Xem mã nguồn của Số nguyên tố chính quy

{{Vấn đề mở|toán học|Liệu có vô số số nguyên tố chính quy? Và nếu đúng thì có phải mật độ của nó bằng với <math>e^{-1/2}</math>?}}

Trong [[lý thuyết số]], '''số nguyên tố chính quy''' là một loại đặc biệt của [[số nguyên tố]], được định nghĩa bởi [[Ernst Kummer]] trong 1850 để chứng minh một số trường hợp của [[định lý lớn Fermat]]. Số nguyên tố chính quy có thể định nghĩa qua [[tính chia hết]] của [[số lớp (lý thuyết số)|số lớp]] hoặc của [[số Bernoulli]].

Các số nguyên tố chính quy đầu tiên là:
: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... {{OEIS|id=A007703}}.

==Lịch sử và động lực==
Trong 1850, Kummer đã chứng minh rằng [[định lý lớn Fermat]] đúng với số mũ là lũy thừa của ''p'' nếu ''p'' chính quy. Do đó đưa sự chú ý vào các số nguyên tố chính quy.<ref name="Gardiner1988">{{Citation | last1=Gardiner | first1=A. | title=Four Problems on Prime Power Divisibility | year=1988 | journal=American Mathematical Monthly | volume=95 | issue=10 | pages=926–931 | doi=10.2307/2322386| jstor=2322386 }}</ref> Trong 1852, Genocchi chứng minh được thêm rằng [[trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat]] đúng cho số nguyên tố ''p'', khi {{nowrap|(''p'', ''p'' − 3)}} không phải cặp số phi chính quy. Kummer cải tiến thêm vào 1857 rằng đối với "trường hợp đầu" của định lý lớn Fermat (xem [[định lý Sophie Germain]]), ta đủ để chứng minh rằng hoặc {{nowrap|(''p'', ''p'' − 3)}} hoặc {{nowrap|(''p'', ''p'' − 5)}} không phải cặp phi chính quy.

Kummer tìm được các số nguyên tố phi chính quy cho tới 165. Trong 1963, Lehmer tăng giới hạn lên 10000 , sau đó Selfridge và Pollack báo cáo trong 1964 đã hoàn thành bảng các số nguyên tố phi chính quy lên tới 25000. Mặc dù hai bản sau không được in ra giấy, Johnson tìm ra rằng {{nowrap|(''p'', ''p'' − 3)}} là cặp số phi chính quy với {{nowrap|''p'' {{=}} 16843}} và đây là trường hợp duy nhất cho {{nowrap|''p'' < 30000}}.<ref>{{Citation | last1=Johnson | first1=W. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants | year=1975 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=29 | issue=129 | pages=113–120 | url=https://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/ | doi=10.2307/2005468 | jstor=2005468 | doi-access=free }}</ref> Ta tìm được thêm một số khác vào năm 1993 với {{nowrap|''p'' {{=}} 2124679}}; xem thêm [[số nguyên tố Wolstenholme]].<ref>{{cite journal | last1 = Buhler | first1 = J. | last2 = Crandall | first2 = R. | last3 = Ernvall | first3 = R. | last4 = Metsänkylä | first4 = T. | year = 1993 | title = Irregular primes and cyclotomic invariants to four million | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1993-07_61_203/page/151 | journal = Math. Comp. | volume = 61 | issue = 203 | pages = 151–153 | doi=10.1090/s0025-5718-1993-1197511-5| bibcode = 1993MaCom..61..151B | doi-access = free }}</ref>

==Định nghĩa==

===Định nghĩa bằng số lớp ===
Số nguyên tố lẻ ''p'' là số nguyên tố chính quy nếu nó không phải là ước của [[số lớp (lý thuyết số)|số lớp]] của [[trường cyclotomic]] thứ p :'''Q'''(''ζ''<sub>''p''</sub>), với ''ζ''<sub>''p''</sub> là căn đơn vị nguyên thủy thứ ''p'', danh sách các số được liệt kê trong {{oeis|id=A000927}}. Số 2 cũng được coi là số nguyên tố chính quy

[[số lớp (lý thuyết số)|Số lớp]] của trường cyclotomic là số các [[ideal (lý thuyết vành)|ideal]] của [[vành số nguyên]]
'''Z'''(ζ<sub>''p''</sub>) xê xích tương đương. Hai ideal ''I'', ''J'' được gọi là tương đương nhau nếu tồn tại ''u'' khác không thuộc '''Q'''(''ζ''<sub>''p''</sub>) sao cho {{nowrap|1=''I'' = ''uJ''}}.

===Định nghĩa theo Kummer===
[[Ernst Kummer]] {{harv|Kummer|1850}} đưa ra một định nghĩa tương đương khác rằng ''p'' chính quy khi và chỉ khi ''p'' không phải là ước của bất kỳ [[số Bernoulli]]  ''B''<sub>''k''</sub> với {{nowrap|''k'' {{=}} 2, 4, 6, ..., ''p'' &minus; 3}}.

Bài chứng minh của Kummer rằng định nghĩa này tương đương với định nghĩa bằng số lớp được gia cố thêm bằng [[định lý Herbrand–Ribet]]

==Giả thuyết Siegel==
Hiện đang có [[giả thuyết]] rằng có vô hạn số nguyên tố chính quy. Và chính xác hơn thì {{harvs|first=Carl Ludwig|last=Siegel|authorlink=Carl Ludwig Siegel|year=1964|txt}} giả thuyết thêm rằng khoảng ''[[e (mathematical constant)|e]]''<sup>−1/2</sup>, hay khoảng 60.65% của tất cả các số nguyên tố là số nguyên tố chính quy theo ngôn ngữ [[tiệm cận (giải tích)|tiệm cận]] với mật độ tự nhiên. Hiện giờ chưa có giả thuyết nào được chứng minh.

== Số nguyên tố phi chính quy ==
Số nguyên tố lẻ không chính quy được gọi là '''số nguyên tố phi chính quy''' (hay '''B-phi chính quy''' để phân biệt với các dạng phi chính quy bên dưới). Một số số nguyên tố phi chính quy đầu tiên là:

: 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, ... {{OEIS|id=A000928}}

===Tính vô hạn===
[[Kaj Løchte Jensen|K. L. Jensen]] (một học trò của [[Niels Nielsen|Nielsen]]<ref>[http://tau.ac.il/~corry/publications/articles/pdf/Computers%20and%20FLT.pdf Leo Corry: Number Crunching vs. Number Theory: Computers and FLT, from Kummer to SWAC (1850–1960), and beyond]</ref>) trong 1915 đã chứng minh được rằng có vô số số nguyên tố phi chính quy dưới dạng {{nowrap|4''n'' + 3}}.
<ref>{{cite journal | last = Jensen | first = K. L. | title = Om talteoretiske Egenskaber ved de Bernoulliske Tal | jstor=24532219 | journal = NYT Tidsskr. Mat. | volume = B 26 | pages = 73–83 | year = 1915}}</ref>
Trong 1954 [[Leonard Carlitz|Carlitz]] đưa ra kết quả yếu hơn rằng nhìn chung có vô số nguyên tố phi chính quy.<ref>{{cite journal | last = Carlitz | first = L. | title = Note on irregular primes | journal = Proceedings of the American Mathematical Society | volume = 5 | issue = 2 | pages = 329–331 | publisher = [[American Mathematical Society|AMS]] | year = 1954 | url = https://www.ams.org/journals/proc/1954-005-02/S0002-9939-1954-0061124-6/S0002-9939-1954-0061124-6.pdf  | issn = 1088-6826 | doi = 10.1090/S0002-9939-1954-0061124-6 | mr = 61124| doi-access = free }}</ref>

Metsänkylä chứng minh rằng với bất kỳ số nguyên {{nowrap|''T'' > 6}}, có vô số số nguyên tố phi chính quy không nằm dưới dạng {{nowrap|''mT'' + 1}} hay {{nowrap|''mT'' − 1}},<ref>{{cite journal |author=Tauno Metsänkylä |title=Note on the distribution of irregular primes |journal=Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I |volume=492 |year=1971 |mr=0274403}}</ref> sau này tổng quát thêm.<ref>{{cite journal |author=Tauno Metsänkylä |title=Distribution of irregular prime numbers |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=1976 |issue=282 |doi=10.1515/crll.1976.282.126 |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002191873 |year=1976|pages=126–130 |s2cid=201061944 }}</ref>

===Cặp số phi chính quy===

Nếu ''p'' là số nguyên tố phi chính quy và ''p'' là ước của số Bernoulli ''B''<sub>2''k''</sub> cho {{nowrap|0 < 2''k'' < ''p'' − 1}}, thì {{nowrap|(''p'', 2''k'')}} được gọi là '''cặp phi chính quy'''.  Nói cách khác, cặp số này được dùng để kiểm tra xem với số nguyên tố ''p'', xem chỉ số của số Bernoulli mà tại đó mất tính chính quy. Các cặp đầu tiên (xếp thứ tự bởi k) là:

: (691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), (2294797, 24), (657931, 26), (9349, 28), (362903, 28), ... {{OEIS|id=A189683}}.

Các số ''k'' chẵn nhỏ sao cho số nguyên tố phi chính quy thứ ''n'' là ước của ''B<sub>k</sub> là
:32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, 126, 240, 366, 196, 130, 94, 292, 400, 86, 270, 222, 52, 90, 22, ... {{OEIS|id=A035112}}

Đối với số nguyên tố ''p'', số các cặp chứa ''p'' được gọi là '''chỉ số phi chính quy''' của ''p''.<ref name=Nark475>{{citation | last=Narkiewicz | first=Władysław | title=Elementary and analytic theory of algebraic numbers | edition=2nd, substantially revised and extended | publisher=[[Springer-Verlag]]; [[Polish Scientific Publishers PWN|PWN-Polish Scientific Publishers]] | year=1990 | isbn=3-540-51250-0 | zbl=0717.11045 | page=[https://archive.org/details/elementaryanalyt0000nark/page/475 475] | url=https://archive.org/details/elementaryanalyt0000nark/page/475 }}</ref>  Do đó, số nguyên tố được gọi là chính quy khi chỉ số phi chính quy của nó bằng không. Tương tự như vậy, số nguyên tố phi chính quy khi chỉ số phi chính quy của nó dương.

Ta phát hiện ra rằng {{nowrap|(''p'', ''p'' − 3)}} là cặp phi chính quy cho {{nowrap|''p'' {{=}} 16843}} và {{nowrap|''p'' {{=}} 2124679}}. Không có ''p'' nào khác cho {{nowrap|''p'' < 10<sup>9</sup>}}.

===Chỉ số phi chính quy===
Số nguyên tố ''p'' có '''chỉ số phi chính quy''' ''n'' [[khi và chỉ khi]] có ''n'' giá trị ''k'' thỏa mãn ''p'' là ước của ''B<sub>2k</sub>'' và các giả trị ''k'' này đều nhỏ hơn {{nowrap|(''p'' − 1)/2}}. Số nguyên tố lẻ đầu tiên có chỉ số phi chính quy lớn hơn 1 là số [[157 (số)|157]], là ước của ''B''<sub>62</sub> và ''B''<sub>110</sub>, nên nó có chỉ số bằng 2. Chỉ số của số nguyên tố chính quy bằng 0.

Dãy chỉ số phi chính quy của số nguyên tố thứ ''n'' là
:0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... (Bắt đầu với ''n'' = 2, hoặc ''p'' = 3) {{OEIS|id=A091888}}

Dãy chỉ số phi chính quy của số nguyên tố phi chính quy thứ ''n'' là
:1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, ... {{OEIS|id=A091887}}

Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 1 là
:37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 971, ... {{OEIS|id=A073276}}

Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 2 là
:157, 353, 379, 467, 547, 587, 631, 673, 691, 809, 929, 1291, 1297, 1307, 1663, 1669, 1733, 1789, 1933, 1997, 2003, 2087, 2273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957, ... {{OEIS|id=A073277}}

Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 3 là
:491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 14533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869, ... {{OEIS|id=A060975}}

==Các dạng tổng quát==

===Số nguyên tố phi chính quy Euler ===
Tương tự đối với các số Euler, ta định nghĩa '''số nguyên tố phi chính quy Euler''' (hay '''E-phi chính quy''') là số nguyên tố ''p'' là ước của ít nhất một [[số Euler]] ''E<sub>2n</sub>'' với {{nowrap|0 < 2''n'' ≤ ''p'' − 3}}. Các số nguyên tố phi chính quy Euler đầu tiên là
:19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587, ... {{OEIS|id=A120337}}

Dãy các cặp phi chính quy Euler là
:(61, 6), (277, 8), (19, 10), (2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437, 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28), ...

Vandiver chứng minh rằng [[định lý lớn Fermat]] ({{nowrap|1=''x''<sup>''p''</sup> + ''y''<sup>''p''</sup> = ''z''<sup>''p''</sup>}}) không có nghiệm nguyên ''x'', ''y'', ''z'' với {{nowrap|1=gcd(''xyz'', ''p'') = 1}} nếu ''p'' là số nguyên tố chính quy Euler. Gut chứng minh rằng {{nowrap|1=''x''<sup>2''p''</sup> + ''y''<sup>2''p''</sup> = ''z''<sup>2''p''</sup>}} không có nghiệm nguyên nếu ''p'' có chỉ số phi chính quy Euler nhỏ hơn 5.<ref>{{Cite web|title=The Top Twenty: Euler Irregular primes|url=https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=25|access-date=2021-07-21|website=primes.utm.edu}}</ref>

Hiện đã chứng minh được rằng có vô hạn số nguyên tố phi chính quy Euler. Một kết quả mạnh hơn thu được như sau: có vô hạn số nguyên tố phi chính quy Euler [[số học mô đun|đồng dư]] với 1 khi mô đun 8. Giống với trường hợp B-chính quy của Kummer, hiện vẫn chưa biết được liệu có vô số số nguyên tố chính quy Euler.

===Số nguyên tố phi chính quy mạnh===
Số nguyên tố ''p'' được gọi là '''phi chính quy mạnh''' nếu nó vừa B-phi chính quy và E-phi chính quy (chỉ số của số Bernoulli và số Euler chia hết cho ''p'' có thể bằng nhau hoặc khác nhau). Các số nguyên tố phi chính quy mạnh đầu tiên là
:67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, 887, 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, ... {{OEIS|A128197}}

Chứng minh [[định lý lớn Fermat]] cho số nguyên tố phi chính quy mạnh ''p'' khó hơn nhiều (bởi [[Ernst Kummer|Kummer]] đã chứng minh trước trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat cho các số nguyên tố B-chính quy, và [[Harry Vandiver|Vandiver]] chứng minh định lý lờn Fermat cho các số nguyên tố E-chính quy), điểm khó nhất gặp phải là không chỉ ''p'' là số nguyên tố phi chính quy mạnh, mà các số {{nowrap|2''p'' + 1}}, {{nowrap|4''p'' + 1}}, {{nowrap|8''p'' + 1}}, {{nowrap|10''p'' + 1}}, {{nowrap|14''p'' + 1}}, và {{nowrap|16''p'' + 1}} còn đều là hợp số ([[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] chứng minh định lý lờn Fermat cho các số nguyên tố ''p'' thoả mãn ít nhất một trong các số {{nowrap|2''p'' + 1}}, {{nowrap|4''p'' + 1}}, {{nowrap|8''p'' + 1}}, {{nowrap|10''p'' + 1}}, {{nowrap|14''p'' + 1}}, và {{nowrap|16''p'' + 1}} là số nguyên tố), các số nguyên tố ''p'' thoả mãn tính chất đó nằm trong dãy
:263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283, ...

===Số nguyên tố phi chính quy yếu===
Số nguyên tố ''p'' được gọi là '''phi chính quy yếu''' nếu nó không B-phi chính quy hoặc E-phi chính quy (hoặc không cả hai). Các số nguyên tố phi chính quy yếu đầu tiên là
:19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 571, 577, 587, 593, ... {{OEIS|id=A250216}}

Giống với tính phi chính quy Bernoulli, phi chính quy yếu có quan hệ với tính chia hết của số lớp của [[trường cyclotomic]]. Cụ thể, số nguyên tố ''p'' phi chính quy yếu khi và chỉ khi ''p'' là ước của trường cyclotomic thứ 4''p'' (tức trường '''Q'''(''ζ''<sub>''4p''</sub>).

==== Cặp phi chính quy yếu ====

Trong đoạn dưới đây, lưu ý rằng "''a<sub>n</sub>''" là tử số của số Bernoulli thứ ''n'' nếu ''n'' chẵn, và là số Euler thứ {{nowrap|(''n'' − 1)}} nếu ''n'' lẻ {{OEIS|id=A246006}}.

Bởi với mọi số nguyên tố lẻ ''p'', ''p'' là ước của ''a<sub>p</sub>'' khi và chỉ khi ''p'' đồng dư với 1 mô đun 4, và bởi vì ''p'' là ước của mẫu số của số Bernoulli thứ {{nowrap|(''p'' − 1)}} với mọi số nguyên tố lẻ ''p'', nên cho bất kỳ số nguyên tố lẻ ''p'', ''p'' không thể là ước của ''a''<sub>''p''−1</sub>. Bên cạnh đó, ''p'' là ước của ''a<sub>n</sub>'' (và 2''p'' không là ước của ''n'') khi và chỉ khi ''p'' cũng là ước của ''a''<sub>''n''+''k''(''p''−1)</sub> (nếu 2''p'' là ước của ''n'', thì câu này phải đổi thành "''p'' cũng là ước của ''a''<sub>''n''+2''kp''</sub>". Hơn nữa, nếu 2''p'' là ước của ''n'' và {{nowrap|''p''(''p'' − 1)}} không phải là ước của ''n'', thì ''p'' là ước của ''a''<sub>''n''</sub>.) cho mọi số nguyên ''k'' (cần điều kiện {{nowrap|''n'' + ''k''(''p'' − 1)}} >&nbsp;1). Ví dụ chẳng hạn, bởi 19 là ước của ''a''<sub>11</sub> và {{nowrap|1=2 × 19 = 38}} không phải là ước của 11, nên 19 là ước của ''a''<sub>18''k''+11</sub> với mọi ''k''. Do đó, trong định nghĩa của cặp phi chính quy {{nowrap|(''p'', ''n'')}}, giá trị ''n'' nên không quá {{nowrap|''p'' − 2}}.

Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy thoả mãn số nguyên tố lẻ {{nowrap|''p'' ≤ 661}}:

{|class="wikitable"
|''p''
|các số nguyên<br>0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2<br>sao cho ''p'' là ước của ''a<sub>n</sub>''
|''p''
|các số nguyên<br>0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2<br>sao cho ''p'' là ước của ''a<sub>n</sub>''
|''p''
|các số nguyên<br>0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2<br>sao cho ''p'' là ước của ''a<sub>n</sub>''
|''p''
|các số nguyên<br>0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2<br>sao cho ''p'' là ước của ''a<sub>n</sub>''
|''p''
|các số nguyên<br>0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2<br>sao cho ''p'' là ước của ''a<sub>n</sub>''
|''p''
|các số nguyên<br>0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2<br>sao cho ''p'' là ước của ''a<sub>n</sub>''
|-
|3
|
|79
|19
|181
|
|293
|156
|421
|240
|557
|222
|-
|5
|
|83
|
|191
|
|307
|88, 91, 137
|431
|
|563
|175, 261
|-
|7
|
|89
|
|193
|75
|311
|87, 193, 292
|433
|215, 366
|569
|
|-
|11
|
|97
|
|197
|
|313
|
|439
|
|571
|389
|-
|13
|
|101
|63, 68
|199
|
|317
|
|443
|
|577
|52, 209, 427
|-
|17
|
|103
|24
|211
|
|331
|
|449
|
|587
|45, 90, 92
|-
|19
|11
|107
|
|223
|133
|337
|
|457
|
|593
|22
|-
|23
|
|109
|
|227
|
|347
|280
|461
|196, 427
|599
|
|-
|29
|
|113
|
|229
|
|349
|19, 257
|463
|130, 229
|601
|
|-
|31
|23
|127
|
|233
|84
|353
|71, 186, 300
|467
|94, 194
|607
|592
|-
|37
|32
|131
|22
|239
|
|359
|125
|479
|
|613
|522
|-
|41
|
|137
|43
|241
|211, 239
|367
|
|487
|
|617
|20, 174, 338
|-
|43
|13
|139
|129
|251
|127
|373
|163
|491
|292, 336, 338, 429
|619
|371, 428, 543
|-
|47
|15
|149
|130, 147
|257
|164
|379
|100, 174, 317
|499
|
|631
|80, 226
|-
|53
|
|151
|
|263
|100, 213
|383
|
|503
|
|641
|
|-
|59
|44
|157
|62, 110
|269
|
|389
|200
|509
|141
|643
|
|-
|61
|7
|163
|
|271
|84
|397
|
|521
|
|647
|236, 242, 554
|-
|67
|27, 58
|167
|
|277
|9
|401
|382
|523
|400
|653
|48
|-
|71
|29
|173
|
|281
|
|409
|126
|541
|86, 465
|659
|224
|-
|73
|
|179
|
|283
|20
|419
|159
|547
|270, 486
|661
|
|}

Các số nguyên tố dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 3 là 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751, và 929. Bên cạnh đó, 491 là số nguyên tố duy nhất dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 4, và các số nguyên tố lẻ còn lại dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 0, 1, hoặc 2. ('''Chỉ số phi chính yếu''' được định nghĩa là số các số nguyên {{nowrap|0 ≤ ''n'' ≤ ''p'' − 2}} thoả mãn ''p'' là ước của ''a<sub>n</sub>''.)

Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy với ''n'' ≤ 63. (Để tìm ra các cặp này, ta chỉ cần phân tích thừa số 
của ''a<sub>n</sub>''. Lấy ví dụ, {{nowrap|1=''a''<sub>34</sub> = 17 × 151628697551}}, nhưng {{nowrap|17 < 34 + 2}}, nên cặp phi chính quy duy nhất với {{nowrap|1=''n'' = 34}} là {{nowrap|(151628697551, 34)}}) (đối với các  ''n'' chẵn lên tới 300 và các ''n'' lẻ lên tới 201, xem <ref>{{Cite web|title=Bernoulli and Euler numbers|url=https://homes.cerias.purdue.edu/~ssw/bernoulli/index.html|access-date=2021-07-21|website=homes.cerias.purdue.edu}}</ref>).

{|class="wikitable"
|''n''
|các số nguyên tố ''p'' ≥ ''n'' + 2 sao cho ''p'' là ước của ''a<sub>n</sub>''
|''n''
|các số nguyên tố ''p'' ≥ ''n'' + 2 sao cho ''p'' là ước của ''a<sub>n</sub>''
|-
|0
|
|32
|37, 683, 305065927
|-
|1
|
|33
|930157, 42737921, 52536026741617
|-
|2
|
|34
|151628697551
|-
|3
|
|35
|4153, 8429689, 2305820097576334676593
|-
|4
|
|36
|26315271553053477373
|-
|5
|
|37
|9257, 73026287, 25355088490684770871
|-
|6
|
|38
|154210205991661
|-
|7
|61
|39
|23489580527043108252017828576198947741
|-
|8
|
|40
|137616929, 1897170067619
|-
|9
|277
|41
|763601, 52778129, 359513962188687126618793
|-
|10
|
|42
|1520097643918070802691
|-
|11
|19, 2659
|43
|137, 5563, 13599529127564174819549339030619651971
|-
|12
|691
|44
|59, 8089, 2947939, 1798482437
|-
|13
|43, 967
|45
|587, 32027, 9728167327, 36408069989737, 238716161191111
|-
|14
|
|46
|383799511, 67568238839737
|-
|15
|47, 4241723
|47
|285528427091, 1229030085617829967076190070873124909
|-
|16
|3617
|48
|653, 56039, 153289748932447906241
|-
|17
|228135437
|49
|5516994249383296071214195242422482492286460673697
|-
|18
|43867
|50
|417202699, 47464429777438199
|-
|19
|79, 349, 87224971
|51
|5639, 1508047, 10546435076057211497, 67494515552598479622918721
|-
|20
|283, 617
|52
|577, 58741, 401029177, 4534045619429
|-
|21
|41737, 354957173
|53
|1601, 2144617, 537569557577904730817, 429083282746263743638619
|-
|22
|131, 593
|54
|39409, 660183281, 1120412849144121779
|-
|23
|31, 1567103, 1427513357
|55
|2749, 3886651, 78383747632327, 209560784826737564385795230911608079
|-
|24
|103, 2294797
|56
|113161, 163979, 19088082706840550550313
|-
|25
|2137, 111691689741601
|57
|5303, 7256152441, 52327916441, 2551319957161, 12646529075062293075738167
|-
|26
|657931
|58
|67, 186707, 6235242049, 37349583369104129
|-
|27
|67, 61001082228255580483
|59
|1459879476771247347961031445001033, 8645932388694028255845384768828577
|-
|28
|9349, 362903
|60
|2003, 5549927, 109317926249509865753025015237911
|-
|29
|71, 30211, 2717447, 77980901
|61
|6821509, 14922423647156041, 190924415797997235233811858285255904935247
|-
|30
|1721, 1001259881
|62
|157, 266689, 329447317, 28765594733083851481
|-
|31
|15669721, 28178159218598921101
|63
|101, 6863, 418739, 1042901, 91696392173931715546458327937225591842756597414460291393
|}

Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy {{nowrap|(''p'', ''p'' − ''n'')}} ({{nowrap|''n'' ≥ 2}}), hiện ta đang phỏng đoán rằng có vô hạn cặp phi chính quy {{nowrap|(''p'', ''p'' − ''n'')}} với mọi số tự nhiên {{nowrap|''n'' ≥ 2}}, nhưng mới chỉ một ít được tìm thấy khi cố định ''n'' và thậm chí còn có một số giá trị của ''n'' vẫn chưa tìm thấy số nguyên tố ''p'' đi kèm.

{|class="wikitable"
|''n''
|Số nguyên tố ''p'' sao cho ''p'' là ước của ''a''<sub>''p''−''n''</sub> (các giá trị ''p'' được kiểm tra lên tới 20000)
|Dãy [[OEIS]]
|-
|2
|149, 241, 2946901, 16467631, 17613227, 327784727, 426369739, 1062232319, ...
|{{OEIS link|id=A198245}}
|-
|3
|16843, 2124679, ...
|{{OEIS link|id=A088164}}
|-
|4
|...
|
|-
|5
|37, ...
|
|-
|6
|...
|
|-
|7
|...
|
|-
|8
|19, 31, 3701, ...
|
|-
|9
|67, 877, ...
|{{OEIS link|id=A212557}}
|-
|10
|139, ...
|
|-
|11
|9311, ...
|
|-
|12
|...
|
|-
|13
|...
|
|-
|14
|...
|
|-
|15
|59, 607, ...
|
|-
|16
|1427, 6473, ...
|
|-
|17
|2591, ...
|
|-
|18
|...
|
|-
|19
|149, 311, 401, 10133, ...
|
|-
|20
|9643, ...
|
|-
|21
|8369, ...
|
|-
|22
|...
|
|-
|23
|...
|
|-
|24
|17011, ...
|
|-
|25
|...
|
|-
|26
|...
|
|-
|27
|...
|
|-
|28
|...
|
|-
|29
|4219, 9133, ...
|
|-
|30
|43, 241, ...
|
|-
|31
|3323, ...
|
|-
|32
|47, ...
|
|-
|33
|101, 2267, ...
|
|-
|34
|461, ...
|
|-
|35
|...
|
|-
|36
|1663, ...
|
|-
|37
|...
|
|-
|38
|101, 5147, ...
|
|-
|39
|3181, 3529, ...
|
|-
|40
|67, 751, 16007, ...
|
|-
|41
|773, ...
|
|}

==Xem thêm==
*[[Số nguyên tố Wolstenholme]]

==Tham khảo==
{{reflist}}

==Đọc thêm==
*{{citation|first=E. E.|last=Kummer|author-link=Ernst Kummer| title=Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung ''x''<sup>''λ''</sup> + ''y''<sup>''λ''</sup> = ''z''<sup>''λ''</sup> durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten ''λ'', welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (''λ''−3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen |journal=J. Reine Angew. Math. |volume=40 |year=1850 |pages=131–138 |url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002146738}}
* {{citation
 | last = Siegel | first = Carl Ludwig | author-link = Carl Ludwig Siegel
 | journal = Nachrichten der Akademie der Wissenschaften in Göttingen
 | mr = 0163899
 | pages = 51–57
 | title = Zu zwei Bemerkungen Kummers
 | volume = 1964
 | year = 1964}}
* {{Citation | last1=Iwasawa | first1=K. | last2=Sims | first2=C. C. | title=Computation of invariants in the theory of cyclotomic fields | year=1966 | journal=Journal of the Mathematical Society of Japan | volume=18 | issue=1 | pages=86–96 | url=https://projecteuclid.org/euclid.jmsj/1260541355 | doi=10.2969/jmsj/01810086 | doi-access=free }} 
* {{Citation | last1=Wagstaff, Jr. | first1=S. S. | title=The Irregular Primes to 125000 | year=1978 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=32 | issue=142 | pages=583–591 | url=https://www.ams.org/journals/mcom/1978-32-142/S0025-5718-1978-0491465-4/| doi=10.2307/2006167 | jstor=2006167 }} 
* {{Citation | last1=Granville | first1=A. | last2=Monagan | first2=M. B. | title=The First Case of Fermat's Last Theorem is True for All Prime Exponents up to 714,591,416,091,389 | year=1988 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | volume=306 | issue=1 | pages=329–359 | doi=10.1090/S0002-9947-1988-0927694-5 | mr = 0927694| doi-access=free }}
* {{Citation | last1=Gardiner | first1=A. | title=Four Problems on Prime Power Divisibility | year=1988 | journal=American Mathematical Monthly | volume=95 | issue=10 | pages=926–931 | doi=10.2307/2322386| jstor=2322386 }}
* {{Citation | last1=Ernvall | first1=R. | last2=Metsänkylä | first2=T. | title=Cyclotomic Invariants for Primes Between 125000 and 150000 | year=1991 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=56 | issue=194 | pages=851–858 | url=https://www.ams.org/journals/mcom/1991-56-194/S0025-5718-1991-1068819-7/ | doi=10.2307/2008413 | jstor=2008413 }} 
* {{Citation | last1=Ernvall | first1=R. | last2=Metsänkylä | first2=T. | title=Cyclotomic Invariants for Primes to One Million | year=1992 | journal=Mathematics of Computation | volume=59 | issue=199 | pages=249–250 | url=https://www.ams.org/journals/mcom/1992-59-199/S0025-5718-1992-1134727-7/S0025-5718-1992-1134727-7.pdf | doi=10.2307/2152994| jstor=2152994 | doi-access=free }}
* {{Citation | last1=Buhler | first1=J. P. | last2=Crandall | first2=R. E. | last3=Sompolski | first3=R. W. | title=Irregular Primes to One Million | year=1992 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=59 | issue=200 | pages=717–722 | url=https://www.ams.org/journals/mcom/1992-59-200/S0025-5718-1992-1134717-4/ | doi=10.2307/2153086  | jstor=2153086 | doi-access=free }} 
* {{Citation | last1 = Boyd | first1 = D. W.| title = A ''p''-adic Study of the Partial Sums of the Harmonic Series | url = http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515811| doi = 10.1080/10586458.1994.10504298 | journal = [[Experimental Mathematics (journal)|Experimental Mathematics]]| volume = 3 | issue = 4 | pages = 287–302 | year = 1994| zbl = 0838.11015}}
* {{Citation | last1=Shokrollahi | first1=M. A. | title=Computation of Irregular Primes up to Eight Million (Preliminary Report) | year=1996 | series=ICSI Technical Report | volume=TR-96-002 | url=http://www.icsi.berkeley.edu/ftp/global/global/pub/techreports/1996/tr-96-002.ps.gz | access-date=2022-07-26 | archive-date=2007-06-14 | archive-url=https://web.archive.org/web/20070614000759/http://www.icsi.berkeley.edu/ftp/global/global/pub/techreports/1996/tr-96-002.ps.gz }}
* {{Citation | last1=Buhler | first1=J. | last2=Crandall | first2=R. | last3=Ernvall | first3=R. | last4=Metsänkylä | first4=T. | last5=Shokrollahi | first5=M.A. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to 12 Million | year=2001 | journal=Journal of Symbolic Computation | volume=31 | issue=1–2 | pages=89–96 | doi=10.1006/jsco.1999.1011| doi-access=free }}
* {{Citation |author=Richard K. Guy |author-link=Richard K. Guy |title=Unsolved Problems in Number Theory |edition=3rd |publisher=[[Springer Verlag]] |year=2004 |isbn=0-387-20860-7 |chapter=Section D2. The Fermat Problem}}
* {{Citation | last=Villegas | first=F. R. | title=Experimental Number Theory | publisher=Oxford University Press | year=2007 | location=New York | pages=166–167 | url=https://books.google.com/books?id=xXNFmoEaD9QC&pg=PA166 | isbn=978-0-19-852822-7}}

== Liên kết ngoài ==
* {{mathworld|urlname=IrregularPrime|title=Irregular prime}}
* Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Regular The Prime Glossary: regular prime] at The [[Prime Pages]].
* Keith Conrad, [http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/fltreg.pdf Fermat's last theorem for regular primes].
* [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=26 Bernoulli irregular prime]
* [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=25 Euler irregular prime]
* [http://www.luschny.de/math/primes/irregular.html Bernoulli and Euler irregular primes].
* [http://homes.cerias.purdue.edu/~ssw/bernoulli/index.html Factorization of Bernoulli and Euler numbers]
* [http://homes.cerias.purdue.edu/~ssw/bernoulli/full.pdf Factorization of Bernoulli and Euler numbers]

{{Phân loại các số nguyên tố}}
[[Thể loại:Số nguyên tố]]
[[Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số]]