Xem mã nguồn của Số Woodall

Trong [[lý thuyết số]], một '''số nguyên Woodall''' (W<sub>n</sub>) là bất kỳ [[số tự nhiên]] nào có dạng

: <math>W_n = n \cdot 2^n - 1</math>

với n là số tự nhiên bất kỳ. Các con số Woodall đầu tiên là:

: 1, 7, 23, 63, 159, 383, 895,… {{OEIS|id=A003261}}    .

== Lịch sử ==
Các số Woodall được lần đầu tiên nghiên cứu Allan JC Cunningham và [[H.J. Woodall]] vào năm 1917,<ref>{{Chú thích|title=Factorisation of <math>Q = (2^q \mp q)</math> and <math>(q \cdot {2^q} \mp 1)</math>|year=1917}}.</ref> lấy cảm hứng từ nghiên cứu trước đó của James Cullen [[Số Cullen|về các số Cullen]] được định nghĩa một cách tương tự.

== Số nguyên tố Woodall ==
{{Vấn đề mở|toán học|Liệu có vô số số nguyên tố Woodall?}}
Các số nguyên Woodall mà đồng thời là [[số nguyên tố]] được gọi là các '''số nguyên tố Woodall;''' các số ''n'' đầu tiên mà các số Woodall ''W''<sub>''n''</sub> tương ứng là số nguyên tố là 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384,… {{OEIS|id=A002234}}; tuơng ứng với mỗi số n trên dãy số nguyên tố Woodall: 7, 23, 383, 32212254719,… {{OEIS|id=A050918}}.

Năm 1976, nhà toán học [[Christopher Hooley]] đã chỉ ra rằng hầu hết tất cả các số Cullen đều là [[hợp số]].<ref name="EPSW94">{{Chú thích sách|title=Recurrence sequences|last=Everest|first=Graham|last2=van der Poorten|first2=Alf|last3=Shparlinski|first3=Igor|last4=Ward|first4=Thomas|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2003|isbn=0-8218-3387-1|series=Mathematical Surveys and Monographs|volume=104|location=[[Providence, RI]]|page=94|zbl=1033.11006|author-link2=Alfred van der Poorten}}</ref> Vào tháng 10 năm 1995, Wilfred Keller đã xuất bản một bài báo thảo luận về một vài số nguyên tố Cullen mới và những nỗ lực đã thực hiện để xác định và tìm kiếm phương pháp [[Phân tích số nguyên|phân tích thừa số nguyên tố của]] các số Cullen và Woodall khác. Bao gồm trong bài báo đó là một liên lạc cá nhân với Keller đến từ Hiromi Suyama, người đã khẳng định rằng phương pháp phân tích của Hooley có thể được định dạng lại để cho thấy rằng nó hoạt động với bất kỳ dãy số nào với <math>a_n =</math> {{Math|''n'' · 2<sup>''n'' + ''a''</sup> + ''b''}}, trong đó ''a'' và ''b'' là số nguyên, và cụ thể hơn là, điều này chứng minh gần như toàn bộ số Woodall đều là một hợp số.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Keller|first=Wilfrid|date=January 1995|title=New Cullen primes|journal=[[Mathematics of Computation]]|language=en|volume=64|issue=212|pages=1739|doi=10.1090/S0025-5718-1995-1308456-3|issn=0025-5718|doi-access=free}} {{Chú thích web|url=http://www.fermatsearch.org/history/WKeller.html|tựa đề=Wilfrid Keller|tác giả=Keller|tên=Wilfrid|ngày=December 2013|website=www.fermatsearch.org|location=Hamburg|ngôn ngữ=en|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20200228175855/http://www.fermatsearch.org/history/WKeller.html|ngày lưu trữ=ngày 28 tháng 2 năm 2020|ngày truy cập=ngày 1 tháng 10 năm 2020}}</ref> Hiện nay nó đã trở thành [[Danh sách vấn đề mở trong toán học|bài toán mở]] về việc liệu có vô hạn số nguyên tố Woodall hay không. {{Tính đến|2018|10}} , số nguyên tố Woodall lớn nhất được biết đến là 17016602&nbsp;×&nbsp;2 <sup>17016602</sup>&nbsp;-&nbsp;1.<ref>{{Chú thích|title=The Prime Database: 8508301*2^17016603-1}}</ref> Nó có 5.122.515 chữ số và được tìm thấy bởi Diego Bertolotti vào tháng 3 năm 2018 trong dự án [[điện toán phân tán]] PrimeGrid.<ref>{{Chú thích|title=Announcement of 17016602*2^17016602&nbsp;-&nbsp;1}}</ref>

==Các giới hạn==
Bắt đầu với ''W''<sub>4</sub> = 63 và ''W''<sub>5</sub> = 159, cứ cách 6 số thì số Woodall tiếp theo được [[chia hết ]] bởi 3; do đó để ''W''<sub>''n''</sub> là số nguyên tố thì số thứ tự ''n'' không được [[đồng dư]] với 4 hoặc 5 (modulo 6). Ngoài ra, với số nguyên dương ''m'', số Woodall ''W''<sub>2<sup>''m''</sup></sub> có thể nguyên tố khi 2<sup>''m''</sup> + ''m'' là số nguyên tố. Hiện vào tháng 1 năm 2019, các số nguyên tố duy nhất được biết là đồng thời số nguyên tố Woodall và [[số nguyên tố Mersenne]] là ''W''<sub>2</sub> = ''M''<sub>3</sub> = 7, và ''W''<sub>512</sub> = ''M''<sub>521</sub>.

==Tính chia hết==
Giống số Cullen, số Woodall có nhiều tính chất chia hết. Ví dụ như nếu ''p'' là số nguyên thì ''p'' là ước của

:''W''<sub>(''p''&nbsp;+&thinsp;1)&thinsp;/&thinsp;2</sub> nếu [[ký hiệu Jacobi]] <math>\left(\frac{2}{p}\right)</math> bằng +1 và

:''W''<sub>(3''p''&nbsp;−&thinsp;1)&thinsp;/&thinsp;2</sub> nếu ký hiệu Jacobi <math>\left(\frac{2}{p}\right)</math> bằng −1.{{Citation needed|date=December 2011}}

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

== Đọc thêm ==

* {{Chú thích|title=Unsolved Problems in Number Theory|year=2004|isbn=0-387-20860-7}}.
* {{Chú thích|title=New Cullen Primes|year=1995}}.
* {{Chú thích|title=The Top Twenty: Woodall Primes}}.

== Liên kết ngoài ==

* Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=WoodallNumber Bảng chú giải thuật ngữ chính: Số Woodall], và [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=7 Hai mươi hàng đầu: Woodall], và [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=45 Trong top 20: Số Woodall tổng quát], tại The Prime Pages.
* {{MathWorld|urlname=WoodallNumber|title=Woodall number}}
* Steven Harvey, [http://harvey563.tripod.com/GeneralizedWoodallPrimes.txt Danh sách các số nguyên tố trong Woodall tổng quát].
* Paul Leyland, Số [https://web.archive.org/web/20120204131629/http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cullen_woodall/gcw.htm Cullen và Woodall tổng quát]
{{Phân loại các số nguyên tố}}

[[Thể loại:Chuỗi số nguyên]]
[[Thể loại:Lý thuyết số]]
[[Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số]]