Xem mã nguồn của Số phức

{{1000 bài cơ bản}}
[[Tập tin:Complex number illustration.svg|nhỏ|phải|Biểu diễn số phức trên [[mặt phẳng phức]], với Re (viết tắt cho Real, nghĩa là thực) là trục thực, Im (viết tắt cho Imaginary, nghĩa là ảo) là trục ảo.]]
{{Thanh bên giải tích phức}}
'''Số phức''' ([[tiếng Anh]]: '''Complex number''') là [[số]] có thể viết dưới dạng ''<math>a+b\imath</math>'', trong đó ''a'' và ''b'' là các [[số thực]], <math>\imath</math> là [[đơn vị ảo]], với <math>\imath^2=-1</math> hay <math>\imath=\sqrt{-1}</math>.<ref>{{chú thích sách| title=Elementary Algebra |author=Charles P. McKeague |publisher=Brooks/Cole |isbn=978-0-8400-6421-9 |year=2011 |page=524 |url=http://books.google.de/books?id=etTbP0rItQ4C&printsec=frontcover&dq=editions:q0hGn6PkOxsC&hl=de&sa=X&ei=PcYBT8XmDImq8APA9OC5Bg&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false}}</ref> Trong biểu thức này, số ''a'' gọi là phần thực, ''b'' gọi là phần ảo của số phức. Số phức có thể được biểu diễn trên [[mặt phẳng phức]] với [[Hệ tọa độ Descartes#Tọa Độ Điểm|trục hoành]] là trục số thực và [[Hệ tọa độ Descartes#Tọa Độ Điểm|trục tung]] là trục số ảo, do đó một số phức <math>a + b\imath</math> được xác định bằng một điểm có tọa độ ''(a,b)''. Một số phức nếu có phần thực bằng không thì gọi là số thuần ảo (số ảo), nếu có phần ảo bằng không thì trở thành số thực R. Việc mở rộng trường số phức để giải những [[Toán đố|bài toán]] mà không thể giải trong trường số thực.

Số phức được sử dụng trong nhiều lĩnh vực [[khoa học]], như [[khoa học kỹ thuật]], [[điện từ học]], [[cơ học lượng tử]], [[toán học ứng dụng]] chẳng hạn như trong [[lý thuyết hỗn loạn]]. Nhà toán học người Ý [[Gerolamo Cardano]] là người đầu tiên đưa ra số phức. Ông sử dụng số phức để giải các [[phương trình bậc ba]] trong [[Thế kỷ 16|thế kỉ 16]].<ref>{{harvtxt|Burton|1995|p=294}}</ref>

== Lịch sử ==
[[Nhà toán học]] [[người Ý]] [[Rafael Bombelli|R. Bombelli]] ([[1526]]-[[1573]]) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "[[số ảo]]" trong công trình [[Đại số]] (Bologne, [[1572]]) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các [[phương trình bậc ba]] và đã đưa ra [[căn bậc hai]] của <math>-1</math>.

Nhà toán học [[người Pháp]] [[D’Alembert]] vào năm [[1746]] đã xác định được dạng tổng quát "<math>a+b\imath</math>" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một [[phương trình bậc n]]. Nhà toán học [[Thụy Sĩ]] [[Leonhard Euler|L. Euler]] ([[1707]]-[[1783]]) đã đưa ra [[biểu tượng|ký hiệu]] "<math>\imath</math>" để chỉ căn bậc hai của <math>-1</math>, năm [[1801]] [[Carl Friedrich Gauß|Gauss]] đã dùng lại ký hiệu này.

== Tổng quan ==
Số phức cho phép giải một [[phương trình]] nhất định mà không giải được trong trường [[số thực]]. Ví dụ, phương trình 
:<math>\left(x+1 \right)^2 = -9 \,</math>

không có nghiệm thực, vì [[bình phương]] của một số thực không thể âm. Các số phức cho phép [[giải phương trình]] này. Ý tưởng là mở rộng trường số thực sang [[đơn vị ảo]] <math>\imath</math> với <math>\imath^2=-1</math>, vì vậy phương trình trên được giải. Trong trường hợp này các nghiệm là {{math|−1 + 3''i''}} và {{math|−1 − 3''i''}}, có thể kiểm tra lại nghiệm khi thế vào phương trình và với <math>\imath^2=-1</math>:

:<math>\big[\left(-1+3i \right)+1 \big]^2 = \left(3i \right)^2 = \left(3^2 \right) \left(i^2 \right) = 9 \cdot \left(-1 \right) = -9</math>
:<math>\big[ \left(-1-3i \right)+1 \big]^2 = \left(-3i \right)^2 = \left(-3 \right)^2 \left(i^2 \right) = 9 \cdot(-1) = -9</math>

Thực tế không chỉ các [[phương trình bậc hai]] mà tất cả các [[phương trình đại số]] có hệ số thực hoặc số ảo với một biến số có thể giải bằng số phức.

=== Định nghĩa ===
Số phức được biểu diễn dưới dạng <math>a+b\imath</math>, với ''a'' và ''b'' là các [[số thực]] và <math>i</math> là ''[[đơn vị ảo]]'', thỏa mãn điều kiện <math>\imath^2=-1</math>. Ví dụ <math>-3,5+2\imath</math> là một số phức.

Số thực ''a'' được gọi là ''phần thực'' của <math>a+b\imath</math>; số thực ''b'' được gọi là ''phần ảo'' của <math>a+b\imath</math>. Theo đó, phần ảo không có chứa đơn vị ảo: do đó ''b'', không phải {{math|''bi''}}, là phần ảo.<ref>Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA), ISBN 978-0-07-161569-3</ref><ref>{{Citation |title=College Algebra and Trigonometry |edition=6 |first1=Richard N. |last1=Aufmann |first2=Vernon C. |last2=Barker |first3=Richard D. |last3=Nation |publisher=Cengage Learning |year=2007 |isbn=0-618-82515-0 |page=66 |url=http://books.google.com/?id=g5j-cT-vg_wC}}, [http://books.google.com/books?id=g5j-cT-vg_wC&pg=PA66 Chapter P, p. 66]</ref> Phần thực của số phức {{mvar|z}} được ký hiệu là {{math|Re(''z'')}} hay {{math|ℜ(''z'')}}; phần ảo của phức {{mvar|z}} được ký hiệu là {{math|Im(''z'')}} hay {{math|ℑ(''z'')}}. Ví dụ:
:<math>\begin{align}
  \operatorname{Re} \left(-3.5 + 2i \right) &= -3.5 \\
  \operatorname{Im}(-3.5 + 2i) &= 2
\end{align}</math>

Do đó, nếu xét theo phần thực và phần ảo, một số phức {{mvar|z}} sẽ được viết là <math>\operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z) \cdot i </math>. Biểu thức này đôi khi được gọi là dạng Cartesi của {{mvar|z}}.

Một số thực ''a'' có thể được biểu diễn ở dạng phức là <math>a+0\imath</math> với phần ảo là 0. Số thuần ảo <math>b\imath</math> là một số phức được viết là <math>0+b\imath</math> với phần thực bằng 0. Ngoài ra, khi phần ảo âm, nó được viết là <math>a-b\imath</math> với <math>b> 0</math> thay vì <math>a+(-b)\imath</math>, ví dụ <math>3-4\imath</math> thay vì <math>3+(-4)\imath</math>.

[[Tập hợp (toán học)|Tập hợp]] tất cả các số phức hay trường số phức được ký hiệu là {{math|ℂ}}, <math>\mathbf{C}</math> hay <math>\mathbb{C}</math>. Có nhiều phương pháp xây dựng trường số phức một cách chặt chẽ bằng [[tiên đề|phương pháp tiên đề]].

Gọi <math>\mathbb{R}</math> là trường số thực. Ký hiệu <math>\mathbb{C}</math> là tập hợp các cặp (a,b) với <math>a,b \in \mathbb{R}</math>.

Trong <math>\mathbb{C}</math>, định nghĩa hai [[phép cộng]] và [[phép nhân]] như sau:
:<math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math>
:<math>(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)</math>

thì <math>\mathbb{C}</math> là một [[trường (đại số)|trường]] (xem [[cấu trúc đại số]]).

Ta có thể lập một [[đơn ánh]] từ tập số thực <math>\mathbb{R}</math> vào <math>\mathbb{C}</math> bằng cách cho mỗi số thực a ứng với cặp <math>(a,0)\in\mathbb{C}</math>. Khi đó <math>0 \to (0,0), 1 \to (1,0), -1 \to(-1,0)</math>... Nhờ [[phép nhúng]], ta [[đồng nhất]] tập các số thực <math>\mathbb {R}</math> với tập con các số phức dạng <math>(a,0)</math>, khi đó tập các số thực <math>\mathbb {R}</math> là [[tập hợp con|tập con]] của tập các số phức <math>\mathbb {C}</math> và <math>\mathbb {C}</math> được xem là một mở rộng của <math>\mathbb {R}</math>.

Ký hiệu <math>\imath</math> là cặp (0,1) <math>\in \mathbb{C}</math>. Ta có

'''<math>\imath^2=(0,1)\times(0,1)=(-1,0)=-1</math>'''.

Tất cả các số phức dạng <math>b\imath</math> được gọi là các số thuần ảo.

== Một số khái niệm quan trọng trong trường số phức ==
=== Dạng đại số của số phức ===
Trong trường số phức, tính chất của [[đơn vị ảo]] <math>\imath</math> đặc trưng bởi biểu thức 
:<math>i^2 = -1</math> 
:<math>i = \sqrt{-1}</math>

Mỗi số phức '''''z''''' đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

:<math>z = a + bi </math>

trong đó ''a'', ''b'' là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức ''z''.

Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như phép cộng và nhân các [[nhị thức bậc nhất]] với lưu ý rằng <math>i^2 = -1</math>. Như vậy, ta có:
:<math> (a + i b) + (c + id) = (a+c) + i (b+d) </math>
:<math> (a + i b) - (c + id) = (a-c) + i (b-d)</math>
:<math>(a+bi)(c+di)= (ac-bd) + i(ad+bc) </math>
:<math>\frac {a+bi} {c+di}=\frac {(a+bi)(c-di)} {(c+di)(c-di)}=\frac {ac+bd}{c^2+d^2} +\frac {bc-ad}{c^2+d^2}i</math>

=== Mặt phẳng phức ===
:[[Tập tin:complex.png|150px]]
Trong [[hệ tọa độ Descartes|hệ toạ độ Descartes]], có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung cho tọa độ phần ảo để biểu diễn một số phức 
: <math>z = x+ iy.</math>
Khi đó [[mặt phẳng tọa độ]] được gọi là [[mặt phẳng phức]].

=== Số thực và số thuần ảo ===
{{chính|số thực}}

Mỗi số thực <math>a</math> được xem là một số phức có ''<math>b=0</math>''.

Ta có: <math>\mathbb {R}</math><math>\subset</math><math>\mathbb{C}</math>

Nếu ''<math>a=0</math>'', số phức <math>bi</math> được gọi là thuần ảo.

=== Số phức liên hợp ===
{{chính|Số phức liên hợp}}
Cho số phức dưới dạng đại số <math>Z =a+bi\,</math>, số phức <math>\overline Z =a-bi</math> được gọi là [[số phức liên hợp]] của z.

Một số tính chất của số phức liên hợp:

#<math>Z \times \overline Z = a^2+b^2 </math> là một số thực.
#<math>Z + \overline Z = 2a </math> là một số thực
#<math>\overline{Z + Z'}</math> =<math>\overline Z+\overline {Z'}</math>
#<math>\overline{Z \times Z'}</math> =<math>\overline Z \times \overline {Z'}</math>

=== Module và Argument ===
{{chính|Module|Argument}}
* Cho <math>z=a+bi\,</math>. Khi đó <math>z \times \overline z=a^2+b^2\,</math>. Căn bậc hai của <math>z \times \overline z\,</math> được gọi là [[module]] của z, ký hiệu là <math>|z|</math>. Như vậy <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math>.
:''Xem thêm: [[giá trị tuyệt đối]]''
* Có thể biểu diễn số phức <math>z=a+bi</math> trên mặt phẳng tọa độ bằng điểm <math>M(a,b)</math>, góc <math>\varphi</math> giữa chiều dương của trục Ox và vec tơ <math>\overrightarrow {OM}</math> được gọi là <math>argument</math> của số phức <math>z</math>, ký hiệu là <math>arg(z)</math>.
* Một vài tính chất của [[:en:Module_(mathematics)|module]] và argument
<center> <math>|\bar{z}| = |z|, |z_1*z_2|=|z_1|*|z_2|,|z^n| = |z|^n,</math>
<math> \arg (z_1*z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2),</math>
<math>\arg \frac{z_1}{z_2}=\arg(z_1)-\arg(z_2), \ \arg(z^n) = n\,\arg(z)\,</math></center>

=== Dạng lượng giác của số phức ===
==== Định nghĩa ====
Số phức <math>z=a+bi</math> có thể viết dưới dạng

:<math>z=a+bi = \sqrt{a^2+b^2}\left(\frac {a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac {b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot i \right)</math>

Khi đặt

:<math>r=|z|, \varphi=\arg(z)</math>,

ta có
:<math>z= r(cos \varphi+i\,sin \varphi)</math>
Cách biểu diễn này được gọi là dạng [[lượng giác]] của số phức <math>z</math>.
==== Phép toán trên các số phức viết dưới dạng lượng giác ====
* [[Phép nhân]] và [[phép chia]] các số phức dưới dạng lượng giác

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác
:<math>z= r \left(\cos \varphi+i\sin \varphi \right)</math>
:<math>z'= r' \left(\cos \varphi'+i\sin \varphi' \right)</math>
Khi đó
:<math>z \cdot z'= rr'\left(\cos \left(\varphi+\varphi' \right) +i\sin \left(\varphi+\varphi' \right) \right)</math>
:<math> \frac {z}{z'}= \frac {r}{r'} \left[\cos (\varphi-{\varphi}' \right) +i\sin \left(\varphi-{\varphi}' \right) </math>
* [[Lũy thừa]] tự nhiên của số phức dưới dạng lượng giác ([[công thức Moirve]]).
:<math>z^n= r^n \Bigg(\cos n \,\varphi +i\sin n\,\varphi \Bigg)</math>
* [[Khai căn]] số phức dưới dạng lượng giác.
Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng
:<math>{\omega}_k=\sqrt[n]{r} \left(\cos {\psi}_k+i\sin {\psi}_k \right)</math>
trong đó <math>{\psi}_k = \frac{\varphi+k\,2\,\pi}{n}</math>, <math> k=0,1,...n-1</math>

== Một số ứng dụng ==
* Ứng dụng của số phức trong [[hình học phẳng]]: phép quay 90 [[Độ (góc)|độ]] có [[bình phương]] bằng -1. Quay hai lần 90 độ thì bằng quay 180 độ, mà quay 180 độ có nghĩa là lấy điểm ngược lại, cũng có nghĩa là nhân với -1. Vậy ta có thể nói rằng [[số ảo]] <math>\imath</math> đại diện cho sự quay, sự chuyển hướng 90 độ. Chính vì "<math>\imath</math> chẳng qua là quay 90 độ" nên số phức rất hiệu nghiệm trong hình học phẳng và trong [[lượng giác]]. Nhiều vấn đề của [[hình học phẳng]] rất phức tạp, hay nhiều [[công thức]] lượng giác phức tạp, trở nên đơn giản hơn hẳn khi sử dụng số phức để giải quyết.
* Phân tích [[đa thức]] thành nhân tử.
* Tính toán các [[tích phân]].
* Tìm dạng chuẩn và phân loại các cấu trúc [[toán học]].
* Trong [[Vật lý hiện đại|vật lý]] ngày nay, số phức xuất hiện rất nhiều. Bởi vì vật lý liên quan đến [[hình học]], có nhiều [[Đại lượng vật lý|đại lượng]] không chỉ có độ lớn mà còn có [[Phương hướng|hướng]]. Mà đã nói đến hướng là dễ đụng đến số phức, vì số ảo thể hiện sự quay 90 độ. Ví dụ như để mô tả dòng [[điện xoay chiều]] (là thứ [[điện]] ta dùng chủ yếu ngày nay) hay một số thứ trong mạng điện nói chung, người ta có thể dùng số phức.

== Các tập hợp số ==
[[Tập tin:Set of real numbers (diagram).svg|nhỏ|phải|400px|Các tập hợp số]]
:<math>\mathbb N</math>: Tập hợp [[số tự nhiên]]
:<math>\mathbb Z</math>: Tập hợp [[số nguyên]]
:<math>\mathbb Q</math>: Tập hợp [[số hữu tỉ]]
:<math>\mathbb I=\mathbb R \setminus \mathbb Q</math>: Tập hợp [[số vô tỉ]]
:<math>\mathbb R</math>: Tập hợp [[số thực]]
:<math>\mathbb C</math>: Tập hợp số phức

:

== Xem thêm ==
* [[Hình học phức]]
* [[Mặt Riemann|Mặt cầu Riemann]] ([[mặt phẳng phức]] mở rộng)
* [[Giải tích phức]]
* [[Số siêu phức]]
* [[Số nguyên Gauss]]
* [[Căn bậc hai]]
* [[Công thức Euler]]

==Chú thích==
{{Tham khảo}}

== Liên kết ngoài ==
{{thể loại Commons|Complex numbers}}
* {{Britannica|129992}}
{{Số phức}}
{{Hệ thống số}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}

{{Toán học}}

[[Thể loại:Số phức]]
[[Thể loại:Đại số]]
[[Thể loại:Bài cơ bản dài trung bình]]