Xem mã nguồn của Số quay

{{Orphan|date=tháng 8 năm 2020}}

Trong [[toán học]], '''số quay''' là một bất biến gắn với một [[phép đồng phôi]] của [[đường tròn]].

== Định nghĩa ==
Giả sử ''f'': ''S'' <sup>1</sup> → ''S'' <sup>1</sup> là một [[phép đồng phôi]] bảo toàn định hướng của đường [[Đường tròn|tròn]] ''S''<sup>1</sup>='''R'''/'''Z'''. Thế thì ''f'' có thể được nâng lên thành [[Phép đồng phôi|một phép đồng phôi duy nhất]] ''F'':'''R'''→'''R''' của đường thẳng thực, thỏa mãn

: <math> F(x + m) = F(x) +m </math>

với mọi số thực ''x'' và mọi số nguyên ''m''.

'''Số quay''' của ''f'' được xác định bởi:

: <math>\omega(f)=\lim_{n\to\infty} \frac{F^n(x)-x}{n}.</math>

[[Henri Poincaré]] đã chứng minh rằng giới hạn này tồn tại và độc lập với sự lựa chọn điểm bắt đầu ''x''. Số quay là một phần tử của '''R'''/'''Z.''' Một cách trực quan, nó đo góc quay trung bình dọc theo quỹ đạo của ''f''.

== Ví dụ ==
Nếu ''f'' là một phép quay với góc ''2πθ'' (trong đó ''0≤θ <1''), thì

: <math> F(x)=x+\theta, </math>

do đó số quay của ''f'' là ''θ.''

== Tính chất ==
Số quay là bất biến dưới liên hợp tôpô: nếu ''f'' và ''g'' là hai phép đồng phôi của đường tròn và

: <math> h\circ f = g\circ h </math>

với một ánh xạ liên tục đơn điệu ''h'' từ đường tròn vào chính nó (không nhất thiết là đồng phôi) thì ''f'' và ''g'' có cùng số quay.

Số quay được Poincaré và Arnaud Denjoy sử dụng để phân loại các phép đồng phôi của đường tròn. Có hai khả năng:

* Số quay ''f'' là [[Số hữu tỉ|số hữu tỷ]] ''p''/''q'' (phân số tối giản). Khi đó ''f'' có quỹ đạo tuần hoàn, mọi quỹ đạo đều có chu kỳ ''q''. 
* Số quay của ''f'' là một [[Số vô tỉ|số vô tỷ]] ''θ.'' Thế thì ''f'' không có quỹ đạo tuần hoàn. Có hai trường hợp con:

:# Có một quỹ đạo trù mật.  
:# Tồn tại một tập hợp Cantor ''C'' bất biến dưới tác động của ''f''.

Số quay là một ánh xạ ''liên tục'' từ nhóm các phép đồng phôi (với tô pô <math> C^0 </math>) của đường tròn vào đường tròn.

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

* M.R. Herman, ''Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations'',  Publ. Math. IHES, 49 (1979)  pp.&nbsp;5–234
* Sebastian van Strien, ''[http://www.maths.warwick.ac.uk/~strien/MA424/HTMLversion/node6.html Rotation Numbers and Poincaré's Theorem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070311061258/http://www.maths.warwick.ac.uk/~strien/MA424/HTMLversion/node6.html |date=2007-03-11 }}'' (2001)

== Liên kết ngoài ==

* Michał Misiurewicz (ed.). "Rotation theory". Scholarpedia 
* [http://mathworld.wolfram.com/MapWindingNumber.html Weisstein, Eric W. "Map Winding number"] [http://mathworld.wolfram.com/MapWindingNumber.html Từ MathWorld - Tài nguyên web Wolfram]

[[Thể loại:Hệ thống động lực]]