Xem mã nguồn của Số nhựa

{{Short description|Số đại số, xấp xỉ 1.325}}
{{About|một số vô tỉ đặc biệt|các con số phân biệt loại [[nhựa]] để tái chế|mã số nhận diện nhựa cây}}
<!--{{infobox non-integer number
|image=Triangles in ratio of the plastic number in a three armed counter clockwise spiral.svg
|image_caption=Triangles with sides in ratio of <math>\rho</math> form a closed spiral
|binary={{gaps|1.0101|0011|0010|0000|1011|...}}
|decimal={{gaps|1.32471|79572|44746|02596|...}}
|hexadecimal={{gaps|1.5320|B74E|CA44|ADAC|1788|...}}
|continued_fraction_linear=[1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80 ...]<ref>Sequence {{OEIS2C|A072117}} in the [[OEIS]]</ref>
|continued_fraction_finite=Infinite
|continued_fraction_periodic=Not periodic
|algebraic=<math>\sqrt[3]{\frac{9 + \sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{9 - \sqrt{69}}{18}}</math>
}}-->
[[File:Plastic number square spiral.svg|thumb|Các hình vuông có cạnh theo tỷ lệ <math>\rho</math> lập thành một đường xoắn đóng]]

Trong [[toán học]], '''số nhựa''' {{math|''ρ''}} (hay còn gọi là '''hằng số nhựa''', '''tỷ lệ nhựa''',  '''số Pisot tối thiểu''', '''số platin''',<ref>{{citation |last=Choulet |first=Richard |date=January–February 2010 |title=Alors argent ou pas ? Euh ... je serais assez platine |url=http://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA10014.pdf |journal=Le Bulletin Vert |department=Pour chercher et approfondir |publisher=Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public (APMEP) Paris |issue=486 |pages=89–96 |issn=0240-5709 |oclc=477016293 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171114033114/http://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA10014.pdf |archive-date=2017-11-14 |access-date=2017-11-14}}</ref> '''số của [[Carl Ludwig Siegel|Siegel]]''' hoặc trong tiếng Pháp, '''{{lang|fr|le nombre radiant}}''') là [[hằng số toán học]] là nghiệm thực duy nhất của [[phương trình bậc ba]]:
: <math>x^3 = x + 1.</math>

Giá trị chính xác của nó là<ref>{{MathWorld |title=Plastic Constant |id=PlasticConstant}}</ref>
: <math>\rho = \sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{69}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{69}}{18}}.</math>

Khai triển thập phân của nó bắt đầu từ {{gaps|1.32471|79572|44746|02596|09088|54...}}.<ref>Dãy {{OEIS2C|id=A060006}} trong [[OEIS]].</ref>

== Tính chất ==
===Tính hồi quy===
Các lũy thừa của số nhựa {{math|''A''(''n'') {{=}} ''ρ''<sup>''n''</sup>}} thỏa mãn công thức hồi quy tuyến tính bậc ba {{math|''A''(''n'') {{=}} ''A''(''n'' − 2) + ''A''(''n'' − 3)}} với {{math|''n'' > 2}}. Do đó hằng số nhựa là tỷ lệ giới hạn giữa hai phần tử liên tiếp trong bất kỳ dãy số nguyên (khác không) thỏa mãn quan hệ hồi quy, chẳng hạn như [[dãy Padovan]] (hay còn gọi là các số Cordonnier), dãy [[số Perrin]] và dãy [[số Van der Laan]],<ref>{{Cite OEIS|A182097|Van der Laan numbers|mode=cs2}}</ref> và có mối quan hệ với các dãy này tương tự với quan hệ của [[tỷ lệ vàng]] với dãy [[số Fibonacci]] bậc hai và dãy [[số Lucas]], và tương tự với quan hệ giữa [[tỷ lệ bạc]] và dãy [[số Pell]].<ref>{{harvtxt|Shannon|Anderson|Horadam|2006}}.</ref>

Số nhựa có thể viết dưới dạng [[căn lồng nhau]] như sau<ref name=mathworld>{{MathWorld|urlname=PlasticConstant|title=Plastic Constant|author=Piezas, Tito III|author2=van Lamoen, Floor|author3= Weisstein, Eric W.|name-list-style=amp|mode=cs2}}</ref>

: <math>\rho = \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \cdots}}}.</math>

===Lý thuyết số===
Bởi số nhựa có [[Đa thức tối tiểu (lý thuyết trường)|đa thức tối tiểu]] {{math|''x''<sup>3</sup> − ''x'' − 1 {{=}} 0,}} nó còn là nghiệm của phương trình đa thức {{math|''p''(''x'') {{=}} 0}} với mọi đa thức {{math|''p''}} là bội của {{math|''x''<sup>3</sup> − ''x'' − 1,}} nhưng không cho các đa thức có hệ số nguyên. Bởi [[định thức]] của đa thức tối tiểu là −23, [[trường phân rã]] của nó trên các số hữu tỉ là <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-23}, \rho).</math> Trường này còn là [[trường lớp Hilbert]] của <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-23}).</math> Bởi vậy, nó có thể viết bằng<ref name=mathworld/> [[hàm eta Dedekind]] <math>\eta(\tau)</math> với tham số <math>\tau = \tfrac{1+\sqrt{-23}}2</math>,

:<math>\rho= \frac{-1}{z^{23}}\frac{\eta(\tau)}{\sqrt2\,\eta(2\tau)} = 1.3247\dots</math>

và [[căn đơn vị]] <math>z = e^{2\pi i/48}</math>. Tương tự như vậy cho [[tỷ lệ siêu vàng]] với tham số <math>\beta = \tfrac{1+\sqrt{-31}}2</math>,

:<math>\psi= \frac{-1}{z^{23}}\frac{\eta(\beta)}{\sqrt2\,\eta(2\beta)} = 1.4655\dots</math>

Bên cạnh đó, số nhựa là [[số Pisot–Vijayaraghavan]] nhỏ nhất. [[Liên hợp đại số]] của nó là
: <math>\left(-\frac12 \pm \frac{\sqrt3}{2}i\right) \sqrt[3]{\frac{9 + \sqrt{69}}{18}} + \left(-\frac12 \mp \frac{\sqrt3}{2}i\right) \sqrt[3]{\frac{9 - \sqrt{69}}{18}} \approx -0.662359 \pm 0.56228i,</math>
với [[giá trị tuyệt đối]]&nbsp;≈&nbsp;0.868837 {{OEIS|A191909}}. Giá trị này còn là <math>\frac{1}{\sqrt{\rho}}</math> bởi tích của ba nghiệm của đa thức tối tiểu bằng 1.

===Lượng giác===
Số nhựa có thể viết bằng hàm [[hàm hyperbol|cos hyperbol]] ({{math|cosh}}) và nghịch đảo của nó:
:<math>\rho = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cosh\left(\frac{1}{3} \cosh^{-1} \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\right).</math>
<!--(Xem [[en:Cubic equation#Trigonometric and hyperbolic solutions]].)-->

===Hình học===
{{xem thêm|Chia hình vuông thành các hình chữ nhật đồng dạng}}
[[File:Plastic square partitions.svg|thumb|upright=1.5|Ba cách để phân hoạch hình vuông thành các hình chữ nhật đồng dạng nhau]]
Có chính xác ba cách để phân hoạch hình vuông thành các hình chữ nhật đồng dạng:<ref>Ian Stewart, A Guide to Computer Dating (Feedback), Scientific American, Vol. 275, No. 5, November 1996, p. 118
</ref><ref>{{citation |last1=de Spinadel|first1=Vera W. 
|author1-link=Vera W. de Spinadel |last2=Antonia|first2=Redondo Buitrago |title=Towards van der Laan's plastic number in the plane |journal=Journal for Geometry and Graphics |volume=13 |issue=2 |year=2009 |pages=163–175 |url=http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg13/j13h2spin.pdf}}.</ref>
#Cách dễ thấy đầu tiên là ba hình chữ nhật tương đẳng với nhau và cùng tỷ lệ 3:1.
#Cách thứ hai là chia sao cho hai trong ba hình chữ nhật tương đẳng nhau và cái thứ ba có độ dài cạnh gấp đôi độ dài cạnh tương ứng của cái còn lại, các hình chữ nhật có cùng tỷ lệ 3:2.
#Cách thứ ba chia thành ba hình chữ nhật có kích thước khác nhau và chúng đều có tỷ lệ ''ρ''<sup>2</sup>. Tỷ lệ giữa kích thước các hình chữ nhật là: ''ρ'' (lớn:trung bình); ''ρ''<sup>2</sup> (trung bình:bé); và ''ρ''<sup>3</sup> (bé:lớn). Cạnh dài bên trong của hình chữ nhật lớn nhất cắt hai trong bốn cạnh của hình vuông trong đó mỗi cạnh thành hai đoạn có tỷ lệ ''ρ.'' Cạnh ngắn bên trong của hình chữ nhật trung bình (và cùng là cạnh dài bên trong của hình chữ nhật nhỏ) cắt một cạnh hình vuông thành hai đoạn có tỷ lệ ''ρ''<sup>4</sup>.
Việc mà hình chữ nhật có tỷ lệ ''ρ''<sup>2</sup> có thể dùng để chia một hình vuông thành ba hình chữ nhật đồng dạng, tương đương với tính chất đại số của số ''ρ''<sup>2</sup> liên hệ với [[định lý Routh–Hurwitz]]: tất cả các liên hợp của nó đều có phần thực dương.<ref>{{citation
 | last1 = Freiling | first1 = C.
 | last2 = Rinne | first2 = D.
 | doi = 10.4310/MRL.1994.v1.n5.a3
 | issue = 5
 | journal = Mathematical Research Letters
 | mr = 1295549
 | pages = 547–558
 | title = Tiling a square with similar rectangles
 | volume = 1
 | year = 1994| doi-access = free
 }}</ref><ref>{{citation
 | last1 = Laczkovich | first1 = M.
 | last2 = Szekeres | first2 = G. | author2-link = George Szekeres
 | doi = 10.1007/BF02574063
 | issue = 3–4
 | journal = [[Discrete & Computational Geometry]]
 | mr = 1318796
 | pages = 569–572
 | title = Tilings of the square with similar rectangles
 | volume = 13
 | year = 1995| doi-access = free
 }}</ref>

== Lịch sử và tên gọi ==
[[File:Interieur bovenkerk, zicht op de middenbeuk met koorbanken voor de monniken - Mamelis - 20536587 - RCE.jpg|thumb|Nhà thờ [[St. Benedictusberg Abbey]] năm 1967 của [[Hans van der Laan]] có tỷ lệ theo hằng số nhựa.]]
{{Further|Toán học và nghệ thuật}}

Kiến trúc sư người Ha Lan và [[tu sĩ Benedictine]] Dom [[Hans van der Laan]] đưa cái tên ''số nhựa'' ({{lang-nl|het plastische getal}}) cho số này vào năm 1928. Trong 1924, bốn năm trước khi van der Laan đặt tên, kỹ sư người Pháp {{ill|Gérard Cordonnier|fr}} đã phát hiện ra số này trước và gọi là ''số radiant'' ({{lang-fr|le nombre radiant}}). Không như tên của [[tỷ lệ vàng]] và [[tỷ lệ bạc]], từ "nhựa" dùng bởi van der Laan không phải để nhắc đến một chất cụ thể, mà để lấy theo nghĩa tính từ, nghĩa là một vật nào đó có thể cho vào một hình ba chiều.<ref>{{harvtxt|Padovan|2002}}; {{harvtxt|Shannon|Anderson|Horadam|2006}}.</ref> Ở đây, dựa theo [[Richard Padovan]], lý do là bởi tỷ lệ đặc trưng của con số {{sfrac|3|4}} và {{sfrac|1|7}} có liên hệ với giới hạn mà tri giác con ngưới có thể liên hệ một kích thước vật lý này so với một kích thước vật lý khác. Van der Laan đã thiết kế nhà thờ [[St. Benedictusberg Abbey]] năm 1967 theo tỷ lệ của số nhựa.<ref>{{harvtxt|Padovan|2002}}.</ref>

Số nhựa còn đôi khi được gọi là '''số bạc''', cái tên được đưa bởi [[Midhat J. Gazalé]]<ref>{{citation |title=Gnomon: From Pharaohs to Fractals |last=Gazalé |first=Midhat J. |date=April 19, 1999 |publisher=Princeton University Press |isbn=9780691005140 |location=Princeton, N.J. |pages=135–150 |chapter=Chapter VII: The Silver Number |oclc=40298400 |author-link=Midhat J. Gazalé}}</ref> và sau được dùng bởi [[Martin Gardner]],<ref>[[Martin Gardner]], ''A Gardner's Workout'' (2001), Chapter 16, pp. 121–128.</ref> nhưng cái tên đó lại dùng để gọi cho [[tỷ lệ bạc]] <math>1 + \sqrt{2},</math>  một trong họ các tỷ lệ lấy từ ''[[trung bình kim loại]]'' (metallic mean) lần đầu được mô tả bởi [[Vera W. de Spinadel]] trong 1998.<ref>{{citation |first=Vera W. |last=de Spinadel |title=The Metallic Means and Design |pages=141–157 |url=https://www.nexusjournal.com/the-nexus-conferences/nexus-1998/119-n1998-spinadel.html |journal=Nexus II: Architecture and Mathematics |editor-first=Kim |editor-last=Williams|editor-link=Kim Williams (architect) |location=Fucecchio (Florence) |publisher=Edizioni dell'Erba |date=1998}}</ref>

[[Martin Gardner]] đề cập gọi <math>\rho^2</math> là "phi cao", và [[Donald Knuth]] tạo mã typography đặc biệt riêng cho tên này, một phiên bản của chữ Hy Lạp [[phi]] ("&phi;") với hình tròn tâm của nó được nâng lên, giống với chữ Georgia [[Pari (chữ cái)|pari]] ("Ⴔ").<ref>{{citation|title=Six challenging dissection tasks|journal=Quantum|date=May–June 1994|volume=4|issue=5|pages=26–27|url=http://static.nsta.org/pdfs/QuantumV4N5.pdf}}</ref>

== Xem thêm ==
*[[Snub icosidodecadodecahedron]]
*[[Tỷ lệ siêu vàng]]

==Chú thích==
{{Reflist|30em}}

==Tham khảo==
{{Refbegin}}
*{{citation
 | last1 = Aarts | first1 = J.
 | last2 = Fokkink | first2 = R.
 | last3 = Kruijtzer | first3 = G.
 | title = Morphic numbers
 | journal = Nieuw Arch. Wiskd.
 | series = 5
 | volume = 2 | issue = 1 | year = 2001 | pages = 56–58
 | url = http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2001-02-1-056.pdf}}.
*{{citation|first=Midhat J.|last=Gazalé|title=Gnomon|year=1999|publisher=Princeton University Press}}.
*{{citation
 | url = http://www.nexusjournal.com/conferences/N2002-Padovan.html
 | contribution = Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number
 | last = Padovan | first = Richard | author-link = Richard Padovan
 | title = Nexus IV: Architecture and Mathematics
 | pages = 181–193 | publisher = Kim Williams Books | year = 2002}}.
*{{citation
 | last1 = Shannon | first1 = A. G.
 | last2 = Anderson | first2 = P. G.
 | last3 = Horadam | first3 = A. F.
 | title = Properties of Cordonnier, Perrin and Van der Laan numbers
 | journal = International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
 | volume = 37 | issue = 7 | year = 2006 | pages = 825–831
 | doi = 10.1080/00207390600712554| s2cid = 119808971
 }}.
{{Refend}}

==Liên kết ngoài==
*[https://web.archive.org/web/20120320051231/http://members.fortunecity.com/templarser/padovan.html Tales of a Neglected Number] bởi [[Ian Stewart (nhà toán học)|Ian Stewart]]
*[http://www.maecla.it/tartapelago/museo/oro/rettangoli/en%20plasticrectangle.htm Plastic rectangle and Padovan sequence] tại Tartapelago bởi Giorgio Pietrocola
*{{citation |last1=Harriss |first1=Edmund  |author1-link = Edmund Harriss|title=The Plastic Ratio |url=https://www.youtube.com/watch?v=PsGUEj4w9Cc&t=488s  |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/PsGUEj4w9Cc |archive-date=2021-12-21 |url-status=live|website=youtube |publisher=[[Brady Haran]] |access-date=15 March 2019 |format=video}}{{cbignore}}

{{Số vô tỉ}}
{{Toán học và nghệ thuật}}

{{Authority control}}

[[Category:Hình học mặt phẳng Euclid]]
<!--[[Category:Irrational numbers]]-->[[Category:Số vô tỉ bậc ba]]
[[Category:Hằng số toán học]]
[[Category:Lịch sử hình học]]
[[Category:Lý thuyết nghệ thuật thị giác]]
[[Category:Hợp trong nghệ thuật thị giác]]