Xem mã nguồn của Song ánh

[[Hình:Bijection.svg|thumb|200px|Hàm song ánh f:X→Y, với tập X là {1,2,3,4} và tập Y là {A,B,C,D}. Ví dụ, f(1)=D.]]
{{Hàm số}}
Trong [[toán học]], '''song ánh''', hoặc '''hàm song ánh''', là một [[ánh xạ]] ''f'' từ [[tập hợp|tập]] ''X'' vào tập ''Y'' thỏa mãn tính chất, đối với mỗi ''y'' thuộc ''Y'', có duy nhất một ''x'' thuộc ''X'' sao cho ''f''(''x'') = ''y''.

Nói cách khác, ''f'' là một song ánh nếu và chỉ nếu nó là '''tương ứng một-một''' giữa hai tập hợp; tức là nó vừa là [[đơn ánh]] và vừa là [[toàn ánh]].

Ví dụ, xét hàm ''f'' xác định trên tập hợp [[số nguyên]] <math>\Z</math> vào <math>\Z</math>, được định nghĩa ''f''(''x'') = ''x'' + 1.  Ví dụ khác, đối với mỗi cặp số thực (''x'',''y'') hàm ''f'' xác định bởi ''f''(''x'',''y'') = (''x''&nbsp;+&nbsp;''y'', ''x''&nbsp;−&nbsp;''y'') là một '''song ánh'''

Ví dụ khác, hàm ''f(''x)=ax<sup>2</sup>+bx+c (a khác 0) xác định trên tập [[số thực]] <math>\R</math>vào <math>\R</math>nhưng đây không phải song ánh vì nó không [[đơn ánh]] và cũng không [[toàn ánh]]. Với mọi y< min f(x) nếu a>0 hoặc y> max f(x) nếu a<0 thì không tồn tại x để y=f(x) do đó f(x) không [[toàn ánh]]. Với x<sub>1</sub> khác x<sub>2</sub> thì f(x<sub>1</sub>) vẫn có thể bằng f(x<sub>2</sub>) trong trường hợp x<sub>1</sub><-b/a<x<sub>2</sub> và x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>=-b/a vì khi đó 2 điểm (x<sub>1</sub>,f(x<sub>1</sub>)) và (x<sub>2</sub>,f(x<sub>2</sub>)) đối xứng qua đường thẳng x=-b/a do đó f(x) không [[đơn ánh]].

Hàm song ánh đôi khi còn gọi là '''[[hoán vị]]'''.

Tập hợp tất cả các song ánh từ tập ''X'' vào tập ''Y'' được ký hiệu là ''X'' ↔ ''Y''. Thông thường tập các hoán vị của tập ''X'' được ký hiệu là ''X''!

Song ánh đóng nhiều vai trò quan trọng trong toán học, như nó dùng để định nghĩa [[đẳng cấu]] (và những khái niệm liên quan như [[phép đồng phôi]] và [[phép vi phôi|vi phôi]]), [[nhóm hoán vị]], [[ánh xạ xạ ảnh]], và nhiều định nghĩa khác.

==Tham khảo==
{{tham khảo}}
==Liên kết ngoài==
*[http://jeff560.tripod.com/i.html Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.]

{{sơ khai toán học}}
{{Lý thuyết tập hợp}}
{{Logic toán}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}

[[Thể loại:Hàm số và ánh xạ]]
[[Thể loại:Khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập hợp]]
[[Thể loại:Quan hệ toán học]]
[[Thể loại:Loại hàm số]]