Xem mã nguồn của Tính giao hoán

{{Short description|Tính chất của phép toán hai ngôi}}
{{Use dmy dates|date=July 2013}}
{{Infobox mathematical statement
| name = {{PAGENAMEBASE}}
| image = Commutativity of binary operations (without question mark).svg
| caption = Phép toán <math>\circ</math> có tính giao hoán ''[[khi và chỉ khi]]'' <math>x\circ y = y \circ x</math> với mọi <math>x</math> và <math>y</math>. Bức ảnh này mô tả rõ khái niệm của phép toán dưới hình ảnh của "máy tính toán". Đầu ra của cỗ máy không phụ thuộc vào <math>x\circ y</math> hay <math>y \circ x</math> tương ứng với các tham số đầu vào <math>x</math> và <math>y</math> có – giá trị tính ra sẽ đều như nhau.
| type = [[Nguyên lý|Luật]], [[quy tắc thay]]
| field = {{Plainlist|
* [[Đại số sơ cấp]]
* [[Đại số Boole]]
* [[Lý thuyết nhóm]]
* [[Lý thuyết vành]]
* [[Calculus mệnh đề]]
}}
| statement =[[Phép toán hai ngôi]] có '''tính giao hoán''' nếu thay đổi thứ tự hai [[toán hạng]] không làm thay đổi kết quả.
| symbolic statement = {{plainlist|
* Định nghĩa 1: <math>x * y = y * x\qquad\forall x,y\in S.</math>
* Logic mệnh đề:
** <math>(P \lor Q) \Leftrightarrow (Q \lor P)</math>
** <math>(P \land Q) \Leftrightarrow (Q \land P)</math>
}}
}}

Trong [[toán học]], một [[phép toán hai ngôi]] có tính '''giao hoán''' khi thay đổi thứ tự của hai [[toán hạng]] không làm thay đổi giá trị kết quả. Nó là tính chất cơ bản của nhiều phép toán hai ngôi và nhiều [[chứng minh toán học]] dựa trên tính chất này. Các ví dụ dễ thấy của tính chất là {{nowrap|1="3 + 4 = 4 + 3"}} hay {{nowrap|1="2 × 5 = 5 × 2"}}. Lý do cần nhận biết tính giao hoán là bởi có những phép toán như [[phép chia]] và [[phép trừ]] không có nó (lấy ví dụ, {{nowrap|"3 − 5 ≠ 5 − 3"}}); các phép toán đó ''không'' có tính giao hoán, nên thường được gọi là ''phép toán không giao hoán''. Bởi ý tưởng rằng các phép toán đơn giản như [[phép nhân]] và [[phép cộng]] của số thực luôn có tính giao hoán, tính giao hoán thường được mặc định trước trong rất nhiều năm. Do đó, phải tới thế kỷ 19 khi toán học đang được chuẩn hoá tính chất này mới có cái tên riêng.<ref name="Cabillón" /><ref name=Flood11 /> Có một tính chất tương tự dành cho [[quan hệ hai ngôi]]; một quan hệ hai ngôi được gọi là [[quan hệ đối xứng|đối xứng]] nếu quan hệ đúng bất kể thứ tự toán hạng trong đó; ví dụ, quan hệ [[đẳng thức|bằng nhau]] đối xứng là vì hai [[đối tượng toán học]] bằng nhau sẽ bằng nhau bất kể thứ tự của nó.<ref>{{MathWorld|id=SymmetricRelation|title=Symmetric Relation}}</ref>

== Định nghĩa ==
[[Phép toán hai ngôi]] <math>*</math> trên [[tập hợp (toán học)|tập]] ''S'' được gọi là ''giao hoán'' nếu<ref name="Krowne, p.1">Krowne, p.1</ref><ref>Weisstein, ''Commute'', p.1</ref>
<math>x * y = y * x\,\mbox{với mọi }x,y\in S.</math> 
Phép toán không thoả mãn tính chất trên được gọi là phép toán ''không giao hoán''.

Có thể nói {{mvar|x}} ''giao hoán'' với {{math|''y''}} hay {{mvar|x}} và {{mvar|y}} ''giao hoán'' dưới phép toán <math>*</math> nếu
<math> x * y = y * x.</math>
Nói cách khác, phép toán hai ngôi có tính giao hoán khi mọi cặp phần tử giao hoán dưới phép toán đó.

=== Lưu ý ===
Tính giao hoán chỉ cho phép thứ tự toán hạng có thể thay đổi trong một cặp phần tử đang tính. Ta chỉ được phép thay đổi tuỳ ý thứ tự các toán hạng trong các biểu thức có nhiều hơn hai toán hạng khi phép toán hai ngôi đang xét vừa có [[tính kết hợp]] vừa có tính giao hoán. Thật vậy, giả sử trong biểu thức a * b * c, ta muốn nhân a với c rồi mới nhân b. Thứ tự thực hiện phép toán như vậy không thể làm được bởi

<math> a * b * c = (a * b) * c = (b * a) * c \neq b * (a * c) </math>

và <math>a * b * c \neq a * (b * c) = a * (c * b)</math>

== Các ví dụ ==
[[File:Commutative Addition.svg|thumb|Cộng số các quả táo với nhau được xem là phép cộng các số tự nhiên, là một ví dụ điển hình về tính giao hoán.]]

=== Phép toán giao hoán ===
[[File:Vector Addition.svg|thumb|Phép cộng các vectơ có tính giao hoán bởi <math>\vec a+\vec b=\vec b+ \vec a</math>.]]
* [[Phép cộng]] và [[phép nhân]] có tính giao hoán trong gần như mọi [[hệ thống số]], cụ thể là trong [[số tự nhiên]], [[số nguyên]], [[số hữu tỉ]], [[số thực]] và [[số phức]]. Tính chất này đúng trong tất cả các [[trường (toán học)|trường]].
* Phép cộng trong mọi [[không gian vectơ]] và trong mọi [[đại số trên trường|đại số]].
* Phép [[Hợp (lý thuyết tập hợp)|hợp]] và [[Giao (lý thuyết tập hợp)|giao]] có tính giao hoán trên các tập hợp.
* "[[Phép hội|Hội]]" và "[[Phép tuyến|tuyển]]" là hai [[phép toán logic]] có tính giao hoán.

=== Phép toán không giao hoán ===
Một số phép toán không giao hoán:<ref>{{harvnb|Yark|p=1}}</ref>

==== Phép chia, phép trừ và phép mũ====

[[Phép chia]] không giao hoán, bởi <math>1 \div 2 \neq 2 \div 1</math>.

[[Phép trừ]] không giao hoán bởi <math>0 - 1 \neq 1 - 0</math>. Tuy nhiên ta có thể gọi nó có tính [[phản giao hoán]], bởi <math>0 - 1 = - (1 - 0)</math>.

[[Phép mũ]] không giao hoán bởi <math>2^3\neq3^2</math>.

====Hàm chân lý====

Một số [[hàm chân lý]] không có tính giao hoán, bởi [[bảng chân lý]] cho các hàm đó thay đổi khi ta thay đổi thứ tự toán hạng. Lấy ví dụ, bảng chân lý cho   {{math|(A ⇒ B) {{=}} (¬A ∨ B)}} và {{math|(B ⇒ A) {{=}} (A ∨ ¬B)}} là
:{{aligned table
 | class=wikitable
 | style=text-align:center; width:20%;
 | cols=4
 | col3style=width:30%;
 | col4style=width:30%;
 | row1header=yes
 | {{math|A}} | {{math|B}} | {{math|A ⇒ B}} | {{math|B ⇒ A}} 
 | F | F | T | T
 | F | T | T | F
 | T | F | F | T
 | T | T | T | T
 }}

====Hợp các hàm tuyến tính====  	
[[Hàm hợp|Phép hợp]] các [[hàm tuyến tính]] từ các [[số thực]] sang số thực gần như luôn không giao hoán. Lấy ví dụ, đặt <math>f(x)=2x+1</math> và <math>g(x)=3x+7</math>. Khi đó
:<math>(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2(3x+7)+1 = 6x+15</math>
và
:<math>(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 3(2x+1)+7 = 6x+10</math>
Điều này cũng cho các biển đổi [[ánh xạ tuyến tính|tuyến tính]] và [[biến đổi affin]] từ một không gian vectơ tới chính nó (xem biểu diễn ma trận bên dưới).

====Phép nhân ma trận====

[[Phép nhân ma trận|Phép nhân]] các [[ma trận vuông]] gần như luôn không giao hoán, lấy ví dụ:
:<math>
  \begin{bmatrix}
    0 & 2 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    1 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} 
  \begin{bmatrix}
    0 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} \neq
  \begin{bmatrix}
    0 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} 
  \begin{bmatrix}
    1 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    0 & 1 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
</math>

====Tích vectơ====

[[Tích vectơ]] của hai vectơ trong không gian ba chiều có tính [[phản giao hoán]]; tức là ''b'' × ''a'' =  −(''a'' × ''b'').

== Lịch sử và từ nguyên học==
[[File:Commutative Word Origin.PNG|right|thumb|250px|Từ này lần đầu được dùng trong một tạp chí Pháp xuất bản vào năm 1814]]

Các bản ghi lại sử dụng tính giao hoán đã có từ thời cổ đại. Người Ai Cập sử dụng tính giao hoán của [[phép nhân]] để đơn giản hoá các [[tích (toán học)|tích]] trong tính toán.<ref>{{harvnb|Lumpkin|1997|p=11}}</ref><ref>{{harvnb|Gay|Shute|1987}}</ref> [[Euclid]] được biết đã mặc định tính chất giao hoán của phép nhân trong cuốn [[Cơ sở (Euclid)|''Elements'']] của ông.<ref>O'Conner & Robertson ''Real Numbers''</ref> Sử dụng tính chất này theo cách chuẩn tắc bất đầu vào cuối thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19, khi các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu lý thuyết của các hàm số. Nay tính giao hoán được biết rộng rãi và được sử dụng trong đa số các nhánh của toán học.

Từ ''commutative'' (nghĩa là có giao hoán) được viết lần đầu trong hồi ký năm 1814 của [[François-Joseph Servois|François Servois]],<ref name="Cabillón">{{harvnb|Cabillón|Miller|loc=''Commutative and Distributive''}}</ref><ref>O'Conner & Robertson, ''Servois''</ref> Bài viết sử dụng từ ''commutatives'' khi mô tả các hàm số có tính giao hoán. Từ này là kết hợp của từ ''commuter'' nghĩa là "để thay hoặc đổi" và hậu tố ''-ative'' nghĩa là "dẫn tới" nên toàn bộ từ có nghĩa "dẫn tới thay hoặc đổi". Thuật ngữ này xuất hiện trong tiếng Anh vào năm 1838<ref name=Flood11>{{cite book|title=Mathematics in Victorian Britain|editor1-first=Raymond|editor1-last=Flood|editor2-first=Adrian|editor2-last=Rice|editor3-first=Robin|editor3-last=Wilson|editor3-link=Robin Wilson (mathematician)|publisher=[[Oxford University Press]]|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4|page=4|isbn=9780191627941}}</ref> và trong mục của [[Duncan Farquharson Gregory]] với tiêu đề "Trên các tính chất tự nhiên của đại số ký hiệu", sau đó xuất bản vào năm 1840 trong các [[Hiệp hội hoàng gia xứ Edinburgh|kỷ yếu của hiệp hội hoàng gia xứ Edinburgh]].<ref>{{Cite journal|first=D. F. |last=Gregory|title=On the real nature of symbolical algebra|periodical=Transactions of the Royal Society of Edinburgh|volume=14|pages=208–216|year=1840|url=https://archive.org/details/transactionsofro14royal}}</ref>

== Logic mệnh đề ==
<!--{{Transformation rules}}-->

=== Quy tắc thay ===
Trong logic mệnh đề, ''Giao hoán'',<ref>Moore and Parker</ref><ref>{{harvnb|Copi|Cohen|2005}}</ref> hay ''tính giao hoán''<ref>{{harvnb|Hurley|Watson|2016}}</ref> thường nhắc tới hai [[quy tắc thay]] [[hợp lệ (logic)|hợp lệ]]. Hay quy tắc cho phép ta chuyển vị các [[biến mệnh đề]] trong các [[công thức mệnh đề]] trong bài [[chứng minh hình thức|chứng minh logic]]. Các quy tắc thay như sau

:<math>(P \lor Q) \Leftrightarrow (Q \lor P)</math>
và
:<math>(P \land Q) \Leftrightarrow (Q \land P)</math>

trong đó "<math>\Leftrightarrow</math>" là [[ký hiệu logic|ký hiệu]] [[metalogic]] biểu diễn "có thể thay trong bài [[chứng minh hình thức|chứng minh]] với".

=== Liên kết logic mệnh đề ===

''Tính giao hoán'' là tính chất của một số [[liên kết logic]] của [[logic mệnh đề]]. Các [[tương đương logic]] sau là ví dụ của các liên kết có tính chất giao hoán.

;Giao hoán của phép hội:<math>(P \land Q) \leftrightarrow (Q \land P)</math>
;Giao hoán của phép tuyển:<math>(P \lor Q) \leftrightarrow (Q \lor P)</math>
;Giao hoán của phép kéo theo (hay còn gọi là phép kéo theo, hoặc là luật hoán vị):<math>(P \to (Q \to R)) \leftrightarrow (Q \to (P \to R))</math>
;Giao hoán của tương đương (hay còn gọi là luật tương đương):<math>(P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow (Q \leftrightarrow P)</math>

== Lý thuyết tập hợp ==
Trong [[lý thuyết nhóm]] và [[lý thuyết tập hợp]], nhiều [[cấu trúc đại số]] được gọi là giao hoán khi phép toán của nó thoả mãn tính chất giao hoán. Trong các nhánh cao hơn của toán học như [[giải tích toán học|giải tích]] hay [[đại số tuyến tính]] thì tính giao hoán của phép cộng và phép nhân trên tập số thực và số phức thường được mặc định trước không nhắc đến trong các bài chứng minh.<ref>{{harvnb|Axler|1997|p=2}}</ref><ref name="Gallian, p.34">{{harvnb|Gallian|2006|p=34}}</ref><ref>{{harvnb|Gallian|2006|pp=26,87}}</ref>

== Giao hoán trong các cấu trúc toán học ==
* [[Nửa nhóm giao hoán]] là tập đi kèm phép toán đóng, giao hoán và kết hợp.
* Nếu nửa nhóm trên có thêm [[phần tử đơn vị]], thì ta có [[monoid giao hoán]]
* [[Nhóm Abel]], hay ''nhóm giao hoán'' là [[nhóm (toán học)|nhóm]] mà phép toán nhóm có tính giao hoán.<ref name="Gallian, p.34"/>
* [[Vành giao hoán]] là [[vành]] mà [[phép nhân]] có tính giao hoán. (phép cộng trong vành luôn có tính giao hoán.)<ref>{{harvnb|Gallian|2006|p=236}}</ref>
* Trong [[trường (toán học)|trường]], cả hai phép cộng và nhân đều có tính giao hoán.<ref>{{harvnb|Gallian|2006|p=250}}</ref>

== Các tính chất có liên quan==

===Tính kết hợp===
{{Main|Tính kết hợp}}

Tính kết hợp có quan hệ gần gũi với tính giao hoán.  Tính kết hợp trong biểu thức chứa hai hay nhiều hơn lần xuất hiện của cùng một phép toán phát biểu rằng thứ tự thực hiện phép toán không thay đổi kết quả cuối miễn là thứ tự các toán hạng không thay đổi. Ngược lại tính giao hoán phát biểu rằng thay đổi thứ tự các toán hạng khi tính trên một cặp sẽ không làm thay đổi kết quả cuối.

Các phép toán giao hoán thường thì sẽ cũng có tính kết hợp. Song, tính giao hoán không suy ra tính kết hợp. Một ví dụ phản chứng là hàm số sau

:<math>f(x, y) = \frac{x + y}{2},</math>

Hàm số này giao hoán (đổi ''x'' và ''y'' không thay đổi kết quả), nhưng nó không có tính kết hợp (bởi lấy ví dụ như <math>f(-4, f(0, +4)) = -1</math> nhưng <math>f(f(-4, 0), +4) = +1</math>). Nhiều các ví dụ khác có thể tìm thấy trong các [[magma giao hoán không kết hợp]]. Ngược lại, tính kết hợp cũng không suy ra tính giao hoán. Lấy ví dụ, [[phép nhân ma trận]] luôn kết hợp nhưng chưa chắc đã giao hoán.

=== Tính phân phối ===
{{Main|Tính phân phối}}

=== Tính đối xứng ===
[[File:Symmetry Of Addition.svg|right|thumb|200px|Đồ thị cho thấy tính đối xứng của phép cộng]]
Một số dạng của [[đối xứng trong toán học|đối xứng]] có thể liên hệ trực tiếp với tính giao hoán.  Khi phép toán hai ngôi được viết thành [[hàm nhị phân]] <math>z=f(x,y),</math> thì hàm số đó được gọi là [[hàm đối xứng]], và [[đồ thị hàm số|đồ thị]] của nó trong [[không gian ba chiều]] đối xứng qua mặt phẳng  <math>y=x</math>. Ví dụ nếu hàm {{math|''f''}} định nghĩa là <math>f(x,y)=x+y</math> thì <math>f</math> là hàm đối xứng.

Trong đại số quan hệ, [[quan hệ đối xứng]] tương tự với tính giao hoán, nghĩa là nếu quan hệ ''R'' đối xứng thì <math>a R b \Leftrightarrow b R a</math>.

==Các toán tử không giao hoán trong cơ học lượng tử==
{{Main|Quan hệ giao hoán chính tắc}}

Trong phần [[giới thiệu về cơ học lượng tử|cơ học lượng tử]] viết bởi [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]], các biến vật lý được thay bằng các [[toán tử tuyến tính]] như <math>x</math> (nghĩa là nhân bởi <math>x</math>), và <math display="inline">\frac{d}{dx}</math>. Hai toán tử này không giao hoán khi xem kết quả [[hàm hợp|hợp]] của chúng <math display="inline">x \frac{d}{dx}</math> và <math display="inline">\frac{d}{dx} x</math> (cũng được gọi là tích các toán tử) trên [[hàm sóng]] một chiều <math>\psi(x)</math>:

:<math> x\cdot {\mathrm{d}\over \mathrm{d}x}\psi = x\cdot \psi' \ \neq \ \psi + x\cdot \psi' = {\mathrm{d}\over \mathrm{d}x}\left( x\cdot \psi \right) </math>

Theo [[nguyên lý bất định]] của [[Werner Heisenberg|Heisenberg]], nếu hai toán tử biểu diễn cặp phần tử không giao hoán nhau thì cặp hai phần tử đó [[bù (vật lý)|bù nhau]], nghĩa là chúng không thể đồng thời đo được hay biết được chính xác. Lấy ví dụ, vị trí và [[mô men]] tuyến tính trong hướng <math>x</math> của một hạt được biểu diễn bởi <math>x</math> và <math>-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}</math>, tương ứng (trong đó <math>\hbar</math> là [[hằng số Planck|hằng số Planck đã rút gọn]]). Ví dụ này tương tự ví dụ ngay trên nhưng thay vào đó là <math>-i \hbar</math>, do đó các toán tử không giao hoán, vào theo vật lý thì có nghĩa là vị trí và mô men tuyến tính theo một hướng đã cho sẽ bù nhau.

==Xem thêm==
{{Wiktionary}}
*[[Tính phản giao hoán]]
*[[Tâm hoá|Tâm hoá và chuẩn hoá]]
*[[Biểu đồ giao hoán]]
*[[Giao hoán (sinh lý học thần kinh)]]
*[[Giao hoán tử]]
*[[Luật hình bình hành]]
*[[Tính tựa giao hoán]]
*[[Monoid vết]]
*[[Xác suất giao hoán]]

==Chú thích==
{{Reflist|2}}

==Tham khảo==

=== Sách ===

*{{Cite book| first=Sheldon | last=Axler | title=Linear Algebra Done Right, 2e | publisher=Springer | year=1997 | isbn=0-387-98258-2}}
*:''Abstract algebra theory.  Covers commutativity in that context.  Uses property throughout book.''
*{{Cite book |last1=Copi |first1=Irving M. |last2=Cohen |first2=Carl |title=Introduction to Logic |url=https://archive.org/details/isbn_9780536179364 |publisher=Prentice Hall |year=2005 |edition=12th |isbn=9780131898349 }}
*{{Cite book|first=Joseph|last=Gallian|title=Contemporary Abstract Algebra |url=https://archive.org/details/contemporaryabst0000gall|edition=6e|year=2006|isbn=0-618-51471-6|publisher=Houghton Mifflin }}
*:''Linear algebra theory.  Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.''
*{{Cite book| first=Frederick | last=Goodman | title=Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry | url=https://archive.org/details/algebraabstractc0000good_c6k2 |edition=2e | publisher=Prentice Hall | year=2003 | isbn=0-13-067342-0}}
*:''Abstract algebra theory.  Uses commutativity property throughout book.''
*{{cite book |first1=Patrick J. |last1=Hurley |first2=Lori |last2=Watson |title=A Concise Introduction to Logic |url=https://books.google.com/books?id=l-W5DQAAQBAJ&pg=PA675 |date=2016 |publisher=Cengage Learning |isbn=978-1-337-51478-1 |edition=12th}}

===Thư mục===
*{{Chú thích web |url=http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf |last=Lumpkin |first=B. |year=1997 |title=The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt — A Response To Robert Palter |archive-url=https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf |archive-date=13 July 2007 |type=Unpublished manuscript}}
*:''Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.''
*{{cite book |first1=Robins R. |last1=Gay |first2=Charles C. D. |last2=Shute |year=1987 |title=The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text |url=https://archive.org/details/rhindmathematica0000robi_h8l4 |publisher=British Museum |isbn=0-7141-0944-4}}
*:''Translation and interpretation of the [[Rhind Mathematical Papyrus]].''

===Nguồn trên mạng===
*{{springer|title=Commutativity|id=p/c023420|ref=none}}
*Krowne, Aaron, {{PlanetMath|title=Commutative|urlname=Commutative}}, Accessed 8 August 2007.
*:''Definition of commutativity and examples of commutative operations''
*{{MathWorld|title=Commute|urlname=Commute}}, Accessed 8 August 2007.
*:''Explanation of the term commute''
*{{Chú thích web |url=http://planetmath.org/?op=getuser&id=2760 |title=Yark |ref={{harvid|Yark}}}} {{PlanetMath|title=Examples of non-commutative operations|urlname=ExampleOfCommutative}}, Accessed 8 August 2007
*:''Examples proving some noncommutative operations''
*{{Chú thích web |last1=O'Conner |first1=J.J. |last2=Robertson |first2=E.F. |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real_numbers_1.html |title=History of real numbers |work=MacTutor |access-date=8 August 2007 }}
*:''Article giving the history of the real numbers''
*{{Chú thích web |last1=Cabillón |first1=Julio |last2=Miller |first2=Jeff |url=http://jeff560.tripod.com/c.html |title=Earliest Known Uses Of Mathematical Terms |access-date=22 November 2008}}
*:''Page covering the earliest uses of mathematical terms''
*{{Chú thích web |last1=O'Conner |first1=J.J. |last2=Robertson |first2=E.F. |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html |title=biography of François Servois |work=MacTutor |access-date=8 August 2007 |archive-date=2 September 2009 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090902063524/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Servois.html |url-status=dead }}
*:''Biography of Francois Servois, who first used the term''

{{Authority control}}

[[Thể loại:Tính chất của phép toán hai ngôi]]
[[Thể loại:Đại số sơ cấp]]
[[Thể loại:Quy tắc suy diễn]]
[[Thể loại:Đối xứng]]
[[Thể loại:Khái niệm vật lý]]
[[Thể loại:Giải tích hàm]]