Xem mã nguồn của Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên

{{chú thích trong bài}} 
Trong [[lý thuyết xác suất]], có nhiều khái niệm khác nhau về sự [[hội tụ]] của các [[biến ngẫu nhiên]]. Sự hội tụ (hiểu theo nghĩa được trình bày dưới đây) của các [[dãy (toán học)|dãy]] biến ngẫu nhiên về một biến ngẫu nhiên [[giới hạn]] nào đó là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, và trong các ứng dụng của [[khoa học Thống kê|thống kê]] và của [[quá trình ngẫu nhiên]]. Ví dụ, nếu trung bình của ''n'' biến ngẫu nhiên ''Y''<sub>''i''</sub>, ''i'' = 1,..., ''n'' [[độc lập]] và phân phối đồng đều, được cho bởi:

:<math>X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\,,</math>

Thì khi ''n'' tiến tới vô cùng, ''X''<sub>''n''</sub> sẽ hội tụ ''theo nghĩa xác suất'' (xem dưới đây) về một [[số bình quân|trung bình]] chung, μ của các biến ngẫu nhiên ''Y''<sub>''i''</sub>. Kết quả này được biết như là [[luật số lớn]] (yếu). Có nhiều dạng hội tụ khác đóng vai trò quan trọng trong các định lý, trong đó có [[định lý giới hạn trung tâm]].

Tiếp sau đây, chúng ta giả sử rằng (''X''<sub>''n''</sub>) là một dãy biến ngẫu nhiên, và ''X'' là một biến ngẫu nhiên, tất cả đều được định nghĩa trên cùng một [[không gian xác suất]] (Ω, ''F'', P).

== Hội tụ theo phân phối (Convergence in distribution) ==

Giả sử ''F''<sub>1</sub>, ''F''<sub>2</sub>,... là một [[dãy (toán học)|dãy]] các [[hàm phân phối tích lũy]] ứng với các biến ngẫu nhiên ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>,..., và ''F'' là hàm phân phối ứng với biến ngẫu nhiên ''X''. Ta nói rằng dãy ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ về ''X'' '''theo phân phối''', nếu

::<math>\lim_{n\rightarrow\infty} F_n(a) = F(a),</math>

với mọi [[số thực]] ''a'' mà tại đó ''F'' [[liên tục]]. Vì ''F''(a) = Pr(''X'' ≤ a), nên điều này có nghĩa là xác suất để giá trị của ''X'' nằm trong một giới hạn định sẵn gần như là bằng với xác suất để ''X''<sub>''n''</sub> cũng nằm trong giới hạn này, với ''n'' được cho đủ lớn. Sự hội tụ theo phân phối thường được ký hiệu bằng việc thêm ký tự <math>\mathcal D</math> phía trên mũi tên chỉ sự hội tụ:
::<math>X_n \, \begin{matrix} {\,}_\mathcal{D} \\ {\,}^{\longrightarrow} \\ \quad \end{matrix} \, X.</math><!-- not ideal, but I don't know better TeX to achieve this on WP. \overset{D}{\longrightarrow} may be used in proper LaTeX -->

Hội tụ theo phân phối là dạng hội tụ yếu nhất, và thường được gọi là '''hội tụ yếu'''. Một cách tổng quát thì nó không suy ra các dạng hội tụ khác. Tuy nhiên, hội tụ theo phân phối ''được'' suy ra từ tất cả các dạng hội tụ khác được đề cập trong bài viết này, và do đó, nó là dạng hội tụ chung nhất và có ích nhất của các biến ngẫu nhiên. Đây cũng là khái niệm hội tụ được dùng trong [[định lý giới hạn trung tâm]] và trong [[luật số lớn]] (yếu).

Một kết quả đáng lưu ý, được sử dụng kết hợp với luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm, đó là nếu một hàm &nbsp;''g'': '''R''' → '''R'''&nbsp; là liên tục, và nếu &nbsp;''X''<sub>''n''</sub>&nbsp; hội tụ theo phân phối về &nbsp;''X'', thì &nbsp;''g''(''X''<sub>''n''</sub>)&nbsp; cũng hội tụ theo phân phối về &nbsp;''g''(''X''). (chứng minh bằng cách dùng [[định lý biểu diễn Skorokhod]]).

== Hội tụ theo xác suất (Convergence in probability)==

Dãy ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ về ''X'' '''theo xác suất''' nếu

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}P\left(\left|X_n-X\right|\geq\varepsilon\right)=0</math>

với mọi ε > 0. Hội tụ theo xác suất thật ra là sự hội tụ của xác suất.

Hội tụ theo xác suất được ký hiệu bằng cách thêm chữ 'P' vào phía trên mũi tên chỉ sự hội tụ over:
::<math>X_n \, \begin{matrix} {\,}_P \\{\,}^{\longrightarrow} \\ \quad \end{matrix} \, X.</math><!-- Note that the matrix notation isn't ideal: \overset{D}{\longrightarrow} may be used in proper LaTeX -->

Hội tụ theo xác suất cũng là khái niệm hội tụ đề cập trong [[luật số lớn]] (yếu).
Hội tụ theo xác suất suy ra sự hội tụ theo phân phối. Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh được bổ đề sau:

=== Bổ đề ===

Cho ''X'', ''Y'' là các biến ngẫu nhiên, ''c'' là một số thực và ε > 0; khi đó

:<math>\Pr(Y\leq c)\leq \Pr(X\leq c+\varepsilon)+\Pr(\left|Y - X\right|>\varepsilon).</math>

=== Chứng minh bổ đề===

:<math>\Pr(Y\leq c)=\Pr(Y\leq c,X\leq c+\varepsilon)+\Pr(Y\leq c,X>c+\varepsilon)</math>

:<math>=\Pr(Y\leq c \vert X\leq c+\varepsilon)\Pr(X\leq c+\varepsilon)+\Pr(Y\leq c,c<X - \varepsilon)</math>

:<math>\leq \Pr(X\leq c+\varepsilon)+\Pr(Y - X<- \varepsilon)\leq \Pr(X\leq c+\varepsilon)+\Pr(\left|Y - X\right|>\varepsilon)</math>

vì

:<math>\Pr(\left|Y - X\right|>\varepsilon)=\Pr(Y - X>\varepsilon)+\Pr(Y - X<-\varepsilon)\geq \Pr(Y - X<-\varepsilon).</math>

=== Chứng minh hội tụ theo xác suất suy ra hội tụ theo phân phối ===

Với mọi ε > 0, từ bổ đề trên, ta có:

:<math>P(X_n\leq a)\leq P(X\leq a+\varepsilon)+P(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)</math>

:<math>P(X\leq a-\varepsilon)\leq P(X_n \leq a)+P(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)</math>

Vì vậy ta có

:<math>P(X\leq a-\varepsilon)-P(\left|X_n - X\right|>\varepsilon)\leq P(X_n \leq a)\leq P(X\leq a+\varepsilon)+P(\left|X_n - X\right|>\varepsilon).</math>

Lấy giới hạn khi <math>n\rightarrow\infty</math>, ta được:

:<math>P(X\leq a-\varepsilon)\leq \lim_{n\rightarrow\infty} P(X_n \leq a)\leq P(X\leq a+\varepsilon).</math>

Vì <math>P(X\leq a)</math> là [[hàm phân phối tích lũy]] <math>F_X(a)</math>, theo giả thuyết là liên tục, nghĩa là

:<math>\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} F_X(a-\varepsilon)=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} F_X(a+\varepsilon)=F_X(a),</math>

do đó, lấy giới hạn khi <math>\varepsilon \rightarrow 0^+</math>, ta được

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} P(X_n \leq a)=P(X \leq a).</math>

== Hội tụ hầu như chắc chắn (Almost sure convergence) ==

Ta nói rằng dãy ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ '''hầu như chắc chắn''' hay '''hầu khắp nơi''' hay '''với xác suất 1''' hay '''mạnh''' về ''X'' nếu:<math>P\left(\lim_{n\rightarrow\infty}X_n=X\right)=1.</math>

Có nghĩa là bạn được đảm bảo rằng các giá trị của ''X''<sub>''n''</sub> xấp xỉ giá trị của ''X'', theo nghĩa (xem [[hầu như chắc chắn]]) là xác suất để ''X''<sub>''n''</sub> không hội tụ về ''X'' là bằng 0. Bằng cách dùng không gian xác suất (Ω, ''F'', P) và khái niệm biến ngẫu nhiên như là một [[hàm số]] từ Ω đến '''R''', điều này tương đương với cách viết

:<math>P\left(\big\{\omega \in \Omega \, | \, \lim_{n \to \infty}X_n(\omega) = X(\omega) \big\}\right) = 1.</math>

Hội tụ hầu như chắc chắn thì suy ra hội tụ theo xác suất, và do đó cũng suy ra hội tụ theo phân phối. Nó là khái niệm hội tụ được đề cập trong [[luật số lớn]] (mạnh).

== Hội tụ theo trung bình bậc ''r'' (Convergence in ''r''th mean) ==

Ta nói rằng dãy ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ '''theo trung bình bậc ''r'' ''' hay '''trong [[không gian định chuẩn]] L<sup>r</sup>''' về ''X'', nếu ''r'' ≥ 1, E|''X''<sub>''n''</sub>|<sup>''r''</sup> < ∞ với mọi ''n'', và

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\mathrm{E}\left(\left|X_n-X\right|^r\right)=0</math>

trong đó E chỉ [[giá trị kỳ vọng]]. Hội tụ theo trung bình bậc ''r'' cho ta biết rằng kì vọng bậc ''r'' về sự khác nhau giữa ''X''<sub>''n''</sub> và ''X'' là hội tụ về 0.

Các trường hợp đặc biệt quan trọng:
* Nếu ''r'' = 1, ta nói ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ '''theo trung bình''' về ''X''.
* Nếu ''r'' = 2, ta nói ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ '''theo trung bình bình phương''' (bậc 2) về ''X''.

Hội tụ theo trung bình bậc ''r'', với ''r'' &gt; 0, suy ra hội tụ theo xác suất (dùng [[bất đẳng thức Chebyshev]]). Còn nếu ''r'' > ''s'' ≥ 1, thì hội tụ theo trung bình bậc ''r'' sẽ suy ra hội tụ theo trung bình bậc ''s''. Do đó hội tụ theo trung bình [[bình phương]] dẫn đến hội tụ theo trung bình.

== Các chiều suy ngược lại (Converse implications) ==

Trong một vài trường hợp đặc biệt ta có các chiều suy ra ngược lại như sau:

* Nếu ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ theo phân phối về một hằng số ''c'', thì ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ theo xác suất về ''c''.
* Nếu ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ theo xác suất về ''X'', và nếu Pr(|''X''<sub>''n''</sub>| ≤ ''b'') = 1 với mọi ''n'' và với 1 ''b'' nào đó, thì ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ trung bình bậc ''r'' về ''X'' với mọi ''r'' ≥ 1. Nói cách khác, nếu ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ theo xác suất về ''X'' và mọi biến ngẫu nhiên ''X''<sub>''n''</sub> là hầu như bị chạn trên và dưới, khi đó ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ theo trung bình bậc bất kỳ ''r'' về ''X''.
* Nếu với mọi ε > 0,

::<math>\sum_n P\left(|X_n - X| > \varepsilon\right) < \infty,</math>

:thì ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ hầu như chắc chắn về ''X''. Nói cách khác, nếu ''X''<sub>''n''</sub> hội tụ theo xác suất về ''X'' đủ nhanh (''nghĩa là'' tổng trên hội tụ với mọi &epsilon; > 0), thì ''X''<sub>''n''</sub> cũng hội tụ hầu như chắc chắn về ''X''. Điều này được suy ra trực tiếp từ [[Bổ đề Borel-Cantelli]].

* Nếu ''S''<sub>''n''</sub> là tổng của ''n'' biến ngẫu nhiên thực độc lập:

::<math>S_n = X_1+\cdots+X_n</math>

:thì ''S''<sub>''n''</sub> hội tụ hầu như chắc chắn nếu và chỉ nếu ''S''<sub>''n''</sub> hội tụ theo xác suất.

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

# G.R. Grimmett and D.R. Stirzaker (1992). ''Probability and Random Processes, 2nd Edition''. Clarendon Press, Oxford, pp 271–285. ISBN 0198536658.

# M. Jacobsen (1992). ''Videregående Sandsynlighedsregning (Advanced Probability Theory) 3rd Edition''. HCØ-tryk, Copenhagen, pp 18–20. ISBN 87-91180-71-6.

[[Thể loại:Lý thuyết xác suất]]
[[Thể loại:Lý thuyết thống kê]]
[[Thể loại:Xác suất và thống kê]]