Xem mã nguồn của Tích phân từng phần

{{Giải tích}}

Trong [[vi tích phân]] nói riêng, và trong [[giải tích toán học]] nói chung, '''tích phân từng phần''' là quá trình tìm [[tích phân]] của [[Tích (toán học)|tích]] các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Nó thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án có thể được tìm thấy dễ dàng hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp [[quy tắc nhân]] của [[đạo hàm]].

Nếu {{Math|''u''}} {{=}} {{Math|''u''(''x'')}} và {{Math|''du''}} {{=}} {{Math|''u''′(''x'')&nbsp;''dx''}}, trong đó {{Math|''v''}} {{=}} {{Math|''v''(''x'')}} và {{Math|''dv''}} {{=}} {{Math|''v''′(''x'')&nbsp;''dx''}}, thì tích phân từng phần phát biểu rằng:
: <math>{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\end{aligned}}} </math>
hay gọn hơn:
: <math>\int u \, dv=uv-\int v \, du.\!</math>
Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho [[tích phân Riemann-Stieltjes]] và [[tích phân Lebesgue-Stieltjes]]. Chuỗi số cũng có mô hình rời rạc tương tự gọi là [[tổng từng phần]].

== Định lý ==

=== Tích của hai hàm ===
Định lý có thể được suy ra như sau. Giả sử ''u''(''x'') và ''v''(''x'') là hai [[hàm]] [[khả vi liên tục]]. [[Quy tắc nhân]] phát biểu rằng (theo [[ký hiệu của Leibniz]]):
: <math>\frac{d}{dx}\Big(u(x)v(x)\Big) = v(x) \frac{d}{dx}\left(u(x)\right) + u(x) \frac{d}{dx}\left(v(x)\right).\!</math>
Tích phân cả hai vế đối với ''x'',
: <math>\int \frac{d}{dx}\left(u(x)v(x)\right)\,dx = \int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x)\,dx </math>
sau đó áp dụng định nghĩa của [[nguyên hàm]],
: <math>u(x)v(x) = \int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x)\,dx</math>
: <math>\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx</math>
cho ta công thức '''tích phân từng phần'''.

Bởi vì ''du'' và ''dv'' là các [[vi phân]] của một hàm một biến ''x'',
: <math>du=u'(x)dx \quad dv=v'(x)dx </math>
: <math>\int u(x)\,dv = u(x)v(x) - \int v(x)\,du</math>
Tích phân gốc ∫''uv''′&nbsp;''dx'' chứa ''v''′ ([[đạo hàm]] của ''v''); để áp dụng định lý, phải tim [[nguyên hàm]] ''v'' (của ''v''′), và tính tích phân ∫''vu''′&nbsp;''dx.''

=== Mở rộng cho các trường hợp khác ===
Điều kiện ''u'' và ''v'' khả vi liên tục là không thực cần thiết. Tích phân từng phần chỉ được áp dụng nếu ''u'' là [[hoàn toàn liên tục|liên tục tuyệt đối]] và hàm được chọn ''{{Math|v'}}'' phải [[khả tích Lebesgue]] (nhưng không nhất thiết là liên tục).<ref>{{Chú thích web|title=Integration by parts|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Integration_by_parts|website=Encyclopedia of Mathematics}}</ref> (Nếu ''v''' có một điểm gián đoạn thì nguyên hàm ''v'' của nó có thể không có đạo hàm tại điểm đó.)

Nếu khoảng tích phân không phải là không gian [[compact]] thì ''u'' không cần thiết phải hoàn toàn liên tục trong toàn khoảng hoặc ''v''&nbsp;' không cần thiết phải là khả tích Lebesgue trong khoảng, như một vài ví dụ sẽ cho thấy, trong đó ''u'' và ''v'' là liên tục và khả vi liên tục. Ví dụ nếu
: <math>u(x)=\exp(x)/x^2,\,v'(x)=\exp(-x)</math>
''u'' không liên tục hoàn toàn trên khoảng <span class="texhtml ">&#x5B;1, +∞)</span>, tuy nhiên
: <math>\int_1^\infty u(x)v'(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_1^\infty - \int_1^\infty u'(x)v(x)\,dx</math>
miễn là <math>\left[u(x)v(x)\right]_1^\infty</math> có nghĩa là giới hạn <math>u(L)v(L)-u(1)v(1)</math> khi<math>L\to\infty</math> và miễn là hai số hạng ở vế phải hữu hạn. Điều này chỉ đúng khi chúng ta chọn <math>v(x)=-\exp(-x).</math> Tương tự, nếu
: <math>u(x)=\exp(-x),\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)</math>
''v''' không khả vi Lebesgue trên khoảng <span class="texhtml ">&#x5B;1, +∞)</span>, tuy nhiên
: <math>\int_1^\infty u(x)v'(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_1^\infty - \int_1^\infty u'(x)v(x)\,dx</math>
với giải thích tương tự.

Người ta cũng có thể dễ dàng đưa ra những ví dụ như thế này nhưng trong đó ''u'' và ''v'' '''không '''khả vi liên tục.

=== Tích của nhiều hàm ===
Áp dụng quy tắc tích để tìm tích phần cho ba hàm nhân nhau, ''u''(''x''), ''v''(''x''), ''w''(''x''), cho kết quả tương tự:
: <math>\int_a^b u v \, dw = [u v w]^{b}_{a} - \int_a^b u w \, dv - \int_a^b v w \, du.</math>
Tổng quát với ''n'' thừa số
: <math>\frac{d}{dx} \left(\prod_{i=1}^n u_i(x) \right)= \sum_{j=1}^n \prod_{i\neq j}^n u_i(x) \frac{du_j(x)}{dx}, </math>
dẫn đến
: <math> \Bigl[ \prod_{i=1}^n u_i(x) \Bigr]_a^b = \sum_{j=1}^n \int_a^b \prod_{i\neq j}^n u_i(x) \, du_j(x), </math>
trong đó [[tích]] thuộc tất cả các hàm ngoại trừ một hàm được lấy đạo hàm trong cùng số hạng.

== Sự hình dung ==
[[Tập tin:Integration_by_parts_v2.svg|thumb|280x280px|Giải thích bằng đồ họa của định lý. Đường cong trong hình được tham số hoá bởi biến t.]]
Xem xét đường cong tham số bởi (''x'', ''y'') = (''f''(''t''), ''g''(''t'')). Giả sử rằng đường cong là [[đơn ánh]] cục bộ và [[khả tích cục bộ]], ta định nghĩa
: <math>x(y) = f(g^{-1}(y))</math>
: <math>y(x) = g(f^{-1}(x))</math>
Diện tích vùng màu xanh là
: <math>A_1=\int_{y_1}^{y_2}x(y)dy</math>
Tương tự như vậy, diện tích của vùng màu đỏ là
: <math>A_2=\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx</math>
Tổng diện tích ''A''<sub>1</sub> + ''A''<sub>2</sub> bằng diện tích của hình chữ nhật lớn hơn, ''x''<sub>2</sub>''y''<sub>2</sub>, trừ đi diện tích của hình chữ nhật nhỏ hơn, ''x''<sub>1</sub>''y''<sub>1</sub>:
: <math>\overbrace{\int_{y_1}^{y_2}x(y)dy}^{A_1}+\overbrace{\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx}^{A_2}=\biggl.x. y(x)\biggl|_{x1}^{x2} = \biggl.y. x(y)\biggl|_{y1}^{y2}</math>
Hoặc theo tham số ''t''

<math>{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)dy(t)+\int _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)dx(t)={\biggl .}x(t)y(t){\biggl |}_{t_{1}}^{t_{2}}}</math>

Hoặc biễu diễn theo nguyên hàm:
: <math>\int xdy + \int y dx = xy</math>
Chỉnh lại:
: <math>\int xdy = xy - \int y dx</math>
Từ đó tích phân từng phần có thể coi là diện tích của vùng màu xanh trong tổng diện tích và diện tích của vùng đỏ.

Sự hình dung này cũng lý giải việc tích phân từng phần có thể tính tích phân của hàm nghịch đảo ''f''<sup>−1</sup>(''x'') khi đã biết tích phân của ''f''(''x''). Thật vậy, nếu hàm ''x''(''y'') và ''y''(''x'') là nghịch đảo của nhau thì có thể tìm tích phân ∫''x dy'' khi đã biết tích phân ∫''y dx''. Cụ thể, điều này giải thích việc kết hợp sử dụng tích phân từng phần với [[Lôgarit|hàm logarithm]] và [[hàm lượng giác nghịch đảo]].

== Ứng dụng để tìm nguyên hàm ==

=== Kịch bản ===
Tích phân từng phần là một quá trình [[suy nghiệm]] hơn là một quá trình máy móc thuần tuý để tính toán tích phân; cho một hàm đơn để tích phân, các chiến lược điển hình là cẩn thận tách nó thành tích của hai hàm ''u''(''x'')''v''(''x'') sao cho tích phân được tạo bởi công thức tích phân từng phần dễ tính toán hơn so với tích phân gốc. Công thức sau minh họa kịch bản trường hợp tốt nhất:
: <math>\int uv\ dx = u \int v\ dx - \int\left(u' \int v\ dx \right)\ dx.</math>
Lưu ý rằng ở vế phải, ''u'' được lấy đạo hàm và ''v'' được lấy tích phân; do đó sẽ hữu ích khi chọn ''u'' là một hàm có thể giản hóa khi lấy đạo hàm, hoặc khi chọn ''v'' là hàm đơn giản hóa được khi được lấy tích phân. Xét ví dụ đơn giản sau:
: <math>{\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx\ .}</math>
Do đạo hàm của ln(''x'') là {{Sfrac|1|''x''}}, ta chọn (ln(''x'')) là ''u''; do nguyên hàm của{{Sfrac|1|''x''<sup>2</sup>}} là -{{Sfrac|1|''x''}}, chọn {{Sfrac|1|''x''<sup>2</sup>}}''dx'' làm ''dv''. Từ đó ta có:
: <math>{\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\ dx\ .}</math>
Nguyên hàm của <math>-\frac1{x^2}</math><span class="sfrac nowrap" style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;" contenteditable="false"></span> có thể được tìm thấy bằng [[quy tắc luỹ thừa]] và bằng <math>\frac 1x</math><span class="sfrac nowrap" style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;" contenteditable="false"></span>.

Ngoài ra, người ta có thể chọn ''u'' và ''v'' sao cho tích ''u''' (∫''v dx'') triệt tiêu nhau. Ví dụ, giả sử ta muốn tích phân:
: <math>\int\sec^2(x)\cdot\ln\Big(\bigl|\sin(x)\bigr|\Big)\ dx.</math>
Nếu chúng ta chọn ''u''(''x'') = ln(|sin(''x'')|) và ''v''(''x'') = sec<sup>2</sup>x, thì ''u'' được lấy vi phân tới  1/ tan ''x'' bằng cách sử dụng [[quy tắc chuỗi]] và ''v'' được lấy tích phân tan ''x''; do đó công thức cho:
: <math>{\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}dx\ .} {\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}dx\ .}</math>
Hàm lấy tích phân trở thành 1 và có nguyên hàm là ''x''. Tìm ra sự kết hợp co thể giản hóa thường cần thử sai.

Trong một số trường hợp, không đảm bảo rằng tích phân tạo bởi tích phân từng phần sẽ có dạng đơn giản; Ví dụ, trong [[giải tích số]], ta có thể chấp nhận khi chỉ tạo ra một số sai sót nhỏ. Một số kỹ thuật đặc biệt khác được chứng minh trong các ví dụ dưới đây.
; Hàm đa thức và hàm lượng giác
Để tính
: <math>I=\int x\cos(x)\ dx\,</math>
đặt:
: <math>u = x\ \Rightarrow\ du = dx</math>
: <math>dv = \cos(x)\ dx\ \Rightarrow\ v = \int\cos(x)\ dx = \sin(x)</math>
thì:
: <math>
\begin{align}
  \int x\cos(x)\ dx & = \int u\ dv \\
  & = u\cdot v - \int v \, du \\
  & = x\sin(x) - \int \sin(x)\ dx \\
  & = x\sin(x) + \cos(x) + C,
\end{align}
\!</math>
với ''C'' là [[hằng số tích phân]].

Đối với bậc cao hơn của ''x'' trong dạng
: <math>\int x^n e^x\ dx,\ \int x^n\sin(x)\ dx,\ \int x^n\cos(x)\ dx\,</math>
sử dụng nhiều lần tích phân từng phần có thể tính các tích phân thuộc loại này; mỗi lần sử dụng sẽ giảm một bậc của ''x''.
; Hàm mũ và hàm lượng giác
Một ví dụ thường dùng để tính tích phân từng phần là
: <math>I=\int e^x\cos(x)\ dx.</math>
Ở đây, ta thực hiện tích phân từng phần hai lần. Đầu tiên đặt
: <math>u = \cos(x)\ \Rightarrow\ du = -\sin(x)\ dx</math>
: <math>dv = e^x\ dx\ \Rightarrow\ v = \int e^x\ dx = e^x</math>
thì:
: <math>\int e^x\cos(x)\ dx = e^x\cos(x) + \int e^x\sin(x)\ dx.</math>
Giờ, để tính tích phân còn lại, chúng ta sử dụng tích phân từng phần một lần nữa, với:
: <math>u = \sin(x)\ \Rightarrow\ du = \cos(x)\ dx</math>
: <math>dv = e^x\ dx\ \Rightarrow\ v = \int e^x\ dx = e^x.</math>
thì:
: <math>\int e^x\sin(x)\ dx = e^x\sin(x) - \int e^x\cos(x)\ dx.</math>
Kết hợp lại,
: <math>\int e^x\cos(x)\ dx = e^x\cos(x) + e^x\sin(x) - \int e^x\cos(x)\ dx.</math>
Tích phân giống nhau xuất hiện trên cả hai vế của phương trình này. Thêm tích phân cần tính vào 2 vế, ta có
: <math>2\int e^x\cos(x)\ dx = e^x\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) + C</math>
mà trở thành:
: <math>\int e^x\cos(x)\ dx = \frac{e^x\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr)}{2} + C'</math>
trong đó ''C'' (và ''C''<nowiki>'</nowiki> = ''C''/2) là các [[hằng số tích phân]].

Phương pháp tương tự được sử dụng để tìm [[tích phân của hàm sec bậc ba]].
; Các hàm được nhân với phần tử đơn vị
Hai ví dụ nổi tiếng khác khi áp dụng tích phân từng phần cho một hàm được biểu diễn là tích của 1 và chính nó. Có thể tính tích phân này nếu biết đạo hàm của hàm đó và tích phân của đạo hàm này nhân ''x.''

Ví dụ đầu tiên là ∫ ln(''x'') d''x''. Chúng ta viết tích phân này như:
: <math>{\displaystyle I=\int \ln(x)\cdot 1\ dx\ .}</math>
Đặt:
: <math>u = \ln(x)\ \Rightarrow\ du = \frac{dx}{x}</math>
: <math>dv = dx\ \Rightarrow\ v = x</math>
thì:
: <math>
\begin{align}
\int \ln(x)\ dx & = x\ln(x) - \int\frac{x}{x}\ dx \\
& = x\ln(x) - \int 1\ dx \\
& = x\ln(x) - x + C
\end{align}
</math>
trong đó ''C'' là [[hằng số tích phân]].

Ví dụ thứ hai là hàm tan nghịch arctan(''x''):
: <math>I=\int\arctan(x)\ dx.</math>
Viết lại
: <math>\int\arctan(x)\cdot 1\ dx.</math>
Đặt:
: <math>u = \arctan(x)\ \Rightarrow\ du = \frac{dx}{1+x^2}</math>

: <math>dv = dx\ \Rightarrow\ v = x</math>
thì
: <math>
\begin{align}
\int\arctan(x)\ dx
& = x\cdot\arctan(x) - \int\frac{x}{1+x^2}\ dx \\[8pt]
& = x\cdot\arctan(x) - \frac{\ln(1+x^2)}{2} + C
\end{align}
</math>
sử dụng kết hợp giữa [[Phép đổi biến tích phân|phương pháp quy tắc chuỗi đảo]] và [[Lôgarit tự nhiên|điều kiện tích phân của hàm logarit tự nhiên]].

=== Quy tắc LIATE ===

== Ứng dụng trong toán học thuần tuý ==
Tích phân từng phần thường được sử dụng như một công cụ để chứng minh các định lý trong [[giải tích toán học]]. Phần này đưa ra vài ví dụ.

=== Dùng trong các hàm đặc biệt ===

=== Dùng trong giải tích điều hòa ===
; Biến đổi Fourier của đạo hàm

; Phân rã của biến đổi Fourier

=== Dùng trong lý thuyết toán tử ===

=== Các ứng dụng khác ===
* Để xác định [[điều kiện biên]] trong [[lý thuyết Sturm-Liouville]]
* Đạo hàm của [[phương trình Euler-Lagrange]] trong [[giải tích của biến thể]]

== Tích phân đệ quy từng phần ==

=== Bảng tích phân từng phần ===

== Các chiều cao hơn ==

== Xem thêm ==
* Integration by parts for the Lebesgue–Stieltjes integral
* Integration by parts for semimartingales, involving their quadratic covariation.
* [[Phép đổi biến tích phân|Integration by substitution]]
* Legendre transformation

== Ghi chú ==
{{tham khảo}}

== Tham khảo ==
* {{Chú thích sách|first=Lawrence C.|last=Evans|title=Partial Differential Equations|url=https://archive.org/details/partialdifferent0019evan|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, Rhode Island|year=1998|isbn=0-8218-0772-2}}
* {{Chú thích sách|first1=Todd|last1=Arbogast|author1-link=Todd Arbogast|last2=Bona|first2=Jerry|title=Methods of Applied Mathematics|url=http://www.math.utexas.edu/users/arbogast/appMath08.pdf|format=PDF|year=2005}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Horowitz|first=David|title=Tabular Integration by Parts|url=https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_1990-09_21_4/page/307|journal=The College Mathematics Journal|volume=21|issue=4|pages=307–311|date=September 1990|doi=10.2307/2686368|jstor=2686368}}<cite class="citation journal" contenteditable="false">"Tabular Integration by Parts". ''The College Mathematics Journal'' '''21''' (4): 307–311. [[DOI|doi]]:[[doi:10.2307/2686368|10.2307/2686368]].</cite><cite class="citation journal" contenteditable="false">[[JSTOR]]&nbsp;[//www.jstor.org/stable/2686368 2686368].</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AIntegration+by+parts&rft.atitle=Tabular+Integration+by+Parts&rft.aufirst=David&rft.aulast=Horowitz&rft.date=1990-09&rft.genre=article&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F2686368&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2686368&rft.issue=4&rft.jtitle=The+College+Mathematics+Journal&rft.pages=307-311&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.volume=21" contenteditable="false">&nbsp;</span>

== Liên kết ngoài ==
* {{SpringerEOM|title=Integration by parts|id=p/i051730}}
* [http://mathworld.wolfram.com/IntegrationbyParts.html Integration by parts—from MathWorld]
{{Tích phân}}{{Chủ đề vi tích phân}}
[[Thể loại:Giải tích toán học]]