Xem mã nguồn của Số nguyên tố Wolstenholme

{{Thông tin dãy số nguyên
| named_after           = [[Joseph Wolstenholme]]
| publication_year      = 1995<ref>Số nguyên tố Wolstenholme được miêu tả đầu tiên trong {{Harvnb|McIntosh|1995|p=385}}</ref>
| author                = McIntosh, R. J.
| terms_number          = 2
| con_number            = Vô hạn
| parentsequence        = Dãy [[số nguyên tố phi chính quy]]
| first_terms           = [[16843 (số)|16843]], [[2124679 (số)|2124679]]
| largest_known_term    = [[2124679 (số)|2124679]]
| OEIS                  = A088164
| OEIS_name             = Số nguyên tố Wolstenholme: các số nguyên tố p sao cho hệ số nhị thức(2p-1,p-1) == 1 (mod p^4)
}}
{{distinguish|số Wolstenholme}}
Trong [[lý thuyết số]], '''số nguyên tố Wolstenholme''' là loại [[số nguyên tố]] đặc biệt thỏa mãn dạng mạnh hơn của [[định lý Wolstenholme]]. Định lý Wolstenholme là [[quan hệ đồng dư]] được thỏa mãn bởi mọi số nguyên tố lớn hơn ba. Các số nguyên tố Wolstenholme được đặt tên theo nhà toán học [[Joseph Wolstenholme]], người lần đầu phát biểu định lý trên trong thế kỷ 19.

Các số nguyên tố này được chú ý tới bởi quan hệ của chúng với [[định lý lớn Fermat]]. Ngoài ra các số nguyên tố Wolstenholme cũng có quan hệ với một số lớp nguyên tố khác.

Chỉ có hai số nguyên tố Wolstenholme được biết là 16843 và 2124679 {{OEIS|A088164 }}. Không có số nguyên tố Wolstenholme nào khác nằm dưới 10<sup>9</sup>.<ref>{{MathWorld|urlname=WolstenholmePrime|title=Wolstenholme prime}}</ref>

==Định nghĩa==
{{Vấn đề mở|toán học|Liệu có các số nguyên tố Wolstenholme nào khác ngoài 16843 và 2124679 không?}}

Số nguyên tố Wolstenholme có thể định nghĩa dưới các cách sau.

===Định nghĩa qua hệ số nhị thức===
Số nguyên tố Wolstenholme là số nguyên tố ''p''&nbsp;>&nbsp;7 thỏa mãn [[quan hệ đồng dư|biểu thức đồng dư]] sau:
:<math>{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^4},</math>
Trong đó dấu ngoặc ở [[vế trái]] kí hiệu [[hệ số nhị thức]].<ref>{{cite web | url = http://www.johndcook.com/binomial_coefficients.html | title = Binomial coefficients | first = J. D. | last = Cook | access-date = 21 December 2010}}</ref>
[[Định lý Wolstenholme]] phát biểu rằng với mọi số nguyên tố ''p''&nbsp;>&nbsp;3 quan hệ đồng dư sau được thỏa mãn:
:<math>{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}.</math>

===Định nghĩa qua các số Bernoulli===
Số nguyên tố Wolstenholme là số nguyên tố ''p'' là ước của tử số của [[số Bernoulli]] ''B''<sub>''p''−3</sub>.{{sfn|Clarke|Jones|2004|p=553}}{{sfn|McIntosh|1995|p=387}}{{sfn|Zhao|2008|p=25}} Do đó các số nguyên tố Wolstenholme tạo thành tập con của các [[số nguyên tố chính quy|số nguyên tố phi chính quy]].

===Định nghĩa qua các cặp số phi chính quy===
{{Main|Số nguyên tố chính quy}}
Số nguyên tố Wolstenholme là số nguyên tố ''p'' sao cho (''p'', ''p''–3) là [[số nguyên tố chính quy#Cặp số phi chính quy|cặp số phi chính quy]].{{sfn|Johnson|1975|p=114}}{{sfn|Buhler|Crandall|Ernvall|Metsänkylä|1993|p=152}}

===Định nghĩa qua các số điều hòa===
Số nguyên tố Wolstenholme là số nguyên tố  ''p'' sao cho{{sfn|Zhao|2007|p=18}}

:<math>H_{p - 1} \equiv 0 \pmod{p^3}\, ,</math>

==Tìm kiếm số nguyên tố Wolstenholme==
Công cuộc tìm kiếm các số nguyên tố Wolstenholme bắt đầu từ những năm 1960 cho tới ngày nay, với kết quả mới nhất vào năm 2007. Số nguyên tố Wolstenholme đầu tiên 16843 được tìm thấy vào năm 1964, mặc dù nó không được báo cáo vào thời gian đó.<ref>Selfridge và Pollack xuất bản số nguyên tố Wolstenholme đầu tiên trong {{Harvnb|Selfridge|Pollack|1964|p=97}} (xem {{Harvnb|McIntosh|Roettger|2007|p=2092}}).</ref> Phát hiện năm 1964 sau đó được công nhận vào những năm 1970. Đây là số nguyên tố Wolstenholme duy nhất được biết trong suốt 20 năm, cho đến khi thông báo tìm được thêm số nguyên tố Wolstenholme thứ hai 2124679 trong 1993.{{sfn|Ribenboim|2004|p=23}} Cho tới 1,2{{e|7}}, không có số nguyên tố Wolstenholme nào khác được tìm thấy.{{sfn|Zhao|2007|p=25}} Sau này được cải tiến lên tới 2{{e|8}} bởi McIntosh vào 1995.{{sfn|McIntosh|1995|p=387}} Trevisan & Weber cải tiến thêm lên tới 2,5{{e|8}}.{{sfn|Trevisan|Weber|2001|p=283–284}} Kết quả mới nhất trong 2007 báo cáo rằng không có số nguyên tố Wolstenholme nào khác nằm dưới {{10^|9}}.{{sfn|McIntosh|Roettger|2007|p=2092}}

==Phỏng đoán số số nguyên tố Wolstenholme==
Hiện các nhà toán học đang giả thuyết rằng có vô số số nguyên tố Wolstenholme.{{sfn|McIntosh|1995|p=387}} Hơn nữa còn có giả thuyết số các số nguyên tố Wolstenholme nhỏ hơn hoặc bằng ''x'' nằm vào khoảng ''ln ln x'', trong đó ''ln'' ký hiệu [[lôgarit tự nhiên]]. Với mỗi số nguyên tố ''p''&nbsp;≥&nbsp;5, '''thương Wolstenholme''' được định nghĩa như sau
: <math>W_p {{=}} \frac{{2p-1 \choose p-1}-1}{p^3}.</math>
''p'' là số nguyên tố Wolstenholme khi và chỉ khi ''W''<sub>''p''</sub>&nbsp;≡&nbsp;0&nbsp;(mod&nbsp;''p''). 

==Xem thêm==
* [[Số nguyên tố Wieferich]]
* [[Số nguyên tố Wall–Sun–Sun]]
* [[Số nguyên tố Wilson]]

==Chú thích==
{{Reflist|colwidth=30em}}

==Tham khảo==
{{Refbegin|colwidth=30em}}
* {{Citation | last1=Selfridge | first1=J. L. | last2=Pollack | first2=B. W. | title=Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000 | year=1964 | journal=Notices of the American Mathematical Society | volume=11 | pages=97}}
* {{Citation | last1=Johnson | first1=W. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants | year=1975 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=29 | issue=129 | pages=113–120 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/S0025-5718-1975-0376606-9.pdf | doi=10.2307/2005468 | jstor=2005468 | doi-access=free | access-date=2022-07-27 | archive-date=2022-09-22 | archive-url=https://web.archive.org/web/20220922065543/https://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/S0025-5718-1975-0376606-9.pdf }}
* {{Citation | last1=Buhler | first1=J. | last2=Crandall | first2=R. | last3=Ernvall | first3=R. | last4=Metsänkylä | first4=T. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million | year=1993 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=61 | issue=203 | pages=151–153 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1197511-5/S0025-5718-1993-1197511-5.pdf | doi=10.2307/2152942 | jstor=2152942 | bibcode=1993MaCom..61..151B | doi-access=free | access-date=2022-07-27 | archive-date=2022-07-27 | archive-url=https://web.archive.org/web/20220727080338/https://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1197511-5/S0025-5718-1993-1197511-5.pdf }}
* {{Citation | last1=McIntosh | first1=R. J. | title=On the converse of Wolstenholme's Theorem | year=1995 | journal=[[Acta Arithmetica]] | volume=71 | issue=4 | pages=381–389 | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf | doi=10.4064/aa-71-4-381-389 | doi-access=free | access-date=2022-07-27 | archive-date=2022-08-08 | archive-url=https://web.archive.org/web/20220808140719/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf }}
* {{Citation | last1=Trevisan | first1=V. | last2=Weber | first2=K. E. | title=Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem | year=2001 | journal=Matemática Contemporânea | volume=21 | pages=275–286 | url=http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/448/000317407.pdf?sequence=1 | access-date=2022-07-27 | archive-date=2022-09-22 | archive-url=https://web.archive.org/web/20220922073256/https://lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/448/000317407.pdf?sequence=1 }}
* {{Citation | author1-link=Paulo Ribenboim | last1=Ribenboim | first1=P. | title=The Little Book of Bigger Primes | location=New York | publisher=Springer-Verlag New York, Inc. | year=2004 | isbn=978-0-387-20169-6 | chapter=Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime | url=http://www.google.de/url?sa=t | access-date=2023-07-05 | archive-date=2023-05-14 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230514132112/http://www.google.de/url?sa=t }}
* {{Citation | last1=Clarke | first1=F. | last2=Jones | first2=C. | title=A Congruence for Factorials | year=2004 | journal=Bulletin of the London Mathematical Society | volume=36 | pages=553–558 | url=http://blms.oxfordjournals.org/content/36/4/553.full.pdf | doi=10.1112/S0024609304003194 | issue=4 }}
* {{Citation | last1=McIntosh | first1=R. J. | last2=Roettger | first2=E. L. | title=A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes | year=2007 | journal=Mathematics of Computation | volume=76 | issue=260 | pages=2087–2094 | doi=10.1090/S0025-5718-07-01955-2 | url=http://www.ams.org/mcom/2007-76-260/S0025-5718-07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf | bibcode=2007MaCom..76.2087M | doi-access=free }}
* {{Citation | last1=Zhao | first1=J. | title=Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p<sup>5</sup> variations of Lucas' theorem | year=2007 | journal=Journal of Number Theory | volume=123 | pages=18–26 | doi=10.1016/j.jnt.2006.05.005 | s2cid=937685 | url=http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoJNTBern.pdf | doi-access=free | access-date=2022-07-27 | archive-date=2022-07-20 | archive-url=https://web.archive.org/web/20220720034751/http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoJNTBern.pdf }}
* {{Citation | last1=Zhao | first1=J. | title=Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums | year=2008 | journal=International Journal of Number Theory | volume=4 | issue=1 | pages=73–106 | url=http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoIJNT.pdf | doi=10.1142/s1793042108001146 | access-date=2022-07-27 | archive-date=2022-09-20 | archive-url=https://web.archive.org/web/20220920173508/http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoIJNT.pdf }}
{{Refend}}

==Đọc thêm==
{{Refbegin}}
* {{Citation | last1=Babbage | first1=C. | title=Demonstration of a theorem relating to prime numbers | journal=The Edinburgh Philosophical Journal | volume=1 | year=1819 | pages=46–49 | url=https://books.google.com/books?id=KrA-AAAAYAAJ&pg=PA46 }}
* {{Citation | last1=Krattenthaler | first1=C. | last2=Rivoal | first2=T. | title=On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II | year=2009 | journal=Communications in Number Theory and Physics | volume=3 | issue=  3| pages=555–591 | arxiv=0907.2578 | bibcode=2009arXiv0907.2578K | doi=10.4310/CNTP.2009.v3.n3.a5 }}
* {{Citation | last1=Wolstenholme | first1=J. | title=On Certain Properties of Prime Numbers | year=1862 | journal=The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics | volume=5 | pages=35–39 | url=https://books.google.com/books?id=vL0KAAAAIAAJ&pg=PA35 }}
{{Refend}}

==Liên kết ngoài==
* Caldwell, Chris K. [http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Wolstenholme.html Wolstenholme prime] from The Prime Glossary
* McIntosh, R. J. [http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status Wolstenholme Search Status as of March 2004] e-mail to [[Paul Zimmermann (mathematician)|Paul Zimmermann]]
* Bruck, R. [https://web.archive.org/web/20130208001700/http://imperator.usc.edu/~bruck/research/stirling Wolstenholme's Theorem, Stirling Numbers, and Binomial Coefficients]
* Conrad, K. [http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/padicharmonicsum.pdf The ''p''-adic Growth of Harmonic Sums] interesting observation involving the two Wolstenholme primes
{{Use dmy dates|date=April 2013}}

{{Phân loại các số nguyên tố}}

[[Category:Số nguyên tố]]
[[Category:Vấn đề mở trong lý thuyết số]]