Xem mã nguồn của Tập hợp (toán học)

{{Bài cùng tên|Tập hợp}}
[[Tập tin:Example of a set.svg|nhỏ|350px|Một tập hợp hình đa giác trong một [[biểu đồ Euler]]]]
[[Tập tin:Set of real numbers (diagram).svg|nhỏ|350px|Tập hợp các số thực (R), bao gồm các số hữu tỷ (Q), các số nguyên (Z), các số tự nhiên (N). Các số thực cũng bao gồm các số vô tỷ (R \ Q).]]
Trong [[toán học]], một '''tập hợp''' là một bộ các [[Phần tử (toán học)|phần tử]].<ref name="JainAhmad1995">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books? id=yZ68h97pnAkC&pg=PA1|title=Functional Analysis|last=P. K. Jain|last2=Khalil Ahmad|last3=Om P. Ahuja|publisher=New Age International|year=1995|isbn=978-81-224-0801-0|page=1}}</ref><ref name="Goldberg1986">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=CmzFx9rB_FcC&pg=PA2|title=Probability: An Introduction|last=Samuel Goldberg|date=1 January 1986|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-65252-8|page=2}}</ref><ref name="CormenCormen2001">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=NLngYyWFl_YC&pg=PA1070|title=Introduction To Algorithms|last=Thomas H. Cormen|last2=Charles E Leiserson|last3=Ronald L Rivest|last4=Clifford Stein|publisher=MIT Press|year=2001|isbn=978-0-262-03293-3|page=1070}}</ref> Các phần tử tạo nên một tập hợp có thể là bất kỳ loại [[đối tượng toán học]] nào: số, ký hiệu, điểm trong không gian, đường thẳng, các hình dạng hình học khác, các biến hoặc thậm chí các tập hợp khác.{{Sfn|Halmos|1960|p=1}} Tập hợp không có phần tử nào là [[tập hợp rỗng]]; một tập hợp với một phần tử duy nhất là một [[Đơn điểm (toán học)|đơn điểm]]. Một tập hợp có thể có một số phần tử hữu hạn hoặc là một [[tập hợp vô hạn]]. Hai tập hợp bằng nhau [[Tương đương logic|khi và chỉ khi]] chúng có chính xác các phần tử giống nhau.<ref name="Stoll2">{{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/setslogicaxiomat0000stol|title=Sets, Logic and Axiomatic Theories|last=Stoll|first=Robert|publisher=W. H. Freeman and Company|year=1974|isbn=9780716704577|pages=[https://archive.org/details/setslogicaxiomat0000stol/page/5 5]|url-access=registration}}</ref>

Tập hợp có mặt khắp nơi trong toán học hiện đại. Thật vậy, [[lý thuyết tập hợp]], cụ thể hơn là [[Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel|lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel]], đã là phương pháp tiêu chuẩn để cung cấp [[Nền tảng của Toán học|nền tảng]] chặt chẽ cho tất cả các phân nhánh của toán học kể từ nửa đầu thế kỷ 20.{{Sfn|Halmos|1960|p=1}}

== Nguồn gốc ==
Khái niệm tập hợp xuất hiện trong toán học vào cuối thế kỷ 19.<ref name="Ferreirós2007">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=TXRBwwEACAAJ|title=Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics|last=José Ferreirós|date=16 August 2007|publisher=Birkhäuser Basel|isbn=978-3-7643-8349-7}}</ref> Từ tập hợp trong tiếng Đức, ''Menge'', được [[Bernard Bolzano]] đặt ra trong tác phẩm ''[[Nghịch lý của cái vô hạn|Paradoxes of the Infinite]]''.<ref name="Russ2004">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=zp7cLQn0x3gC&pg=PR28|title=The Mathematical Works of Bernard Bolzano|last=Steve Russ|date=9 December 2004|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-151370-1}}</ref><ref name="EwaldEwald1996">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=rykSDAAAQBAJ&pg=PA249|title=From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics|last=William Ewald|last2=William Bragg Ewald|publisher=OUP Oxford|year=1996|isbn=978-0-19-850535-8|page=249}}</ref><ref name="RusnockSebestík2019">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=-hqJDwAAQBAJ&pg=PA430|title=Bernard Bolzano: His Life and Work|last=Paul Rusnock|last2=Jan Sebestík|date=25 April 2019|publisher=OUP Oxford|isbn=978-0-19-255683-7|page=430}}</ref>
[[Tập tin:Passage_with_the_set_definition_of_Georg_Cantor.png|nhỏ|Đoạn văn có bản dịch từ định nghĩa gốc của Georg Cantor. Từ tiếng Đức ''Menge'' cho ''tập hợp'' được dịch với nghĩa ''aggregate'' ở đây.]]

[[Georg Cantor]], một trong những người sáng lập ra lý thuyết tập hợp, đã đưa ra định nghĩa sau đây ở đầu cuốn sách ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre'':<ref>"Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen." {{Chú thích web |url=http://www.brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm |title=Archived copy |access-date=2011-04-22 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110610133240/http://brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm |archive-date=2011-06-10 }}</ref>

{{Quote|Tập hợp là sự gộp lại với nhau thành một tổng thể các đối tượng xác định, riêng biệt của nhận thức hoặc suy nghĩ của chúng ta — được gọi là các phần tử của tập hợp.}}

[[Bertrand Russell]] gọi một tập hợp là một ''lớp'': "Khi các nhà toán học xử lý những gì họ gọi là đa tạp, tổng hợp, ''Menge'', ''tổ'' ''hợp'' hoặc một số tên tương đương, thì điều đó là phổ biến, đặc biệt là khi số lượng các thuật ngữ liên quan là hữu hạn, coi đối tượng được đề cập. (thực tế là một lớp) được xác định bằng cách liệt kê các thuật ngữ của nó, và có thể bao gồm một thuật ngữ duy nhất, trong trường hợp đó ''là'' lớp."<ref>[[Bertrand Russell]] (1903) ''[[The Principles of Mathematics]]'', chapter VI: Classes</ref>

=== Lý thuyết tập hợp ngây thơ ===
Thuộc tính quan trọng nhất của một tập hợp là nó có thể có các phần tử. Hai tập hợp [[Đẳng thức|bằng nhau]] khi chúng có các phần tử giống nhau. Chính xác hơn, tập ''A'' và ''B'' là bằng nhau nếu mọi phần tử của ''A'' là phần tử của ''B'', và mọi phần tử của ''B'' là một phần tử của ''A'' ; thuộc tính này được gọi là tính ''[[Tính mở rộng|mở rộng]] của các tập hợp''.{{Sfn|Halmos|1960|p=2}}

Khái niệm đơn giản về một tập hợp đã tỏ ra vô cùng hữu ích trong toán học, nhưng nghịch lý lại nảy sinh nếu không có giới hạn nào được đặt ra về cách các tập hợp có thể được xây dựng:

* [[Nghịch lý Russell]] cho thấy rằng "tập hợp của tất cả các tập hợp ''không chứa chính chúng''", tức là, {{Mset|''x''|''x'' là một tập hợp và ''x'' ∉ ''x''}} , không thể tồn tại.
* [[Nghịch lý Cantor]] cho thấy “tập hợp của tất cả các tập hợp” không thể tồn tại.

[[Lý thuyết tập hợp ngây thơ]] định nghĩa một tập hợp là bất kỳ ''[[Được xác định rõ|tập hợp được xác định rõ ràng]]'' của các phần tử riêng biệt, nhưng các vấn đề nảy sinh từ sự mơ hồ của thuật ngữ ''được xác định rõ ràng''.

=== Lý thuyết tập hợp tiên đề ===
Trong những nỗ lực tiếp theo để giải quyết những nghịch lý này kể từ thời điểm hình thành lý thuyết tập hợp sơ khai ban đầu, các tính chất của tập hợp đã được xác định bởi [[Tiên đề|các tiên đề]]. [[Lý thuyết tập hợp|Thuyết tập hợp tiên đề]] lấy khái niệm tập hợp làm [[Khái niệm ban đầu|khái niệm sơ khai]].<ref name="Ferreiros2001">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=DITy0nsYQQoC|title=Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics|last=Jose Ferreiros|date=1 November 2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-7643-5749-8}}</ref> Mục đích của tiên đề là cung cấp một khuôn khổ cơ bản để từ đó suy ra tính đúng hay sai của các [[Định lý toán học|mệnh đề toán học]] cụ thể (phát biểu) về tập hợp, sử dụng [[logic bậc nhất]]. [[Các định lý bất toàn của Gödel|Tuy nhiên, theo các định lý về tính không đầy đủ của Gödel]], không thể sử dụng logic bậc nhất để chứng minh bất kỳ lý thuyết tập tiên đề cụ thể nào mà không có nghịch lý.

== Cách các tập hợp được xác định và thiết lập ký hiệu ==
Các sách báo toán học thường biểu thị tập hợp bằng [[chữ in hoa]]<ref name="LipschutzLipson1997">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=6A5g3RiYiBUC&pg=PA1|title=Schaum's Outline of Discrete Mathematics|last=Seymor Lipschutz|last2=Marc Lipson|date=22 June 1997|publisher=McGraw Hill Professional|isbn=978-0-07-136841-4|page=1}}</ref>{{Sfn|Halmos|1960|p=1}}<ref name=":05">{{Chú thích web|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/set-theory-symbols/|tựa đề=Comprehensive List of Set Theory Symbols|ngày=2020-04-11|website=Math Vault|ngôn ngữ=en-US|ngày truy cập=2020-08-19}}</ref> [[in nghiêng]], chẳng hạn như {{Mvar|A}}, {{Mvar|B}}, {{Mvar|C}}<ref name=":05"/><ref name=":12">{{Chú thích web|url=https://www.mathsisfun.com/sets/sets-introduction.html|tựa đề=Introduction to Sets|website=www.mathsisfun.com|ngày truy cập=2020-08-19}}</ref> Một tập hợp cũng có thể được gọi là ''tập hợp'' hoặc ''họ'', đặc biệt là khi bản thân các phần tử của nó lại là các tập hợp.

=== Ký hiệu danh sách ===
'''Kí''' '''hiệu danh sách''' hoặc '''bảng liệt kê''' xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của nó giữa các [[Dấu ngoặc|dấu ngoặc nhọn]], được phân tách bằng dấu chấm phẩy:<ref name="Roberts2009">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=NjBLnLyE4jAC&pg=PA45|title=Introduction to Mathematical Proofs: A Transition|last=Charles Roberts|date=24 June 2009|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4200-6956-3|page=45}}</ref><ref name="JohnsonJohnson2004">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=ZQAqzxLFXhoC&pg=PA220|title=Finite Mathematics: Practical Applications (Docutech Version)|last=David Johnson|last2=David B. Johnson|last3=Thomas A. Mowry|date=June 2004|publisher=W. H. Freeman|isbn=978-0-7167-6297-3|page=220}}</ref><ref name="BelloKaul2013">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=d8Se_8DWTQ4C&pg=PA47|title=Topics in Contemporary Mathematics|last=Ignacio Bello|last2=Anton Kaul|last3=Jack R. Britton|date=29 January 2013|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-133-10742-2|page=47}}</ref><ref name="Epp2010">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=PPc_2qUhXrAC&pg=PA13|title=Discrete Mathematics with Applications|last=Susanna S. Epp|date=4 August 2010|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0-495-39132-6|page=13}}</ref>

{{math|1=''A'' = {{mset|4; 2; 1; 3}}}}

Trong một tập hợp, tất cả những gì quan trọng là liệu mỗi phần tử có nằm trong đó hay không, vì vậy thứ tự của các phần tử trong ký hiệu danh sách là không liên quan (ngược lại, trong một [[Dãy (toán học)|chuỗi]], một bộ hoặc một [[hoán vị]] của một tập hợp, thứ tự của các phần tử là quan trọng).<ref name=":12"/><ref name="MaurerRalston2005">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=_0vNBQAAQBAJ&pg=PA11|title=Discrete Algorithmic Mathematics|last=Stephen B. Maurer|last2=Anthony Ralston|date=21 January 2005|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4398-6375-6|page=11}}</ref><ref name="DalenDoets2014">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=PfbiBQAAQBAJ&pg=PA1|title=Sets: Naïve, Axiomatic and Applied: A Basic Compendium with Exercises for Use in Set Theory for Non Logicians, Working and Teaching Mathematicians and Students|last=D. Van Dalen|last2=H. C. Doets|last3=H. De Swart|date=9 May 2014|publisher=Elsevier Science|isbn=978-1-4831-5039-0|page=1}}</ref>

Đối với những tập hợp có nhiều phần tử, đặc biệt là những tập hợp theo một mẫu không tường minh, danh sách các phần tử có thể được viết tắt bằng cách sử dụng [[Dấu lửng|dấu chấm lửng]] '{{Math|…}}'.<ref name="BastaDeLong2013">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=VUYLAAAAQBAJ&pg=PA3|title=Mathematics for Information Technology|last=Alfred Basta|last2=Stephan DeLong|last3=Nadine Basta|date=1 January 2013|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-285-60843-3|page=3}}</ref><ref name="BrackenMiller2013">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=nFkrl_kDiTAC&pg=PA36|title=Elementary Algebra|last=Laura Bracken|last2=Ed Miller|date=15 February 2013|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0-618-95134-5|page=36}}</ref> Ví dụ: tập hợp 1000 số nguyên dương đầu tiên có thể được chỉ định trong bảng liệt kê như

{{math|{{mset|1, 2, 3, …, 1000}}}}

==== Tập hợp vô hạn trong ký hiệu danh sách ====
[[Tập hợp vô hạn]] là tập hợp có danh sách vô tận các phần tử. Để mô tả một tập hợp vô hạn trong ký hiệu danh sách, một dấu chấm lửng được đặt ở cuối danh sách hoặc ở cả hai đầu, để chỉ ra rằng danh sách tiếp tục mãi mãi. Ví dụ: tập hợp các [[Số tự nhiên|số nguyên không âm]] là

{{nowrap|{{math|{{mset|0, 1, 2, 3, 4, …}}}},}}

và tập hợp tất cả các [[số nguyên]] là

{{nowrap|{{math|{{mset|…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}}}}.}}

=== Định nghĩa ngữ nghĩa ===
Một cách khác để xác định một tập hợp là sử dụng quy tắc để xác định các phần tử là gì:

: Gọi {{Mvar|A}} là tập hợp có các phần tử là bốn [[Số nguyên|số nguyên dương]] đầu tiên.
: Gọi {{Mvar|B}} là tập hợp các màu của [[Quốc kỳ Pháp|lá cờ Pháp]].

Định nghĩa như vậy được gọi là ''mô tả ngữ nghĩa''.{{Sfn|Halmos|1960|p=4}}<ref name="Ruda20112">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=VV0SBwAAQBAJ&pg=PA151|title=Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right|last=Frank Ruda|date=6 October 2011|publisher=Bloomsbury Publishing|isbn=978-1-4411-7413-0|page=151}}</ref>

=== Ký hiệu cách tạo tập hợp ===
Ký hiệu cách tạo tập hợp chỉ định một tập hợp là một lựa chọn từ một tập hợp lớn hơn, được xác định bởi một điều kiện trên các phần tử.<ref name="Ruda20112"/><ref name="Lucas19902">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=jklsb5JUgoQC&pg=PA108|title=Introduction to Abstract Mathematics|last=John F. Lucas|publisher=Rowman & Littlefield|year=1990|isbn=978-0-912675-73-2|page=108}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=https://mathworld.wolfram.com/Set.html|tựa đề=Set|tác giả=Weisstein|tên=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|ngôn ngữ=en|ngày truy cập=2020-08-19}}</ref> Ví dụ, một tập {{Mvar|F}} có thể được định nghĩa như sau:

{{mvar|F}}<math> = \{n \mid n \text{ là một số nguyên, và } 0 \leq n \leq 19\}.</math>

Trong ký hiệu này, [[Vertical bar|thanh dọc]] "|" có nghĩa là "sao cho", và mô tả có thể được hiểu là " {{Mvar|F}} là tập hợp tất cả các số {{Mvar|n}} sao cho {{Mvar|n}} là một số nguyên trong phạm vi từ 0 đến 19". Một số tác giả sử dụng [[Dấu hai chấm (dấu chấm câu)|dấu hai chấm]] ":" thay cho thanh dọc.<ref name="Steinlage1987">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=lcg3gY3444IC|title=College Algebra|last=Ralph C. Steinlage|publisher=West Publishing Company|year=1987|isbn=978-0-314-29531-6}}</ref>

Tập hợp có thể xác định bằng [[đệ quy]]. Chẳng hạn tập các số tự nhiên lẻ ''L'' có thể cho như sau:
# <math>1 \in L</math>
# Nếu <math>n \in L</math> thì <math>n+2 \in L.</math>

== Tập hợp rỗng ==
Tập hợp ''rỗng'' là tập hợp duy nhất không có phần tử nào. Nó được ký hiệu là {{Math|∅}} hoặc <math>\emptyset</math> hoặc {{Mset|&nbsp;}}{{Sfn|Halmos|1960|p=8}}<ref name=":05"/><ref name="LeungChen1992">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=cdmy2eOhJdkC&pg=PA27|title=Elementary Set Theory, Part I/II|last=K.T. Leung|last2=Doris Lai-chue Chen|date=1 July 1992|publisher=Hong Kong University Press|isbn=978-962-209-026-2|page=27}}</ref> hoặc {{Math|ϕ}}<ref>{{Chú thích sách|title=Understanding ISC Mathematics Class XI|last=Aggarwal|first=M.L.|publisher=Arya Publications (Avichal Publishing Company)|year=2021|volume=1|page=A=3|chapter=1. Sets}}</ref> (hoặc {{Mvar|ϕ}}).<ref>{{Chú thích sách|title=Chhaya Ganit (Ekadash Shreni)|last=Sourendra Nath|first=De|date=January 2015|publisher=Scholar Books Pvt. Ltd.|page=5|chapter=Unit-1 Sets and Functions: 1. Set Theory}}</ref>

== Tập hợp đơn điểm ==
Tập hợp ''đơn điểm'' là tập hợp có chính xác một phần tử; một tập hợp như vậy cũng có thể được gọi là một ''tập hợp đơn vị''.<ref name="Stoll2"/> Bất kỳ tập hợp nào như vậy có thể được viết dưới dạng {{Mset|''x''}}  , trong đó ''x'' là phần tử. Tập hợp {{Mset|''x''}} và phần tử ''x'' có nghĩa khác nhau; Halmos{{Sfn|Halmos|1960|loc=Sect.2}} chỉ ra một phép tương tự rằng một chiếc hộp đựng một chiếc mũ không giống với chiếc mũ.

== Tập hợp con ==
Nếu mọi phần tử của tập ''A'' cũng có mặt trong ''B'', thì ''A'' được mô tả là một ''tập con của B'', hoặc ''được chứa trong B'', được viết ''A'' ⊆ ''B'',<ref name="Hausdorff20052">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=yvVIdH16k0YC&pg=PA30|title=Set Theory|last=Felix Hausdorff|publisher=American Mathematical Soc.|year=2005|isbn=978-0-8218-3835-8|page=30}}</ref> hoặc ''B'' ⊇ ''A.''<ref name=":05"/><ref name="Comninos2010">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=Kdb7-YnnOVwC&pg=PA7|title=Mathematical and Computer Programming Techniques for Computer Graphics|last=Peter Comninos|date=6 April 2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-84628-292-8|page=7}}</ref> Kí hiệu thứ hai có thể được đọc là ''B chứa A'', hoặc ''B bao gồm A.'' Các [[Quan hệ (toán học)|mối quan hệ]] giữa các tập hợp lập ra bởi ⊆ được gọi ''bao gồm'' hay ''chứa đựng.'' Hai tập hợp bằng nhau nếu chúng chứa nhau: ''A'' ⊆ ''B'' và ''B'' ⊆ ''A'' tương đương với ''A'' = ''B.''<ref name="Lucas19902"/>

Nếu ''A'' là tập con của ''B'' mà ''A'' không bằng ''B'' thì ''A'' được gọi là ''tập con thực sự'' của ''B.'' Điều này có thể được viết ''A'' ⊊ ''B.'' Tương tự như vậy, ''B'' ⊋ ''A'' có nghĩa là ''B là một tập hợp chứa thực sự của A'', tức là ''B'' chứa ''A'', và không bằng ''A.''

Cặp toán tử thứ ba ⊂ và ⊃ được các tác giả khác nhau sử dụng khác nhau: một số tác giả sử dụng ''A'' ⊂ ''B'' và ''B'' ⊃ ''A'' có nghĩa là ''A'' là bất kỳ tập con nào của ''B'' (và không nhất thiết phải là tập hợp con thực sự),{{Sfn|Halmos|1960|p=3}}<ref name="CapinskiKopp2004">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=jdnGYuh58YUC&pg=PA2|title=Measure, Integral and Probability|last=Marek Capinski|last2=Peter E. Kopp|publisher=Springer Science & Business Media|year=2004|isbn=978-1-85233-781-0|page=2}}</ref> trong khi những người khác chỉ viết ''A'' ⊂ ''B'' và ''B'' ⊃ ''A'' khi mà ''A'' là một tập hợp con thực sự của ''B.''<ref name="Hausdorff20052"/>

== Sơ đồ Euler và sơ đồ Venn ==
[[Tập tin:Venn_A_subset_B.svg|nhỏ|150x150px|{{Căn giữa|''A'' là một '''tập hợp con''' của ''B''}}]]
[[Sơ đồ Euler]] là một biểu diễn đồ họa của một tập hợp các tập hợp; mỗi tập hợp được mô tả như một vùng phẳng được một vòng tròn bao quanh, với các phần tử của nó bên trong. Nếu {{Mvar|A}} là một tập con của {{Mvar|B}}, thì vùng đại diện cho {{Mvar|A}} nằm hoàn toàn bên trong vùng đại diện cho {{Mvar|B}}. Nếu hai tập hợp không có phần tử nào chung thì các vùng không giao nhau.

[[Sơ đồ Venn|Ngược lại, một sơ đồ Venn]] là một biểu diễn đồ họa của {{Mvar|n}} tập hợp, trong đó {{Mvar|n}} vòng chia mặt phẳng thành {{Math|2{{sup|''n''}}}} vùng sao cho mỗi cách chọn một số trong {{Mvar|n}} tập hợp (có thể là tất cả hoặc không), có một vùng cho các phần tử thuộc về tất cả các tập hợp đã chọn và không thuộc về các tập hợp khác. Ví dụ, nếu các tập hợp là {{Mvar|A}}, {{Mvar|B}} và {{Mvar|C}}, thì phải có một vùng cho các phần tử bên trong {{Mvar|A}} và {{Mvar|C}} và bên ngoài {{Mvar|B}} (ngay cả khi các phần tử đó không tồn tại).

== Các tập hợp số đặc biệt ==
[[Tập tin:NumberSetinC.svg|nhỏ|Tập hợp các [[số tự nhiên]] ℕ được chứa trong tập [[số nguyên]] ℤ, ℤ được chứa trong tập [[Số hữu tỉ|số hữu tỷ]] ℚ, ℚ được chứa trong tập [[số thực]] ℝ, ℝ được chứa trong tập [[số phức]] ℂ]]
Có những tập hợp có tầm quan trọng toán học, mà các nhà toán học đề cập đến thường xuyên, đến nỗi chúng có được những cái tên đặc biệt và các quy ước ký hiệu để xác định chúng.

Nhiều tập hợp quan trọng này được biểu diễn trong các văn bản toán học sử dụng chữ in đậm (ví dụ: <math>\bold Z</math>) hoặc chữ viền đậm (ví dụ: <math>\mathbb Z</math>).<ref name="Tourlakis20032">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=nparMXao59QC&pg=PA137|title=Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory|last=George Tourlakis|date=13 February 2003|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-43943-5|pages=137}}</ref> Chúng bao gồm<ref name=":05"/>

* <math>\bold N</math> hoặc <math>\mathbb N</math>, tập hợp tất cả các [[số tự nhiên]]: <math>\bold N=\{0,1,2,3,...\}</math>(thông thường các tác giả loại trừ {{Math|0}} ra khỏi tập <math>\mathbb N</math>);<ref name="Tourlakis20032"/>
* <math>\bold Z</math> hoặc <math>\mathbb Z</math>, tập hợp tất cả các [[số nguyên]] (cho dù là số dương, số âm hay số 0): <math>\bold Z=\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}</math>;<ref name="Tourlakis20032" />
* <math>\bold Q</math> hoặc <math>\mathbb Q</math>, tập hợp tất cả các [[số hữu tỉ]] (nghĩa là tập hợp tất cả các [[phân số]]): <math>\bold Q=\left\{\frac {a}{b}\mid a,b\in\bold Z,b\ne0\right\}</math>. Ví dụ, {{Math|&minus;{{sfrac|7|4}} ∈ '''Q'''}}
* <math>\bold R</math> hoặc <math>\mathbb R</math>, tập hợp tất cả các [[số thực]] bao gồm tất cả các số hữu tỉ và tất cả các [[số vô tỉ]] (bao gồm các [[số đại số]] chẳng hạn như <math>\sqrt2</math> mà không thể viết dưới dạng phân số, cũng như các số siêu việt như [[Pi|{{mvar|π}}]] và [[E (mathematical constant)|{{math|''e''}}]]);<ref name="Tourlakis20034">{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=nparMXao59QC&pg=PA137|title=Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory|author=George Tourlakis|date=13 February 2003|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-43943-5|pages=137}}</ref>
* <math>\bold C</math>hoặc <math>\mathbb C</math>, tập hợp của tất cả các [[số phức]]: {{math|1='''C''' = {{mset|''a'' + ''bi'' | ''a'', ''b'' ∈ '''R'''}}}}, ví dụ {{math|1 + 2''i'' ∈ '''C'''}}.<ref name="Tourlakis20034" />
Mỗi tập hợp số trên có vô số phần tử. Mỗi tập hợp là một tập hợp con của các tập hợp được liệt kê bên dưới nó.

Tập hợp các số dương hoặc âm đôi khi được biểu thị bằng dấu cộng và dấu trừ tương ứng. Ví dụ, <math>\mathbf{Q}^+</math> biểu thị tập hợp các số hữu tỉ dương.

== Hàm số ==
Một ''[[hàm số]]'' (hoặc ''[[ánh xạ]]'') từ tập hợp {{Mvar|A}} đến tập hợp {{Mvar|B}} là một quy tắc gán cho mỗi phần tử "đầu vào" của {{Mvar|A}} một "đầu ra" là phần tử của {{Mvar|B}} ; chính thức hơn, một hàm là một loại [[Quan hệ (toán học)|quan hệ]] đặc biệt, một quan hệ liên quan mỗi phần tử của {{Mvar|A}} với ''chính xác một'' phần tử của {{Mvar|B}}. Một hàm được gọi là

* [[đơn ánh]] nếu nó ánh xạ bất kỳ hai phần tử khác nhau của {{Mvar|A}} với các phần tử ''khác nhau'' của {{Mvar|B}} ,
* [[toàn ánh]] nếu với mọi phần tử của {{Mvar|B}}, có ít nhất một phần tử của {{Mvar|A}} ánh xạ tới nó, và
* [[song ánh]] nếu hàm vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh - trong trường hợp này, mỗi phần tử của {{Mvar|A}} được nối với một phần tử duy nhất của {{Mvar|B}} và mỗi phần tử của {{Mvar|B}} được nối với một phần tử duy nhất của {{Mvar|A}}, và không có phần tử chưa được ghép nối.

== Các phép toán cơ bản ==
=== Các định nghĩa ===

[[Tập tin:Venn A union B.png|200px|phải]] 
* [[Phép hợp|Hợp]] (Union): Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A <math>\cup</math> B 
:Ta có A <math>\cup</math> B = {x: x <math>\in</math> A hoặc x <math>\in</math> B}
{{-}}
[[Tập tin:Venn A intersect B.svg|200px|phải]]
* [[Phép giao|Giao]] (Intersection): Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A <math>\cap</math> B
:Ta có A <math>\cap</math> B = {x: x <math>\in</math> A và x <math>\in</math> B}

*[[Hiệu hai tập hợp|Hiệu]] (Difference): Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu <math>A \setminus B</math>
:Ta có: A \ B = {x: x <math>\in</math> A và x <math>\notin</math> B}
:Lưu ý, A \ B <math>\ne</math> B \ A
{{-}}
[[Tập tin:Venn A subset B.svg|nhỏ|200px|Phần bù của A trong B]]
* [[Phần bù]] (Complement): là hiệu của tập hợp con. Nếu A<math>\subset</math>B thì B \ A được gọi là phần bù của A trong B, ký hiệu ''C''<sup>A</sup><sub>B</sub> (hay C<sub>B</sub> A)
* Trong nhiều trường hợp, khi tất cả các tập hợp đang xét đều là tập con của một tập hợp '''U''' (được gọi là [[tập vũ trụ]]-đôi khi có nghĩa như [[Trường (đại số)|trường]] hay [[không gian]] - trong [[vật lý học|vật lý]]; hay cũng gọi là tập phổ dụng, giống như trong [[đại số phổ dụng]]), người ta thường xét phần bù của mỗi tập ''A'', ''B'', ''C'',... đang xét trong tập '''U''', khi đó ký hiệu phần bù không cần chỉ rõ '''U''' mà ký hiệu đơn giản là ''C''A,''C''B,... hoặc <math>\overline{A}</math>, <math>\overline{B}</math>...

=== Các tính chất cơ bản ===
Các phép toán trên tập hợp có các tính chất sau:

* [[Lũy đẳng|Luật luỹ đẳng]]:
:A <math>\cup</math> A = A
:A <math>\cap</math> A = A
Phát biểu: giao hoặc hợp của một tập hợp với chính nó cho kết quả là chính nó. Mặt khác, hợp của một tập với phần bù của nó cũng là chính nó nhưng giao của một tập với phần bù của nó lại là một tập rỗng.

* [[Luật hấp thụ]] (còn gọi là luật bao hàm):
: A <math>\cup</math> (A <math>\cap</math> B) = A
: A <math>\cap</math> (A <math>\cup</math> B) = A
:''Luật hấp thụ còn được viết dưới dạng khác như sau:''
:''Nếu'' A <math>\subset</math> B ''thì'' A <math>\cup</math> B = B và A <math>\cap</math> B = A

* Luật [[giao hoán]]: 
:A <math>\cup</math> B = B <math>\cup</math> A
:A <math>\cap</math> B = B <math>\cap</math> A

* Luật [[kết hợp]]:
:A <math>\cap</math> (B <math>\cap</math> C) = (A <math>\cap</math> B) <math>\cap</math> C
:A <math>\cup</math> (B <math>\cup</math> C) = (A <math>\cup</math> B) <math>\cup</math> C

* Luật [[Thuộc tính phân phối|phân phối]]:
:A <math>\cap</math> (B <math>\cup</math> C) = (A <math>\cap</math> B) <math>\cup</math> (A <math>\cap</math> C)
:A <math>\cup</math> (B <math>\cap</math> C) = (A <math>\cup</math> B) <math>\cap</math> (A <math>\cup</math> C)

* Luật [[:en:Augustus De Morgan|De Morgan]]:
:<math> \overline{A \cup B}</math>= <math>\overline{A} \cap \overline{B}</math>
:<math> \overline{A \cap B}</math>= <math>\overline{A} \cup \overline{B}</math>

=== Tích Descartes ===
Một tập hợp mới có thể được xây dựng bằng cách liên kết mọi phần tử của một tập hợp với mọi phần tử của một tập hợp khác. ''Tích Descartes'' của hai tập ''A'' và ''B'', ký hiệu là ''A'' × ''B,''<ref name=":05"/> là tập hợp của tất cả các [[Cặp được sắp|cặp có thứ tự]] (''a'', ''b'') sao cho ''a'' là phần tử của ''A'' và ''b'' là phần tử của ''B.''

Ví dụ:

* {{nowrap|1={1, 2} × {red, white, green} = {(1, red), (1, white), (1, green), (2, red), (2, white), (2, green)}.}}
* {{nowrap|1={1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.}}
* {{nowrap|1={a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.}}

Một số tính chất cơ bản của tích Descartes:

* {{nowrap|1=''A'' × [[∅]] = ∅.}}
* {{nowrap|1=''A'' × (''B'' ∪ ''C'') = (''A'' × ''B'') ∪ (''A'' × ''C'').}}
* {{nowrap|1=(''A'' ∪ ''B'') × ''C'' = (''A'' × ''C'') ∪ (''B'' × ''C'').}}

Cho ''A'' và ''B'' là các tập hữu hạn; thì lực lượng của tích Descartes là tích của các lực lượng:

|&#x2009;''A'' × ''B''&#x2009;| = |&#x2009;''B'' × ''A''&#x2009;| = |&#x2009;''A''&#x2009;| × |&#x2009;''B''&#x2009;|.

== Lực lượng ==
{{Chính|Lực lượng (tập hợp)}}
{{thể loại Commons|Cardinality|Lực lượng của tập hợp}}
Khái quát hoá [[khái niệm]] số lượng phần tử của các tập hợp hữu hạn là khái niệm [[lực lượng|lực lượng của tập hợp]] (''[[:en:Cardinality|Cardinality]]'').

Hai tập hợp được gọi là có cùng lực lượng nếu có một [[ánh xạ#Toàn ánh, đơn ánh và song ánh|song ánh]] giữa chúng. Các tập hợp hữu hạn có cùng lực lượng [[tương đương logic|khi và chỉ khi]] chúng có cùng số phần tử theo nghĩa thông thường.

[[Tập tin:Aplicación inyectiva sobreyectiva.svg|nhỏ|phải|200px|Tập hợp A và tập hợp B có cùng lực lượng]]
Khác biệt cơ bản của các [[tập hợp#Lực lượng của tập hợp - Hữu hạn và vô hạn|tập hữu hạn]] với các [[tập vô hạn]] là mọi tập hữu hạn không có cùng lực lượng với một tập con thực sự của nó. Đối với các tập hợp vô hạn thì không phải như vậy. Sau đây là một vài ví dụ đơn giản:
* Tập con <math>\mathbb N \setminus\{0\}</math> là tập con thực sự của <math>\mathbb N</math>, tuy nhiên ta có thể kiểm tra [[ánh xạ]] sau là song ánh hay không:
:::<math>\phi:\mathbb N \to \mathbb N \setminus\{0\}</math>
::::<math> n \longmapsto n+1</math>
Nghĩa là chúng có cùng lực lượng.

[[Georg Cantor]] đã chứng minh rằng không thể có một song ánh giữa tập các [[số tự nhiên]] và tập hợp các [[số thực]], vì thế lực lượng của tập hợp số tự nhiên là "''nhỏ hơn''" lực lượng của tập số thực. Các tập có cùng lực lượng với tập số tự nhiên được gọi là các tập đếm được, các tập hợp có cùng lực lượng với tập số thực được gọi là tập có lực lượng [[continuum]].
::<math>|\mathbb{Z}|<|\mathbb{R}|</math>
:Nếu ký hiệu <math>|\mathbb{Z}|</math> là <math>\aleph_0</math> ("[[aleph number|aleph-null]]") và <math>|\mathbb{R}|</math> là <math>2^{\aleph_0}</math>,thì ta có:
:::<math>|\mathbb{Z}|</math>< <math>2^{\aleph_0}</math>.

== Phân hoạch ==
{{Chính|Phân hoạch tập hợp}}
B(E) là tập các bộ phận của tập E. 
<br />
Khi đó, P gọi là 1 phân hoạch của E (''' ''Une Partition d'ensemble E'' ''') nếu:
* P là một bộ phận của B(E).
* Với mọi tập A<sub>i</sub> của<math>\in</math> P, A<sub>i</sub> ≠ <math>\empty</math>
* Với mọi phần tử A<sub>i</sub> ≠ A<sub>j</sub> <math>\in</math> P, A<sub>i</sub> <math>\cap</math> A<sub>j</sub> = <math>\empty</math>
* Với mọi phần tử x <math>\in</math> E, luôn tìm thấy phần tử A của P sao cho x là phần tử của<math>\in</math> A. (Nói cách khác hợp tất cả các phần tử A<sub>i</sub> của P ta được E)

Ví dụ: E = {a,b,c}.<br />
P=<nowiki>{{a},{b,c}}</nowiki> là 1 phân hoạch của E. Vì: 
* P là một bộ phận của B(E) (Hiển nhiên).
* Xét tất cả các phần tử của P:  A<sub>1</sub> = {a} ≠ <math>\empty</math> và A<sub>2</sub> = {b,c} ≠ <math>\empty</math>
* {a} <math>\cap</math> {b,c} = <math>\empty</math>
* {a} U {b,c} = E

== Ứng dụng ==
Tập hợp có mặt khắp nơi trong toán học hiện đại. Ví dụ, các [[Cấu trúc đại số|cấu trúc]] trong [[đại số trừu tượng]], chẳng hạn như [[Nhóm (toán học)|nhóm]], [[Trường (đại số)|trường]] và [[Vành|vòng]], là các tập hợp được [[Đóng (phép toán)|đóng]] dưới một hoặc nhiều phép toán.

Một trong những ứng dụng chính của [[lý thuyết tập hợp ngây thơ]] là trong việc xây dựng các [[Quan hệ (toán học)|quan hệ]]. Một mối quan hệ từ một [[tập xác định]] {{Math|''A''}} đến một [[tập hợp đích]] {{Math|''B''}} là một tập hợp con của tích Descartes {{Math|''A'' × ''B''}}. Ví dụ, xem xét tập hợp {{Math|''S'' {{=}} {{mset|đấm, giấy, kéo}}}} của các hình trong [[Oẳn tù tì|trò chơi oẳn tù tì]], quan hệ “thắng” từ {{Math|''S''}} đến {{Math|''S''}} là tập hợp {{Math|''B'' {{=}} {{mset|(kéo,giấy), (giấy,đấm), (đấm,kéo)}}}} ; do đó {{Math|''x''}} thắng {{Math|''y''}} trong trò chơi oẳn tù tì nếu cặp {{Math|(''x'',''y'')}} là phần tử của {{Math|''B''}}. Một ví dụ khác là tập {{Math|''F''}} của tất cả các cặp {{Math|(''x'', ''x''{{sup|2}})}}, trong đó {{Math|''x''}} là số thực. Quan hệ này là một tập con của {{Math|'''R''' × '''R'''}}, bởi vì tập hợp tất cả các bình phương là tập hợp con của tập hợp tất cả các số thực. Vì với mọi {{Math|''x''}} trong {{Math|'''R'''}}, một và chỉ một cặp {{Math|(''x'',...)}} được tìm thấy trong {{Math|''F''}}, nó được gọi là một [[hàm số]]. Trong ký hiệu hàm số, quan hệ này có thể được viết dưới dạng {{Math|''F''(''x'') {{=}} ''x''{{sup|2}}}}.

== Giả thuyết Continuum ==
{{Chính|Giả thiết continuum}}
Ta đã thấy là lực lượng đếm được nhỏ hơn lực lượng Continuum. Tuy nhiên, có hay không một tập hợp có lực lượng lớn hơn [[Tập hợp đếm được|lực lượng đếm được]] và nhỏ hơn [[lực lượng continuum]] lại là một vấn đề khác, Cantor giả thiết rằng không có điều đó ([[giả thiết continuum]] - tiếng Anh: ''continuum hypothesis'').
:::<math>\not\exists \mathbb{A}: \aleph_0 < |\mathbb{A}| < 2^{\aleph_0}.</math>
Điều này tương đương với:
:::<math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math> 
Cantor phát biểu giả thuyết Continuum năm 1878, và năm 1900 nó là bài toán đầu tiên trong [[Các bài toán của Hilbert|23 bài toán]] Hilbert đưa ra. Kết luận cuối cùng là giả thuyết này độc lập với ZFC, tức là ta có thể khẳng định hay phủ định giả thuyết Continuum, và thêm nó vào như một tiên đề độc lập với ZFC, theo nghĩa nếu ZFC nhất quán thì lý thuyết mới cũng nhất quán. Sự độc lập này được chứng minh năm 1963 bởi Paul Cohen, dựa trên những công trình năm 1940 của Kurt Gödel. Cohen được trao [[Huy chương Fields|giải thưởng Fields]] năm 1966 cho chứng minh này.

Sau đó, giả thuyết Continuum vẫn tiếp tục được nghiên cứu trên những khía cạnh khác.

[[Tiên đề chọn]], [[Các định lý bất toàn của Gödel|định lý bất toàn Godel]] và giả thuyết Continuum là vài trong số những khẳng định đầu tiên được chứng minh là độc lập với ZF. Sau này, nhiều khẳng định khác trong giải tích, tô-pô và lý thuyết độ đo cũng được chứng minh là độc lập với ZF.

== Xem thêm ==
* [[Lý thuyết tập hợp]]
*[[Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel|Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel]]
*[[Tập hợp trù mật]]
* [[Nghịch lý Russell]]
* [[Trường (đại số)|Trường (toán học)]]
* [[Không gian mêtric]]

== Chú thích ==
{{tham khảo}}

== Thư mục ==

* [[Hoàng Xuân Sính]], 1972, ''Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám)'', Nhà xuất bản giáo dục

== Liên kết ngoài ==
{{Portal|Toán học|Công nghệ}}
* {{thể loại Commons nội dòng|Sets}}
* {{TĐBKVN|5402}}
* {{Britannica|536141|Set (mathematics and logic)}}
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Beginnings_of_set_theory.html#5 Cơ bản về lý thuyết tập hợp (tiếng Anh)]
* [http://www.math.csusb.edu/notes/sets/sets.html Lý thuyết tập hợp] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061007005033/http://www.math.csusb.edu/notes/sets/sets.html |date=2006-10-07 }}
* [http://mathworld.wolfram.com/Set.html Tập hợp trên Mathworld]
{{Lý thuyết tập hợp|state=autocollapse}}
{{Logic}}
{{Logic toán}}
{{toán học}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}

[[Thể loại:Lý thuyết tập hợp]]
[[Thể loại:Tập hợp|*]]
[[Thể loại:Đối tượng toán học]]
[[Thể loại:Khái niệm logic]]