Xem mã nguồn của Số hữu tỉ

[[Tập tin:Number-systems.svg|nhỏ|285x285px|Các số hữu tỉ (ℚ) được bao gồm trong các [[số thực]] (ℝ), trong khi bản thân chúng bao gồm các [[số nguyên]] (ℤ), đến lượt nó bao gồm các [[số tự nhiên]] (ℕ)]]
Trong [[toán học]], '''số hữu tỉ''' là các [[số]] '''x''' có thể biểu diễn dưới dạng '''[[phân số]]''' <math>\frac{a}{b}</math>, trong đó ''a'' và ''b'' là các [[số nguyên]] với ''b'' ≠ ''0''.<ref name="Rosen">{{chú thích sách |last = Rosen |first=Kenneth |year=2007 |title=Discrete Mathematics and its Applications |url = https://archive.org/details/discretemathemat00rose_815 |edition=6th |publisher=McGraw-Hill |location=New York, NY|isbn=978-0-07-288008-3 |pages=[https://archive.org/details/discretemathemat00rose_815/page/n130 105], 158–160}}</ref>

[[Tập hợp (toán học)|Tập hợp]] các số hữu tỉ<ref>{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=WAY_AwAAQBAJ|title=Elements of Pure and Applied Mathematics|last1=Lass|first1=Harry|publisher=Courier Corporation|year=2009|isbn=978-0-486-47186-0|edition=illustrated|page=382}} [https://books.google.com/books?id=WAY_AwAAQBAJ&pg=PA382 Extract of page 382]</ref>, hay còn gọi là trường số hữu tỉ<ref>{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=_33D84OENIAC|title=The Collected Works of Julia Robinson|last1=Robinson|first1=Julia|publisher=American Mathematical Soc|year=1996|isbn=978-0-8218-0575-6|page=104}} [https://books.google.com/books?id=_33D84OENIAC&pg=PA104 Extract of page 104]</ref>, ký hiệu là {{math|'''Q'''}} (chữ đậm) hoặc <math>\mathbb Q </math> (chữ viền), Unicode 𝐐/ℚ.<ref>{{chú thích web|last1=Rouse|first1=Margaret|title=Mathematical Symbols|url=http://searchdatacenter.techtarget.com/definition/Mathematical-Symbols|access-date =ngày 1 tháng 4 năm 2015}}</ref> Tên Q của tập hợp này được [[Giuseppe Peano]] sử dụng lần đầu tiên như là chữ viết tắt của ''quoziente'', nghĩa là tỷ lệ, và xuất hiện lần đầu trong cuốn sách ''Algèbre''<ref name=":0">{{Chú thích web|url=https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html|title=Rational Number|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-08-11}}</ref> của Bourbaki.

[[Biểu diễn thập phân|Khai triển thập phân]] của một số hữu tỉ kết thúc sau một số hữu hạn [[chữ số]] (ví dụ: {{Math|{{sfrac|3|4}} {{=}} 0,75}} hoặc thậm chí bắt đầu [[Số thập phân vô hạn tuần hoàn|lặp lại]] một số hữu hạn cùng [[Dãy (toán học)|dãy]] các chữ số lặp đi lặp lại (ví dụ: {{Math|{{sfrac|9|44}} {{=}} 0,20454545...}}).<ref>{{Chú thích web|url=https://www.britannica.com/science/rational-number|tựa đề=Rational number|website=Encyclopedia Britannica|ngôn ngữ=en|ngày truy cập=2020-08-11}}</ref> Ngược lại, bất kỳ số thập phân lặp lại tuần hoàn hoặc kết thúc sau hữu hạn chữ số đều đại diện cho một số hữu tỉ. Các phát biểu này đúng trong [[Hệ thập phân|cơ số 10]] và trong mọi [[cơ số]] nguyên khác (ví dụ: [[Hệ nhị phân|nhị phân]] hoặc [[Hệ thập lục phân|thập lục phân]]).

Một [[số thực]] không phải là số hữu tỉ được gọi là [[số vô tỉ]].<ref name=":02">{{Chú thích web|url=https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html|tựa đề=Rational Number|tác giả=Weisstein|tên=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|ngôn ngữ=en|ngày truy cập=2020-08-11}}</ref> Một số ví dụ của số vô tỉ bao gồm <math>\sqrt2</math>, [[Pi|{{Pi}}]], {{Math|[[E (mathematical constant)|''e'']]}} và {{Math|[[Tỷ lệ vàng|''φ'']]}}. [[Biểu diễn thập phân|Khai triển thập phân]] của một số vô tỉ kéo dài mãi mà không lặp lại. Vì tập hợp các số hữu tỉ là [[Tập hợp đếm được|đếm được]] và tập hợp các số thực là [[Tập hợp không đếm được|không đếm được]] nên [[Gần như tất cả|hầu như tất cả]] các số thực đều là số vô tỉ.<ref name="Rosen2">{{Chú thích sách|title=Discrete Mathematics and its Applications|last=Rosen|first=Kenneth|publisher=McGraw-Hill|isbn=978-0-07-288008-3|edition=6th|location=New York, NY|pages=105, 158–160}}</ref>

Số hữu tỉ có thể được định nghĩa một [[Chủ nghĩa hình thức (toán học)|cách chính tắc]] [[Lớp tương đương|là các lớp tương đương]] của các cặp số nguyên {{Math|(''p'', ''q'')}} với {{Math|''q'' ≠ 0}}, sử dụng [[Tập hợp tương đương|quan hệ tương đương]] được định nghĩa như sau:

<math>\left( p_1, q_1 \right) \sim \left( p_2, q_2 \right) \iff p_1 q_2 = p_2 q_1.</math>

Phân số {{Math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} khi đó biểu thị lớp tương đương của {{Math|(''p'', ''q'')}}.<ref name=":18">{{Chú thích sách|title=Discrete Mathematics|last=Biggs|first=Norman L.|publisher=Oxford University Press|year=2002|isbn=978-0-19-871369-2|location=India|pages=75-78}}</ref>

Số hữu tỉ cùng với [[phép cộng]] và [[phép nhân]] tạo thành một [[Trường (đại số)|trường]] trong đó có chứa các [[số nguyên]], và được chứa trong bất kỳ trường nào có chứa các số nguyên. Nói cách khác, trường số hữu tỉ là một [[trường nguyên tố]] và một trường có [[đặc trưng là 0]] nếu và chỉ khi nó chứa các số hữu tỉ dưới dạng một trường con. [[Mở rộng trường|Phần mở rộng]] hữu hạn của {{Math|'''Q'''}} được gọi là [[trường số đại số]] và phần [[đóng đại số]] của {{Math|'''Q'''}} là trường [[số đại số]].<ref name="Gilbert">{{Chú thích sách|title=Elements of Modern Algebra|url=https://archive.org/details/elementsofmodern0000gilb_w7v6|last=Gilbert|first=Jimmie|last2=Linda|first2=Gilbert|publisher=Thomson Brooks/Cole|year=2005|isbn=0-534-40264-X|edition=6th|location=Belmont, CA|pages=[https://archive.org/details/elementsofmodern0000gilb_w7v6/page/243 243]–244|author-link2=Linda Gilbert Saucier}}</ref>

Trong [[giải tích toán học]], các số hữu tỉ tạo thành một [[Tập trù mật|tập con trù mật]] của các số thực. Các số thực có thể được xây dựng từ các số hữu tỉ bằng cách [[Hoàn thành (không gian số liệu)|hoàn thành]], sử dụng [[Dãy Cauchy|chuỗi Cauchy]], [[cắt Dedekind]] [[Hệ thập phân|hoặc các số thập phân]] vô hạn (để biết thêm, xem [[Xây dựng các số thực]]).

== Từ nguyên ==
Thuật ngữ ''hữu tỷ'' trong tên của tập hợp {{Math|'''Q'''}} đề cập đến thực tế rằng một số hữu tỷ biểu thị ''[[Tỷ lệ|một tỷ số]]'' của hai số nguyên. Tính từ ''hữu tỉ'' đôi khi có nghĩa là các [[hệ số]] là số hữu tỉ. Ví dụ, một [[Điểm hữu tỷ|điểm hữu tỉ]] là một điểm có [[Hệ tọa độ|toạ độ]] hữu tỉ (tức là một điểm có toạ độ là số hữu tỉ); một ''ma trận hữu tỉ'' là một [[Ma trận (toán học)|ma trận]] của các số hữu tỉ; một ''đa thức hữu tỉ'' có thể là một đa thức với các hệ số hữu tỉ, mặc dù thuật ngữ "đa thức trên các số hữu tỉ" thường được ưu tiên hơn, để tránh nhầm lẫn giữa " [[Phân số hữu tỉ|biểu thức hữu tỉ]] " và " [[Hàm phân thức|hàm hữu tỉ]]" (đa thức là một biểu thức hữu tỉ và định nghĩa một hàm hữu tỉ, ngay cả khi các hệ số của nó không phải là số hữu tỉ). Tuy nhiên, một [[Đường cong hợp lý|đường cong hữu tỷ]] ''không phải'' là một đường cong được xác định trên các số hữu tỷ, mà là một đường cong có thể được tham số hóa bằng các hàm hữu tỷ.{{Cần chú thích|date=August 2021}}

Từ nguyên này tương tự như từ nguyên của [[Số ảo|số ''ảo'']] và [[Số thực|số ''thực'']].

== Số học ==

=== Phân số tối giản ===
Mọi số hữu tỉ có thể được biểu diễn theo một cách duy nhất dưới dạng một [[phân số tối giản]] {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}}, trong đó {{Mvar|a}} và {{Mvar|b}} là các [[số nguyên tố cùng nhau]] và {{Math|''b'' > 0}}. Đây thường được gọi là [[Hình thức kinh điển|dạng chính xác]] của số hữu tỉ.

Bắt đầu từ một số hữu tỉ {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}}, dạng chính xác của nó có thể nhận được bằng cách chia {{Mvar|a}} và {{Mvar|b}} [[Ước số chung lớn nhất|cho ước chung lớn nhất]] của chúng, và nếu {{Math|''b'' < 0}}, thay đổi dấu của tử số và mẫu số.

=== Nhúng các số nguyên ===
Mọi số nguyên {{Math|''n''}} có thể được biểu diễn dưới dạng số hữu tỉ {{Math|{{sfrac|''n''|1}}}}, là dạng chính tắc của nó dưới dạng một số hữu tỉ.

=== Đẳng thức ===
<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math> khi và chỉ khi <math>ad = bc</math>

Nếu cả hai phân số đều tối giản, thì:

<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math> khi và chỉ khi <math>a = c</math> và <math>b = d</math><ref name=":18"/>

=== Thứ tự ===
Nếu cả hai mẫu số đều dương (đặc biệt nếu cả hai phân số tối giản):

<math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math> khi và chỉ khi <math>ad < bc.</math>

Mặt khác, nếu một trong hai mẫu số là âm, thì trước tiên mỗi phân số có mẫu số âm phải được chuyển thành dạng tương đương với mẫu số dương — bằng cách đổi dấu của cả tử số và mẫu số của nó.<ref name=":18"/>

=== Phép cộng ===
Hai số hữu tỷ được cộng như sau:

<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.</math>

Nếu cả hai phân số đều tối giản, kết quả sẽ ở dạng chính tắc khi và chỉ khi {{Mvar|b}} và {{Mvar|d}} là các [[số nguyên tố cùng nhau]].<ref name=":18"/><ref name=":25">{{Chú thích web|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fraction|tựa đề=Fraction - Encyclopedia of Mathematics|website=encyclopediaofmath.org|ngày truy cập=2021-08-17}}</ref>

=== Phép trừ ===
Hai số hữu tỷ được trừ như sau:

<math>\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}.</math> tùy vào các trường hợp

Nếu cả hai phân số đều tối giản, kết quả sẽ ở dạng chính tắc khi và chỉ khi {{Mvar|b}} và {{Mvar|d}} là các [[số nguyên tố cùng nhau]].<ref name=":18"/>

=== Phép nhân ===
Hai số hữu tỷ được nhân như sau:

<math>\frac{a}{b} \cdot\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math>

trong đó kết quả có thể là một phân số chưa tối giản — ngay cả khi cả hai phân số ban đầu đều tối giản.<ref name=":18"/><ref name=":25"/>

=== Nghịch đảo phép cộng và phép nhân ===
Mọi số hữu tỉ {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} có một [[nghịch đảo phép cộng]], thường được gọi là ''số đối'' của nó,

<math> - \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}.</math>

Nếu như {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} ở dạng chính tắc, thì số đối của nó cũng ở dạng này.

Một số hữu tỉ khác không {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} có [[nghịch đảo phép nhân]], còn gọi là ''nghịch đảo'' của nó,

<math> \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}. </math>

Nếu như {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} ở dạng chính tắc, thì dạng chính tắc của nghịch đảo của nó là {{Math|{{sfrac|''b''|''a''}}}} hoặc {{Math|{{sfrac|−''b''|−''a''}}}}, phụ thuộc vào dấu của {{Mvar|a}}.{{Cần chú thích|date=August 2021}}

=== Phép chia ===
Nếu {{Math|''b''}}, {{Math|''c''}} và {{Math|''d''}} khác không, quy tắc chia là

<math>\frac{\frac{a}{b}} {\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}.</math>

Như vậy, chia {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} cho {{Math|{{sfrac|''c''|''d''}}}} tương đương với nhân {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} với [[Nghịch đảo phép nhân|nghịch đảo]] của {{Math|{{sfrac|''c''|''d''}}}}:

<math>\frac{ad}{bc} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}.</math><ref name=":23">{{Chú thích web|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fraction|title=Fraction - Encyclopedia of Mathematics|website=encyclopediaofmath.org|access-date=2021-08-17}}</ref>

=== Lũy thừa với số mũ nguyên ===
Nếu {{Math|''n''}} là một số nguyên không âm, thì

<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.</math>

Kết quả ở dạng chuẩn tắc nếu {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} ở dạng chuẩn tắc. Đặc biệt, nếu <math>a</math> và <math>b</math> đều khác 0 thì ta có

* <math>\left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1.</math>
* <math>\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{b^n}{a^n}.</math>

Nếu như {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} ở dạng chuẩn tắc, dạng chuẩn tắc của kết quả là {{Math|{{sfrac|''b<sup>n</sup>''|''a<sup>n</sup>''}}}} nếu {{Math|''a'' > 0}} hoặc {{Mvar|n}} chẵn. Nếu không, dạng chuẩn tắc của kết quả là {{Math|{{sfrac|−''b<sup>n</sup>''|''a<sup>n</sup>''}}}}.

== Biểu diễn ==
=== Biểu diễn trong hệ thập phân và các hệ cơ số khác ===
Khi biểu diễn số hữu tỉ theo [[hệ thập phân|hệ ghi số cơ số 10]] (dạng thập phân), số hữu tỉ có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn và ngược lại.

Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu không có ước nguyên tố nào ngoài 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

VD: phân số <math>\frac{4}{25}</math> có mẫu số là <math>25=5^2</math> không có ước nguyên tố nào khác 5 nên có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn <math>\frac{4}{25} = 0,16</math>

Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu có ít nhất 1 ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: phân số <math>\frac{5}{7}</math> có mẫu số là 7 nên được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

<math>\frac{5}{7}</math><math>= 0,71428571428571428571428571428571...\,</math><math>= 0,(714285)\,</math>

Ví dụ 2: phân số <math>\frac{24}{17}</math> có mẫu số là 17 nên được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn<br /><math>\frac{24}{17}</math><math>= 1,4117647058823529411764705882353...\,</math><math>= 1,(4117647058823529)\, </math>

Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là [[chu kỳ]], và số các chữ số trong chu kỳ này có thể chứng minh được rằng không vượt quá |b|.

Một cách tổng quát, trong một hệ cơ số bất kỳ, các chữ số sau dấu phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

=== Biểu diễn bằng liên phân số ===
Một '''liên phân số hữu hạn''' là một biểu thức chẳng hạn như

<math>a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}},</math>

trong đó {{Math|''a<sub>n</sub>''}} là các số nguyên. Mọi số hữu tỉ {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} có thể được biểu diễn dưới dạng một liên phân số hữu hạn, mà [[hệ số]] {{Math|''a<sub>n</sub>''}} có thể được xác định bằng cách áp dụng [[Giải thuật Euclid|thuật toán Euclide]] cho {{Math|(''a'', ''b'')}}.

== Xây dựng tập các số hữu tỉ từ tập số nguyên ==
[[Tập tin:Rational_Representation.svg|phải|nhỏ|300x300px|Biểu đồ thể hiện sự biểu diễn các lớp tương đương của các cặp số nguyên]]
Trong [[Đại số trừu tượng|toán học hiện đại]], người ta xây dựng tập hợp các số hữu tỉ như [[trường các thương]] của <math>\mathbb{Z}</math>.

Xét tập tích Decaters:
:<math>\mathbb{Q}\times \mathbb{Z}^*</math>=<math>\{(a; b)| a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^* \}</math>

Trên đó xác định một quan hệ tương đương:
:: <math>\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \Leftrightarrow ad = bc</math>

[[quan hệ (toán học)#Quan hệ tương đương|lớp tương đương]] của cặp (a, b) được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a cho b: 
: <math>b/a = {\left [ (a,b) \right]}_{\sim} </math>

Tập các lớp này ([[quan hệ (toán học)#Quan hệ tương đương|tập thương]]) được gọi là tập các số hữu tỷ và ký hiệu là <math>\mathbb Q</math>.
Trên tập <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^*</math> định nghĩa các phép toán: 
: <math>\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)</math>
: <math>\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)</math>

Khi đó 
nếu <math>\left(a, b \right)\sim \left(a', b'\right)</math> và <math>\left(c, d\right) \sim \left(c', d'\right)</math> 
:thì <math>\left(a, b \right)+\left(c, d\right) \sim \left(a', b'\right)+\left(c', d'\right)</math>; 
:và <math>\left(a, b \right)\times \left(c, d\right) \sim \left(a', b'\right) \times \left(c', d'\right)</math>.
 
Do đó các phép toán trên có thể được chuyển sang thành các phép toán trên tập các lớp tương đương nói trên, nghĩa là tập <math>\mathbb{Q}</math>.

Để xem <math>\mathbb Z</math> là bộ phận của <math> \mathbb Q</math> ta nhúng <math>\mathbb Z</math> vào <math>\mathbb Q</math> nhờ đơn ánh cho mỗi số nguyên ''n'' ứng với lớp ''n''/1 trong <math>\mathbb Q</math>.\

== Tính chất ==
[[Tập tin:Diagonal_argument.svg|phải|nhỏ|200x200px|Minh họa về tính có thể đếm được của các số hữu tỷ dương]]
Tập hợp Q của tất cả các số hữu tỉ, cùng với các phép toán cộng và nhân được trình bày ở trên, tạo thành một [[Trường (đại số)|trường]].<ref name=":18"/>

Q không có [[phép tự đẳng cấu]] nào ngoài giá trị đơn vị.

Với thứ tự được định nghĩa ở trên, {{Math|'''Q'''}} là trường có [[Trường có thứ tự|thứ tự]]<ref name=":25"/> không có trường con nào khác ngoài chính nó, và là trường có thứ tự nhỏ nhất, theo nghĩa là mọi trường có thứ tự đều chứa một trường con duy nhất [[Phép đẳng cấu|đẳng cấu]] với Q.

Q là [[trường phân số]] của [[Số nguyên|tập hợp các số nguyên]] {{Math|'''Z'''}}.<ref>{{Chú thích sách|title=Algebra II: Chapters 4 - 7|last=Bourbaki|first=N.|date=2003|publisher=Springer Science & Business Media|page=A.VII.5}}</ref> [[Đóng đại số|Tính đóng đại số]] của {{Math|'''Q'''}}, tức là trường của các nghiệm của các đa thức hữu tỷ, là trường của các [[số đại số]].{{Cần chú thích|date=August 2021}}

Tập hợp tất cả các số hữu tỉ có [[Tập hợp đếm được|thể đếm được]] (xem hình vẽ), trong khi tập hợp tất cả các số thực (cũng như tập hợp các số vô tỉ) là không đếm được. Có thể đếm được, tập hợp các số hữu tỉ là [[Chưa cài đặt|tập hợp rỗng]], tức là [[Gần như tất cả|hầu hết tất cả]] các số thực đều vô tỉ, theo nghĩa của [[độ đo Lebesgue]].{{Cần chú thích|date=August 2021}}

Số hữu tỷ là một tập hợp có trật tự trù mật: giữa hai số hữu tỷ bất kỳ, có một số hữu tỷ khác, và do đó, có vô số số hữu tỷ khác giữa chúng.<ref name=":18"/> Ví dụ, đối với hai phân số bất kỳ thỏa mãn

<math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math>

(với <math>b,d</math> đều dương), ta có

<math>\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}.</math>

Bất kỳ [[Đã đặt hàng hoàn toàn|tập hợp có thứ tự hoàn toàn]] nào có thể đếm được, trù mật (theo nghĩa trên) và không có phần tử nhỏ nhất hoặc lớn nhất nào là [[Thứ tự đẳng cấu|đẳng cấu thứ tự]] với tập hợp các số hữu tỉ.<ref>{{Cite techreport}}</ref>

== Với số thực và tính chất pô ==
Số hữu tỉ là một [[Tập trù mật|tập con trù mật]] của các số thực: mọi số thực đều có các số hữu tỉ gần nó một cách tùy ý.<ref name=":18"/> Một tính chất liên quan là số hữu tỉ là số duy nhất có mở rộng [[Tập hợp hữu hạn|hữu hạn]] [[Liên phân số|dưới dạng liên phân số thông thường]].

Theo thứ tự của chúng, các số hữu tỷ có một [[Tôpô thứ tự|cấu trúc liên kết trật tự]]. Các số hữu tỉ, như một không gian con của các số thực, cũng có một [[cấu trúc liên kết không gian con]]. Các số hữu tỉ tạo thành một [[Không gian mêtric|không gian số liệu]] bằng cách sử dụng metric [[Sự khác biệt tuyệt đối|chênh lệch tuyệt đối]] {{Math|''d''(''x'', ''y'') {{=}} {{abs|''x'' − ''y''}}}}, và điều này tạo ra một cấu trúc liên kết thứ ba trên {{Math|'''Q'''}}. Tất cả ba cấu trúc liên kết trùng hợp và biến các hợp lý thành một [[trường tôpô]]. Các số hữu tỉ là một ví dụ quan trọng của một không gian không phải là [[Không gian compact địa phương|nhỏ gọn cục bộ]]. Các hợp lý được đặc trưng về mặt cấu trúc liên kết là [[Thuộc tính tôpô|không gian có thể]] [[Tập hợp đếm được|đếm được]] duy nhất mà không có [[điểm cô lập]]. Không gian này cũng [[Không gian hoàn toàn không liên thông|hoàn toàn bị ngắt kết nối]]. Các số hữu tỉ không tạo thành một [[Tính hoàn chỉnh (cấu trúc liên kết)|không gian số liệu hoàn chỉnh]]&nbsp; ; các [[số thực]] là sự hoàn thành của {{Math|'''Q'''}} theo metric {{Math|''d''(''x'', ''y'') {{=}} {{abs|''x'' − ''y''}}}} bên trên.<ref name=":25"/>

== Số {{Math|''p''}}-adic ==
Ngoài metric giá trị tuyệt đối được đề cập ở trên, có những số liệu khác biến {{Math|'''Q'''}} thành một trường tô pô liên kết:

Cho {{Mvar|p}} là một [[số nguyên tố]] và với mọi số nguyên khác không {{Mvar|a}}, cho {{Math|{{abs|''a''}}<sub>''p''</sub> {{=}} ''p''<sup>−''n''</sup>}}, trong đó {{Math|''p<sup>n</sup>''}} là lũy thừa cao nhất của {{Mvar|p}} [[chia hết]] {{Mvar|a}}.

Ngoài ra ta đặt {{Math|{{abs|0}}<sub>''p''</sub> {{=}} 0}}. Đối với bất kỳ số hữu tỉ  {{Math|{{sfrac|''a''|''b''}}}}, ta đặt {{Math|{{abs|{{sfrac|''a''|''b''}}}}<sub>''p''</sub> {{=}} {{sfrac|{{abs|''a''}}<sub>''p''</sub>|{{abs|''b''}}<sub>''p''</sub>}}}}  .

Khi đó {{Math|''d<sub>p</sub>''(''x'', ''y'') {{=}} {{abs|''x'' − ''y''}}<sub>''p''</sub>}} xác định một [[Không gian mêtric|metric]] trên {{Math|'''Q'''}}<ref>{{Chú thích web|url=https://mathworld.wolfram.com/p-adicNumber.html|tựa đề=p-adic Number|tác giả=Weisstein|tên=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|ngôn ngữ=en|ngày truy cập=2021-08-17}}</ref>

Không gian metric {{Math|('''Q''', ''d<sub>p</sub>'')}} không hoàn chỉnh và phần hoàn thành của nó là trường số [[Số p-adic|{{Mvar|p}} -adic]] {{Math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}}. [[Định lý Ostrowski]] phát biểu rằng bất kỳ [[Giá trị tuyệt đối (đại số)|giá trị tuyệt đối]] không tầm thường nào trên số hữu tỉ {{Math|'''Q'''}} đều tương đương với giá trị tuyệt đối thực thông thường hoặc giá trị tuyệt đối [[Số p-adic|{{Mvar|p}} -adic]].

Tập hợp số hữu tỉ ký hiệu <math>\mathbb{Q} </math>.

== Xem thêm ==
* [[Số nguyên tố]]
* [[Số nguyên]]
* [[Số tự nhiên]]
* [[Số vô tỉ]]
* [[Số đại số]]
* [[Số siêu việt]]
* [[Số thực]]
* [[Số phức]]
* [[Số siêu phức]]

==Tham khảo==
{{tham khảo}}

== Liên kết ngoài ==
* [http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html Số hữu tỉ] tại MathWorld.
{{Kiểm soát tính nhất quán}}
{{Hệ thống số}}
{{Lý thuyết số}}
{{Số thực}}

[[Thể loại:Số hữu tỉ| ]]
[[Thể loại:Lý thuyết tập hợp]]
[[Thể loại:Toán học sơ cấp]]
[[Thể loại:Lý thuyết trường]]
[[Thể loại:Phân số]]