Xem mã nguồn của Tích vô hướng

{{Đối với|khái niệm tích vô hướng trừu tượng|Không gian tích trong}}
{{Đối với|tích của vectơ với một số hay với vô hướng|Phép nhân vô hướng}}
[[Tập tin:Scalar-product-dot-product.svg|nhỏ|Tích vô hướng hình học, định nghĩa bởi góc.]]
'''Tích vô hướng''' (tên tiếng Anh: '''dot product''' hoặc '''scalar product''') là một [[phép toán đại số]] lấy hai chuỗi số có độ dài bằng nhau (thường là các [[vectơ tọa độ]]) và cho kết quả là một [[số]]. Trong [[hình học Euclid]], tích vô hướng với [[tọa độ Descartes]] của hai vectơ thường được sử dụng. Tích vô hướng cũng thường được gọi là '''tích trong Euclid''' dù nó không phải là loại tích trong duy nhất có thể được định nghĩa trong không gian Euclid (xem thêm tại [[Không gian tích trong]]).

== Định nghĩa ==

=== Định nghĩa đại số ===
Tích vô hướng của hai vectơ <span class="nowrap" contenteditable="false">'''A''' = [''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>,.</span><span class="nowrap" contenteditable="false">.</span><span class="nowrap" contenteditable="false">., ''A''<sub>''n''</sub>]</span> và <span class="nowrap" contenteditable="false">'''B''' = [''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>,.</span><span class="nowrap" contenteditable="false">.</span><span class="nowrap" contenteditable="false">., ''B''<sub>''n''</sub>]</span> được định nghĩa như sau:<ref name="Lipschutz2009">{{Chú thích sách|author=S. Lipschutz, M. Lipson|first1=|title=Linear Algebra (Schaum’s Outlines)|url=https://archive.org/details/linearalgebra0000lips_a2h3|edition=4th|year=2009|publisher=McGraw Hill|isbn=978-0-07-154352-1}}</ref>
: <math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\sum_{i=1}^n A_iB_i=A_1B_1+A_2B_2+\cdots+A_nB_n</math>

trong đó Σ là p[[Phép lấy tổng|hép lấy tổng]] và ''n'' là số chiều của [[không gian vectơ]].

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng, tích vô hướng của hai vectơ <span class="nowrap" contenteditable="false">[a, b]</span> và <span class="nowrap" contenteditable="false">[a', b']</span> là: aa'+bb'

Ví dụ 2: Trong [[không gian ba chiều]], tích vô hướng của hai vectơ <span class="nowrap" contenteditable="false">[a, b, c]</span> và <span class="nowrap" contenteditable="false">[a', b', c']</span> là: aa'+bb'+cc'

:

=== Định nghĩa hình học ===
Trong [[không gian Euclide]], một vectơ Euclide là một đối tượng hình học có độ lớn và hướng và được biểu diễn bằng một mũi tên. Độ lớn của vectơ là chiều dài của vectơ và hướng của vectơ là hướng mà mũi tên chỉ đến. Độ lớn của vectơ '''A''' được ký hiệu là <math> \left\| \mathbf{A} \right\| </math>. '''Tích vô hướng''' của hai vectơ Euclide '''A''' and '''B''' được định nghĩa như sau:<ref name="Spiegel2009">{{Chú thích sách|author=M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman|first1=|title=Vector Analysis (Schaum’s Outlines)|url=https://archive.org/details/vectoranalysisan0000lips|edition=2nd|year=2009|publisher=McGraw Hill|isbn=978-0-07-161545-7}}</ref><ref>{{Chú thích sách|author1=A I Borisenko|author2=I E Taparov|title=Vector and tensor analysis with applications|publisher=Dover|translator=Richard Silverman|year=1968|page=14}}</ref>
: <math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\|\mathbf{A}\|\ \|\mathbf{B}\|\cos(\theta),</math>
trong đó θ là góc giữa '''A''' và '''B'''.

Trường hợp đặc biệt, nếu '''A''' và '''B''' [[trực giao]] thì góc giữa chúng là 90°, do đó:
: <math>\mathbf A \cdot \mathbf B = 0.</math>
Nếu chúng cùng hướng thì góc giữa chúng là 0°, do đó:
: <math>\mathbf A \cdot \mathbf B = \left\| \mathbf A \right\| \, \left\| \mathbf B \right\| </math>
Suy ra tích vô hướng của vectơ '''A''' và chính nó là:
: <math>\mathbf A \cdot \mathbf A = \left\| \mathbf A \right\| ^2,</math>
ta có:
: <math> \left\| \mathbf A \right\| = \sqrt{\mathbf A \cdot \mathbf A},</math>
là [[khoảng cách Euclid]] của vectơ, luôn có giá trị dương khi '''A''' khác '''0'''.

==== Tính chất ====
Cho vectơ <span class="nowrap" contenteditable="false">'''A''' = [''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>,.</span><span class="nowrap" contenteditable="false">.</span><span class="nowrap" contenteditable="false">., ''A''<sub>''n''</sub>] ta có <math> \left\| \mathbf A \right\| = \sqrt{\sum_{k=1}^n A_k^2}</math></span>
<br />
=== Phép chiếu vô hướng ===
[[Tập tin:Dot_Product.svg|right|thumb|Phép chiếu vô hướng]]
[[Phép chiếu vô hướng]] của một vectơ Euclide '''A''' lên hướng của vectơ Euclide '''B '''là:
: <math> A_B = \left\| \mathbf A \right\| \cos \theta,</math>
trong đó θ là góc giữa '''A''' và '''B'''.

Theo định nghĩa hình học, tích vô hướng được biểu diễn như sau: 
: <math>A_B = \mathbf A \cdot \widehat{\mathbf B},</math>
trong đó <math> \widehat{\mathbf B} = \mathbf B / \left\| \mathbf B \right\| </math> là [[vectơ đơn vị]] cùng hướng với '''B'''.
[[Tập tin:Dot_product_distributive_law.svg|right|thumb|Tính phân phối của tích vô hướng]]
Tích vô hướng được định nghĩa theo hình học như sau<ref>{{Chú thích sách|last1=Arfken|first1=G. B.|last2=Weber|first2=H. J.|title=Mathematical Methods for Physicists|publisher=[[Academic Press]]|location=Boston, MA|edition=5th|isbn=978-0-12-059825-0|year=2000|pages=14–15}}</ref>
: <math> \mathbf A \cdot \mathbf B = A_B \left\| \mathbf{B} \right\| = B_A \left\| \mathbf{A} \right\|.</math>
Tích vô hướng là thuần nhất, nghĩa là với đại lượng vô hướng ''α'', ta có:
: <math> (\alpha \mathbf{A}) \cdot \mathbf B = \alpha (\mathbf A \cdot \mathbf B) = \mathbf A \cdot (\alpha \mathbf B).</math>
Tích vô hướng thỏa mãn luật [[phân phối]]:
: <math> \mathbf A \cdot (\mathbf B + \mathbf C) = \mathbf A \cdot \mathbf B + \mathbf A \cdot \mathbf C.</math>
Từ những kết quả trên, ta kết luận rằng tích vô hướng thuộc [[dạng song tuyến]]. Hơn nữa, dạng song tuyến là ''xác định dương'', nghĩa là <math> \mathbf A \cdot \mathbf A </math> không bao giờ âm, và bằng 0 khi và chỉ khi <math> \mathbf A = \mathbf 0.</math>

== Tính chất ==
Cho '''a''', '''b''', và '''c''' là các vectơ và ''r'' là [[đại lượng vô hướng]], tích vô hướng thỏa mãn các tính chất sau:.<ref name="Lipschutz2009" /><ref name="Spiegel2009" />
# '''[[Giao hoán]]:'''
#: <math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a},</math>
#: được suy ra từ định nghĩa (''θ'' góc giữa '''a''' và '''b'''):
#: <math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \cos \theta = \left\| \mathbf{b} \right\| \left\| \mathbf{a} \right\| \cos \theta = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}.</math>
# '''[[Phân phối]] cho phép cộng vectơ:'''
#: <math> \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}.</math>
# '''[[Dạng song tuyến]]''':
#: <math> \mathbf{a} \cdot (r \mathbf{b} + \mathbf{c}) = r (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}).</math>
# '''[[Phép nhân vô hướng]]:'''
#: <math> (c_1 \mathbf{a}) \cdot (c_2 \mathbf{b}) = c_1 c_2 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}).</math>
# '''Không có tính [[kết hợp]] '''bởi vì tích vô hướng giữa đại lượng vô hướng ('''a ⋅ b''') và vectơ ('''c''') không tồn tại, tức là biểu thức cho tính kết hợp: ('''a ⋅ b''') ⋅ '''c''' or '''a''' ⋅ ('''b ⋅ c''') là không hợp lệ.<ref>Weisstein, Eric W. "Dot Product."</ref><ref name="BedfordFowler2008">{{Chú thích sách|author1=A. Bedford|author2=Wallace L. Fowler|title=Engineering Mechanics: Statics|url=https://archive.org/details/engineeringmecha0000bedf_h4p8|year=2008|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0-13-612915-8|edition=5th|page=[https://archive.org/details/engineeringmecha0000bedf_h4p8/page/60 60]}}</ref>
# '''[[Trực giao]]:'''
#: Hai vectơ khác vectơ không: '''a''' và '''b''' trực giao khi và chỉ khi <span class="nowrap" contenteditable="false">'''a''' ⋅ '''b''' = 0</span>.
#:Hai vectơ trực giao trong không gian Euclid còn được gọi là [[vuông góc]].
# '''Không có [[tính khử]]:'''
#: Tính khử cho phép nhân của các số được định nghĩa như sau: nếu
#: <span class="nowrap" contenteditable="false">''ab'' = ''ac''</span><span class="nowrap" contenteditable="false"></span>, thì ''b'' luôn luôn bằng ''c'' nếu ''a'' khác 0. Tích vô hướng không tuân theo tính khử:
#: Nếu <span class="nowrap" contenteditable="false">'''a''' ⋅ '''b''' = '''a''' ⋅ '''c'''</span><span class="nowrap" contenteditable="false"></span> và <span class="nowrap" contenteditable="false">'''a''' ≠ '''0'''</span><span class="nowrap" contenteditable="false"></span>, thì ta có: <span class="nowrap" contenteditable="false">'''a''' ⋅ ('''b''' − '''c''') = 0</span> theo như luật [[phân phối]]; suy ra '''a''' trực giao với <span class="nowrap" contenteditable="false">('''b''' − '''c''')</span>, tức là <span class="nowrap" contenteditable="false">('''b''' − '''c''') ≠ '''0'''</span><span class="nowrap" contenteditable="false"></span>, và dẫn đến <span class="nowrap" contenteditable="false">'''b''' ≠ '''c'''</span><span class="nowrap" contenteditable="false"></span>.
# '''Quy tắc đạo hàm tích:''' Nếu '''a''' và '''b''' là [[hàm số]], thì [[đạo hàm]] c<span class="nowrap" contenteditable="false"></span>ủa <span class="nowrap" contenteditable="false">'''a''' ⋅ '''b'''</span> là <span class="nowrap" contenteditable="false">'''a'''′ ⋅ '''b''' + '''a''' ⋅ '''b'''′</span>.

=== Áp dụng cho định lý cos ===
[[Tập tin:Dot_product_cosine_rule.svg|thumb|127x127px|Tam giác có cạnh vectơ '''a''' and '''b''', và góc giữa 2 vectơ là ''θ''.]]
Hai vectơ '''a''' và '''b''' có góc giữa hai vectơ là ''θ'' (như trong hình bên phải) tạo thành một [[tam giác]] có cạnh thứ ba là <span class="nowrap" contenteditable="false">'''c''' = '''a''' − '''b'''</span>. Tích vô hướng của '''c''' và chính nó là [[Định lý cos]]:
: <math>
\begin{align}
\mathbf{c} \cdot \mathbf{c}  & = (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \\
 & = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \\
 & = a^2 - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + b^2 \\
 & = a^2 - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + b^2 \\
 c^2 & = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \theta \\
\end{align}
</math>

== Tổng quát hóa ==

=== Tích trong ===
{{Chính|Không gian tích trong}}

Tổng quát hoá của khái niệm tích vô hướng là khái niệm [[tích trong]]. Đó là khái niệm trừu tượng trang bị cho một không gian vectơ ''H'' trên trường ''K'' (''K'' thường là trường số phức hay số thực) để có thể biến nó thành một [[không gian tích trong]] hay sau đó là [[không gian Hilbert]]. Đó là một hàm hai biến <math>f: (\vec x,\vec y) \to \left \langle \vec x,\vec y \right \rangle \mbox{and } K \to H\times H</math> thỏa mãn 4 tiên đề sau:

1. <math> \langle \vec x,\vec y \rangle = \overline{\langle \vec y,\vec x\rangle}</math>,

2. <math>\langle \vec x+\vec y,\vec z\rangle = \langle \vec x, \vec z \rangle + \langle \vec y,\vec z \rangle </math>,

3. <math> \langle \lambda \vec x,\vec y\rangle = \lambda \langle \vec x, \vec y \rangle </math>,

4. <math>\langle x,x \rangle  = |x|^2;\ \langle x,x \rangle = 0 </math> khi và chỉ khi <math> \vec x = \vec 0</math>.

với mọi <math> \vec x,\vec y \in H,\ \varphi \in K </math>

Đây là tiên đề hóa để xây dựng khái niệm tích vô hướng từ một số tính chất cơ bản của tích vô hướng thông thường của 2 vectơ hình học trong mặt phẳng (hay không gian) nhằm mô tả khái niệm góc (trực giao) của 2 vectơ trong một không gian vectơ trừu tượng.

Nếu không gian vectơ H được trang bị bởi một tích vô hướng trên đó thì nó trở thành không gian định chuẩn với chuẩn được cho bởi công thức

<math> \|\vec x\| =\sqrt {\langle \vec x,\vec x\rangle},\ \forall \vec x \in H </math>

=== Vectơ phức ===
Đối với các vectơ với thành phần [[Số phức|phức]], tích vô hướng tiêu chuẩn được định nghĩa ở dưới, với các tính chất song tuyến và đối xứng giao hoán ở trên được thay bởi tính [[Dạng nửa tuyến tính|nửa tuyến tính]] liên hợp và tính đối xứng liên hợp để giữ được tính xác định dương<ref name="Lipschutz2009" /><ref>{{citation|page=287|first=Sterling K.|last=Berberian|title=Linear Algebra|year=2014|orig-year=1992|publisher=Dover|isbn=978-0-486-78055-9}}</ref>

: <math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum{\overline{a_i}\,b_i} ,</math>

trong đó thành phần <math>\overline{a_i}</math> là [[liên hợp phức]] của thành phần <math>a_i</math>. Cũng có thể viết nó theo vectơ [[chuyển vị liên hợp]] (ký hiệu bởi chữ mũ ''H''):

: <math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^H \mathbf{b}.</math>

trong đó các vectơ được viết dưới dạng [[vectơ hàng]].  Ta có tính xác định dương, nghĩa là tích vô hướng của bất kỳ vectơ với chính nó là một số thực không âm, và nó khác 0 trừ khi vectơ đó là vectơ không. Tuy nhiên tích vô hướng này lại là một [[dạng nửa tuyến tính]] thay vì là một dạng song tuyến tính: nó tuyến tính liên hợp thay vì tuyến tính đối với '''a''', hơn nữa tích vô hướng này không đối xứng (giao hoán), bởi vì

: <math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \overline{\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}} .</math>

Góc giữa hai vectơ phức được cho bởi công thức:

: <math> \cos \theta = \frac{\operatorname{Re} ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} )}{ \left\| \mathbf{a} \right\| \, \left\| \mathbf{b} \right\| } .</math>

Tuy nhiên, loại tích vô hướng này rất hữu ích, và nó dẫn đến các khái niệm [[dạng Hermite]] và [[không gian tích trong]] tổng quát. Tích vô hướng với chính nó của một vectơ phức <math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}</math> là một sự tổng quát hóa của [[Bình phương|bình phương tuyệt đối]] của một vô hướng phức.

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

== Liên kết ngoài ==
* [http://bachkhoatoanthu.vass.gov.vn/noidung/tudien/Lists/GiaiNghia/View_Detail.aspx?ItemID=7398 Tích vô hướng] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160919193958/http://bachkhoatoanthu.vass.gov.vn/noidung/tudien/Lists/GiaiNghia/View_Detail.aspx?ItemID=7398 |date=2016-09-19 }} trên [[Từ điển bách khoa Việt Nam]]
{{Kiểm soát tính nhất quán}}
{{Đại số tuyến tính}}
{{Đại số}}

[[Thể loại:Hình học giải tích]]
[[Thể loại:Đại số tuyến tính]]