta(x)-x</math>|year=2014|arxiv=1407.1914|bibcode=2014arXiv1407.1914P}}
*{{citation|mr=0866118|first= H. J. J. |last=te Riele|authorlink=Herman te Riele|title=On the sign of the difference <math>\pi(x)-\operatorname{li}(x)</math>|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=48|year=1987|pages= 323–328 |jstor=2007893 |issue=177 | doi = 10.1090/s0025-5718-1987-0866118-6 |doi-access=free}}
*{{citation|mr=0137689|first1= J. B.|last1= Rosser|author1-link=J. Barkley Rosser |first2= L.|last2= Schoenfeld|author2-link=Lowell Schoenfeld |title=Approximate formulas for some functions of prime numbers |journal=Illinois Journal of Mathematics|volume=6|year=1962|pages= 64–94}}
*{{citation
 | last1 = Saouter | first1 = Yannick
 | last2 = Demichel | first2 = Patrick
 | doi = 10.1090/S0025-5718-10-02351-3
 | mr = 2684372
 | issue = 272
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
 | pages = 2395–2405
 | title = A sharp region where <math>\pi(x)-\operatorname{li}(x)</math> is positive
 | volume = 79
 | year = 2010| doi-access = free
 }}
*{{citation|mr=1329368 |author2-link=Peter Sarnak |last=Rubinstein|first= M.|last2= Sarnak|first2= P. |title=Chebyshev's bias
|journal=[[Experimental Mathematics (journal)|Experimental Mathematics]] |volume=3 |year=1994|issue= 3|pages= 173–197 |url= http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515870 |doi=10.1080/10586458.1994.10504289}}
*{{citation|first= S.|last= Skewes|authorlink= Stanley Skewes |title=On the difference <math>\pi(x)-\operatorname{li}(x)</math>|journal=[[Journal of the London Mathematical Society]]|volume=8|year=1933|pages= 277–283 | zbl=0007.34003 | jfm=59.0370.02 |doi=10.1112/jlms/s1-8.4.277}}
*{{citation|mr=0067145| first= S.|last= Skewes|authorlink= Stanley Skewes |title=On the difference <math>\pi(x)-\operatorname{li}(x)</math> (II)|journal=[[Proceedings of the London Mathematical Society]]|volume= 5 |year=1955|pages= 48–70|doi=10.1112/plms/s3-5.1.48}}
* {{citation|first=Douglas|last=Stoll| first2=Patrick|last2= Demichel|title= The impact of <math>\zeta(s)</math> complex zeros on <math>\pi(x)</math> for <math>x < 10^{10^{13}}</math>|year=2011|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=80|issue=276|pages=2381–2394|mr=2813366|doi=10.1090/S0025-5718-2011-02477-4|doi-access=free}}
*{{citation|first=László|last=Tóth|title=On The Asymptotic Density Of Prime k-tuples and a Conjecture of Hardy and Littlewood|journal=Computational Methods in Science and Technology|volume=25|year=2019|issue=3|url=http://cmst.eu/wp-content/uploads/files/10.12921_cmst.2019.0000033_TOTH.pdf}}.
*{{citation|mr=0004255|last= Wintner|first= A. |authorlink=Aurel Wintner |title=On the distribution function of the remainder term of the prime number theorem |journal=  [[American Journal of Mathematics]]|volume=  63|year=1941|pages= 233–248|issue=2|doi=10.2307/2371519|jstor=2371519  }}
*{{citation|first=Marek|last=Wolf|title=The Skewes number for twin primes: counting sign changes of π2(x) − C2Li2(x)|journal=Computational Methods in Science and Technology|volume=17|year=2011|url=http://cmst.eu/wp-content/uploads/files/10.12921_cmst.2011.17.01.87-92_Wolf_old.pdf}}.
*{{citation|last=Zegowitz|first=Stefanie|title=On the positive region of <math>\pi(x)-\operatorname{li}(x)</math>|year=2010|url=http://eprints.ma.man.ac.uk/1547/|publisher=Manchester Institute for Mathematical Sciences, School of Mathematics, University of Manchester|series=Master's thesis}}
{{Refend}}

== Liên kết ngoài ==
*{{Chú thích web |url= http://demichel.net/patrick/li_crossover_pi.pdf  |url-status= dead |archive-date= Sep 8, 2006 |archive-url= https://web.archive.org/web/20060908033007/http://demichel.net/patrick/li_crossover_pi.pdf |format= pdf |title= The prime counting function and related subjects |first= Patrick |last= Demichels  |website= Demichel |accessdate = ngày 29 tháng 9 năm 2009}}
* {{Chú thích sách |last= Asimov |first= I. |chapter= Skewered! |title= Of Matters Great and Small. |location= New York |publisher= Ace Books |date= 1976 |isbn=  978-0441610723 }}

[[Thể loại:Lý thuyết số]]
[[Thể loại:Số nguyên lớn]]