Xem mã nguồn của Số hoàn thiện

'''Số hoàn hảo''' (hay còn gọi là '''số hoàn chỉnh''', '''số hoàn thiện''' hoặc '''số hoàn thành''') là một số nguyên dương mà tổng các ước nguyên dương thực sự của nó (các số nguyên dương bị nó chia hết ngoại trừ nó) bằng chính nó.

== Định nghĩa số hoàn hảo ==
Số hoàn hảo là các [[số tự nhiên|số nguyên dương]] ''n'' sao cho:
:<math>n = s(n)</math>
trong đó, s(n) là [[Tổng ước số thực sự|hàm tổng các ước thực sự]] của n. Ví dụ:

<math> 6 = s(6) = 1 + 2 + 3</math>

<math> 28 = s(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14</math>

<math> 496 = s(496) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248</math>

<math> 8128 = s(8128) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064</math>

Hoặc:
:<math>\sigma(n) = 2n</math>
trong đó, <math>\sigma(n)</math> là [[hàm tổng các ước]] của ''n'', bao gồm cả ''n''.

== Các số hoàn hảo chẵn  ==
{{Vấn đề mở|toán học|Liệu có vô số số hoàn hảo?}}

[[Euclid]] đã khám phá ra 4 số hoàn hảo nhỏ nhất dưới dạng: 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1):

:<math> p = 2 \Rightarrow 2^{2-1}(2^2-1) = 2 \times 3 = 6</math>

:<math> p = 3 \Rightarrow 2^{3-1}(2^3-1) = 4 \times 7 = 28</math>

:<math> p = 5 \Rightarrow 2^{5-1}(2^5-1) = 16 \times 31 = 496</math>

:<math> p = 7 \Rightarrow 2^{7-1}(2^7-1) = 64 \times 127 = 8128</math>

Chú ý rằng: 2<sup>p</sup> − 1 đều là [[số nguyên tố]] trong mỗi ví dụ trên, Euclid chứng minh rằng công thức: 2<sup>p−1</sup>(2<sup>p</sup> − 1) sẽ cho ta một số hoàn hảo chẵn khi và chỉ khi 2<sup>p</sup> − 1 là [[số nguyên tố]] ([[số nguyên tố Mersenne]]).

Các nhà toán học cổ đại chấp nhận đây là 4 số hoàn hảo nhỏ nhất mà họ biết, nhưng đa số những giả định trên đây đã không được chứng minh là đúng. Một trong số đó là nếu 2, 3, 5, 7 là bốn số nguyên tố đầu tiên thì nhất định sẽ có số hoàn thiện thứ năm khi p = 11, số nguyên tố thứ năm. Nhưng 2<sup>11</sup> − 1 = 2047 = 23 × 89 lại là hợp số, và thế là p = 11 không thu được số hoàn hảo. 2 sai lầm khác của họ là:

Số hoàn hảo thứ năm phải có năm chữ số theo hệ cơ số 10 vì bốn số hoàn hảo đầu tiên có lần lượt 1, 2, 3, 4 chữ số

Chữ số hàng đơn vị của số hoàn hảo phải là 6, 8, 6, 8 và cứ thế lặp lại.

Số hoàn hảo thứ năm là <math>33.550.336=2^{12}(2^{13}-1)</math> bao gồm 8 chữ số, vậy nhận định 1 đã sai, về nhận định thứ 2 thì số này tận cùng là 6. Tuy nhiên đến số hoàn hảo thứ sáu là <math>8.589.869.056=2^{16}(2^{17}-1)</math> thì cũng tận cùng là 6. Nói cách khác bất cứ số hoàn hảo chẵn nào cũng phải có chữ số tận cùng là 6 hoặc 8.

Để <math>2^p-1</math> là số nguyên tố thì điều kiện cần nhưng chưa đủ là p là số nguyên tố. Số nguyên tố có dạng 2<sup>p</sup> − 1 được gọi là [[Số nguyên tố Mersenne]] sau khi được 1 nhà tu vào thế kỷ 17 là [[Marin Mersenne]], người học [[lý thuyết số]] và số hoàn hảo tìm ra.

Hơn 1000 năm sau Euclid, [[Ibn al-Haytham]] [[Alhazen circa]] nhận ra rằng mọi số hoàn hảo chẵn đều phải có dạng 2<sup>p−1</sup>(2<sup>p</sup> − 1) khi 2<sup>p</sup> − 1 là số nguyên tố, nhưng ông ta không thể chứng minh được kết quả này.<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham}}</ref> Mãi tới thế kỷ 18 là [[Leonhard Euler]] đã chứng minh công thức 2<sup>p−1</sup>(2<sup>p</sup> − 1) là sẽ tìm ra các số hoàn hảo chẵn. Đó là lý do dẫn tới sự liên hệ giữa số hoàn hảo và số nguyên tố Mersenne. Kết quả này thường được gọi là thuyết Euclid-Euler. Cho tới tháng 9 năm 2008, mới chỉ có 46 số Mersenne được tìm ra,<ref>{{chú thích web | url = http://www.mersenne.org/ | tiêu đề = Great Internet Mersenne Prime Search | author = | ngày = | ngày truy cập = 7 tháng 10 năm 2015 | nơi xuất bản = | ngôn ngữ = }}</ref> có nghĩa đây là số hoàn hảo thứ 46 được biết, số lớn nhất là 2<sup>43.112.608</sup> × (2<sup>43.112.609</sup> − 1) với 25.956.377 chữ số.

39 số hoàn hảo chẵn đầu tiên có dạng 2<sup>p−1</sup>(2<sup>p</sup> − 1) khi
:p = [[2 (số)|2]], 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 {{OEIS|id=A000043}}
7 số khác được biết là khi p = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 43112609. Chưa ai biết là có để sót số nào giữa chúng hay không

Cũng chưa ai biết chắc chắn là có [[Vô hạn số|vô hạn]] số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo hay không. Việc tìm ra các số nguyên tố Mersenne mới được thực hiện bởi các [[siêu máy tính]]

Các số hoàn hảo đều là [[số tam giác]] thứ 2<sup>p</sup> − 1 (là tổng của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 2<sup>p</sup> − 1):
:p = 2: <math> 6 = 1+2+3 \, </math>
:p = 3: <math> 28 = 1+2+3+4+5+6+7 </math>
:p = 5: <math> 496 = 1+2+3+...+29+30+31 </math>
:p = 7: <math> 8128 = 1+2+3+...+125+126+127 </math>
Các số hoàn hảo đều là tổ hợp chập 2 của 2<sup>p</sup>:

:p = 2: <math> 6 = C_{4}^{2} </math>
:p = 3: <math> 28 = C_{8}^2 </math>
:p = 5: <math> 496 = C_{32}^2 </math>
:p = 7: <math> 8128 = C_{128}^2 </math>

Các số hoàn hảo đều có tổng các nghịch đảo của các ước (kể cả chính nó) đúng bằng 2:
:6: <math> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=2 </math>
:28: <math> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}=2 </math>
:496: <math> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{31}+\frac{1}{62}+\frac{1}{124}+\frac{1}{248}+\frac{1}{496}=2 </math>
:8128: <math> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{127}+\frac{1}{254}+\frac{1}{508}+\frac{1}{1016}+\frac{1}{2032}+\frac{1}{4064}+\frac{1}{8128}=2 </math>
Số 6 là số tự nhiên duy nhất có tổng các ước bằng tích các ước (không kể chính nó):
:<math> 6=1+2+3=1\times2\times3 </math>

Trừ số 6, mọi số hoàn hảo đều là tổng của 2<sup>(p−1)/2</sup> số lập phương lẻ liên tiếp từ 1<sup>3</sup> đến (2<sup>(p+1)/2</sup> − 1)<sup>3</sup>:
:p = 3: <math> 28 = 1^3+3^3 \, </math>
:p = 5: <math> 496 = 1^3+3^3+5^3+7^3 \, </math>
:p = 7: <math> 8128 = 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3 \, </math>
Trừ số 6, mọi số hoàn hảo khi chia 9 thì đều thu được thương là số tam giác thứ (2<sup>p</sup> − 2)/3 và [[số dư]] là 1:
:p = 3: <math> 28 = 9\times(1+2) + 1 </math>
:p = 5: <math> 496 = 9\times(1+2+3+...+8+9+10)+1 </math>
:p = 7: <math> 8128 = 9\times(1+2+3+...+40+41+42)+1 </math>

==Số hoàn hảo lẻ==
{{Vấn đề mở|toán học|Liệu có tồn tại hay không số hoàn hảo lẻ?}}
Hiện tại người ta vẫn chưa biết được liệu số hoàn hảo lẻ nào không mặc dù đã có nhiều kết quả nghiên cứu. Trong 1946, [[Jacques Lefèvre d'Étaples|Jacques Lefèvre]] phát biểu rằng luật của Euclid cho mọi số hoàn hảo<ref>{{Chú thích sách|last=Dickson|first=L. E. | author-link = L. E. Dickson|title=History of the Theory of Numbers, Vol. I|year=1919|publisher=Carnegie Institution of Washington|location=Washington|page=6|url=https://archive.org/stream/historyoftheoryo01dick#page/6/}}</ref>, nghĩa là cho rằng không có số hoàn hảo lẻ nào tồn tại cả. Euler thì nói rằng: "Liệu&nbsp;... có số hoàn hảo lẻ nào là câu hỏi rất khó có thể giải đáp".<ref>http://www.math.harvard.edu/~knill/seminars/perfect/handout.pdf {{Bare URL PDF|date=March 2022}}</ref> Gần đây hơn, [[Carl Pomerance]] đã đưa ra [[tranh luận heuristic|tranh luận bằng heuristic]] rằng quả thật không số hoàn hảo lẻ nào nên tồn tại <ref name="oddperfect">[http://oddperfect.org/pomerance.html Oddperfect.org]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061229094011/http://oddperfect.org/pomerance.html |date=2006-12-29 }}</ref> Tất cả các số hoàn hảo đều là [[Số điều hòa ước|số điều hòa của Ore]] và hiện tại người ta vẫn đang [[giả thuyết không]] có số điều hòa lẻ nào ngoại trừ số 1.

Bất cứ số hoàn hảo lẻ ''N'' phải thỏa mãn các điều kiện sau:
* ''N'' > 10<sup>1500</sup>.<ref name="Ochem and Rao (2012)">{{chú thích tạp chí | last1=Ochem | first1=Pascal | last2=Rao | first2=Michaël | title=Odd perfect numbers are greater than 10<sup>1500</sup> | journal=[[Mathematics of Computation]] | year=2012 | volume=81 | issue=279 | doi=10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 | url=http://www.lirmm.fr/~ochem/opn/opn.pdf | pages=1869–1877 | zbl=1263.11005 | issn=0025-5718 | doi-access=free }}</ref>
* ''N'' không chia hết bởi 105.<ref name="Kühnel U">{{chú thích tạp chí|last=Kühnel|first=Ullrich|title=Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen|journal=Mathematische Zeitschrift|year=1950|volume=52|pages=202–211|doi=10.1007/BF02230691|s2cid=120754476|language=de}}</ref>
* ''N'' dưới dạng ''N'' ≡ 1 (mod 12) hoặc ''N'' ≡ 117 (mod 468) hoặc ''N'' ≡ 81 (mod 324).<ref name="Roberts T (2008)">{{chú thích tạp chí|last=Roberts|first=T|title=On the Form of an Odd Perfect Number|journal=Australian Mathematical Gazette|year=2008|volume=35|issue=4|pages=244|url=http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2008/Sep08/CommsRoberts.pdf}}</ref>
* ''N'' dưới dạng
::<math>N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \cdots p_k^{2e_k}, </math>
:trong đó:
:* ''q'',&nbsp;''p''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''p''<sub>''k''</sub> là các số nguyên tố lẻ phân biệt (Euler).
:* ''q'' ≡&nbsp;α ≡&nbsp;1 ([[Modulo|mod]] 4) (Euler).
:* Ước nguyên tố lẻ nhỏ nhất của ''N'' nằm dưới <math>\frac{k-1}{2}.</math><ref name="Zelinsky 2021">{{chú thích tạp chí |last1=Zelinsky |first1=Joshua |title=On the Total Number of Prime Factors of an Odd Perfect Number |journal=Integers |date=3 August 2021 |volume=21 |url=http://math.colgate.edu/~integers/v76/v76.pdf |access-date=7 August 2021}}</ref> 
:* ''q''<sup>α</sup>&nbsp;>&nbsp;10<sup>62</sup>, hoặc ''p''<sub>''j''</sub><sup>2''e''<sub>''j''</sub></sup> &nbsp;>&nbsp;10<sup>62</sup> với một vài giá trị ''j''.<ref name="Ochem and Rao (2012)"/>
:* <math> N < 2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}</math><ref name="Chen and Tang">{{chú thích tạp chí |last1=Chen |first1=Yong-Gao |last2=Tang |first2=Cui-E |title=Improved upper bounds for odd multiperfect numbers. |journal=Bulletin of the Australian Mathematical Society |date=2014 |volume=89 |issue=3 |pages=353–359|doi=10.1017/S0004972713000488 }}</ref><ref name="Nielsen (2003)">{{chú thích tạp chí|last=Nielsen|first=Pace P.|title=An upper bound for odd perfect numbers|journal=Integers|year=2003|volume=3|pages=A14–A22|url=http://www.westga.edu/~integers/vol3.html|access-date=23 March 2021}}</ref>
:* <math>\alpha + 2e_1 + 2e_2 + 2e_3 + \cdots + 2e_k \geq \frac{66k-191}{25} </math>.<ref name="Zelinsky 2021"/><ref name="Ochem and Rao (2014)">{{chú thích tạp chí | last1=Ochem | first1=Pascal | last2=Rao | first2=Michaël | title=On the number of prime factors of an odd perfect number.  | journal=[[Mathematics of Computation]] | year=2014 | volume=83 | issue=289 | pages=2435–2439  | doi=10.1090/S0025-5718-2013-02776-7 | doi-access=free }}</ref>
:* <math> qp_1p_2p_3 \cdots p_k < 2N^{\frac{17}{26}}</math>.<ref name="LucaPomerance">{{chú thích tạp chí |last1=Pomerance |first1=Carl |last2=Luca |first2=Florian |title=On the radical of a perfect number |journal=New York Journal of Mathematics |date=2010 |volume=16 |pages=23–30 |url=http://nyjm.albany.edu/j/2010/16-3.html |access-date=7 December 2018}}</ref>
* Ước nguyên tố lớn nhất của ''N'' lớn hơn 10<sup>8</sup><ref name="Goto and Ohno (2008)">{{chú thích tạp chí|last=Goto|first=T|author2=Ohno, Y|title=Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10<sup>8</sup>|journal=Mathematics of Computation|year=2008|volume=77|issue=263|pages=1859–1868|doi=10.1090/S0025-5718-08-02050-9|url=http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/perfect/perfect.pdf|access-date=30 March 2011|bibcode=2008MaCom..77.1859G|doi-access=free|archive-date=2011-08-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20110807101906/http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/perfect/perfect.pdf}}</ref> và nhỏ hơn <math>(3N)^{1/3}.</math> <ref name="AK 2012">{{chú thích tạp chí |last1=Konyagin |first1=Sergei |last2=Acquaah |first2=Peter |title=On Prime Factors of Odd Perfect Numbers |journal=International Journal of Number Theory |date=2012 |volume=8 |issue=6 |pages=1537–1540|doi=10.1142/S1793042112500935 }}</ref>
* Ước nguyên tố lớn thứ hai của ''N'' lớn hơn 10<sup>4</sup>,<ref name="Ianucci DE (1999)">{{chú thích tạp chí|last=Iannucci|first=DE|title=The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand|journal=Mathematics of Computation|year=1999|volume=68|issue=228|pages=1749–1760|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-228/S0025-5718-99-01126-6/S0025-5718-99-01126-6.pdf|access-date=30 March 2011|doi=10.1090/S0025-5718-99-01126-6|bibcode=1999MaCom..68.1749I|doi-access=free}}</ref> và nhỏ hơn <math>(2N)^{1/5}</math>.<ref name="Zelinsky 2019">{{chú thích tạp chí |last1=Zelinsky |first1=Joshua |title=Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number |journal=International Journal of Number Theory |date=July 2019 |volume=15 |issue=6 |pages=1183–1189 |doi=10.1142/S1793042119500659 |arxiv=1810.11734 |s2cid=62885986 }}.</ref>
* Ước nguyên tố thứ ba lớn hơn 100,<ref name="Ianucci DE (2000)">{{chú thích tạp chí|last=Iannucci|first=DE|title=The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred|journal=Mathematics of Computation|year=2000|volume=69|issue=230|pages=867–879|url=https://www.ams.org/journals/mcom/2000-69-230/S0025-5718-99-01127-8/S0025-5718-99-01127-8.pdf|access-date=30 March 2011|doi=10.1090/S0025-5718-99-01127-8|bibcode=2000MaCom..69..867I|doi-access=free}}</ref> và nhỏ hơn <math>(2N)^\frac16.</math><ref name="Zelinsky 2021a">{{chú thích tạp chí |first1=Sean|last1=Bibby|first2=Pieter|last2=Vyncke|last3=Zelinsky |first3=Joshua |title=On the Third Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number |journal=Integers |date=23 November 2021 |volume=21 |url=http://math.colgate.edu/~integers/v115/v115.pdf |access-date=6 December 2021}}</ref> 
* ''N'' có ít nhất 101 ước nguyên tố và ít nhất 10 ước nguyên tố phân biệt.<ref name="Ochem and Rao (2012)"/><ref name="Nielsen Pace P. (2015)">{{chú thích tạp chí|last=Nielsen|first=Pace P.|title=Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds|journal=Mathematics of Computation|year=2015|volume=84|issue=295|pages=2549–2567|url=https://math.byu.edu/~pace/BestBound_web.pdf|access-date=13 August 2015|doi=10.1090/S0025-5718-2015-02941-X|doi-access=free|archive-date=2015-07-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20150708185554/https://math.byu.edu/~pace/BestBound_web.pdf}}</ref> Nếu 3 không phải là ước của ''N'', thì ''N'' có ít nhất 12 ước nguyên tố phân biệt.<ref name="Nielsen Pace P. (2007)">{{chú thích tạp chí|last=Nielsen|first=Pace P.|title=Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors|journal=Mathematics of Computation|year=2007|volume=76|pages=2109–2126|url=https://math.byu.edu/~pace/NotEight_web.pdf|access-date=30 March 2011|doi=10.1090/S0025-5718-07-01990-4|issue=260|arxiv=math/0602485|bibcode=2007MaCom..76.2109N|s2cid=2767519|archive-date=2021-11-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20211103100630/https://math.byu.edu/~pace/NotEight_web.pdf}}</ref>

==Xem thêm==
* [[Danh sách số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo]]

== Ghi chú ==
{{Tham khảo}}

== Liên kết ngoài ==
* David Moews: [http://djm.cc/amicable.html Perfect, amicable and sociable numbers]
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers.html Perfect numbers - History and Theory]
* {{mathworld|urlname=PerfectNumber|title=perfect number}}
* [http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A000396 List of Perfect Numbers] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20010715150601/http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A000396 |date=2001-07-15 }} at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
* [http://amicable.homepage.dk/perfect.htm List of known Perfect Numbers] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090503154707/http://amicable.homepage.dk/perfect.htm |date = ngày 3 tháng 5 năm 2009}} All known perfect numbers are here.
* [http://www.oddperfect.org OddPerfect.org] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181106015226/http://oddperfect.org/ |date = ngày 6 tháng 11 năm 2018}} A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.

[[Thể loại:Chuỗi số tự nhiên]]
[[Thể loại:Hàm ước số]]
[[Thể loại:Vấn đề chưa được giải quyết trong toán học]]
[[Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số]]
[[Thể loại:Chuỗi số nguyên]]