Xem mã nguồn của Số siêu việt

[[Tập tin:PI_constant.svg|nhỏ|363x363px| [[Pi]] (π) là một số siêu việt nổi tiếng ]]
Trong [[toán học]], một '''số siêu việt''' là một [[số thực]] hoặc [[Số thực|số]] [[Số phức|phức]] không phải là [[số đại số]], nghĩa là nó không phải là một [[Không điểm của một hàm số|nghiệm]] của một [[phương trình]] [[đa thức]] với [[Số nguyên|các]] [[hệ số]] [[Số nguyên|nguyên]]. Các số siêu việt được biết đến nhiều nhất là [[Pi|{{Pi}}]] và ''[[E (số)|e]]''.

Mặc dù chỉ có một vài loại số siêu việt được biết đến (một phần vì có thể cực kỳ khó để chỉ ra rằng một số đã cho là siêu việt), số siêu việt không phải là hiếm. Thật vậy, hầu hết tất cả các [[số thực]] và [[số phức]] đều là các số siêu việt, vì các số đại số hợp thành một [[tập hợp đếm được]], trong khi [[Tập hợp (toán học)|tập hợp]] các [[số thực]] và tập [[Số phức|hợp các số phức]] đều là [[Tập hợp không đếm được|các tập hợp không đếm được]], và do đó lớn hơn bất kỳ tập hợp đếm được nào. Tất cả các số siêu việt thực là các [[Số vô tỉ|số vô tỷ]], vì tất cả các số hữu tỷ đều là số đại số. Điều ngược lại là không đúng: không phải tất cả các số vô tỷ đều là siêu việt. Ví dụ, [[căn bậc hai của 2]] là một số vô tỷ, nhưng nó không phải là số siêu việt vì nó là một nghiệm của phương trình đa thức {{Math|''x''<sup>2</sup> − 2 {{=}} 0}}. [[Tỷ lệ vàng]] (ký hiệu <math>\varphi</math> hoặc là <math>\phi</math>) là một số vô tỷ khác và không phải là số siêu việt, vì nó là một nghiệm của phương trình đa thức {{Math|''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 1 {{=}} 0}}.

== Lịch sử ==
Cái tên "siêu việt" xuất phát từ tiếng Latin ''transcendĕre (siêu việt) -'' nghĩa là vượt qua, hoặc vượt ra ngoài,<ref>''[[Oxford English Dictionary]]'', [http://www.oed.com/view/Entry/204606 ''s.v.'']</ref> và lần đầu tiên được sử dụng cho khái niệm toán học trong bài báo năm 1682 [[Gottfried Leibniz|của Leibniz,]] trong đó ông đã chứng minh rằng {{Math|sin(''x'')}} không phải là một [[hàm đại số]] của {{Mvar|x}}.<ref>{{Chú thích sách|title=Leibnizens mathematische Schriften|publisher=A. Asher & Co.|year=1858|volume=5|pages=97–98|authors=Gottfried Wilhelm Leibniz, Karl Immanuel Gerhardt, Georg Heinrich Pertz}}</ref><ref>{{Chú thích sách|title=Elements of the History of Mathematics|url=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour|last=Nicolás Bourbaki|publisher=Springer|year=1994|page=[https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour/page/74 74]}}</ref> [[Leonhard Euler|Euler]], vào thế kỷ 18, có lẽ là người đầu tiên định nghĩa các ''số'' siêu việt theo nghĩa hiện đại.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Paul Erdős|last2=Dudley|first2=Underwood|date=December 1943|title=Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler|url=http://www.math-inst.hu/~p_erdos/1983-27.pdf|journal=Mathematics Magazine|volume=76|issue=5|pages=292–299|citeseerx=10.1.1.210.6272|doi=10.2307/2690369|jstor=2690369}}</ref>

[[Johann Heinrich Lambert|Johann Heinrich Lambert đã]] phỏng đoán rằng [[E (số)|{{Mvar|e}}]] và [[Pi|{{Math|π}}]] đều là số siêu việt trong bài báo năm 1768 của ông chứng minh số {{Math|π}} là [[số vô tỉ]], và đề xuất một bản phác thảo dự kiến về cách chứng minh tính chất siêu việt của số {{Math|π}}.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Lambert|first=Johann Heinrich|author-link=Johann Heinrich Lambert|year=1768|title=Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques|journal=Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin|pages=265–322}}</ref>

[[Joseph Liouville]] lần đầu tiên chứng minh sự tồn tại của số siêu việt vào năm 1844,<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Aubrey J. Kempner|date=October 1916|title=On Transcendental Numbers|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=17|issue=4|pages=476–482|doi=10.2307/1988833|jstor=1988833}}</ref> và năm 1851 đã đưa ra những ví dụ thập phân đầu tiên như [[Số Liouville|hằng số Liouville]]

: <math>
\begin{align}
L_b &= \sum_{n=1}^\infty 10^{-n!} \\ &= 10^{-1} + 10^{-2} + 10^{-6} + 10^{-24} + 10^{-120} + 10^{-720} + 10^{-5040} + 10^{-40320} + \ldots \\
&= 0.\textbf{1}\textbf{1}000\textbf{1}00000000000000000\textbf{1}\ldots \\
\end{align}</math>

Năm 1874, [[Georg Cantor]] đã chứng minh rằng, tập hợp các số hữu tỉ là đếm được và tập hợp các số thực là không đếm được. Và ông đã mở ra hướng đi mới cho việc xây dựng số siêu việt. 4 năm sau, ông xuất bản một công trình chứng minh rằng có rất nhiều số siêu việt giữa rất nhiều số thực. Từ đó, tính vô hạn của số siêu việt đã được khám phá.

=== Xác suất ===
Cho [[đoạn thẳng đơn vị]] [0;1]. Chọn [[ngẫu nhiên]] <math>x \in [0;1]</math> thì [[xác suất]] để ''x'' là [[số đại số]] ít hơn rất nhiều so với xác suất ''x'' là số siêu việt {{cần chú thích}}

== Tính chất ==
# [[Tập hợp]] số siêu việt là [[tập hợp vô hạn không đếm được]]. [[Chứng minh]]: Vì các đa thức với hệ số nguyên là đếm được {{cần chú thích}}, và mỗi đa thức có hữu hạn nghiệm nên các số đại số cũng là đếm được. Do số các số thực là không đếm được => các số siêu việt là không đếm được.
# Số siêu việt là [[số vô tỉ]]: Nếu nó là số hữu tỷ dạng <math>\frac {b} {a}</math> thì nó là nghiệm của phương trình đại số a.x =b, do đó là số đại số. Điều ngược lại không đúng: có nhiều số vô tỷ nhưng lại không là số siêu việt, chẳng hạn căn bậc hai của 2 là số vô tỷ, cũng là số đại số vì nó là nghiệm của phương trình đại số ''x<sup>2</sup> − 2 = 0''
# Trường số siêu việt là [[tập trù mật|trù mật]]
# Trường số siêu việt có [[Tập hợp#Lực lượng của tập hợp - Hữu hạn và vô hạn|lực lượng continum]]

== Các số siêu việt đã chứng minh thành công ==
* ''e<sup>a</sup>'' nếu ''a'' là số đại số khác 0 (được chứng minh bởi [[Lindemann]]–[[Weierstrass]])
* [[E (số)|e]] (Bởi [[định lý Lindemann–Weierstrass|Lindemann–Weierstrass]])
*[[Pi|π]] ([[định lý Lindemann–Weierstrass]])
* ''e''<sup>π</sup>  ([[hằng số Gelfond]])
* ''e''<sup>−π/2</sup> = ''i'' <sup>i</sup> (bởi [[Gelfond]]–[[Schneider]])
* ''a<sup>b</sup>'' khi ''a'' là số đại số khác 0 và 1, còn ''b'' là số đại số vô tỷ ([[Định lý Gelfond-Schneider|định lý Gelfond–Schneider]]), Ví dụ: <math>2^\sqrt{2}</math>

* [[Phân số liên tục]], [[Carl Ludwig Siegel]] (1929) 
:<math>
{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{6+\ddots}}}}}}
</math>
* sin(''a''), cos(''a''), tan(''a''), csc(''a''), sec(''a'') và cot(''a''), Với a là số khác 0 (bởi [[Lindemann]]–[[Weierstrass]]) ([[Các hàm lượng giác]])
* 0.12345678910111213141516...
* [[ln(a)]] với a là số hữu tỉ khác 0 và 1 ([[lôgarit tự nhiên]])

== Tham khảo ==
{{Tham khảo|2}}

== Xem thêm ==
* [[Số thực]]
* [[Số đại số]]
* [[Số vô tỉ]]
* [[Số hữu tỉ]]
* [[Số nguyên]]
* [[Số tự nhiên]]
* [[Số nguyên tố]]
* [[Định lý cơ bản của đại số]]
* [[Hình học phức]]
* [[Mặt Riemann|Mặt cầu Riemann]] ([[mặt phẳng phức]])
* [[Giải tích phức]]
* [[Định lý Gelfond-Schneider]]
* [[Công thức Euler|Đẳng thức Euler]]
* [[Hàm lượng giác]]
* [[Số phức]]
* [[Số siêu phức]]

== Liên kết ngoài ==
{{wiktionarypar|{{TÊNTRANG}}}}
* {{Britannica|602440|Transcendental number (mathematics)}}
* {{TĐBKVN|25700}}
*{{MathWorld |title=Transcendental Number |id=TranscendentalNumber}}
*{{MathWorld |title=Liouville Number |id=LiouvilleNumber}}
*{{MathWorld |title=Liouville's Constant |id=LiouvillesConstant}}
* {{en icon}} [http://planetmath.org/EIsTranscendental Proof that ''e'' is transcendental]
* {{en icon}} [http://deanlm.com/joseph-liouvilles-proof-of.html Proof that the Liouville Constant is transcendental] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220819174344/http://deanlm.com/joseph-liouvilles-proof-of.html |date=2022-08-19 }}
* {{de icon}} [http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/euler.pdf Proof that ''e'' is transcendental (PDF)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110716060646/http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/euler.pdf |date = ngày 16 tháng 7 năm 2011}}
* {{de icon}} http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110716060726/http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf |date = ngày 16 tháng 7 năm 2011}}
* {{de icon}} [https://de.wikisource.org/wiki/David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Erster_Band_%E2%80%93_Zahlentheorie/Kapitel_1 Hilbert's 1893 paper proving that ''e'' and {{pi}} are transcendental]

{{Sơ khai toán học}}
{{Các số vô tỉ}}
{{Hệ thống số}}
{{Lý thuyết số}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}

[[Thể loại:Số siêu việt| ]]