Xem mã nguồn của Sophomore's dream

<!--{{Use Harvard referencing|date=July 2019}}-->
{{short description|Một đẳng thức giữa tích phân và tổng vô hạn}}
Trong toán học, '''sophomore's dream''' là hai [[đồng nhất thức]] (đặc biệt là cái đầu tiên):

:<math>\begin{align}
\int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n} \\
\int_0^1 x^x   \,dx &= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-n} = - \sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n}
\end{align}</math>
được phát hiện vào năm 1697 bởi [[Johann Bernoulli]].

Giá trị xấp xỉ của những hằng số trên lần lượt là 1.291285997... và 0.7834305107...

Tên gọi "giấc mơ của sinh viên năm hai", xuất hiện trong {{Harv|Borwein |Bailey |Girgensohn |2004}}, xuất phát từ "[[freshman's dream]]"  là một đồng nhất thức sai<ref group="ghi chú">Sai nói chung, nhưng đúng trong [[vành giao hoán]] có [[Vành#Đặc số của vành|đặc số]] nguyên tố {{mvar|p}} và {{mvar|n}} là lũy thừa của {{mvar|p}}. Đồng nhất thức đúng trong các trường hợp khác thường là [[định lý nhị thức]].</ref> {{math|1=(''x''&nbsp;+&nbsp;''y'')<sup>''n''</sup>&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>''n''</sup>&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>''n''</sup>}}. Sophomore's dream cho ta cảm giác tương tự, tốt đến mức không thể, nhưng khác với [[freshman's dream]], hai đẳng thức trên là đúng.

== Chứng minh ==

[[Tập tin:Sophomore's_dream_graph.svg|thumb|right|250px|Đồ thị các hàm số {{math|1=''y''&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>''x''</sup>}} (đỏ, dưới) và {{math|1=''y''&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>&minus;''x''</sup>}} (xanh, trên) trên đoạn {{math|''x''&nbsp;&isin;&nbsp;[0,&nbsp;1]}}]]
Chứng minh hai đẳng thức này giống nhau, nên chỉ chứng minh của đẳng thức thứ hai được trình bày. Các bước chính của chứng minh này là:
* viết {{math|1=''x''<sup>''x''</sup> = exp(''x''&nbsp;log&nbsp;''x'')}} (ký hiệu {{math|exp(''t'')}} chỉ [[hàm mũ]] {{math|''e''<sup>''t''</sup>}} với cơ số tự nhiên [[e (số)|{{math|''e''}}]]);
* khai triển {{math|exp(''x''&nbsp;log&nbsp;''x'')}} sử dụng [[chuỗi Taylor]] của hàm mũ {{math|exp}}, và
* lấy tích phân từng số hạng, sử dụng [[Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến|phương pháp đổi biến]].

Cụ thể, ta khai triển {{math|''x''<sup>''x''</sup>}} thành

: <math>x^x = \exp(x \log  x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n(\log  x)^n}{n!}.</math>

Như vậy, <math>\int_0^1 x^x\,dx =  \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n(\log  x)^n}{n!} \,dx. </math>

Do chuỗi lũy thừa trên [[hội tụ đều]], ta có thể đổi chỗ dấu tổng và tích phân để được

: <math>\int_0^1 x^x\,dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{x^n(\log  x)^n}{n!} \,dx. </math>

Để tính các tích phân trên, ta có thể đổi biến {{math|1=''x'' = exp(&minus;''u''/(''n'' + 1))}}, hay {{math|1=''u'' = &minus;(''n'' + 1)log ''x''}}. Với phép đổi biến này, chặn dưới của tích phân biến thành {{math|0}} còn chặn trên trở thành {{math|∞}}, cho ta đẳng thức
:<math>\int_0^1 x^n(\log x)^n\,dx = (-1)^n (n+1)^{-(n+1)}  \int_0^\infty u^n  e^{-u}\,du.</math>

Tích phân ở vế phải ở trên chính là [[tích phân Euler]] cho [[hàm gamma]], cụ thể là
:<math>\int_0^\infty u^n e^{-u}\,du=n!,</math>
cho nên
:<math>\int_0^1 \frac{x^n (\log  x)^n}{n!}\,dx
= (-1)^n (n+1)^{-(n+1)}.</math>

Lấy tổng những hạng tử này (bắt đầu tại {{math|1=''n''&nbsp;=&nbsp;1}} thay vì tại {{math|1=''n''&nbsp;=&nbsp;0}}) cho ta kết quả như trên.

=== Chứng minh gốc ===
Chứng minh gốc, đưa ra bởi {{Harvtxt|Bernoulli|1697}}, và được trình bày dưới dạng hiện đại bởi {{Harvtxt|Dunham|2005}}, khác chứng minh ở trên về cách tính các tích phân <math>\int_0^1 x^n(\log x)^n\,dx</math>, nhưng phần còn lại là giống nhau, trừ một số chi tiết nhỏ khác. Thay vì sử dụng phương pháp đổi biến để cho ra hàm gamma (chưa được biết đến lúc bấy giờ), Bernoulli sử dụng [[tích phân từng phần]] để tính các số hạng này theo phương pháp quy nạp.

Ta tính một tích phân bất định trước, bỏ [[hằng số tích phân]] {{math|+''C''}} vì trong chứng minh gốc không có nó, và vì nó sẽ triệt tiêu khi tính tích phân xác định.

Với {{math|''m'' ≠ &minus;1}}, ta có thể tính tích phân <math>\int x^m (\log x)^n\,dx</math> bằng cách đặt {{math|1=''u'' = (log ''x'')<sup>''n''</sup>}} và {{math|1=''dv'' = ''x''<sup>''m''</sup> ''dx''}}, cho ta:

: <math>\begin{align}
\int x^m (\log x)^n\,dx
& = \frac{x^{m+1}(\log x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^{m+1} \frac{(\log x)^{n-1}}{x}\,dx\\
& = \frac{x^{m+1}}{m+1}(\log x)^n - \frac{n}{m+1}\int x^m (\log x)^{n-1}\,dx
\end{align}
</math>

(cũng có trong [[danh sách tích phân với hàm lôgarít]]). Bước này làm giảm số mũ của hàm logarit đi một (từ {{mvar|n}} xuống {{math|''n'' &minus; 1}}) và từ đó ta có thể tính tích phân này bằng cách [[Quy nạp toán học|quy nạp]], như sau
: <math>
\int x^m (\log x)^n\,dx
= \frac{x^{m+1}}{m+1}
 \cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{(n)_i}{(m+1)^i} (\log x)^{n-i}</math>

trong đó {{math|(''n'')<sub>''i''</sub>}} ký hiệu cho [[giai thừa giảm]]. Đây là tổng hữu hạn vì quá trình quy nạp dừng tại {{math|0}} do {{math|''n''}} là số nguyên.

Trong trường hợp {{math|1=''m''&nbsp;=&nbsp;''n''}} là các số nguyên thì

:<math>\int x^n (\log x)^n\,dx
= \frac{x^{n+1}}{n+1}
 \cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{(n)_i}{(n+1)^i} (\log x)^{n-i}.</math>

Lấy tích phân từ {{math|0}} đến {{math|1}}, tất cả số hạng triệt tiêu ngoại trừ số hạng cuối cùng tại {{math|1}},<ref group="ghi chú">Tất cả số hạng tại {{math|0}} biến mất vì <math>\lim_{x \to 0^+} x^m (\log x)^n  =  0</math> theo [[quy tắc l'Hôpital]] (Bernoulli bỏ qua chi tiết này), còn tất cả số hạng trừ số hạng cuối tại 1 biến mất do {{math|1=log 1 = 0}}.</ref> cho ta:

:<math>\int_0^1 \frac{x^n (\log x)^n}{n!}\,dx
= \frac{1}{n!}\frac{1^{n+1}}{n+1}
 (-1)^n \frac{(n)_n}{(n+1)^n} = (-1)^n (n+1)^{-(n+1)}.</math>

Từ góc nhìn hiện đại, chứng minh này tương đương với việc chứng minh tích phân Euler <math>\Gamma(n+1) = n!</math> cho hàm gamma trên một tập xác định khác (tương ứng với việc đổi biến), do đồng nhất thức của Euler có thể được chứng minh bằng tích phân từng phần.

== Xem thêm ==
* [[Chuỗi (toán học)]]

==Ghi chú==
{{tham khảo|group="ghi chú"}}

==Tham khảo==

===Công thức===
{{refbegin}}
* Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, ''Opera omnia,'' vol. 3, pp.&nbsp;376–381
* {{citation|authorlink1=Jonathan Borwein |first1=Jonathan |last1=Borwein |authorlink2=David H. Bailey (mathematician) |first2=David H. |last2=Bailey |first3=Roland |last3=Girgensohn |title=Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery |isbn= 978-1-56881-136-9 |year=2004 |pages= 4, 44}}
* {{citation|first=William |last=Dunham |title=The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue |publisher=Princeton University Press |location= Princeton, NJ |year=2005 |isbn= 978-0-691-09565-3 |chapter= 3: The Bernoullis (Johann and <math>x^x</math>) |pages = 46–51}}
* [[OEIS]], {{OEIS|id=A083648}} and {{OEIS|id=A073009}}
* {{citation|authorlink1=George Pólya|first1=George |last1= Pólya |authorlink2= Gábor Szegő |first2= Gábor |last2= Szegő |title= Problems and Theorems in Analysis |chapter=part I, problem 160 |year= 1998 |isbn= 978-3-54063640-3| page= [https://books.google.com/books?id=b9l2NqGEFzgC&pg=PA36 36]}}<!-- They just state the result, without a name or proof -->
* {{MathWorld|urlname=SophomoresDream |title=Sophomore's Dream}}
* Max R. P. Grossmann (2017): [http://max.pm/publications/soph-1m.txt Sophomore's dream.] Hằng số đầu tiên đến 1.000.000 chữ số
{{refend}}

===Hàm số===
{{refbegin}}
* [http://math.eretrandre.org/tetrationforum/showthread.php?tid=426  Literature for x^x and Sophomore's Dream], Tetration Forum,  2010-02-03
* ''[http://eretrandre.org/rb/files/JayFantini1998_203.pdf The Coupled Exponential],''<!-- Actual title unclear --> Jay A. Fantini, Gilbert C. Kloepfer, 1998
* [http://math.eretrandre.org/tetrationforum/attachment.php?aid=788 Sophomore's Dream Function], Jean Jacquelin, 2010, 13 pp.
* {{Chú thích tạp chí | last1 = Lehmer | first1 = D. H. | doi = 10.1216/RMJ-1985-15-2-461| title = Numbers associated with Stirling numbers and ''x''<sup>''x''</sup> | journal = Rocky Mountain Journal of Mathematics | volume = 15 | pages = 461 | year = 1985 | pmid =  | pmc = }}
* {{Chú thích tạp chí | last1 = Gould | first1 = H. W. | doi = 10.1216/rmjm/1181072076 | title = A Set of Polynomials Associated with the Higher Derivatives of ''y&nbsp;=&nbsp;x''<sup>''x''</sup>| journal = Rocky Mountain Journal of Mathematics | volume = 26 | pages = 615 | year = 1996 | pmid =  | pmc = }}
{{refend}}

[[Thể loại:Tích phân]]
[[Thể loại:Hằng số toán học]]