Xem mã nguồn của Số tự nhiên

[[Tập tin:Three apples(1).svg|phải|nhỏ|Các số tự nhiên dùng để đếm (một quả táo, hai quả táo, ba quả táo....).]]
Trong [[toán học]], các '''số tự nhiên''' được sử dụng để đếm (như trong "có ''sáu'' đồng xu trên bàn") và [[thứ tự]] (như trong "đây là ''thành phố lớn thứ ba'' trong cả nước"). Đôi khi, các số tự nhiên có thể xuất hiện dưới dạng một bộ mã thuận tiện (nhãn hoặc "tên"), nghĩa là, như những gì các nhà ngôn ngữ học gọi là [[số danh nghĩa]], loại bỏ nhiều hoặc tất cả các thuộc tính của một số theo nghĩa toán học. Tập hợp các số tự nhiên thường được kí hiệu bằng kí hiệu <math>\mathbb{N}</math>.<ref name=":0">{{Chú thích web|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|tựa đề=Compendium of Mathematical Symbols|ngày=1 March 2020|website=Math Vault|ngôn ngữ=en-US|ngày truy cập=11 August 2020}}</ref><ref name=":1">{{Chú thích web|url=https://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html|tựa đề=Natural Number|tác giả=Weisstein|tên=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|ngôn ngữ=en|ngày truy cập=11 August 2020}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=https://brilliant.org/wiki/natural-numbers/|tựa đề=Natural Numbers|website=Brilliant Math & Science Wiki|ngôn ngữ=en-us|ngày truy cập=11 August 2020}}</ref>

Trong tiêu chuẩn của [[Tổ chức tiêu chuẩn hóa quốc tế|ISO]] 80000-2<ref>{{Chú thích web|url=https://www.iso.org/standard/31887.html|title=ISO 80000-2:2009|publisher=International Organization for Standardization}}</ref> và tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam<ref name="ReferenceA">Toán lớp 6 tập 1 - Nhà Xuất bản Giáo dục 2004</ref>, số tự nhiên được định nghĩa là các '''số nguyên không âm''' {{Math|0, 1, 2, 3,...}} (đôi khi được ký hiệu chung là biểu tượng <math>\mathbb{N}_0</math>, để nhấn mạnh rằng số 0 cũng được bao gồm), trong khi những số khác bắt đầu bằng 1, tương ứng với các '''số nguyên dương''' {{Math|{{num|1}}, {{num|2}}, {{num|3}},...}} (đôi khi được ký hiệu chung bằng ký hiệu <math>\mathbb{N}_1</math>, <math>\mathbb{N}^+</math>, hoặc <math>\mathbb{N}^*</math> với nhấn mạnh rằng số 0 bị loại trừ).<ref name=":2">{{Chú thích web|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|tựa đề=Comprehensive List of Algebra Symbols|ngày=25 March 2020|website=Math Vault|ngôn ngữ=en-US|ngày truy cập=11 August 2020}}.</ref><ref>{{Chú thích bách khoa toàn thư|title=natural number|encyclopedia=Merriam-Webster.com|publisher=[[Merriam-Webster]]|url=http://www.merriam-webster.com/dictionary/natural%20number|access-date=4 October 2014|archive-url=https://web.archive.org/web/20191213133201/https://www.merriam-webster.com/dictionary/natural%20number|archive-date=13 December 2019}}</ref>

Các số tự nhiên là cơ sở mà từ đó nhiều tập hợp số khác có thể được xây dựng bằng cách mở rộng: tập hợp các [[số nguyên]], được xây dựng bằng cách bao gồm (nếu chưa có) [[Phần tử đơn vị|phần tử trung tính]] 0 và một [[Nghịch đảo phép cộng|phép cộng nghịch đảo]] ( &#x2212; {{Mvar|n}} ) cho mỗi số tự nhiên khác nhau {{Mvar|n}} ; tập hợp các [[số hữu tỉ]], bằng cách bao gồm một [[nghịch đảo phép nhân]] ({{Sfrac|1|{{mvar|n}}}} ) cho mỗi số nguyên khác {{Mvar|n}} (và cả tích của các phép nghịch đảo này với các số nguyên); tập hợp các [[số thực]] bằng cách bao gồm với các số hữu tỉ các [[Giới hạn (toán học)|giới hạn]] của (hội tụ) [[dãy Cauchy]] của các số hữu tỉ; các [[số phức]], bằng cách cộng với các số thực [[Đơn vị ảo|căn bậc hai]] chưa giải của trừ một (và cả tổng và tích của chúng),.... {{Efn|{{harvtxt|Mendelson|2008|page=x}} says: "The whole fantastic hierarchy of number systems is built up by purely set-theoretic means from a few simple assumptions about natural numbers." (Preface{{rp|page={{mvar|x}}}})}} {{Efn|{{harvtxt|Bluman|2010|page=1}}: "Numbers make up the foundation of mathematics."}} Những chuỗi mở rộng này làm cho các số tự nhiên [[Phép nhúng (toán học)|được nhúng]] (nhận dạng) về mặt quy tắc trong các hệ thống số khác.<ref>Number Systems and the Foundations of Analysis nói:"The whole fantastic hierarchy of number systems is built up by purely set-theoretic means from a few simple assumptions about natural numbers."(Preface, p. x)</ref>

Các tính chất của số tự nhiên, chẳng hạn như tính [[chia hết]] và phân phối của các [[số nguyên tố]], được nghiên cứu trong [[lý thuyết số]]. Các vấn đề liên quan đến việc đếm và sắp xếp thứ tự, chẳng hạn như [[Phân hoạch (lý thuyết số)|phân vùng]] và [[Tổ hợp liệt kê|liệt kê]], được nghiên cứu trong [[Toán học tổ hợp|tổ hợp]].

Theo ngôn ngữ thông thường, đặc biệt là trong giáo dục tiểu học, số tự nhiên có thể được gọi là '''số đếm'''<ref name="MathWorld_CountingNumber">{{MathWorld|title=Counting Number}}</ref> để loại trừ trực quan các số nguyên âm và số 0, và cũng để đối chiếu tính [[Toán học rời rạc|rời rạc]] của phép [[đếm]] với [[Danh sách các chủ đề toán học liên quan đến tính liên tục|tính liên tục]] của [[Đo lường|phép đo]] - một đặc điểm nổi bật của [[số thực]].

== Lịch sử ==

=== Thời cổ đại ===
[[Tập tin:Os_d'Ishango_IRSNB.JPG|nhỏ|[[Xương Ishango]] (trưng bày tại [[Viện Khoa học Tự nhiên Hoàng gia Bỉ]] )<ref name="RBINS_intro">{{Chú thích web|url=https://www.naturalsciences.be/expo/old_ishango/en/ishango/introduction.html|tựa đề=Introduction|series=[[Ishango bone]]|nhà xuất bản=[[Royal Belgian Institute of Natural Sciences]]|location=Brussels, Belgium|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20160304051733/https://www.naturalsciences.be/expo/old_ishango/en/ishango/introduction.html|ngày lưu trữ=4 March 2016}}</ref><ref name="RBINS_flash">{{Chú thích web|url=http://ishango.naturalsciences.be/Flash/flash_local/Ishango-02-EN.html|tựa đề=Flash presentation|series=[[Ishango bone]]|nhà xuất bản=[[Royal Belgian Institute of Natural Sciences]]|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20160527164619/http://ishango.naturalsciences.be/Flash/flash_local/Ishango-02-EN.html|ngày lưu trữ=27 May 2016}}</ref><ref name="UNESCO">{{Chú thích web|url=http://www2.astronomicalheritage.net/index.php/show-entity?identity=4&idsubentity=1|tựa đề=The Ishango Bone, Democratic Republic of the Congo|website=[[UNESCO]]'s Portal to the Heritage of Astronomy|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20141110195426/http://www2.astronomicalheritage.net/index.php/show-entity?identity=4&idsubentity=1|ngày lưu trữ=10 November 2014}}, on permanent display at the [[Viện Khoa học Tự nhiên Hoàng gia Bỉ|Royal Belgian Institute of Natural Sciences]], Brussels, Belgium.</ref> được cho là đã được sử dụng 20.000&nbsp;năm trước để làm các phép tính số học với số tự nhiên.]]
Phương pháp nguyên thủy nhất để biểu diễn một số tự nhiên là đặt một ký hiệu cho mỗi đối tượng. Sau đó, một tập hợp các đối tượng có thể được kiểm tra xem có bằng nhau, thừa hay thiếu — bằng cách đánh dấu và xóa một đối tượng khỏi tập hợp đó.

Bước tiến lớn đầu tiên trong trừu tượng hóa là việc sử dụng các [[Hệ đếm|chữ số]] để biểu diễn các con số. Điều này cho phép các hệ thống được phát triển để ghi số lượng lớn. [[Lịch sử Ai Cập cổ đại|Người Ai Cập]] cổ đại đã phát triển một hệ thống chữ số mạnh mẽ với các [[Chữ tượng hình Ai Cập|chữ tượng hình]] riêng biệt cho 1, 10 và tất cả các quyền hạn của&nbsp;10 đến hơn 1 triệu. Một tác phẩm chạm khắc trên đá ở [[Đền Karnak|Karnak]], có niên đại khoảng năm 1500 TCN và bây giờ là [[Viện bảo tàng Louvre|Bảo tàng Louvre]] ở Paris, mô tả 276 như 2 trăm, 7 chục và 6 đơn vị; và tương tự cho số 4,622. Người [[Văn minh cổ Babylon|Babylon]] có một [[Ký hiệu vị trí|hệ thống giá trị vị trí]] về cơ bản dựa trên các chữ số cho 1 và 10, sử dụng [[Hệ lục thập phân|cơ số sáu mươi]], với biểu tượng cho 60 giống với biểu tượng cho 1 — giá trị cụ thể của nó được xác định từ ngữ cảnh.<ref>{{Chú thích sách|title=The Universal History of Numbers|url=https://archive.org/details/universalhistory0000ifra_y2b9|last=Ifrah|first=Georges|publisher=Wiley|year=2000|isbn=0-471-37568-3}}</ref>

Một tiến bộ nữa trong việc trừu tượng hóa con số nhưng diễn ra trễ hơn nhiều: phát triển ý tưởng thể hiện [[0 (số)|số không]] như là một con số với biểu diễn số của riêng nó. Vào khoảng [[700 TCN]], những người Babylon đã dùng [[chữ số]] [[0 (số)|không]] trong hệ thống ký hiệu [[giá trị theo vị trí]] nhưng một điều khá lạ là mãi cho đến lúc nền văn hóa Babylon đến hồi suy tàn, người Babylon cũng chỉ biết dùng chữ số không ở giữa các con số (ví dụ: khi viết số 3605 họ biết đặt chữ số không vào giữa), và chữ số này vẫn chưa bao giờ được sử dụng để làm chữ số cuối cùng của một số<ref>... một tấm khắc tìm thấy ở [[Kish]]... vào khoảng năm 700 TCN, dùng ba dấu móc để ký hiệu một vị trí trống trong hệ thống ký hiệu có giá trị theo vị trí. Một số tấm khắc khác cũng được tạo ra cùng thời gian dùng một dấu móc để ký hiệu một vị trí trống. [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html]</ref> (ví dụ: người Babylon thể hiện số 3600 và 60 như nhau - người Babylon dùng hệ cơ số 60 - để phân biệt đâu là 3600 và 60 họ phải kèm thêm một chú thích bằng lời ở dưới<ref>G.N. Becman. ''Số và khoa học về số'' (tiếng Nga)-bản dịch tiếng Việt của Nguyễn Hữu Trương và Thế Trường. Nhà Xuất bản Giáo dục 2003, trang 29</ref>). Các nền văn minh [[Olmec]] và [[Maya]] đã dùng số không như là một con số riêng từ khoảng thế kỷ thứ 1 TCN (dường như được phát triển một cách độc lập), tuy nhiên việc sử dụng này đã không được phổ biến ra ngoài vùng [[Trung Bộ châu Mỹ]]<ref>{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=Jw2TE_UNHJYC&pg=PA19|title=1491: New Revelations of the Americas before Columbus|last=Mann|first=Charles C.|publisher=Knopf|year=2005|isbn=978-1-4000-4006-3|page=19|access-date=3 February 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150514105855/https://books.google.com/books?id=Jw2TE_UNHJYC&pg=PA19|archive-date=14 May 2015|via=Google Books}}</ref><ref>{{Chú thích sách|title=The Development of Mathematics Throughout the Centuries: A brief history in a cultural context|last=Evans|first=Brian|publisher=John Wiley & Sons|year=2014|isbn=978-1-118-85397-9|chapter=Chapter 10. Pre-Columbian Mathematics: The Olmec, Maya, and Inca Civilizations|chapter-url=https://books.google.com/books?id=3CPwAgAAQBAJ&pg=PT73|via=Google Books}}</ref>. Khái niệm số không mà chúng ta hiện nay vẫn dùng xuất phát từ nhà toán học [[Ấn Độ]] [[Brahmagupta]] vào năm [[628]]. Mặc dầu số không đã được dùng như một con số bởi tất cả các [[nhà tính toán]] [[trung Cổ|thời Trung Cổ]] (dùng để tính ngày [[Phục Sinh]]) mà khởi đầu là [[Dionysius Exiguus]] vào năm [[525]], nhưng nhìn chung vẫn không có một [[số La Mã|chữ số La Mã]] nào được dành riêng để viết số không. Thay vì vậy, thời đó người ta dùng từ [[Latinh]] là ''nullae'', có nghĩa là"không có gì"để chỉ số không.<ref>{{Chú thích web|url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm|tựa đề=Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Nineteen year cycle of Dionysius|tác giả=Deckers|tên=Michael|ngày=25 August 2003|nhà xuất bản=Hbar.phys.msu.ru|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20190115083618/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm|ngày lưu trữ=15 January 2019|url-status=live|ngày truy cập=13 February 2012}}</ref>

Người ta thường xem các nhà triết học [[Hy Lạp]] [[Pythagoras|Pythagore]] và [[Archimedes]] là những người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu một cách hệ thống về các con số như là một [[Trừu tượng|thực thể trừu tượng]]. Tuy nhiên, cùng thời kỳ đó, một số nơi như [[Ấn Độ]], [[Trung Quốc]] và [[Trung Bộ châu Mỹ]] cũng có những nghiên cứu độc lập tương tự.<ref>{{Chú thích sách|title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times|url=https://archive.org/details/mathematicalthou00klin|last=Kline|first=Morris|publisher=Oxford University Press|year=1990|isbn=0-19-506135-7|orig-year=1972}}</ref>

=== Các định nghĩa hiện đại ===
Ở châu Âu thế kỷ 19, đã có cuộc thảo luận toán học và triết học về bản chất chính xác của các số tự nhiên. Một trường phái của [[Chủ nghĩa tự nhiên (triết học)|chủ nghĩa tự nhiên]] tuyên bố rằng các số tự nhiên là hệ quả trực tiếp của tâm lý con người. [[Henri Poincaré]] là một trong những người ủng hộ nó, cũng như [[Leopold Kronecker]], người đã tóm tắt niềm tin của mình là "Chúa tạo ra các số nguyên, tất cả những thứ khác là tác phẩm của con người". {{Efn|The English translation is from Gray. In a footnote, Gray attributes the German quote to: "Weber 1891–1892, 19, quoting from a lecture of Kronecker's of 1886."<ref>{{Chú thích sách
 |last=Gray |first=Jeremy |author-link=Jeremy Gray
 |year=2008
 |title=Plato's Ghost: The modernist transformation of mathematics
 |page=153
 |publisher=Princeton University Press
 |isbn=978-1-4008-2904-0
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=ldzseiuZbsIC&q=%22God+made+the+integers%2C+all+else+is+the+work+of+man.%22
 |url-status=live
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170329150904/https://books.google.com/books?id=ldzseiuZbsIC&q=%22God+made+the+integers%2C+all+else+is+the+work+of+man.%22#v=snippet&q=%22God%20made%20the%20integers%2C%20all%20else%20is%20the%20work%20of%20man.%22&f=false
 |archive-date=29 March 2017
}}</ref><ref>{{Chú thích sách
 |last=Weber |first=Heinrich L.
 |year=1891–1892
 |chapter=Kronecker
 |chapter-url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN37721857X_0002&DMDID=dmdlog6 
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180809110042/http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN37721857X_0002&DMDID=dmdlog6
 |archive-date=9 August 2018
 |title=''Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung''
 |trans-title=Annual report of the German Mathematicians Association
 |pages=2:5–23. (The quote is on p.&nbsp;19)
 |postscript=;
}} {{Chú thích web
 |title=access to ''Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung''
 |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/toc/?PPN=PPN37721857X_0002
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170820201100/http://www.digizeitschriften.de/dms/toc/?PPN=PPN37721857X_0002
 |archive-date=20 August 2017 
}}</ref>}}

Đối lập với các nhà Tự nhiên học, các [[Toán học kiến thiết|nhà toán học kiến thiết]] thấy cần phải cải thiện tính chặt chẽ logic trong [[nền tảng của toán học]]. {{Efn|"Much of the mathematical work of the twentieth century has been devoted to examining the logical foundations and structure of the subject." {{harv|Eves|1990|p=606}} }} Vào những năm 1860, [[Hermann Grassmann]] đề xuất một [[định nghĩa đệ quy]] cho các số tự nhiên, do đó nói rằng chúng không thực sự là tự nhiên - mà là hệ quả của các định nghĩa. Sau đó, hai lớp định nghĩa chính thức như vậy đã được xây dựng; về sau, chúng vẫn được chứng minh là tương đương trong hầu hết các ứng dụng thực tế.

Các định nghĩa lý thuyết tập hợp về số tự nhiên được [[Gottlob Frege]] khởi xướng. Ban đầu, ông định nghĩa một số tự nhiên là lớp của tất cả các tập hợp tương ứng 1-1 với một tập hợp cụ thể. Tuy nhiên, định nghĩa này hóa ra lại dẫn đến những nghịch lý, bao gồm cả [[nghịch lý Russell]]. Để tránh những nghịch lý như vậy, phép hình thức hóa đã được sửa đổi để một số tự nhiên được định nghĩa là một tập hợp cụ thể và bất kỳ tập hợp nào có thể được đưa vào tương ứng 1-1 với tập hợp đó được cho là có số phần tử đó.<ref>{{Harvard citation no brackets|Eves|1990}}</ref>

Loại định nghĩa thứ hai được [[Charles Sanders Peirce]] đưa ra, được [[Richard Dedekind]] tinh chỉnh, và được [[Giuseppe Peano]] khám phá thêm; phương pháp này bây giờ được gọi là [[Hệ tiên đề Peano|số học Peano]]. Nó dựa trên [[tiên đề]] về các tính chất của [[số thứ tự]] : mỗi số tự nhiên có một kế tiếp và mọi số tự nhiên khác 0 đều có một tiền nhiệm duy nhất. Số học Peano [[Đồng đều|tương đương]] với một số hệ thống yếu của lý thuyết tập hợp. Một trong những hệ thống như vậy là [[Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel|ZFC]] với [[Tiên đề về vô cùng|tiên đề về vô hạn được]] thay thế bằng sự phủ định của nó. Các định lý có thể được chứng minh trong ZFC nhưng không thể được chứng minh bằng cách sử dụng Tiên đề Peano bao gồm [[định lý Goodstein]].<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Kirby|first=Laurie|last2=Paris|first2=Jeff|year=1982|title=Accessible Independence Results for Peano Arithmetic|journal=Bulletin of the London Mathematical Society|publisher=Wiley|volume=14|issue=4|pages=285–293|doi=10.1112/blms/14.4.285|issn=0024-6093}}</ref>

Với tất cả các định nghĩa qua tập hợp này, thật tiện lợi khi bao gồm cả số 0 (tương ứng với tập [[Tập hợp rỗng|rỗng]] ) vào tập hợp số tự nhiên. Bao gồm cả số 0 hiện là quy ước chung giữa các [[Lý thuyết tập hợp|nhà lý thuyết tập hợp]]<ref>{{Chú thích sách|url=http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/|title=Set Theory|last=Bagaria|first=Joan|publisher=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|year=2017|edition=Winter 2014|access-date=13 February 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150314173026/http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/|archive-date=14 March 2015}}</ref> và các [[Logic|nhà logic học]].<ref>{{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/classicsettheory00gold|title=Classic Set Theory: A guided independent study|last=Goldrei|first=Derek|date=1998|publisher=Chapman & Hall/CRC|isbn=978-0-412-60610-6|edition=1. ed., 1. print|location=Boca Raton, Fla. [u.a.]|page=[https://archive.org/details/classicsettheory00gold/page/n39 33]|chapter=3|url-access=limited}}</ref> Các nhà toán học khác cũng bao gồm cả 0, và [[Ngôn ngữ máy tính|các ngôn ngữ máy tính]] thường [[Đánh số dựa trên số 0|bắt đầu từ 0]] khi liệt kê các mục như [[Vòng lặp for|bộ đếm vòng lặp]] và [[chuỗi|phần tử chuỗi]] hoặc [[Mảng (cấu trúc dữ liệu)|mảng]].<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Brown|first=Jim|date=1978|title=In defense of index origin 0|journal=ACM SIGAPL APL Quote Quad|volume=9|issue=2|page=7|doi=10.1145/586050.586053}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=http://www.jsoftware.com/papers/indexorigin.htm|tựa đề=Is index origin 0 a hindrance?|tác giả=Hui|tên=Roger|website=jsoftware.com|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20151020195547/http://www.jsoftware.com/papers/indexorigin.htm|ngày lưu trữ=20 October 2015|url-status=live|ngày truy cập=19 January 2015}}</ref> Mặt khác, nhiều nhà toán học đã giữ truyền thống cũ hơn để lấy 1 là số tự nhiên đầu tiên.<ref>This is common in texts about [[Giải tích thực|Real analysis]]. See, for example, {{Harvard citation text|Carothers|2000|p=3}} or {{Harvard citation text|Thomson|Bruckner|Bruckner|2000|p=2}}.</ref>

=== Ký hiệu ===
Các nhà toán học dùng ký hiệu '''N''' hay ℕ cho [[tập hợp]] tất cả các số tự nhiên<ref name=":02">{{Chú thích web|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|title=Compendium of Mathematical Symbols|date=1 March 2020|website=Math Vault|language=en-US|access-date=11 August 2020}}</ref><ref name=":12">{{Chú thích web|url=https://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html|title=Natural Number|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=11 August 2020}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=https://functions.wolfram.com/Notations/1/|title=Listing of the Mathematical Notations used in the Mathematical Functions Website: Numbers, variables, and functions|website=functions.wolfram.com|access-date=27 July 2020}}</ref>. Một số văn bản cũ cũng đôi khi dùng kí hiệu ''J'' cho tập hợp này.<ref>{{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/1979RudinW|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=W.|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=978-0-07-054235-8|location=New York|page=25}}</ref> Theo định nghĩa, tập hợp [[vô tận|vô hạn]] và [[tập hợp đếm được|đếm được]], tức [[lực lượng]] của tập hợp số tự nhiên là {{math|ℵ<sub>0</sub>}}
[[Tập tin:U+2115.svg|nhỏ|Ký hiệu N hoa hai gạch được dùng để chỉ tập hợp số tự nhiên (xem [[danh sách ký hiệu toán học]])]]
Vì các thuộc tính khác nhau thường được liên kết với các mã thông báo {{Math|0}} và {{Math|1}} (tương ứng là các phần tử trung tính cho phép cộng và phép nhân), điều quan trọng là phải biết phiên bản số ''tự nhiên nào'' được sử dụng trong trường hợp đang xem xét. Điều này có thể được thực hiện bằng cách giải thích bằng văn xuôi, bằng cách viết ra tập hợp một cách rõ ràng hoặc bằng cách định danh số nhận dạng chung bằng chỉ số viết lên trên hoặc chỉ số viết xuống dưới,<ref name="ISO80000">{{Chú thích sách|title=ISO 80000-2:2009|publisher=[[International Organization for Standardization]]|page=6|chapter=Standard number sets and intervals|chapter-url=http://www.iso.org/iso/catalogue_detail?csnumber=31887}}</ref><ref name="Grimaldi">{{Chú thích sách|title=Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction|last=Grimaldi|first=Ralph P.|publisher=Pearson Addison Wesley|year=2004|isbn=978-0-201-72634-3|edition=5th}}</ref> chẳng hạn như thế này:

<math>\{1,2,...\}=\mathbb{N}^*= \mathbb N^+=\mathbb{N}_0\smallsetminus\{0\}.</math>

<math>\;\{0,1,2,...\}=\mathbb{N}_0=\mathbb N^0=\mathbb{N}^*\cup\{0\}</math>

Đôi khi một số tác giả dùng chỉ [[số dư]]ới hoặc chỉ số trên "+" để ám chỉ khái niệm "dương" của số tự nhiên, tức là '''N'''<sub>+</sub> hay '''N'''<sup>+</sup> = { 1, 2,... }. Thế nhưng, cần thận trọng với ký hiệu kiểu này, vì trong một số trường hợp khác, ít nhất là đối với trường phái toán [[châu Âu]], ký hiệu này lại ám chỉ cho khái niệm "không âm" , lấy ví dụ: '''R'''<sub>+</sub> = <nowiki>[0,∞)</nowiki> hay '''Z'''<sub>+</sub> = { 0, 1, 2,...}. Trong khi đó, ký hiệu * là chuẩn mực dùng cho khái niệm "khác số không" hay tổng quát hơn là dùng cho một phần tử có thể [[nghịch đảo được]]. Tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam<ref name="ReferenceA" />, cũng dùng ký hiệu '''N'''<sup>*</sup>.

<math>\{1, 2, 3,\dots\} = \{x \in \mathbb Z : x > 0\}=\mathbb Z^+</math>

<math>\{0, 1, 2,\dots\} = \{x \in \mathbb Z : x \ge 0\}=\mathbb Z^{+}_{0}</math>

== Thuộc tính ==

=== Phép cộng ===
Cho tập hợp <math>\mathbb{N}</math> của các số tự nhiên và [[hàm tiết triển|hàm kế thừa]] <math>S \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}</math> ánh xạ mỗi số tự nhiên cho một số tiếp theo, người ta có thể định nghĩa phép [[Phép cộng|cộng]] các số tự nhiên một cách đệ quy bằng cách đặt {{Math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} và {{Math|''a'' + ''S''(''b'') {{=}} ''S''(''a'' + ''b'')}} với mọi {{Math|''a''}}, {{Math|''b''}}. Khi đó {{Math|(ℕ, +)}} là một [[monoid]] [[Tính giao hoán|giao hoán]] với [[phần tử đơn vị]] là 0. Nó là một [[Đối tượng tự do|monoid tự do]] trên phần tử sinh là 1. Monoid giao hoán này thỏa mãn thuộc tính [[Tính giản ước|hủy bỏ]], vì vậy nó có thể được nhúng trong một [[Nhóm (toán học)|nhóm]]. Nhóm nhỏ nhất chứa các số tự nhiên là các [[số nguyên]].

Nếu 1 được xác định là {{Math|''S''(0)}}, thì {{Math|''b'' + 1 {{=}} ''b'' + ''S''(0) {{=}} ''S''(''b'' + 0) {{=}} ''S''(''b'')}}. Có nghĩa là, {{Math|''b'' + 1}} đơn giản là phần tử kế thừa của {{Math|''b''}}.

== Định nghĩa hình thức ==
Trong lịch sử, quá trình đưa ra một định nghĩa toán học chính xác về số tự nhiên là một quá trình nhiều khó khăn. Các [[tiên đề|định đề]] [[Giuseppe Peano|Peano]] đưa ra những điều kiện tiên quyết cho một định nghĩa thành công về số tự nhiên. Một số phép xây dựng cho thấy rằng, với [[lý thuyết tập hợp]] đã biết, các [[Mô hình toán học|mô hình]] của các định đề Peano chắc chắn tồn tại.

=== Các tiên đề Peano ===
* Có một số tự nhiên 0.
* Với mọi số tự nhiên {{math|''a''}}, tồn tại một số tự nhiên liền sau, ký hiệu là {{math|''S''(''a'')}}.
* Không có số tự nhiên nào mà số liền sau của nó là 0.
* Hai số tự nhiên khác nhau phải có hai số liền sau tương ứng khác nhau: nếu ''a'' ≠ ''b'' thì ''S''(''a'') ≠ ''S''(''b'').
* Nếu có một tính chất nào đó được thỏa mãn với số 0, và chúng ta chứng minh được rằng với mọi số tự nhiên thỏa tính chất đó thì số liền sau của nó cũng thỏa tính chất đó, khi đó, tính chất đó được thỏa mãn với mọi số tự nhiên. (Định đề này đảm bảo rằng phép [[quy nạp toán học]] là đúng.)

Cần lưu ý rằng "0" ở định nghĩa trên không nhất thiết phải là [[0|số không]] mà chúng ta vẫn thường nói đến."0" ở đây chẳng qua là một đối tượng nào đó mà khi kết hợp với một hàm liền sau nào đó thì sẽ thỏa mãn các tiên đề Peano. Có nhiều hệ thống thỏa mãn các tiên đề này, trong đó có các số tự nhiên (bắt đầu bằng số không hay bằng số một).

=== Xây dựng dựa trên lý thuyết tập hợp ===
==== Phép xây dựng chuẩn ====
Trong lý thuyết tập hợp có một trường hợp đặc biệt của phép xây dựng von Neumann định nghĩa tập hợp số tự nhiên như sau:

:Chúng ta định nghĩa {{math|0 {{=}} {{mset| }}}}, [[tập hợp rỗng]].
:và định nghĩa {{math|''S''(''a'') {{=}} ''a'' ∪ {{mset|''a''}}}} với mọi {{math|''a''}}.
:Sau đó tập hợp số tự nhiên được ''định nghĩa'' là giao của tất cả các tập hợp chứa 0 mà là các tập đóng đối với hàm liền sau.
:Nếu chúng ta thừa nhận [[tiên đề về tính vô hạn]] thì sẽ chứng minh được định nghĩa này thỏa mãn các tiên đề Peano.
:Mỗi số tự nhiên khi đó bằng tập hợp của các số tự nhiên nhỏ hơn nó, sao cho:
:*{{math|0 {{=}} {{mset| }}}},
:*{{math|1 {{=}} 0 ∪ {{mset|0}} {{=}} {{mset|0}} {{=}} {{mset|{{mset| }}}}}},
:*{{math|2 {{=}} 1 ∪ {{mset|1}} {{=}} {{mset|0, 1}} {{=}} {{mset|{{mset| }}, {{mset|{{mset| }}}}}}}},
:*{{math|3 {{=}} 2 ∪ {{mset|2}} {{=}} {{mset|0, 1, 2}} {{=}} {{mset|{{mset| }}, {{mset|{{mset| }}}}, {{mset|{{mset| }}, {{mset|{{mset| }}}}}}}}}},
:*{{math|''n'' {{=}} ''n''−1 ∪ {{mset|''n''−1}} {{=}} {{mset|0, 1, …, ''n''−1}} {{=}} {{mset|{{mset| }}, {{mset|{{mset| }}}}, …, {{mset|{{mset| }}, {{mset|{{mset| }}}}, …}}}}}}, vân vân

Khi ta thấy một số tự nhiên được dùng như là một tập hợp, thì thông thường, ý nghĩa của nó như được trình bày ở trên. Theo định nghĩa đó, có đúng n phần tử (theo nghĩa thông thường) trong tập {{math|''n''}} và {{math|''n'' ≤ ''m''}} (cũng theo nghĩa bình thường) [[tương đương logic|khi và chỉ khi]] {{math|''n''}} là một [[tập hợp con|tập con]] của {{math|''m''}}.

:Cũng từ định nghĩa này, những cách hiểu khác nhau về các ký hiệu như {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} (là một n-tuple hay là một ánh xạ từ {{math|''n''}} vào {{math|ℝ}})) trở nên tương đương nhau.

==== Các phép xây dựng khác ====
Mặc dù phép xây dựng chuẩn thông dụng nhưng nó không phải là phép xây dựng duy nhất. Ví dụ về phép dựng của [[Zermalo]]:

: có thể định nghĩa 0 = [[tập hợp rỗng|{ }]]
: và {{math|''S''(''a'') {{=}} ''a''}}, 
: tạo ra
:* 0 = [[tập hợp rỗng|{ }]]
:* 1 = <nowiki>{0} = {{ }}</nowiki>
:* 2 = <nowiki>{1} = {{{ }}}</nowiki>,...

Hay chúng ta có thể định nghĩa 0 = <nowiki>{{ }}</nowiki>
: và {{math|''S''(''a'') = ''a'' U {''a''}}}
: tạo ra
:* 0 = <nowiki>{{ }}</nowiki>
:* 1 = <nowiki>{{ }, 0} = {{ }, {{ }}}</nowiki>
:* 2 = <nowiki>{{ }, 0, 1},...</nowiki>

Có thể vẫn còn tranh cãi, nhưng nhìn chung người ta thường gán định nghĩa có tính lý thuyết tập hợp xưa nhất về số tự nhiên cho [[Gottlob Frege|Frege]] và [[Bertrand Russell|Russell]]. Trong định nghĩa của hai người này thì mỗi số tự nhiên ''n'' cụ thể được định nghĩa là tập hợp của tất cả các tập có {{math|''n''}} phần tử.

Frege và Rusell bắt đầu bằng cách định nghĩa 0 là <math>\{\{\}\}</math> (rõ ràng đây là tập của tất cả các tập có 0 phần tử) và định nghĩa <math>\sigma(A)</math> (với ''A'' là một tập bất kỳ) là <math>\{x \cup \{y\} \mid x \in A \wedge y \not\in x\}</math>. Như vậy 0 sẽ là tập của tất cả các tập có 0 phần tử, <math>1=\sigma(0)</math> sẽ là tập của tất cả các tập có một phần tử, <math>2=\sigma(1)</math> sẽ là tập của tất cả các tập có 2 phần tử, và cứ thế. Sau đó, tập hợp của tất cả các số tự nhiên được định nghĩa như là phần giao của tất cả các tập có chứa 0 và là tập đóng với phép <math>\sigma</math> (tức là nếu tập này chứa phần tử {{math|''n''}}) thì nó cũng phải chứa <math>\sigma(n)</math>).

Định nghĩa này sẽ không dùng được trong những hệ thống thông thường của [[lý thuyết tập hợp tiên đề]] vì những tập được tạo ra như vậy quá lớn (nó sẽ không dùng được trong bất kỳ lý thuyết tập hợp nào với [[tiên đề tách]] - ''separation axiom''); nhưng định nghĩa này sẽ làm việc được trong [[Cơ sở Mới]] (''New Foundations'') (và trong các hệ thống tương thích với Cơ sở Mới) và trong một vài hệ thống của [[lý thuyết kiểu]].

Trong phần còn lại của bài này, chúng ta sử dụng phép xây dựng chuẩn đã mô tả ở trên.

== Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên ==
Các phép toán trên tập hợp các số tự nhiên có thể định nghĩa nhờ phép [[đệ quy]] như sau:
=== [[Phép cộng]] ===
# {{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}}
# {{math|''a'' + ''S''(''b'') {{=}} ''S''(''a'' + ''b'')}}
:Phép cộng này khiến {{math|(ℕ, +)}} trở thành một [[vị nhóm]] [[giao hoán]] với [[phần tử trung lập]] là 0, cũng là một [[đối tượng tự do|vị nhóm tự do]] với một hệ sinh nào đó. [[Vị nhóm]] thỏa [[tính chất khử]] và do đó có thể được nhúng trong một [[nhóm (đại số)|nhóm]]. Nhóm nhỏ nhất chứa các số tự nhiên là [[số nguyên]].
Nếu chúng ta ký hiệu {{math|''S''(0)}} là 1, khi đó {{math|''b'' + 1 {{=}} ''b'' + ''S''(0) {{=}} ''S''(''b'' + 0) {{=}} ''S''(''b'')}}; tức là, số liền sau của {{math|''b''}} chẳng qua là {{math|''b'' + 1}}.

=== Phép nhân ===
Tương tự như phép cộng, chúng ta định nghĩa [[phép nhân]] × như sau:
# {{math|''a'' × 0 {{=}} 0}}
# {{math|''a'' × S(''b'') {{=}} (''a'' × ''b'') + ''a''}}
:Phép nhân được định nghĩa như vậy khiến ('''N''',×) trở thành một [[vị nhóm]] với [[phần tử trung lập]] là 1; một hệ sinh của vị nhóm này chính là tập hợp các [[số nguyên tố]].
:Phép cộng và phép nhân thỏa tính chất phân phối: {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. 
:Các tính chất mà phép cộng và phép nhân thỏa khiến tập số tự nhiên trở thành một trường hợp ví dụ của [[nửa vành]] [[giao hoán]]. [[Nửa vành]] là dạng tổng quát hóa đại số của số tự nhiên mà trong đó phép nhân không cần phải thỏa tính giao hoán.

Nếu chúng ta hiểu tập hợp số tự nhiên theo nghĩa"không có số 0"và"bắt đầu bằng số 1"thì các định nghĩa về phép + và × cũng vẫn thế, ngoại trừ sửa lại {{math|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} và {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.

Trong phần còn lại của bài này, chúng ta viết {{math|''ab''}} để ám chỉ tích {{math|''a'' × ''b''}}, và chúng ta cũng sẽ thừa nhận quy định về [[thứ tự thực hiện các phép toán]].
=== Quan hệ thứ tự ===
Chúng ta có thể định nghĩa một [[quan hệ thứ tự toàn phần]] trên tập số tự nhiên như sau:
:Với hai số tự nhiên a,b, ta có {{math|''a'' ≤ ''b''}} nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên {{math|''c''}} sao cho {{math|''a'' + ''c'' {{=}} ''b''}}. Kiểu sắp thứ tự này cùng với các phép toán số học đã định nghĩa ở trên cho ta: 
:Nếu {{math|''a''}}, {{math|''b''}} và {{math|''c''}} là các số tự nhiên và {{math|''a'' ≤ ''b''}}, thì {{math|''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c''}} và {{math|''ac'' ≤ ''bc''}}
:Tập số tự nhiên còn có một tính chất quan trọng nữa là chúng là [[tập sắp tốt]]: mọi tập không rỗng của các số tự nhiên phải có một phần tử nhỏ nhất.

=== Phép chia có dư và tính chia hết ===
Cho hai số tự nhiên {{math|''a'', ''b''}} và {{math|''b'' ≠ 0}}. Xét tập hợp '''M''' các số tự nhiên {{mvar|p}} sao cho {{math|''pb ≤ a''}}. Tập này bị chặn nên có một phần tử lớn nhất, gọi phần tử lớn nhất của '''M''' là {{mvar|q}}. Khi đó {{math|''bq ≤ a''}} và {{math|''b(q + 1) > a''}}. Đặt {{math|''r'' {{=}} ''a'' − ''bq''}}. Khi đó ta có
:{{math|''a'' {{=}} ''bq'' + ''r''}}, trong đó {{math|0 ≤ ''r'' < ''b''}}. 
Có thể chứng minh rằng các số {{mvar|q}} và {{mvar|r}} là duy nhất. Số {{mvar|q}} được gọi là thương hụt (hay vắn tắt là thương), số {{mvar|r}} được gọi là [[số dư]] khi chia {{mvar|a}} cho {{mvar|b}}.
Nếu {{math|''r'' {{=}} ''0''}} thì {{math|''a'' {{=}} ''bq''}}. Khi đó ta nói rằng {{math|''a''}} chia hết cho {{math|''b''}} hay {{math|''b''}} là ước của {{math|''a''}}, {{math|''a''}} là bội của {{math|''b''}}.

== Tổng quát hóa ==
Với hai hướng sử dụng như đã nêu ở phần giới thiệu, số tự nhiên trước hết được tổng quát hóa theo hai hướng sử dụng này: [[số thứ tự]] được dùng để mô tả vị trí của một phần tử trong một [[dãy sắp thứ tự]] và [[bản số]] dùng để xác định kích thước của một tập hợp nào đó.

Trong trường hợp dãy [[hữu hạn]] hay tập hợp hữu hạn, cả hai cách sử dụng này thực chất là đồng nhất với nhau.

== Các tập hợp số ==
[[Tập tin:Set of real numbers (diagram).svg|nhỏ|phải|400px|Tập hợp số thực]]
:<math>\mathbb N</math>: Tập hợp số tự nhiên
:<math>\mathbb Z</math>: Tập hợp [[số nguyên]]
:<math>\mathbb Q</math>: Tập hợp [[số hữu tỉ]]
:<math>\mathbb I</math> = <math>\mathbb R \setminus \mathbb Q</math>: Tập hợp [[số vô tỉ]]
:<math>\mathbb R</math>: Tập hợp [[số thực]]
{{-}}

== Ghi chú ==
<references group="lower-alpha"/>
==Tham khảo==
{{tham khảo}}

== Liên kết ngoài ==
* [http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html Số tự nhiên] tại MathWorld.
{{Hệ thống số}}
{{Lý thuyết số}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}

[[Thể loại:Số tự nhiên| ]]
[[Thể loại:Số nguyên]]
[[Thể loại:Toán học sơ cấp]]
[[Thể loại:Lý thuyết số]]
[[Thể loại:Số]]