Xem mã nguồn của Số nguyên tố Mersenne

'''Số nguyên tố Mersenne''' là một [[số nguyên tố]] có giá trị bằng 2<sup>n</sup> − 1. Ví dụ 31 là số nguyên tố Mersenne vì 31 = 2<sup>5</sup> − 1 (31 và 5 đều là số nguyên tố)

[[Điều kiện cần]] để số M<sub>n</sub> nguyên tố là ''n'' là số nguyên tố, 2<sup>4</sup> -1 = 15 là hợp số vì 4 không là nguyên tố, nhưng suy đoán ngược lại không đúng: ví dụ số Mersenne [[2047 (số)|2047]] = [[2048 (số)|2<sup>11</sup>]] − 1 không là nguyên tố vì nó chia hết cho 89 và 23, mặc dù số 11 là số nguyên tố.

Hiện nay, các số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy thường là số nguyên tố Mersenne.

Các số nguyên tố Mersenne có quan hệ chặt chẽ với các [[số hoàn thiện]], nghĩa là các số bằng tổng các ước chân chính của nó. Trong lịch sử, việc nghiên cứu các số nguyên tố Mersenne đã từng bị thay đổi do các liên quan này; vào thế kỷ IV TCN, [[Euclid]] phát biểu rằng nếu M là số nguyên tố Mersenne thì M(M+1)/2 là số hoàn thiện. Vào thế kỷ XVIII, [[Leonhard Euler]] chứng minh rằng tất cả các số hoàn thiện [[số chẵn lẻ|chẵn]] đều có dạng này. Không một số hoàn thiện [[số chẵn lẻ|lẻ]] nào được biết, và người ta nghi ngờ rằng chúng không tồn tại.

== Tìm các số nguyên tố Mersenne ==
{{vấn đề mở|toán học|Liệu có vô hạn số nguyên tố Mersenne?}}
Đẳng thức sau

:<math>2^{ab}-1=(2^a-1)\cdot \left(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots+2^{(b-1)a}\right)</math>

cho biết rằng ''M<sub>n</sub>'' có thể là số nguyên tố chỉ nếu chính ''n'' là số nguyên tố, điều đó làm giản lược bớt việc tìm các số nguyên tố Mersenne. Mệnh đề đảo, nói rằng ''M<sub>n</sub>'' là số nguyên tố nếu ''n'' là số nguyên tố là sai. Số nhỏ nhất cho ví dụ này là 2<sup>11</sup>-1 = 23×89, là [[hợp số]].

Đã có một số thuật toán tối ưu hóa để tìm số nguyên tố Mersenne, do đó hiện nay người ta đã biết các số nguyên tố Mersenne rất lớn.

Bốn số nguyên tố Mersenne đầu tiên <math>M_2=3</math>, <math>M_3=7</math>, <math>M_5=31</math> và <math>M_7=127</math> đã được biết từ cổ xưa. Số thứ năm, <math>M_{13}=8191</math>, được tìm thấy vào trước năm 1461; hai số tiếp theo (<math>M_{17}</math> và <math>M_{19}</math>) tìm thấy bởi [[Pietro Cataldi|Cataldi]] vào năm 1588, đồng thời ông còn dự đoán cho các số mũ 23 (đã bị [[Pierre de Fermat|Fermat]] bác bỏ), 29 (đã bị [[Pierre de Fermat|Fermat]] bác bỏ), 37(đã bị [[Leonhard Euler|Euler]] bác bỏ). Sau hơn một thế kỷ <math>M_{31}</math> được kiểm tra bởi [[Leonhard Euler|Euler]] vào năm 1750 bằng '''[[Lý thuyết chỉ số]]'''. Số tiếp theo (trong lịch sử, không theo thứ tự số) là <math>M_{127}</math>, do [[Edouard Lucas|Lucas]] tìm thấy vào năm 1876, sau đó <math>M_{61}</math> do [[Ivan Mikheevich Pervushin|Pervushin]] tìm vào năm 1883. Hai số nữa (<math>M_{89}</math> và <math>M_{107}</math>) được tìm thấy vào thế kỷ XX, bởi [[R. E. Powers|Powers]] vào năm 1911 và 1914.

Từ thế kỷ XVII, các số này được mang tên nhà toán học Pháp [[Marin Mersenne]], người đã chứng minh và dự đoán một loạt các số nguyên tố Mersenne với các số mũ: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 67, 127, 257. Danh sách của ông đã mắc một số sai lầm, như bao gồm cả ''M''<sub>67</sub> (được [[Kohler]] chứng minh là hợp số vào năm [[1901]], cụ thể: <math>2^{67} - 1 = 193.707.721 \times 761.838.257.287</math>), ''M''<sub>257</sub> (được chứng minh là hợp số vào năm [[1952]]), và bị bỏ quên ''M''<sub>61</sub>, ''M''<sub>89</sub> và ''M''<sub>107</sub>.

Phương pháp tốt nhất để kiểm tra tính nguyên tố của các số Mersenne được dựa vào sự tính toán một dãy tuần hoàn, được phát biểu đầu tiên bởi [[Edouard Lucas|Lucas]] năm 1878 và chứng minh bởi [[Derrick Henry Lehmer|Lehmer]] vào những năm 1930. Hiện nay nó được gọi là [[kiểm tra Lucas-Lehmer với số Mersenne]]. Đặc biệt, ta có thể chứng minh rằng (với <math>n>2</math>) <math>M_n=2^n-1</math> là số nguyên tố nếu và chỉ nếu ''M<sub>n</sub>'' chia hết cho ''S<sub>n-2</sub>'', trong đó <math>S_0=4</math> và với <math>k>0</math>, <math>S_k=S_{k-1}^2-2</math>.

[[Tập tin:primes.png|nhỏ|phải|360px|Đồ thị biểu diễn số các chữ số của số nguyên tố Mersenne lớn nhất đã biết theo từng năm của kỷ nguyên điện tử. Chú ý rằng trục tung độ đã được [[logarit]] hóa.]]

Việc tìm các số nguyên tố Mersenne thực sự được cách mạng bởi các máy tính điện tử số. Thành công đầu tiên của tư tưởng này thuộc về số nguyên tố Mersenne, ''M''<sub>521</sub>, nhờ nỗ lực khéo léo vào lúc 10:00 P.M. ngày [[30-1]], [[1952]] khi sử dụng máy tính tự động Western U.S. [[National Bureau of Standards]] (SWAC) tại [[Institute for Numerical Analysis]] thuộc [[Đại học California tại Los Angeles]], dưới sự điều khiển trực tiếp của [[Derrick Henry Lehmer|Lehmer]], sử dụng chương trình viết và chạy bởi GS [[Raphael M. Robinson|R.M. Robinson]]. Nó là số nguyên tố Mersenne đầu tiên tìm thấy sau 38 năm; số tiếp theo, ''M''<sub>607</sub>, đã được tìm thấy do computer này sau gần hai giờ chạy máy. Ba số tiếp theo &nbsp;— ''M''<sub>1279</sub>, ''M''<sub>2203</sub>, ''M''<sub>2281</sub>&nbsp;— đã được tìm thấy với cùng chương trình trên sau nhiều tháng nữa. ''M''<sub>4253</sub> là số nguyên tố Mersenne đầu tiên là số nguyên tố siêu lớn (trên 1000 chữ số thập phân - titanic), và ''M''<sub>44497</sub> là số nguyên tố đầu tiên có trên 10.000 chữ số thập phân (gigantic).

Đến tháng 10 năm [[2024]], chỉ mới biết 52 số nguyên tố Mersenne; số lớn nhất đã biết là số (2<sup>136 279 841</sup> − 1). Cũng như nhiều số nguyên tố Mersenne trước đó, nó được tìm ra nhờ dự án [[điện toán phân tán|tính toán phân tán]] trên Internet, được biết với tên gọi ''Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ trên Internet'' ([[Great Internet Mersenne Prime Search]] - GIMPS).

== Các định lý về số nguyên tố Mersenne ==
* Nếu ''n'' là số nguyên dương, theo [[định lý nhị thức]] ta có thể viết:

:<math>c^n-d^n=(c-d)\sum_{k=0}^{n-1} c^kd^{n-1-k}</math>,

hay

:<math>(2^a-1)\cdot \left(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots+2^{(b-1)a}\right)=2^{ab}-1</math>

nhờ đặt <math>c=2^a</math>, <math>d=1</math>, và <math>n=b</math>

''Chứng minh:''

:<math>(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}</math>

:<math>=\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-k}</math>

:<math>=a^n+\sum_{k=1}^{n-1}a^kb^{n-k}-\sum_{k=1}^{n-1}a^kb^{n-k}-b^n</math>

:<math>=a^n-b^n</math>

* Nếu <math>2^n-1</math> là số nguyên tố, thì <math>n</math> là số nguyên tố.

''Chứng minh''

Do

:<math>(2^a-1)\cdot \left(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots+2^{(b-1)a}\right)=2^{ab}-1</math>

Nếu <math>n</math> không phải là nguyên tố, hoặc <math>n=ab</math> trong đó <math>1 < a, b < n</math>. Do đó, <math>2^a-1</math> là ước của <math>2^n-1</math>, hoặc <math>2^n-1</math> không là nguyên tố.

* Với mọi số nguyên tố p lẻ, ước nguyên tố của M<sub>p</sub> luôn có dạng <math>2kp + 1 \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>.

''Chứng minh''

Gọi '''q''' là ước nguyên tố của 2<sup>p</sup> - 1 ta có:
:<math>2^p \equiv 1 \pmod{q}</math>.

Theo [[định lý nhỏ Fermat]] ta có:
:<math>2^{q-1} \equiv 1 \pmod{q}</math>.

Từ đó ta có q là ước chung của 2<sup>p</sup> - 1 và 2<sup>q - 1</sup> - 1, hay là <math>\gcd (2^p - 1,2^{q - 1} - 1) > 1</math>(*).

Ta xét bổ đề sau: Nếu a và b là hai số nguyên dương phân biệt thì <math>\gcd (2^a - 1,2^b - 1) = 2^{\gcd (a,b)} - 1</math>.

Thật vậy, giả sử <math>\gcd (a,b) = d</math>, suy ra a = k<sub>1</sub>d và b = k<sub>2</sub>d.

Suy ra:
:<math>2^a - 1 = 2^{k_1d} - 1 = \left (2^d - 1 \right) \times A</math>
:<math>2^b - 1 = 2^{k_2d} - 1 = \left (2^d - 1 \right) \times B</math>

Tức là bổ đề ta đã đặt ra là đúng.

Từ bổ đề suy ra: <math>\gcd (2^p - 1,2^{q - 1} - 1) = 2^{\gcd (p,q - 1)} - 1</math>.

Giả sử <math>\gcd (p,q - 1) = 1</math> thì suy ra được <math>\gcd (2^p - 1,2^{q - 1} - 1) = 1</math>, mâu thuẫn với (*). Do đó ta phải có <math>\gcd (p,q - 1) > 1</math>. Do p là số nguyên tố nên <math>\gcd (p,q - 1) = p</math> hay ''q - 1 = bp''.

Do q là ước của M<sub>p</sub> lẻ nên q lẻ, suy ra b = 2k hay '''q = 2kp + 1'''.

Do 2<sup>p</sup> ≡ 1 (mod q) nên 2<sup>p + 1</sup> ≡ 2 (mod q), suy ra <math>2^{\frac {p + 1}{2}}</math> là căn bậc hai của 2 theo modulo (môđun) q, tức nó là nghiệm của:
:<math>x^2 \equiv 2 \pmod{q}</math>.

Theo [[luật tương hỗ bậc hai]]:
:<math>q \equiv \pm 1 \pmod{8}</math>.

== Danh sách các số nguyên tố Mersenne đã biết cho đến nay ==
{{main|Danh sách số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo}}
{{As of|2021|12}} có 51 số nguyên tố Mersenne 2<sup>''p''</sup> − 1 tương ứng với số mũ ''p'' dưới đây:
:2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933. {{OEIS|id=A000043}}

* Để hình dung độ lớn của số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy (số thứ 48), ta cần có 4 647 trang [[giấy]] [[Khổ giấy#Tiêu chuẩn quốc tế (ISO)|A4]] để biểu diễn số đó với các chữ số trong hệ cơ số 10, 75 chữ số một dòng và 50 dòng một trang. Nếu dùng giấy định lượng 70[[gam|g]]/[[mét vuông|m²]], sẽ cần hơn 10 [[Kilôgam|kg]] giấy (2.324 tờ) để in thành tập dày khoảng 20 [[Xentimét|cm]].
* Lấy 2 lũy thừa n trừ 1 nhân với số tương ứng thì sẽ cho ra [[số hoàn hảo]].

== Xem thêm ==
{{wikinews|Distributed computing discovers largest known prime number}}
{{Wikinews|CMSU computing team discovers another record size prime}}
{{Wikinews|Record size 17.4 million-digit prime found|Số nguyên tố Mersenne thứ 48}}
* [[Repunit]]
* [[Số Fermat|Số nguyên tố Fermat]]
* [[Hằng số Erdős–Borwein]]
* [[Prime95]] / [[MPrime]]
* [[Kiểm tra Lucas–Lehmer với các số Mersenne]]
* [[Số Mersenne kép]]
* [[Mersenne twister]]
* [[Danh sách số nguyên tố|Bảng số nguyên tố]]

==Tham khảo==
{{Tham khảo}}
== Liên kết ngoài ==
{{thể loại Commons|Mersenne prime numbers}}
{{Chủ đề|Số nguyên tố|Số học|Toán học}}
* [http://www.mersenne.org/ Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), Orlando, Florida]
** [<!--http://www.mersenne.org/status.htm-->http://mersenne.org/report_milestones/ <!--GIMPS Mersenne Prime-->Great Internet Mersenne Prime Search PrimeNet (v5.0): GIMPS Milestones Report]<!--&nbsp;– status page gives various statistics on search progress, typically updated every week, including progress towards proving the ordering of primes 40-44-->
* [<!--http://www.utm.edu/research/primes/mersenne.shtml-->http://primes.utm.edu/mersenne/index.html Prime Mersenne Numbers&nbsp;– History, Theorems and Lists]&nbsp;– giải thích
* [http://mathworld.wolfram.com/MersenneNumber.html Mersenne numbers]&nbsp;– Wolfram Research/Mathematica
* [http://mathworld.wolfram.com/MersennePrime.html prime Mersenne numbers]&nbsp;– Wolfram Research/Mathematica
* ''M<sub>q</sub> = (8x)<sup>2</sup> - (3qy)<sup>2</sup>'' [http://tony.reix.free.fr/Mersenne/Mersenne8x3qy.pdf Mersenne Proof] (pdf)
* ''M<sub>q</sub> = x<sup>2</sup> + d.y<sup>2</sup>'' [http://www.math.leidenuniv.nl/scripties/jansen.ps Math Thesis] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050221194456/http://www.math.leidenuniv.nl/scripties/jansen.ps |date=2005-02-21 }} (ps)
* [<!--http://www.utm.edu/research/primes/mersenne/LukeMirror/biblio.htm-->http://primes.utm.edu/mersenne/LukeMirror/biblio.htm Mersenne Numbers & Mersenne Primes Bibliography] with hyperlinks to original publications
* [http://taz.de/1/archiv/archiv/?dig=2005/03/11/a0355 Die neue Primzahl ist 39 Kilometer lang], 11.03.2005.dpa&nbsp;– reportage about prime Mersenne number&nbsp;– detection in detail (German) 
* [http://mersennewiki.org/index.php/Main_Page Mersenne prime Wiki] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061205062803/http://mersennewiki.org/index.php/Main_Page |date = ngày 5 tháng 12 năm 2006}}
* [http://mathworld.wolfram.com/news/2005-12-25/mersenne-43/ 43rd Mersenne Prime Found] tại [http://mathworld.wolfram.com/ MathWorld]
{{Phân loại các số nguyên tố}}

[[Thể loại:Số nguyên tố]]
[[Thể loại:Khái niệm toán học mang tên người|M]]
[[Thể loại:Vấn đề chưa được giải quyết trong toán học]]
[[Thể loại:Chuỗi số nguyên]]
[[Thể loại:Bậc độ lớn]]
[[Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số]]