Xem mã nguồn của Tích Euler

Trong [[lý thuyết số]], '''tích Euler''' là dạng khai triển [[chuỗi Dirichlet]] thành [[tích vô hạn]] được đánh chỉ số bởi các [[số nguyên tố]]. Tích gốc xuất hiện trong [[Chứng minh công thức tích Euler cho hàm zeta Riemann|bài chứng minh công thức cho tổng các số nguyên dương được mũ lên một giá trị nào đó]] của [[Leonhard Euler]]. Chuỗi này cùng với thác triển của nó trong mặt phẳng phức sau được biết đến là [[hàm zeta Riemann]].

== Định nghĩa ==
Trong tổng quát, nếu {{mvar|a}} là [[hàm nhân tính]] bị chặn, thì chuỗi Dirichlet

:<math>\sum_{n} \frac{a(n)}{n^s}\,</math>

bằng với

:<math>\prod_{p} P(p, s) \quad \text{for } \operatorname{Re}(s) >1 .</math>

trong đó giá trị tích được lấy trên các số nguyên tố {{mvar|p}}, và {{math|''P''(''p'', ''s'')}} là tổng

:<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{a(p^k)}{p^{ks}} = 1 + \frac{a(p)}{p^s} + \frac{a(p^2)}{p^{2s}} + \frac{a(p^3)}{p^{3s}} + \cdots </math>

Thậm chí, nếu ta coi các hàm này là [[hàm sinh]] hình thức, thì sự tồn tại của tích Euler ''có hình thức'' là điều kiện cần và đủ sao cho {{math|''a''(''n'')}} nhân tính: tức là {{math|''a''(''n'')}} là tích của các {{math|''a''(''p<sup>k</sup>'')}} mỗi khi {{mvar|n}} phân tích thành tích của các lũy thừa nguyên tố {{math|''p<sup>k</sup>''}} với các số nguyên tố {{mvar|p}} phân biệt.

Một trường hợp đặc biệt quan trọng là khi {{math|''a''(''n'')}} [[nhân tính toàn phần]], khi đó {{math|''P''(''p'', ''s'')}} là [[chuỗi hình học]] và do vậy

:<math>P(p, s)=\frac{1}{1-\frac{a(p)}{p^s}},</math>

và là trường hợp đặc biệt của [[hàm zeta Riemann]] khi {{math|''a''(''n'') {{=}} 1}}, và tổng quát hơn cho các [[ký tự Dirichlet]].

== Hội tụ ==
Thực tế, tất cả trường hợp quan trọng đều là khi khai triển chuỗi vô hạn và tích vô hạn đều [[hội tụ tuyệt đối]] trong một số miền

:<math>\operatorname{Re}(s) > C,</math>

tức là, miền đó là một trong trong một số [[bán mặt phẳng]] phải nằm trong mặt số phức. Tính chất này cho thêm một số thông tin bởi, để tích vô hạn có thể hội tụ thì phải có giá trị của nó phải khác không, do đó hàm cho bởi chuỗi vô hạn sẽ khác không tại bán mặt phẳng đó.

Trong lý thuyết của các [[dạng modula]], thường thì sẽ có tích Euler có các đa thức bậc hai ở mẫu số. Tổng quát hơn, [[chương trình Langlands]] bao gồm giải thích đầy đủ cho mối liên hệ giữa các đa thức bậc {{mvar|m}} với [[lý thuyết biểu diễn]] cho {{math|GL<sub>''m''</sub>}}.

==Các ví dụ==
Các ví dụ sau sử dụng ký hiệu <math>\mathbb{P}</math> cho tập các số nguyên tố, nghĩa là:
:<math>\mathbb{P}=\{p \in \mathbb{N}\,|\,p\text{ là số nguyên tố}\}.</math>

Tích Euler gắn liền với [[hàm zeta Riemann]] {{math|''ζ''(''s'')}}, và cũng sử dụng tổng của chuỗi hình học, tức là

:<math>\begin{align}
\prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}\right) &= \prod_{p\ \in\ \mathbb{P}} \left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^{ks}}\right) \\
&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \zeta(s).
\end{align}</math>

trong khi đối với [[hàm Liouville]] {{math|''λ''(''n'') {{=}} (−1)<sup>''ω''(''n'')</sup>}}, khai triển của nó là

:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{1}{1+\frac{1}{p^s}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda(n)}{n^{s}} = \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.</math>

Sử dụng phần nghịch đảo, hai tích Euler cho [[hàm Möbius]] {{math|''μ''(''n'')}} là

:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(1-\frac{1}{p^s}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu (n)}{n^{s}} = \frac{1}{\zeta(s)} </math>

và

:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(1+\frac{1}{p^s}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\mu(n)|}{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}.</math>

Chia cái dưới cho cái trên ta được

:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{1+\frac{1}{p^s}}{1-\frac{1}{p^s}}\right) = \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{p^s+1}{p^s-1}\right) = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}.</math>

Bởi khi lấy các giá trị chẵn của {{mvar|s}}, hàm zeta Riemann {{math|''ζ''(''s'')}} có giá trị là biểu thức giải tích dưới dạng bội ''hữu tỉ'' của {{math|''π<sup>s</sup>''}}, thì đối với các số mũ chẵn, giá trị của tích vô hạn là một số hữu tỉ. Ví dụ chẳng hạn, bởi {{math|''ζ''(2) {{=}} {{sfrac|''π''<sup>2</sup>|6}}}}, {{math|''ζ''(4) {{=}} {{sfrac|''π''<sup>4</sup>|90}}}}, và {{math|''ζ''(8) {{=}} {{sfrac|''π''<sup>8</sup>|9450}}}}, nên

:<math>\begin{align}
\prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{p^2+1}{p^2-1}\right) &= \frac53 \cdot \frac{10}{8} \cdot \frac{26}{24} \cdot \frac{50}{48} \cdot \frac{122}{120} \cdots &= \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} &= \frac52, \\[6pt]
\prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{p^4+1}{p^4-1}\right) &= \frac{17}{15} \cdot \frac{82}{80} \cdot \frac{626}{624} \cdot \frac{2402}{2400} \cdots &= \frac{\zeta(4)^2}{\zeta(8)} &= \frac76, 
\end{align}</math>

và tiếp tục như vậy, kết quả đầu tiên được tính và biết bởi [[Ramanujan]]. Họ các tích vô hạn này đồng thời tương đương với

:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(1+\frac{2}{p^s}+\frac{2}{p^{2s}}+\cdots\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{\omega(n)}}{n^s} = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}, </math>

trong đó {{math|''ω''(''n'')}} đến các ước số nguyên tố phân biệt của {{mvar|n}}, và {{math|2<sup>''ω''(''n'')</sup>}} là số các ước [[số nguyên thiếu chính phương|thiếu chính phương]].

Nếu {{math|''χ''(''n'')}} là ký tự Dirichlet của giá trị dẫn {{mvar|N}} sao cho {{mvar|χ}} nhân tính toàn phần và {{math|''χ''(''n'')}} chỉ phụ thuộc trên {{math|''n'' mod ''N''}}, và {{math|''χ''(''n'') {{=}} 0}} nếu {{mvar|n}} không [[nguyên tố cùng nhau]] với {{mvar|N}}, thì

:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \frac{1}{1- \frac{\chi(p)}{p^s}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.</math>

Ở đây để tiện, ta bỏ khỏi tích các ước nguyên tố {{mvar|p}} của {{mvar|N}}. Trong sách của ông, Ramanujan tổng quát hóa tích Euler cho hàm zeta thành

:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(x-\frac{1}{p^s}\right)\approx \frac{1}{\operatorname{Li}_s (x)} </math>

với {{math|''s'' > 1}}, {{math|Li<sub>''s''</sub>(''x'')}} trong công thức là hàm [[polylôgarit]]. Khi {{math|''x'' {{=}} 1}} , tích trên bằng với  {{math|{{sfrac|1|''ζ''(''s'')}}}}.

== Hằng số toán học ==
Một số [[hằng số]] có dạng khai triển tích Euler.

[[Công thức Leibniz cho π|Công thức Leibniz cho {{pi}}]]

:<math>\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots</math>

có thể coi là một [[chuỗi Dirichlet]] sử dụng ký tự Dirichlet (duy nhất) modulo&nbsp;4, được đổi thành tích Euler của các [[số siêu riêng biệt|phân số siêu riêng biệt]] (là các phân số trong đó tử số và mẫu số chỉ cách nhau 1 đơn vị):

:<math>\frac{\pi}{4} = \left(\prod_{p\equiv 1\pmod 4}\frac{p}{p-1}\right)\left( \prod_{p\equiv 3\pmod 4}\frac{p}{p+1}\right)=\frac34 \cdot \frac54 \cdot \frac78 \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdots,</math>

trong đó mỗi tử số là ước số nguyên tố và mỗi mẫu số là số gần nhất với bội của 4.<ref>{{citation|title=The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute|first=Lokenath|last=Debnath|publisher=World Scientific|year=2010|isbn=9781848165267|page=214|url=https://books.google.com/books?id=K2liU-SHl6EC&pg=PA214}}.</ref>

Các khai triển tích Euler cho một hằng số khác:

*[[Số nguyên tố sinh đôi#Giả thuyết Hardy–Littlewood đầu tiên|Hằng số Hardy–Littlewood cho số nguyên tố sinh đôi]]:

::<math> \prod_{p>2} \left(1 - \frac{1}{\left(p-1\right)^2}\right) = 0.660161... </math>

*[[Hằng số Landau–Ramanujan]]:

::<math>\begin{align}
\frac{\pi}{4} \prod_{p \equiv 1\pmod 4} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^\frac12 &= 0.764223... \\[6pt]
\frac{1}{\sqrt{2}} \prod_{p \equiv 3\pmod 4} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^{-\frac12} &= 0.764223... 
\end{align}</math>

* [[Hằng số Murata]] {{OEIS|A065485}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{\left(p-1\right)^2}\right) = 2.826419... </math>

*[[Giả thuyết Artin trên các nghiệm nguyên thủy|Hằng số Artin]] {{OEIS2C|A005596}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.373955... </math>

*[[Hằng số totient của Landau]] {{OEIS2C|A082695}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p(p-1)}\right) = \frac{315}{2\pi^4}\zeta(3) = 1.943596... </math>

*[[Hằng số Feller–Tornier]] {{OEIS2C|A065493}}:

::<math> \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \prod_{p} \left(1 - \frac{2}{p^2}\right) = 0.661317... </math>

*[[Hằng số lớp toàn phương]] {{OEIS2C|A065465}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p^2(p+1)}\right) = 0.881513... </math>

*[[Hằng số tổng totient]] {{OEIS2C|A065483}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p^2(p-1)}\right) = 1.339784... </math>

*[[Hằng số Sarnak]] {{OEIS2C|A065476}}:

::<math> \prod_{p>2} \left(1 - \frac{p+2}{p^3}\right) = 0.723648... </math>

*[[Hằng số vô tâm]] {{OEIS2C|A065464}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{2p-1}{p^3}\right) = 0.428249... </math>

*[[Hằng số vô tâm]] {{math|×''ζ''(2)}} {{OEIS2C|A065463}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p(p+1)}\right) = 0.704442... </math>

:và nghịch đảo của nó {{OEIS2C|A065489}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p^2+p-1}\right) = 1.419562... </math>

*[[Hằng số vô tâm mạnh]] {{OEIS2C|A065473}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{3p-2}{p^3}\right) = 0.286747... </math>

*[[Hằng số vô tâm mạnh]] {{math|×''ζ''(2)<sup>2</sup>}} {{OEIS2C|A065472}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{\left(p+1\right)^2}\right) = 0.775883... </math>

*[[Hằng số Stephens]] {{OEIS2C|A065478}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{p}{p^3-1}\right) = 0.575959... </math>

*[[Hằng số Barban]] {{OEIS2C|A175640}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 + \frac{3p^2-1}{p(p+1)\left(p^2-1\right)}\right) = 2.596536... </math>

*[[Hằng số Taniguchi]] {{OEIS2C|A175639}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{3}{p^3}+\frac{2}{p^4}+\frac{1}{p^5}-\frac{1}{p^6}\right) = 0.678234... </math>

*[[Hằng số Heath-Brown–Moroz|Hằng số của Heath-Brown và Moroz]] {{OEIS2C|A118228}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^7 \left(1 + \frac{7p+1}{p^2}\right) = 0.0013176... </math>

==Chú thích==
{{tham khảo}}

==Tham khảo==
{{ref begin}}
* [[G. Polya]], ''Induction and Analogy in Mathematics Volume 1'' Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 ''(A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)''
* {{Apostol IANT}} ''(Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)''
* [[G.H. Hardy]] and [[E.M. Wright]], ''An introduction to the theory of numbers'', 5th ed., Oxford (1979) {{isbn|0-19-853171-0}} ''(Chapter 17 gives further examples.)''
* George E. Andrews, Bruce C. Berndt, ''Ramanujan's Lost Notebook: Part I'', Springer (2005), {{isbn|0-387-25529-X}}
* G. Niklasch, ''Some number theoretical constants: 1000-digit values"
{{ref end}}

==Liên kết ngoài==
{{ref begin}}
* {{PlanetMath attribution|urlname=EulerProduct|title=Euler product}}
*{{Eom| title = Euler product | author-last1 =Stepanov| author-first1 = S.A.| oldid = 33842}}
* {{mathworld|urlname=EulerProduct|title=Euler Product}}
* {{chú thích web
|last1=Niklasch
|first1=G.
|title=Some number-theoretical constants
|date=23 Aug 2002
|url=http://www.gn-50uma.de/alula/essays/Moree/Moree.en.shtml
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20060612212955/http://gn-50uma.de/alula/essays/Moree/Moree.en.shtml
|archivedate=12 June 2006
}}
{{ref end}}
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Euler Product}}
[[Thể loại:Lý thuyết số giải tích]]
[[Thể loại:Hàm zeta và L-hàm]]
[[Thể loại:Hằng số toán học]]
[[Thể loại:Tích vô hạn]]