Xem mã nguồn của Số nguyên tố Sophie Germain

Trong [[lý thuyết số]], [[số nguyên tố]] <math>p</math> được gọi là '''số nguyên tố Sophie Germain''' nếu <math>2\cdot p + 1</math> cũng là số nguyên tố. Số <math>2\cdot p + 1</math> của số nguyên tố Sophie Germain được gọi là [[số nguyên tố an toàn]]. Ví dụ, 11 là một số nguyên tố Sophie Germain vì <math>2\cdot 11 + 1=23</math> là số nguyên tố an toàn đi kèm với nó. Số nguyên tố Sophie Germain được đặt tên theo nhà toán học Pháp [[Sophie Germain]], bà đã sử dụng chúng để khảo sát [[Định lý lớn Fermat|định lý cuối cùng của Fermat]].<ref>Đặc biệt, bà Germain chứng minh trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat, trường hợp tích các cơ số chia hết cho số mũ, là đúng cho mọi số nguyên tố Sophie Germain, và bà cũng dùng luận điểm tương tự để chứng minh định lý Fermat cho các số nguyên tố < 100. Xem chi tiết {{chú thích|title=Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory|volume=50|series=Graduate Texts in Mathematics|first=Harold M.|last=Edwards|authorlink=Harold Edwards (mathematician)|publisher=Springer|year=2000|isbn=9780387950020|pages=61–65}}.</ref> Số nguyên tố Sophie Germain cùng số nguyên tố an toàn có nhiều ứng dụng trong [[Mật mã hóa khóa công khai|mã hóa khóa công khai]] và [[Kiểm tra tính nguyên tố|phép kiểm tra tính nguyên tố.]] Người ta phỏng đoán rằng có vô số số nguyên tố [[:en:Sophie_Germain|Sophie Germain]] nhưng điều này chưa được chứng minh.

== Các số nguyên tố riêng biệt ==
{{Cập nhật|đặc biệt là bảng|date=Tháng 1, 2016}}
Danh sách các số nguyên tố Sophie Germain đầu tiên: (nhỏ hơn 1000)

:[[2 (số)|2]], [[3 (số)|3]], [[5 (số)|5]], [[11 (số)|11]], [[23 (số)|23]], [[29 (số)|29]], [[41 (số)|41]], [[53 (số)|53]], [[83 (số)|83]], [[89 (số)|89]], [[113 (số)|113]], [[131 (số)|131]], [[173 (số)|173]], [[179 (số)|179]], [[191 (số)|191]], [[233 (số)|233]], [[239 (số)|239]], [[251 (số)|251]], [[281 (số)|281]], [[293 (số)|293]], [[359 (số)|359]], [[419 (số)|419]], [[431 (số)|431]], [[443 (số)|443]], [[491 (số)|491]], [[509 (số)|509]], [[593 (số)|593]], [[641 (số)|641]], [[653 (số)|653]], [[659 (số)|659]], [[683 (số)|683]], [[719 (số)|719]], [[743 (số)|743]], [[761 (số)|761]], [[809 (số)|809]], [[911 (số)|911]], [[953 (số)|953]].  {{OEIS2C|id=A005384}}.

Danh sách các số nguyên tố an toàn đầu tiên:

:5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907. {{OEIS2C|id=A005385}}.

Trong [[mật mã học]] các số nguyên tố Sophie Germain lớn hơn nhiều như 1,846,389,521,368 + 11<sup>600</sup> thường được sử dụng.

Hai dự án tính toán phân tán, [[PrimeGrid]] và [[Twin Prime Search]], bao gồm nhiều nghiên cứu về các số nguyên tố lớn Sophie Germain.

Danh sách các số nguyên tố Sophie Germain lớn nhất được biết tới Tháng 8, 2022:<ref>[http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=2 The Top Twenty Sophie Germain Primes]&nbsp;— from the [[Prime Pages]]. Truy cập ngày 30 tháng 8 năm 2022.</ref>
{| class="wikitable"
|-
! Giá trị !! Số chữ số !! Thời điểm phát hiện !! Người tìm ra
|-
| 2618163402417 × 2<sup>1290000</sup> − 1 || align="right" | 388342 || Tháng 2, 2016 || [[PrimeGrid]]<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=121330 The Prime Database: 2618163402417×2<sup>1290000</sup> - 1]</ref>
|-
| 18543637900515 × 2<sup>666667</sup> − 1 || align="right" | 200701 || Tháng 4, 2012 || Philipp Bliedung tai nghiên cứu phân tán [[PrimeGrid]] bằng chương trình TwinGen và [[Lucas–Lehmer–Riesel test|LLR]]<ref>{{chú thích web|title=PrimeGrid's Sophie Germain Prime Search|url=http://www.primegrid.com/download/SGS_666667.pdf|publisher=PrimeGrid|format=PDF|access-date =ngày 18 tháng 4 năm 2012}}</ref>
|-
|183027 × 2<sup>265440</sup> − 1 || align="right" | 79911 || Tháng 3, 2010 || Tom Wu sử dụng giải thuật LLR<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=92222 The Prime Database: 183027*2^265440-1]. From The [[Prime Pages]].</ref>
|-
|648621027630345 × 2<sup>253824</sup> − 1 và 620366307356565 × 2<sup>253824</sup> − 1 || align="right" | 76424 || Tháng 11, 2009 || Zoltán Járai, Gábor Farkas, Tímea Csajbók, János Kasza và Antal Járai<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=90907 The Prime Database: 648621027630345*2^253824-1].</ref><ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=90711 The Prime Database: 620366307356565*2^253824-1]</ref>
|-
|1068669447 × 2<sup>211088</sup> − 1 || align="right" | 63553 || Tháng 5, 2020 ||Micheal Kwok<ref>{{Chú thích web|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=130903|tựa đề=The Prime Database: 1068669447*2^211088-1|url-status=live}}</ref>
|-
|99064503957 × 2<sup>200008</sup> − 1 || align="right" | 60220 ||Tháng 4, 2016
|| S. Urushihata<ref>{{Chú thích web|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=121507|tựa đề=The Prime Database: 99064503957*2^200008-1|url-status=live}}</ref>
|-
|12443794755  ×  2<sup>184516</sup> − 1,<br> 21749869755  ×  2<sup>184515</sup> − 1 và<br> 14901867165  ×  2<sup>184515</sup> − 1 || align="right" | 55555 || Tháng 9, 2021 || Serge Batalov<ref>[https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132701 The Prime Database: 12443794755 *2^184516-1] .</ref><ref>{{Chú thích web|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132699|tựa đề=The Prime Database: 21749869755*2^184515-1|url-status=live}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=132697|tựa đề=The Prime Database: 14901867165*2^184515-1|url-status=live}}</ref>
|-
|607095 × 2<sup>176311</sup> − 1 || align="right" | 53081 || Tháng 9, 2009 || Tom Wu<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=89999 The Prime Database: 607095*2^176311-1].</ref>
|-
|48047305725 × 2<sup>172403</sup> − 1 || align="right" | 51910 || Tháng 1, 2007 || David Underbakke với chương trình TwinGen cùng giải thuật LLR<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=79261 The Prime Database: 48047305725*2^172403-1].</ref>
|-
|}

== Tính vô hạn và mật độ ==
{{vấn đề mở|toán học|Liệu có vô hạn số nguyên tố Sophie Germain?}}
Người ta [[:en:Conjecture|dự đoán]] rằng có [[vô tận|vô số]] số nguyên tố Sophie Germain, nhưng điều này chưa được [[chứng minh toán học|chứng minh]].<ref name="shoup">{{chú thích|title=A Computational Introduction to Number Theory and Algebra|first=Victor|last=Shoup|authorlink=Victor Shoup|publisher=Cambridge University Press|year=2009|isbn=9780521516440|contribution=5.5.5 Sophie Germain primes|pages=123–124|url=https://books.google.com/books?id=pWFdMf5hb5oC&pg=PA123}}.</ref> Một số dự đoán nổi tiếng khác trong lý thuyết số tổng quát dự đoán này và dự đoán [[số nguyên tố sinh đôi]]; chúng gồm [[:en:Dickson's_conjecture|dự đoán Dickson]], [[:en:Schinzel's_hypothesis_H|giả thuyết H của Schinzel]], và [[:en:Bateman–Horn_conjecture|ước lượng Bateman–Horn]].

Ước lượng [[heuristic]] cho [[số]] các số nguyên tố Sophie Germain nhỏ hơn ''n'' là<ref name="shoup"/>
:<math>2C \frac{n}{(\ln n)^2} \approx 1.32032\frac{n}{(\ln n)^2}</math>
trong đó
:<math>C=\prod_{p>2} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}\approx 0.660161</math>
là [[:en:Ulam_spiral#Hardy_and_Littlewood's_Conjecture_F|hằng số nguyên tố đôi của Hardy–Littlewood]]. Khi <math>n=10^{4}</math>, ước lượng này dự đoán có 156 số nguyên tố Sophie Germain, có tỉ lệ sai số 20% so với con số chính xác là 190. Khi <math>n=10^{7}</math>, dự đoán có 50822 số, sai số là 10% so với giá trị chính xác 56032. Hình thức ước lượng này dựa trên [[Godfrey Harold Hardy]] và [[John Edensor Littlewood]], người áp dụng ước lượng tương tự cho [[số nguyên tố sinh đôi]].<ref>{{chú thích|title=Fermat's Last Theorem for Amateurs|first=Paulo|last=Ribenboim|authorlink=Paulo Ribenboim|publisher=Springer|year=1999|isbn=9780387985084|page=141|url=https://books.google.com/books?id=XPrQmE5trIgC&pg=PA141}}.</ref>

Dãy <math>\{ p, 2\cdot p + 1, 2\cdot (2\cdot p + 1), \ldots \} </math> trong đó tất cả phần tử là số nguyên tố được gọi là [[:en:Cunningham_chain|chuỗi Cunningham]] loại 1. Mỗi phần tử trong chuỗi như vậy trừ phần tử cuối cùng là một số nguyên tố Sophie Germain, và mọi phần tử trừ phần tử đầu tiên là số nguyên tố an toàn. Bằng cách mở rộng dự đoán có vô hạn số nguyên tố Sophie Germain, người ta cũng dự đoán rằng tồn tại chuỗi Cunningham có độ dài tùy ý,<ref>{{chú thích|title=Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math|first=David|last=Wells|publisher=John Wiley & Sons|year=2011|isbn=9781118045718|page=35|url=https://books.google.com/books?id=1MTcYrbTdsUC&pg=PA35|quote=If the strong prime ''k''-tuples conjecture is true, then Cunningham chains can reach any length.}}</ref> mặc dù [[Chuỗi (toán học)|chuỗi vô hạn]] được coi là không khả thi.<ref>{{chú thích|last=Löh|first=Günter|title=Long chains of nearly doubled primes|journal=[[Mathematics of Computation]]|year=1989|volume=53|issue=188|pages=751–759|doi=10.1090/S0025-5718-1989-0979939-8|mr=0979939}}.</ref>

== Hạn chế Mô đun ==
Nếu ''p'' là một số nguyên tố Sophie Germain lớn hơn 3 thì ''p'' phải [[đồng dư]] với 2 (mod 3). Bởi vì nếu không thì ''p'' sẽ đồng dư với 1 (mod 3) và <math>2\cdot p + 1</math> sẽ đồng dư 3 (mod 3), vô lý với số nguyên tố.<ref>{{chú thích|title=An Episodic History of Mathematics: Mathematical Culture Through Problem Solving|publisher=Mathematical Association of America|first=Steven G.|last=Krantz|year=2010|isbn=9780883857663|page=206|url=https://books.google.com/books?id=ulmAH-6IzNoC&pg=PA206}}.</ref> Tồn tại hạn chế tương tự cho các mô đun nguyên tố lớn hơn, đó là cơ sở cho lựa chọn "thừa số hiệu chỉnh" 2''C'' trong ước lượng Hardy–Littlewood về mật độ của số nguyên tố Sophie Germain.<ref name="shoup"/>

Nếu số nguyên tố Sophie Germain ''p'' [[Số học mô đun|đồng dư]] 3 (mod 4), thì số nguyên tố an toàn đi kèm của nó <math>2\cdot p +1</math> sẽ là một ước số của [[số nguyên tố Mersenne ]]<math>2^{p} -1</math>. Về mặt lịch sử, kết quả của [[Leonhard Euler]] là tiêu chí được biết đến đầu tiên cho số Mersenne với một chỉ số nguyên tố đi kèm.<ref>{{chú thích
 | last = Ribenboim | first = P. | authorlink = Paulo Ribenboim
 | doi = 10.1007/BF03023623
 | issue = 2
 | journal = [[The Mathematical Intelligencer]]
 | mr = 737682
 | pages = 28–34
 | title = 1093
 | volume = 5
 | year = 1983}}.</ref> Nó có thể được sử dụng để tìm ra các số Mersenne lớn nhất (với chỉ số nguyên tố) khi biết chúng là một cặp.<ref>{{chú thích|title=Large Sophie Germain primes|first=Harvey|last=Dubner|authorlink=Harvey Dubner|journal=Mathematics of Computation|volume=65|year=1996|pages=393–396|doi=10.1090/S0025-5718-96-00670-9|mr=1320893}}.</ref>

== Ứng dụng ==

=== Mật mã ===
Số nguyên tố <math>p=2\cdot q +1</math> được gọi là [[số nguyên tố an toàn]] nếu như ''q'' là số nguyên tố. Do đó <math>p=2\cdot q +1</math> là số nguyên tố an toàn khi và chi khi ''q'' là số nguyên tố Sophie Germain, do vậy việc tìm ra các số nguyên tố an toàn và việc tìm số Sophie Germain có độ khó tính toán tương đương nhau. Khái niệm số nguyên tố an toàn có thể trở thành [[số nguyên tố mạnh]] khi cả <math>p+1</math> và <math>p-1</math> đều có các thừa số nguyên tố đủ lớn. Các số nguyên tố an toàn và mạnh có tính hữu dụng trong việc là thừa số của khóa bí mật trong [[RSA (mã hóa)|hệ mã hóa RSA]], do chúng ngăn chặn việc phá hệ mã hóa bằng các giải thuật [[Phân tích số nguyên|phân tích thừa số nguyên tố]] đã biết như [[Thuật toán RHO|giải thuật Pollard]] được áp dụng cho các khóa bí mật không phải là số nguyên tố mạnh.<ref>{{chú thích|title=Are 'strong' primes needed for RSA?|first1=Ronald L.|last1=Rivest|first2=Robert D.|last2=Silverman|date=ngày 22 tháng 11 năm 1999|url=https://people.csail.mit.edu/rivest/pubs/RS01.version-1999-11-22.pdf}}</ref>

Các vấn đề tương tự cũng được áp dụng cho các hệ mã hóa khác bao gồm [[Trao đổi khóa Diffie-Hellman|trao đổi khóa Diffie–Hellman]] và các hệ tương đương có độ an toàn phụ thuộc vào độ khó của bài toán [[Lôgarit rời rạc]] hơn là việc phân tích thừa số số nguyên.<ref>{{chú thích
 | last = Cheon | first = Jung Hee | authorlink = Cheon Jung-Hee
 | contribution = Security analysis of the strong Diffie–Hellman problem
 | doi = 10.1007/11761679_1
 | pages = 1–11
 | publisher = Springer-Verlag
 | series = [[Lecture Notes in Computer Science]]
 | title = 24th Annual International Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques (EUROCRYPT'06), St. Petersburg, Russia, May 28 – ngày 1 tháng 6 năm 2006, Proceedings
 | volume = 4004
 | year = 2006| url = http://www.iacr.org/cryptodb/archive/2006/EUROCRYPT/2143/2143.pdf}}.</ref> Vì lý do này mà các giao thức tạo khóa cho các phương pháp này thường dựa trên các giải thuật hiệu quả trong việc tạo các số nguyên tố mạnh, mà các giải thuật đó lại dựa trên dự đoán rằng các số nguyên tố này có mật độ đủ lớn.<ref>{{citation
 | last = Gordon | first = John A.
 | contribution = Strong primes are easy to find
 | doi = 10.1007/3-540-39757-4_19
 | pages = 216–223
 | publisher = Springer-Verlag
 | series = Lecture Notes in Computer Science
 | title = Proceedings of EUROCRYPT 84, A Workshop on the Theory and Application of Cryptographic Techniques, Paris, France, April 9–11, 1984
 | volume = 209
 | year = 1985}}.</ref>

Trong chế độ mã hóa Sophie Germain Counter, người ta đề xuất sử dụng các giải thuật trong trường hữu hạn có cấp bằng với số nguyên tố Sophie Germain <math>2^{128} + 12451</math> để khắc phục nhược điểm trong chế độ mã hóa [[Galois/Counter Mode]] sử dụng [[trường hữu hạn]] nhị phân GF(2<sup>128</sup>). Tuy nhiên SGCM được chứng minh rằng có cùng điểm yếu trong nhiều tấn công mã hóa tương tự GCM.<ref>{{chú thích
 | last1 = Yap | first1 = Wun-She
 | last2 = Yeo | first2 = Sze Ling
 | last3 = Heng | first3 = Swee-Huay
 | last4 = Henricksen | first4 = Matt
 | doi = 10.1002/sec.798
 | journal = Security and Communication Networks
 | title = Security analysis of GCM for communication
 | year = 2013}}.</ref>

=== Kiểm tra tính nguyên tố ===
Trong phiên bản đầu tiên của nghiên cứu [[phép kiểm tra tính nguyên tố AKS]], một dự đoán về số nguyên tố Sophie Germain được sử dụng để giảm độ phức tạp của trường hợp xấu nhất từ {{math|O(log<sup>12</sup>''n'')}} giảm thành {{math|O(log<sup>6</sup>''n'')}}. Phiên bản sau của nghiên cứu được chứng minh rằng có độ phức tạp thời gian {{math|O(log<sup>7.5</sup>''n'')}} mà cũng có thể giảm thành {{math|O(log<sup>6</sup>''n'')}}.<ref>{{chú thích |first=Manindra |last=Agrawal |first2=Neeraj |last2=Kayal |first3=Nitin |last3=Saxena |url=http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primality_v6.pdf |title=PRIMES is in P |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=160 |year=2004 |issue=2 |pages=781–793 |doi=10.4007/annals.2004.160.781 |jstor=3597229 }}</ref> Những biến thể sau này của AKS đã chứng minh có độ phức tạp thời gian{{math|O(log<sup>6</sup>''n'')}} mà không cần bất kỳ dự đoán nào hay là sử dụng số nguyên tố Sophie Germain.

=== Tạo số giả ngẫu nhiên ===
Có thể sử dụng số nguyên tố Sophie Germain để tạo các số giả ngẫu nhiên. Mở rộng thập phân của 1/''q'' sẽ sinh ra [[Số thập phân vô hạn tuần hoàn#Phân số với mẫu số nguyên tố|dòng]] <math>q-1</math> chữ số giả ngẫu nhiên nếu ''q'' là số nguyên tố an toàn của số Sophie Germain ''p'', trong đó ''p'' đồng dư 3, 9, hoặc 11 (mod 20).<ref>{{chú thích
 | last = Matthews | first = Robert A. J.
 | issue = 9-10
 | journal = Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications
 | mr = 1192408
 | pages = 147–148
 | title = Maximally periodic reciprocals
 | volume = 28
 | year = 1992}}.</ref> Do đó các số nguyên tố ''q'' "phù hợp" là 7, 23, 47, 59, 167, 179, vân vân. ({{oeis|id=A000353}}) (tương ứng với <math>p =  3, 11, 23, 29, 83, 89</math>; vân vân.) ({{oeis|id=A000355}}). Kết quả là dòng chữ số [[period length|dài]] <math>q-1</math> (tính luôn các số 0 ở trước). Ví dụ, với ''q'' = 23 ta tạo được các con số giả ngẫu nhiên 0, 4, 3, 4, 7, 8, 2, 6, 0, 8, 6, 9, 5, 6, 5, 2, 1, 7, 3, 9, 1, 3. Chú ý rằng không phù hợp với mục đích mã hóa do giá trị của mỗi số có thể được dự đoán từ giá trị đứng trước trong chuỗi số.

== Trong văn hóa đại chúng ==

* Số nguyên tố Sophie Germain được đề cập trong vở kịch sân khấu ''[[Proof (play)|Proof]]''<ref>{{chú thích|title=Drama in numbers: putting a passion for mathematics on stage|first=Ivars|last=Peterson|authorlink=Ivars Peterson|journal=[[Science News]]|date=Dec 21, 2002|url=http://www.thefreelibrary.com/Drama+in+numbers%3A+putting+a+passion+for+mathematics+on+stage.-a096417274|quote=[Jean E.] Taylor pointed out that the example of a Germain prime given in the preliminary text was missing the term "+ 1."  "When I first went to see 'Proof' and that moment came up in the play, I was happy to hear the 'plus one' clearly spoken," Taylor says.}}</ref> và [[Proof (2005 film)|bộ phim cùng tên]].<ref>{{chú thích|url=http://www.ams.org/notices/200603/rev-ullman.pdf|title=Movie Review: Proof|first=Daniel|last=Ullman|journal=[[Notices of the AMS]]|volume=53|issue=3|year=2006|pages=340–342|quote=There are a couple of breaks from realism in ''Proof'' where characters speak in a way that is for the benefit of the audience rather than the way mathematicians would actually talk among themselves. When Hal (Harold) remembers what a Germain prime is, he speaks to Catherine in a way that would be patronizing to another mathematician.}}</ref>

* '''"The Da Vinci Code" (Mật mã Da Vinci) của Dan Brown:''' Cuốn tiểu thuyết trinh thám nổi tiếng này sử dụng số nguyên tố Sophie Germain trong một mật mã bí ẩn.
* '''"Sneakers" (Kẻ đột nhập)::''' Bộ phim khoa học viễn tưởng này sử dụng số nguyên tố Sophie Germain trong một thuật toán mật mã.
* '''"The Sophie Germain Problem" của Paul Erdős:''' Vấn đề Sophie Germain là một bài toán nổi tiếng trong lý thuyết số liên quan đến số nguyên tố Sophie Germain.

== Tham khảo ==
{{tham khảo|30em}}

{{Phân loại các số nguyên tố}}

{{DEFAULTSORT:Sophie Germain Prime}}
[[Thể loại:Số nguyên tố]]