Xem mã nguồn của Tập hợp đếm được

{{chú thích trong bài}} 
'''Tập hợp đếm được''' (hay tập hợp có lực lượng đếm được) trong [[toán học]] được [[định nghĩa]] là [[tập hợp]] có thể thiết lập một [[Ánh xạ#Toàn ánh, đơn ánh và song ánh|đơn ánh]] vào [[số tự nhiên|tập hợp số tự nhiên]]. Điều này nghĩa là tập hợp này có cùng [[lực lượng (tập hợp)|lực lượng]] với một [[tập hợp con|tập con]] nào đó của tập các số [[tự nhiên]].

Các tập hợp không phải là tập đếm được được gọi là [[tập hợp không đếm được]].

Khái niệm này được nhà toán học [[Georg Cantor]] đưa ra.

Một số tác giả thu hẹp định nghĩa tập đếm được là các tập mà tồn tại [[song ánh]] từ chúng tới tập hợp các số tự nhiên (tức là có cùng lực lượng với lực lượng của các số tự nhiên). Định nghĩa hẹp này loại bỏ những tập có số lượng [[tập hợp#Lực lượng của tập hợp - Hữu hạn và vô hạn|hữu hạn]] các phần tử khỏi khái niệm đếm được.

==Ví dụ==
Theo định nghĩa rộng, các tập hữu hạn như
:''A'' = {a, b, c}
:''B'' = {1, 2}
là các tập đếm được. Các tập vô hạn như tập các số tự nhiên, tập các số [[hữu tỷ]], tập tất cả các tập con hữu hạn của tập các số tự nhiên,... đều là các tập đếm được.

Những tập như tập [[số thực]], tập tất cả các tập con của tập các số tự nhiên (tức [[tập lũy thừa]] của tập các số tự nhiên),... không phải là các tập đếm được.

==Tính chất==

Theo định nghĩa rộng, tập hợp đếm được có thể là [[Tập hợp vô hạn|vô hạn]] hoặc [[tập hợp#Lực lượng của tập hợp - Hữu hạn và vô hạn|hữu hạn]]. Tất cả mọi tập đếm được và có vô hạn phần tử đều có cùng lực lượng với tập các số tự nhiên; còn các tập đếm được hữu hạn đều có lực lượng là một số tự nhiên nào đó (bao gồm số 0).

Mọi tập con của tập đếm được là đếm được. Mọi tập con vô hạn của tập đếm được vô hạn cũng là tập đếm được vô hạn (và do đó có cùng lực lượng với tập mẹ). [[Tích Descartes]] của hữu hạn các tập đếm được là một tập đếm được.

== Khảo sát tính đếm được của một số tập hợp ==
=== Tập hợp [[số tự nhiên]] ===
[[Tập tin:Three apples(1).svg|phải|nhỏ|Các số tự nhiên dùng để đếm (một quả táo, hai quả táo, ba quả táo....).]]
Tập hợp số tự nhiên và các tập con của nó đếm được, vì tập hợp này tương đương với chính nó (xét dãy logic: đồng nhất ánh - song ánh - đơn ánh - đếm được).

=== Tập hợp [[số nguyên]] ===
[[Tập tin:Ic exposure minus 1 48px.svg|nhỏ|trái|Số nguyên âm -1]]
Tập hợp [[số nguyên]] đếm được.

{{Bắt đầu phần ẩn|title=Chứng minh}}
Xét ánh xạ sau:
:''f'': '''Z''' → '''N'''
:''f''(''z'') = 2''z'', nếu ''z'' ≥ 0
:''f''(''z'') = 2|''z''| - 1, nếu ''z'' < 0.

''f'' là song ánh. Điều đó chứng tỏ '''Z''' và '''N''' có cùng lực lượng.
{{Hết phần ẩn}}

=== Tập hợp [[số hữu tỉ]] ===
[[Tập tin:Fracciones.gif|nhỏ|Số hữu tỷ 1/4]]
Tập hợp [[số hữu tỉ]] đếm được.

{{Bắt đầu phần ẩn|title=Chứng minh}}

Thật vậy, mỗi số hữu tỉ có thể biểu diễn duy nhất bởi {{Phân số|''m''|''n''}} là phân số tối giản, với ''m'' là số nguyên và ''n'' là số nguyên dương. Xét ánh xạ từ tập hợp ''Q'' (tập các số hữu tỉ) lên tích Descartes '''Z''' &times; '''Z\{0}''':
:''f'': '''Q''' → '''Z''' &times; '''Z'''\{0}
:<math>\textstyle f\left(\frac{m}{n}\right) = (m,n) </math>
ánh xạ này là đơn ánh, điều đó chứng tỏ ''Q'' là tập hợp con của tập '''Z''' &times; '''Z\{0}''', và do đó có lực lượng đếm được.
{{Hết phần ẩn}}

=== Tập hợp [[số thực]] ===
{{Chính|Lập luận đường chéo của Cantor}}
Tập hợp [[số thực]] [[Tập hợp không đếm được|không đếm được]].
{{Bắt đầu phần ẩn|title=Chứng minh}}
Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:

Cho ''A'' là tập hợp các số thực trong khoảng (0,1); ta chứng minh tập hợp ''A'' không đếm được.

Chứng minh phản chứng. Giả sử ''A'' đếm được, khi đó tồn tại song ánh:
''f'': ''A'' → '''N'''.

Xét số thực ''r'' thuộc ''A''.

Ký hiệu ''r''<sub>i</sub> là chữ số thứ i của r sau dấu phẩy (trong hệ thập phân). Như vậy ''r'' = 0,''r''<sub>1</sub>,''r''<sub>2</sub>,''r''<sub>3</sub>...,''r''<sub>i</sub>....

Ta xây dựng ''r'' bằng cách đưa ra quy tắc tính từng chữ số trong biểu diễn thập phân của ''r'':

:Tính ''r''<sub>i</sub> 
:Ký hiệu ''f''<sup> -1</sup>(''i'') là tạo ảnh của ''i''. Tức là ''f'' (''f''<sup> -1</sup>(''i'')) = ''i'',
::''r''<sub>i</sub> = 9 - Chữ số thứ ''i'' của ''f''<sup> -1</sup>(''i'').

Do ''r'' thuộc ''A'', nên tồn tại ''n'' thuộc ''N'' sao cho: ''f''(''r'') = ''n''.

Theo quy tắc trên thì:
''r''<sub>n</sub> = 9 - ''r''<sub>n</sub>, suy ra 2''r''<sub>n</sub> = 9 (vô lý vì 9 là số lẻ).

Vậy điều giả sử là sai, suy ra tập ''A'' không đếm được. Bổ đề chứng minh xong.

Mặt khác, tập ''A'' là tập con của ''R'' (tập số thực), suy ra ''R'' là tập không đếm được.
{{Hết phần ẩn}}

=== Tập hợp [[số phức]] ===
Tập hợp [[số phức]] không đếm được.
{{Bắt đầu phần ẩn|title=Chứng minh}}
Do ''R'' là tập con của tập ''C'' (tập số phức), ''R'' không đếm được, suy ra ''C'' không đếm được.
{{Hết phần ẩn}}

=== Một số tập hợp khác ===
Tập các số thực thuộc các khoảng, đoạn, và nửa khoảng ((''a'',''b''), [''a'',''b''], [''a'',''b''), (''a'',''b''], [a,+<math>\infty</math>), (a,+<math>\infty</math>), (-<math>\infty</math>,a), (-<math>\infty</math>,a] )với ''a'' < ''b'' là số thực, là tập không đếm được (xem chứng minh ở phần tập hợp số thực).

== Số thứ tự đếm được đầu tiên ==
<math>\mathbb{N}</math> là [[số thứ tự]] nhỏ nhất có lực lượng đếm được. Tiếp sau nó là <math>\mathbb{N}+1,\mathbb{N}+2, \dots</math> Lực lượng của chúng đều bằng <math>\aleph_0</math>.

Số thứ tự không đếm được đầu tiên được ký hiệu là <math>\omega_1</math>. Tiếp sau nó là <math>\omega_1+1,\omega_2+1,\dots</math> Lực lượng của chúng đều bằng <math>\aleph_1</math>, lực lượng không đếm được nhỏ nhất.

==Xem thêm==
*[[Tập hợp không đếm được]]
*[[Tập hợp đo được]]

==Tham khảo==
{{tham khảo}}
*Nguyễn Đình Trí (chủ biên) và các tác giả khác, ''Toán cao cấp'', Tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục, tái bản lần thứ bảy, 2006.

==Liên kết ngoài==
{{Thể loại Commons|Countable sets}}
*{{MathWorld |title=Countable Set |id=CountableSet }}
* {{Britannica|140213|Countable set (mathematics)}}
* {{TĐBKVN|5404}}
{{Lý thuyết tập hợp}}
{{Hệ thống số}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}

[[Thể loại:Tập hợp]]
[[Thể loại:Số]]
[[Thể loại:Lý thuyết tập hợp]]
[[Thể loại:Vô tận]]
[[Thể loại:Lực lượng tập hợp]]
[[Thể loại:Thứ tự]]
[[Thể loại:Khái niệm toán học]]