Xem mã nguồn của Tam giác Reuleaux

[[Tập tin:ReuleauxTriangle.svg|nhỏ|Hình 1: Biên của tam giác Reuleaux có độ rộng không đổi được hình thành bằng đường cong dựa trên một tam giác đều. Tất cả các điểm trên cung tròn cách đều với đỉnh đối diện.]]
'''Tam giác Reuleaux''' ({{IPA|fr|ʁœlo|}}; tiếng Việt có thể gọi là ''tam giác Rơ-lô'' hoặc ''Ru-lô'') là hình tạo nên từ phần giao nhau của ba [[hình tròn]] cùng [[bán kính]], tâm đường tròn chính là giao điểm của hai đường tròn còn lại. Biên của tam giác Reuleux là [[đường cong kín có độ rộng không đổi]] đơn giản nhất và được biết đến nhiều nhất sau đường tròn.<ref>{{Harvtxt|Gardner|2014}} cho nó là đơn giản nhất, trong khi {{Harvtxt|Gruber|1983|p=[https://archive.org/details/convexityitsappl0000unse/page/59 59]}} gọi là "dễ thấy nhất".</ref> Độ rộng không đổi nghĩa là khoảng cách giữa hai [[tuyến đỡ]] song song luôn bằng nhau, không phụ thuộc vào vị trí của chúng. Vì các đường kính đều bằng nhau, tam giác Reuleaux là một trong những đáp án cho câu hỏi "Ngoài hình tròn, [[nắp cống]] có thể có hình dạng gì để không bị tụt qua lỗ cống?"{{sfn|Klee|1971|pp=14-27}}

Tam giác Reuleaux cũng được gọi là '''tam giác cầu''' nhưng thuật ngữ đó dùng để chỉ các tam giác trên [[mặt cầu]] thì đúng hơn. Hình được đặt theo tên kỹ sư người Đức [[Franz Reuleaux]] ở thế kỷ 19,{{sfn|Alsina|Nelsen|2011|p=155}} người đi đầu trong việc nghiên cứu cơ cấu truyền động và ông đã sử dụng hình tam giác Reuleaux trong các thiết kế của mình.{{sfn|Moon|2007|p=[https://books.google.com/books?id=lw7lN8JibZsC&pg=PA239 239]}} Tuy nhiên, hình dạng này đã được biết đến và áp dụng trước đó, như các cửa sổ nhà thờ [[Kiến trúc Gothic|Gothic]] hay như [[Leonardo da Vinci]] đã sử dụng nó trong [[phép chiếu bản đồ]] và trong nghiên cứu của [[Leonhard Euler]] về các hình có độ rộng không đổi. Tam giác Reuleaux còn được ứng dụng trong tạo hình [[phím gảy guitar]], [[trụ nước cứu hỏa]], [[bút chì]] và [[mũi khoan]] tạo lỗ vuông, cũng như trong thiết kế đồ họa tạo hình bảng hiệu và logo.

Trong số các hình có độ rộng không đổi cho trước, tam giác Reuleaux có diện tích nhỏ nhất và góc nhỏ nhất có thể (120°). Theo một vài số đo, hình này phải qua nhiều phép biến hình nhất để trở thành [[đối xứng tâm]]. Hình dạng này có độ rộng không đổi lớn nhất mà đỉnh không nằm trên các nút [[Mạng số nguyên|lưới số nguyên]] và tương quan chặt với tứ giác có tỷ lệ chu vi trên đường kính là cực đại. Nó có thể thực hiện một vòng quay hoàn chỉnh trong một hình vuông đồng thời luôn tiếp xúc cả bốn cạnh hình vuông. Trong các hình có tính chất này, tam giác Reuleux có diện tích nhỏ nhất. Tuy nhiên, dù có thể bao phủ hầu hết diện tích hình vuông khi quay, tam giác không quét hết được một phần nhỏ ở gần các góc hình vuông. Do tính chất có thể quay trong một hình vuông, tam giác Reuleaux đôi khi còn được gọi là '''rôto Reuleaux''' ''(Reuleaux rotor)''.{{sfn|Bryant|Sangwin|2011|p=[https://books.google.com/books?id=2lXgO3xKcxAC&pg=PA190 190]}}

Tam giác Reuleaux là hình đầu tiên trong một loạt [[đa giác Reuleaux]], biên là các đường cong có độ rộng không đổi được dựa trên các [[đa giác đều]] với số cạnh lẻ. Một số đường cong này được ứng dụng trong [[hình dạng tiền xu]]. Tam giác Reuleaux cũng có thể được khái quát trong không gian ba chiều theo nhiều cách: [[tứ diện Reuleaux]] (giao của bốn [[hình cầu]] có tâm là đỉnh một [[tứ diện]] đều) tuy độ rộng không phải hằng số nhưng có thể tròn hoá các cạnh để độ rộng không đổi và thu được [[tứ diện Meissner]]. Ngoài ra, [[mặt tròn xoay]] tạo bởi khi quay tam giác Reuleaux cũng có độ rộng không đổi.

== Dựng hình ==
[[Tập tin:Construction_triangle_Reuleaux.svg|trái|nhỏ|Cách dựng hình tam giác Reuleaux]]
Có thể dựng tam giác Reuleaux trực tiếp từ ba [[đường tròn]] hoặc dựng các cung tròn trên cạnh một [[tam giác đều]].{{sfn|Hann|2014|p=34}}

Việc dựng hình từ 3 đường tròn chỉ cần đến [[com-pa]] mà không cần đến thước. Điều này suy ra từ [[Định lý Mohr – Mascheroni]] áp dụng cho các hình dựng được bằng [[Phép dựng hình bằng thước và com-pa|thước và com-pa]],{{sfn|Hungerbühler|1994|pp=784–787}} nhưng cách dựng tam giác Reuleaux còn đặc biệt đơn giản. Đầu tiên là xác định hai điểm tùy ý trên mặt phẳng làm hai đỉnh của tam giác, lấy một điểm làm tâm và dùng com-pa vẽ đường tròn qua điểm kia. Tiếp theo đổi lại vị trí, lấy tâm tại điểm thứ hai, vẽ đường tròn cùng bán kính, nó sẽ đi qua điểm ban đầu. Cuối cùng, lấy một trong hai giao điểm giữa hai đường tròn vừa tạo làm tâm, vẽ đường tròn thứ ba giữ nguyên bán kính, nó sẽ đi qua hai điểm ban đầu.<ref>Cách dựng hình này được {{harvtxt|Maor|Jost|2014|pp=[https://books.google.com/books?id=0fOKAQAAQBAJ&pg=PA154 154-156]}} tóm tắt và có thể theo dõi qua video [https://www.youtube.com/watch?v=OdY9Y-6DsgU Fun with Reuleaux triangles (Vui với tam giác Reuleaux)] của Alex Franke ngày 21 tháng 8 năm 2011.</ref> Phần giao giữa ba hình tròn thu được chính là một tam giác Reuleaux.{{sfn|Hann|2014|p=34}}

Ngoài ra, có thể dựng tam giác Reuleaux từ tam giác đều bằng cách vẽ ba cung tròn có tâm tại mỗi đỉnh tam giác và đi qua hai đỉnh còn lại.{{sfn|Gardner|2014|pp=223–245}} Hoặc tương tự, vẽ cung tròn có tâm là đỉnh tam giác với bán kính bằng đúng độ dài cạnh tam giác.{{sfn|Klee|Wagon|1991|p=[https://books.google.com/books?id=tRdoIhHh3moC&pg=PA21 21]}}

== Tính chất toán học ==
[[Tập tin:Reuleaux_supporting_lines.svg|nhỏ|Các [[đường hỗ trợ]] song song của một tam giác Reuleaux]]
Tính chất cơ bản nhất của tam giác Reuleaux là có độ rộng không đổi, nghĩa là đối với mọi cặp [[đường hỗ trợ]] song song (hai đường có cùng hệ số góc và tiếp xúc với hình ở 1 điểm) đều có cùng một [[khoảng cách Euclid]] không phụ thuộc vào hệ số góc.{{sfn|Gardner|2014|pp=223–245}} Trong bất kỳ cặp đường hỗ trợ song song nào, một đường thẳng nhất thiết đi qua một đỉnh tam giác, đường kia sẽ tiếp tuyến với cung tròn đối diện. Độ rộng của tam giác Reuleux bằng với bán kính cung tròn đường biên.{{sfn|Maor|Jost|2014|pp=[https://books.google.com/books?id=0fOKAQAAQBAJ&pg=PA154 154-156]}}

[[Leonhard Euler]] có thể là nhà toán học đầu tiên phát hiện ra đường cong có độ rộng không đổi và nhận thấy tính chất này ở tam giác Reuleaux.{{sfn|Bryant|Sangwin|2011|p=[https://books.google.com/books?id=2lXgO3xKcxAC&pg=PA190 190]}} Trong bài viết trình bày năm 1771 và xuất bản năm 1781 với tựa đề ''De curvis triangularibus'', Euler đã nghiên cứu các tam giác [[Đường cong|cong]] cũng như các đường cong có độ rộng không đổi, mà ông gọi là các dạng quỹ đạo.{{sfn|Reich|2007|pp=[https://books.google.com/books?id=75vJL_Y-PvsC&pg=PA484 484–485]}}{{sfn|Euler|1781|pp=3–30}}

=== Các số đo cực trị ===
Theo nhiều số đo khác nhau, tam giác Reuleaux là một trong những đường cong có độ rộng không đổi đạt cực trị.

Theo [[định lý Blaschke – Lebesgue]], với độ rộng không đổi cho trước, tam giác Reuleaux là hình có diện tích nhỏ nhất, giá trị này bằng

: <math>\frac{1}{2}(\pi - \sqrt3)s^2 \approx 0.70477s^2,</math>

với ''s'' là độ rộng. Cách tính là tính tổng diện tích tam giác đều và các cung tròn. Ngược lại, trong các đường cong có độ rộng không đổi cho trước, [[hình tròn]] có diện tích lớn nhất, bằng <math>\pi s^2 / 4\approx 0.78540s^2</math>.{{sfn|Gruber|1983|p=[https://archive.org/details/convexityitsappl0000unse/page/67 67]}}

Các góc tạo bởi mỗi cặp cung ở đỉnh tam giác Reuleaux đều bằng 120°. Giá trị góc này là nhỏ nhất ở bất kỳ [[Đỉnh (hình học)|đỉnh]] nào của đường cong có độ rộng không đổi.{{sfn|Gardner|2014|pp=223–245}} Ngoài ra, trong các đường cong có độ rộng không đổi, tam giác Reuleaux có cả tam giác đều nội tiếp lớn nhất và nhỏ nhất.{{sfn|Gruber|1983|p=[https://archive.org/details/convexityitsappl0000unse/page/76 76]}} Tam giác đều nội tiếp lớn nhất có ba đỉnh trùng với đỉnh tam giác Reuleaux còn tam giác đều nội tiếp nhỏ nhất có ba đỉnh là điểm giữa của ba cạnh tam giác Reuleaux. Tập hợp con của tam giác Reuleaux gồm các điểm nằm trên ba đường kính trở lên là phần trong của tam giác lớn hơn trong hai tam giác này (hình 1); nó có diện tích lớn nhất trong tất cả tập hợp các điểm nằm trên ba đường kính của đường cong có độ rộng không đổi.{{sfn|Makeev|2000|pp=152–155, 329}}
[[Tập tin:Symmetry_measure_of_Reuleaux_triangle.svg|nhỏ|trái|Các hình đối xứng tâm trong và ngoài dùng để đo độ bất đối xứng của tam giác Reuleux]]
Mặc dù thuộc [[nhóm nhị diện]] D6 nhưng tam giác Reuleux giống như [[tam giác đều]] không có [[đối xứng tâm]]. Tam giác Reuleaux là đường cong có độ rộng không đổi có hệ số bất đối xứng tâm nhỏ nhất theo cả hai phương pháp, [[số đo Kovner – Besicovitch]] (tỷ lệ diện tích của hình so với hình [[đối xứng tâm]] lớn nhất được bao bên trong) và [[số đo Estermann]] (tỷ lệ diện tích trên hình đối xứng tâm nhỏ nhất bao ngoài). Đối với tam giác Reuleaux, hai hình đối xứng tâm dùng để tính hệ số bất đối xứng đều là [[hình lục giác]] chỉ có điều hình bên trong có cạnh cong.{{sfn|Finch|2003|pp=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/513 513–514]}} Với mỗi đường kính (đường thẳng đi qua trọng tâm) chia tam giác Reuleaux thành hai phần có tỷ lệ diện tích đạt giá trị cực đại (một hệ số bất đối xứng khác) lớn hơn bất kỳ đường cong có độ rộng không đổi khác.{{sfn|Groemer|Wallen|2001|pp=517–521}}

Trong tất cả các hình có độ rộng không đổi và có biên không chạm [[lưới số nguyên]], tam giác Reuleux có độ rộng lớn nhất. Trục đối xứng của nó nằm ở điểm 0,5 và song song với trục tọa độ. Độ rộng của nó là nghiệm của đa thức bậc 6 với hệ số nguyên và bằng khoảng 1,545.{{sfn|Finch|2003|pp=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/513 513–514]}}{{sfn|Gruber|1983|p=[https://archive.org/details/convexityitsappl0000unse/page/78 78]}}

Giống như một hình tròn có thể được 6 hình tròn cùng cỡ tiếp xúc bao quanh, có thể sắp xếp 7 tam giác Reuleaux bằng nhau để cùng bao quanh tiếp xúc một tam giác Reuleaux tương tự ở giữa. Đây là số lượng tối đa có thể khi sắp xếp bất kỳ đường cong có độ rộng không đổi nào khác.{{sfn|Fejes Tóth|1967|pp=363–367}}{{sfn|Schopp|1970|pp=475–478}}

[[Tập tin:Reuleaux kite.svg|nhỏ|[[Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau|Tứ giác]] [[hình diều]] có tỷ số giữa chu vi và đường kính đạt cực đại, nội tiếp trong tam giác Reuleaux]]

Trong tất cả các [[hình tứ giác]], hình có tỷ số giữa [[chu vi]] và [[đường kính]] lớn nhất là [[tứ giác có hai đường chéo bằng nhau]] [[hình diều]] nội tiếp tam giác Reuleaux.{{sfn|Ball|1973|pp=298–303}}{{sfn|Griffiths|Culpin|1975|pp=165–175}}

=== Các số đo ===
Theo [[định lý Barbier]], tất cả các đường cong có cùng độ rộng không đổi bao gồm tam giác Reuleaux thì đều có [[chu vi]] bằng nhau. Đặc biệt giá trị này bằng chính bằng <math>\pi s</math> là chu vi của hình tròn có cùng độ rộng (chính bằng đường kính ''s'').{{sfn|Lay|2007|pp=[https://books.google.com/books?id=U9eOPjmaH90C&pg=PA81 81-82]}}{{sfn|Barbier|1860|pp=283–285}}{{sfn|Gardner|2014|pp=223–245}}

Với tam giác Reuleaux có độ rộng ''s'', bán kính [[Đường tròn nội tiếp và bàng tiếp|đường tròn nội tiếp]] lớn nhất  và [[đường tròn ngoại tiếp]] lần lượt là

: <math>\displaystyle\left(1-\frac{1}{\sqrt 3}\right)s\approx 0.42265s \quad \text{và} \quad \displaystyle\frac{s}{\sqrt 3}\approx 0.57735s</math>

Tổng hai bán kính này bằng đúng độ rộng của tam giác Reuleaux. Tổng quát hóa, đối với mọi đường cong có độ rộng không đổi, đường tròn nội tiếp lớn nhất và đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất là đồng tâm và tổng bán kính của chúng bằng độ rộng không đổi của đường cong.{{sfn|Lay|2007|pp=[https://books.google.com/books?id=U9eOPjmaH90C&pg=PA80 80–81]}}

{{Vấn đề mở|Toán học|Các tam giác Reuleux có thể phủ kín mặt phẳng với mật độ bao nhiêu?}}

[[Mật độ phủ]] tối ưu của tam giác Reuleaux trong mặt phẳng vẫn chưa tính được nhưng giá trị phỏng đoán là

: <math>\frac{2(\pi-\sqrt 3)}{\sqrt{15}+\sqrt{7}-\sqrt{12}} \approx 0.922888, </math>

là mật độ của một [[mạng kép]] khả dĩ cho các hình này. Giới hạn trên tốt nhất cho độ phủ này là khoảng 0,947275.{{sfn|Blind|Blind|1983|pp=465–469}}{{sfn|Blind|Blind|1987|pp=1-7}} Giả thuyết đưa ra nhưng chưa chứng minh được là tam giác Reuleaux có độ phủ cao nhất so với bất kỳ đường cong độ có rộng không đổi nào khác.{{sfn|Resnikoff|2015}}

=== Quay trong một hình vuông ===
[[Tập tin:Rotation_of_Reuleaux_triangle.gif|nhỏ|Quay tam giác Reuleaux trong một hình vuông, quỹ tích tâm tam giác là đường cong bên trong]]

Bất kỳ đường cong có độ rộng không đổi nào đều có thể tạo thành một rotor trong một [[hình vuông]], nghĩa là quay bên trong và luôn tiếp xúc bốn cạnh hình vuông. Tuy nhiên, tam giác Reuleaux là rotor có diện tích nhỏ nhất.{{sfn|Gardner|2014|pp=223–245}} Khi quay, tâm không cố định tại một điểm mà vẽ theo bốn đoạn [[elip]].{{sfn|Gleiftner|Zeitler|2000|pp=335–344}} Do góc đỉnh 120°, tam giác Reuleaux không thể quét hết các góc hình vuông mà tạo nên biên cũng là các cung elip.{{sfn|Gardner|2014|pp=223–245}}

{{Nhiều hình|align=center|image1=Reuleaux triangle rotation center.svg|alt1=Tam giác Reuleaux trong hình vuông, với hình elip điều chỉnh đường chuyển động của tâm tam giác|caption1=Một trong bốn elip được tâm tam giác Reuleaux quay trong hình vuông đi theo|image2=Reuleaux triangle rotation corners.svg|alt2=Tam giác Reuleaux trong hình vuông, với hình elip bao lấy miền tam giác quét qua|caption2=Hình elip giới hạn góc (phía dưới bên trái) của miền tam giác Reuleaux quay trong hình vuông quét qua}}

Tại bất kỳ thời điểm nào trong quá trình quay này, hai đỉnh tam giác Reuleaux tiếp xúc với hai cạnh liền kề của hình vuông, trong khi đỉnh thứ ba của tam giác vạch ra một đường cong gần đỉnh đối diện của hình vuông. Hình do tam giác Reuleaux quét qua chiếm khoảng 98,77% diện tích hình vuông.{{sfn|Pickover|2009|p=[https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA266 266]}}

=== Ví dụ phản chứng ===
Ý định ban đầu của Reuleaux khi nghiên cứu tam giác Reuleaux là một ví dụ phản chứng, muốn chứng minh ba điểm tiếp xúc riêng biệt có thể không đủ để cố định một hình phẳng vào một vị trí duy nhất.{{sfn|Moon|2007|p=[https://books.google.com/books?id=lw7lN8JibZsC&pg=PA239 239]}} Sự tồn tại của đa giác Reuleaux cho thấy chỉ đo đường kính thì không thể chứng thực một mặt cắt ngang có tròn hay không.{{sfn|Granovsky|Siraya|p=[https://books.google.com/books?id=2dwn4M7IEWUC&pg=PA200 200]}} Thực tế này có thể chỉ ra nguyên nhân [[thảm họa tàu con thoi Challenger]] vì khi phóng tên lửa, độ tròn chỉ được kiểm tra bằng cách đo các đường kính khác nhau. Trong khi với cùng độ rộng không đổi nhưng hình dạng không tròn có thể tạo ra ứng suất cao bất thường, đây có thể là một trong những các yếu tố dẫn đến thảm họa.{{sfn|Gardner|2014|pp=223–245}}

Liên quan đến [[bài toán hình vuông nội tiếp]], {{harvtxt|Eggleston|1958}} nhận thấy tam giác Reuleaux là một ví dụ về hình có độ rộng không đổi không có đa giác đều nội tiếp với số cạnh nhiều hơn bốn ngoại trừ hình lục giác đều. Ông mô tả một chỉnh sửa nhỏ với các hình đảm bảo độ rộng không đổi đồng thời cũng không tồn tại lục giác đều nội tiếp. Ông khái quát hóa trong không gian ba chiều sử dụng một hình trụ dựng từ [[tiết diện]] đó.{{sfn|Eggleston|1958|pp=76–80}}

== Ứng dụng ==

=== Quét hết các góc ===
Một số loại máy móc lấy hình dạng của tam giác Reuleaux dựa trên đặc tính có thể quay trong một hình vuông.

[[Mũi khoan]] vuông của [[Watts Brothers Tool Works]] có hình tam giác Reuleaux được chỉnh sửa lõm để tạo thành mặt cắt. Khi gắn trong một mâm cặp cho phép mũi khoan không có tâm quay cố định sẽ khoan một lỗ gần như hình vuông.{{sfn|Watts Brothers Tool Works 1950-1951 brochure}} Mặc dù được Henry Watts đăng ký bằng sáng chế vào năm 1914, trước đó đã có những người khác tạo ra các mũi khoan như vậy rồi.{{sfn|Gardner|2014|pp=223–245}} Các đa giác Reuleaux khác được sử dụng để khoan các lỗ hình ngũ giác, lục giác và bát giác.{{sfn|Gardner|2014|pp=223–245}}{{sfn|Watts Brothers Tool Works 1950-1951 brochure}}

[[Robot hút bụi]] Rulo của [[Panasonic]] có hình dáng dựa trên tam giác Reuleaux để dễ dàng hút sạch bụi ở các góc phòng.{{sfn|Japan Real Time ngày 22 tháng 1 năm 2015}}{{sfn|Gizmag ngày 3 tháng 3 năm 2015}}

=== Trụ lăn ===
[[Tập tin:Reuleaux_triangle_54.JPG|nhỏ|So sánh con lăn hình trụ và hình tam giác Reuleaux]]
Một loại ứng dụng khác là các vật hình trụ có tiết diện tam giác Reuleaux. Ví dụ như bút chì thay vì tiết diện tròn hoặc lục giác truyền thống phổ biến.{{sfn|Đánh giá Staedtler Noris Ergosoft HB ngày 26 tháng 4 năm 2006}} Loại này thường được quảng cáo là thoải mái hơn hoặc dễ cầm hơn, cũng như giảm khả năng lăn khỏi bàn (vì trọng tâm di chuyển lên xuống nhiều hơn lục giác).

Tam giác Reuleaux (cùng tất cả các [[đường cong có độ rộng không đổi]] khác) có thể [[lăn]] nhưng bánh xe có hình đó không có tâm quay cố định dẫn đến chuyển động khó khăn hơn. Một vật đặt trên con lăn có tiết diện tam giác Reuleaux sẽ chuyển động trơn tru trên mặt phẳng nhưng trục gắn với bánh xe tam giác Reuleaux sẽ nảy lên xuống ba lần mỗi vòng.{{sfn|Gardner|2014|pp=223–245}}{{sfn|Masferrer León|von Wuthenau Mayer|2005|pp=7-13}} Hình ảnh này được sử dụng trong truyện ngắn khoa học viễn tưởng ''The Three-Cornered Wheel (Bánh xe ba góc)'' của [[Poul Anderson]].{{sfn|Maor|Jost|2014|pp=[https://books.google.com/books?id=0fOKAQAAQBAJ&pg=PA154 154-156]}}{{sfn|Anderson|1963|pp=59-60}} Năm 2009, lấy cảm hứng từ chiếc bút chì tiết diện tam giác Reuleaux, nhà phát minh Trung Quốc Guan Baihu chế tạo và ra mắt xe đạp có trục nổi và khung được vành bánh xe hình tam giác Reuleaux hỗ trợ.{{sfn|Reuters ngày 17 tháng 6 năm 2009}}

=== Thiết kế cơ khí ===
[[Tập tin:Luch2_greifer.gif|trái|nhỏ|Mô hình dựa trên tam giác Reuleaux áp dụng trong máy chiếu phim 28 mm Luch-2 của Liên Xô]]
Một lớp ứng dụng khác của tam giác Reuleaux liên quan đến [[liên kết cơ học]] biến [[chuyển động quay]] thành [[chuyển động tịnh tiến qua lại]].{{sfn|Klee|Wagon|1991|p=[https://books.google.com/books?id=tRdoIhHh3moC&pg=PA21 21]}} Franz Reuleaux đã nghiên cứu những cơ chế này. Với sự hỗ trợ của công ty Gustav Voigt, Reuleaux xây dựng khoảng 800 mô hình cơ khí, một số trong đó liên quan đến tam giác Reuleaux.{{sfn|Hiệp hội kỹ sư cơ khí Hoa Kỳ ASME tháng 7 năm 1999}} Reuleaux sử dụng những mô hình này trong các nghiên cứu ban đầu về các chuyển động đó.{{sfn|Henderson|Taimina|2007|p=[https://books.google.com/books?id=GJBKLnkYyi0C&pg=PA81 81]}} Đến nay, hầu hết các mô hình Reuleaux – Voigt bị thất lạc, chỉ còn 219 trong số đó được [[Đại học Cornell]] thu thập lại, ghi nhận 9 mô hình dựa trên tam giác Reuleaux.{{sfn|Hiệp hội kỹ sư cơ khí Hoa Kỳ ASME tháng 7 năm 1999}}{{sfn|Moon|2007|p=[https://books.google.com/books?id=lw7lN8JibZsC&pg=PA241 241]}} Tuy nhiên, trước các nghiên cứu của Reuleux thì tam giác Reuleaux đã được ứng dụng trong thiết kế cơ khí như [[động cơ hơi nước]] từ đầu năm 1830 có [[Cơ cấu cam|cam]] hình tam giác Reuleaux.{{sfn|Moon|2007|p=[https://books.google.com/books?id=lw7lN8JibZsC&pg=PA240 240]}}

Một ứng dụng của nguyên tắc này là [[máy chiếu phim]]. Thước phim cần có chuyển động giật khúc, dừng lại lâu trước ống kính rồi chuyển sang khung hình tiếp theo với tốc độ nhanh hơn nhiều. Điều này thực hiện bằng cách sử dụng cơ chế quay tam giác Reuleaux trong một hình vuông được sử dụng để truyền động kéo nhanh từng khung hình, nhưng tạm dừng lại khi khung hình được chiếu.{{sfn|Lay|2007|p=[https://books.google.com/books?id=U9eOPjmaH90C&pg=PA83 83]}}

Tam giác Reuleux thường được lấy ví dụ là hình dạng rotor trong [[động cơ Wankel]].{{sfn|Alsina|Nelsen|2011|p=155}}{{sfn|Bryant|Sangwin|2011|p=[https://books.google.com/books?id=2lXgO3xKcxAC&pg=PA190 190]}}{{sfn|Gardner|2014|pp=223–245}} Tuy nhiên, tam giác này có độ cong kém hơn tam giác Reuleaux nên độ rộng không phải hằng số.{{sfn|Gruber|1983|p=80}}{{sfn|Nash|1977|pp=87–89}}{{sfn|Badr|Naik|O'Callaghan|Probert|1991|pp=59–76}}

=== Kiến trúc ===
[[Tập tin:Reuleaux_triangle_shaped_window_of_Onze-Lieve-Vrouwekerk,_Bruges.jpg|nhỏ|Cửa sổ hình tam giác Reuleaux tại [[Nhà thờ Đức Mẹ, Bruges]] ở [[Bỉ]]]]

Trong [[kiến trúc Gothic]], bắt đầu từ cuối thế kỷ thứ 13 hoặc đầu thế kỷ 14,{{sfn|Hart|2010|pp=[https://books.google.com/books?id=SY7aHx8KwK0C&pg=PA63 63-64]}} tam giác Reuleaux là một trong những đường cong tạo hình cửa sổ, ở [[lỗ trắc]] trên cửa sổ và trang trí khác.{{sfn|Alsina|Nelsen|2011|p=155}} Ví dụ, trong [[kiến trúc Gothic Anh]], hình dạng này gắn liền với các giai đoạn trang trí, cả phong cách hình học 1250–1290 lẫn phong cách đường cong 1290–1350. Trong khuôn khổ đó hay dùng thuật ngữ "tam giác cầu" (spherical triangle) nhưng trong toán học, [[tam giác cầu]] là tam giác nằm trên [[mặt cầu]] (cũng hay dùng trong [[vòm]] kiến trúc). Trong kiến trúc nhà thờ Gothic, hình dạng ba góc của tam giác Reuleaux có thể được liên tưởng đến [[Chúa Ba Ngôi]]{{sfn|Durand|1906|p=[https://books.google.com/books?id=vRknpENyAlQC&pg=PR88 lxxxviii]}} và "nghịch lại hình thái tròn".{{sfn|Frankl|Crossley|2000|p=[https://books.google.com/books?id=LBZ6781vvOwC&pg=PA146 146]}}

Tam giác Reuleaux còn được sử dụng trong các phong cách kiến trúc khác. Ví dụ, [[Leonardo da Vinci]] phác thảo hình này cho thiết kế công sự.{{sfn|Moon|2007|p=[https://books.google.com/books?id=lw7lN8JibZsC&pg=PA241 241]}} Tòa nhà cao tầng hiện đại [[Kölntriangle]] ở [[Köln]], [[Đức]], có mặt cắt ngang hình tam giác Reuleaux. Cùng với phần giữa hình tròn đã tạo cho các phòng có độ sâu khác nhau.{{sfn|Kiến trúc KölnTriangle}}

=== Chiếu bản đồ ===
Một ứng dụng khác có từ sớm của tam giác Reuleaux là [[Bản đồ thế giới của Da Vinci|bản đồ thế giới]] của [[Leonardo da Vinci]] khoảng năm 1514 (cũng có thể ông hướng dẫn học trò làm), bề mặt cầu của trái đất được chia thành tám phần có hình tam giác Reuleaux.{{sfn|Snyder|1997|p=[https://books.google.com/books?id=0UzjTJ4w9yEC&pg=PA40 40]}}{{sfn|Keuning|1955|pp=1–24}}{{sfn|Bower|2012|pp=55–61}}
[[Tập tin:Leonardo_da_Vinci's_Mappamundi.jpg|giữa|nhỏ|upright=2|[[Bản đồ thế giới của Da Vinci|Bản đồ thế giới]] của Leonardo da Vinci chia làm tám tam giác Reuleaux]]
Các bản đồ tương tự cũng dựa trên tam giác Reuleaux được [[Oronce Finé]] xuất bản năm 1551 và [[John Dee]] vào năm 1580.{{sfn|Bower|2012|pp=55–61}}

=== Các đồ vật khác ===
[[Tập tin:V-Pick_Psychos.JPG|trái|nhỏ|[[Phím gảy guitar]] hình tam giác Reuleaux]]
Nhiều [[phím gảy guitar]] có hình tam giác Reuleaux vì khi gảy bằng đầu nhọn sẽ tạo ra âm sắc mạnh mẽ, còn gảy bằng cung tròn có thể tạo ra âm sắc ấm áp. Do tất cả ba đầu đều có thể sử dụng được, phím dễ dàng định hướng hơn và ít bị mòn hơn so với phím chỉ có một đầu nhọn.{{sfn|Hoover|1995|pp=32–33}}

{{Nhiều hình|total_width=420|image1=Philadelphia fire hydrant.jpg|image2=Tux Hydrant.jpg|footer=Việc sử dụng trái phép trụ cứu hỏa tại Philadelphia 1996, được ngăn chặn bằng trụ mới hơn gắn đai ốc hình tam giác Reuleaux}}

Tiết diện đai ốc [[trụ cứu hỏa]] có hình tam giác Reuleaux. Độ rộng không đổi khiến khó khăn khi mở nếu dùng cờ lê hàm song song thông thường mà phải dùng một cờ lê chuyên biệt mới mở được. Như vậy chỉ có lính cứu hỏa với dụng cụ đó trong tay mới mở được họng nước còn ngăn chặn những người khác mở nước cho các mục đích khác.{{sfn|Martini|Montejano|Oliveros|2019|p=3}}

[[Tập tin:Smithsonian_Submillimeter_Array.jpg|nhỏ|trái|[[Mảng Submillimeter|Subillimeter Array]] có bảy trong số tám ăng-ten được sắp xếp gần đúng trên một tam giác Reuleaux ]]
Theo ý tưởng của {{Harvtxt|Keto|1997}},{{sfn|Keto|1997|pp=843–852}} đài quan sát thiên văn vô tuyến [[Submillimeter Array]] trên núi [[Mauna Kea]] ở [[Hawaii]] có ăng-ten được bố trí trên bốn tam giác Reuleaux lồng nhau.{{sfn|Blundell|2007|pp=1857–1860}}{{sfn|Ho|Moran|Lo|2004|pp=L1–L6}} Việc đặt ăng-ten trên một đường cong có độ rộng không đổi giúp đài quan sát có cùng độ phân giải không gian theo mọi hướng và phát chùm sóng quan sát hình tròn. Là đường cong bất đối xứng nhất có độ rộng không đổi, tam giác Reuleaux đưa đến vùng phủ sóng đều nhất trên mặt phẳng cho [[biến đổi Fourier]] của tín hiệu từ đài.{{sfn|Keto|1997|pp=843–852}}{{sfn|Ho|Moran|Lo|2004|pp=L1–L6}} Các ăng-ten có thể được di chuyển từ tam giác Reuleaux này sang tam giác Reuleaux khác phục vụ độ phân giải góc mong muốn cho mỗi quan sát khác nhau.{{sfn|Blundell|2007|pp=1857–1860}}{{sfn|Ho|Moran|Lo|2004|pp=L1–L6}} Vị trí chính xác của các ăng-ten hình tam giác Reuleaux này đã được tối ưu hóa bằng [[mạng nơ-ron]]. Ở một số nơi, đài thiên văn được xây dựng theo hình tam giác Reuleaux dẫn xuất vì hình gốc không khả thi trong khu vực đó.{{sfn|Ho|Moran|Lo|2004|pp=L1–L6}}

=== Dấu hiệu và biểu trưng ===
Nhiều bảng hiệu và logo công ty có hình khiên hoặc tam giác tròn. Tuy nhiên, chỉ một số lấy nguyên hình tam giác Reuleaux.

Logo công ty dầu khí [[Petrofina]] của Bỉ dùng hình tam giác Reuleaux với tên Fina từ năm 1950 cho đến khi sáp nhập với [[Total S.A]] vào năm 2000.{{sfn|Newport City Radio ngày 16 tháng 5 năm 2015}}{{sfn|Lịch sử logo Fina}} [[La bàn]] chỉ nam của [[Nhà máy bia Bavaria (Hà Lan)]] có khung viền logo là tam giác Reuleaux, một phần nhờ đó mà công ty thiết kế Total Identity giành được giải thưởng Nhà quảng cáo của năm SAN 2010.{{sfn|Total Identiy 2013}} [[Trường Mỏ Colorado]] có logo sử dụng hình tam giác Reuleaux.{{sfn|Fisher|2002|p=29}}

Tại Hoa Kỳ, [[Hệ thống Đường mòn Quốc gia]] và [[Quốc lộ Xe đạp Hoa Kỳ]] đều đánh dấu các tuyến đường bằng hình tam giác Reuleaux trên biển báo.{{sfn|Cục quản lý cao tốc liên bang Hoa Kỳ ngày 1 tháng 6 năm 2012}}
[[Tập tin:USBR 76.svg|nhỏ]]

=== Trong tự nhiên ===
[[Tập tin:Reuleaux_foam.svg|nhỏ|upright|Bong bóng ở giữa có hình tam giác Reuleaux trong mô hình toán cụm bong bóng xà phòng trên mặt phẳng]]
Theo [[Quy luật của Plateau|định luật Plateau]], các cung tròn trong các cụm [[bong bóng xà phòng]] hai chiều giao nhau ở góc 120°, cùng một giá trị góc đỉnh tam giác Reuleaux. Dựa vào điều này có thể xây dựng mô hình các cụm chứa bong bóng hình tam giác Reuleaux.{{sfn|Modes|Kamien|2013|pp=11078–11084}}

Năm 2014, lần đầu tiên phân lập được tinh thể hình dạng đĩa tam giác Reuleaux. Đĩa ''[[Bismuth(III) nitrat]]'' kiềm tính dạng tam giác Reuleaux được hình thành khi [[thủy phân]] và [[kết tủa]] ''Bismuth nitrat'' trong môi trường nước-ethanol với xúc tác ''2,3-bis (2-pyridyl) pyrazine''.{{sfn|Ng|Fan|2013|pp=12840–12843}}

== Khái quát hóa ==
Các hình tam giác cong có độ rộng không đổi với các góc tù hơn có thể thu được như là quỹ tích ở khoảng cách cố định từ tam giác Reuleaux.{{sfn|Banchoff|Giblin|1994|pp=403–416}} Các khái quát khác của tam giác Reuleaux bao gồm bề mặt ba chiều, đường cong có độ rộng không đổi có số cạnh nhiều hơn ba và tập hợp Yanmouti gồm các cực trị về bất đẳng thức giữa độ rộng, đường kính và bán kính nội.

=== Phiên bản ba chiều ===
[[Tập tin:Reuleaux-tetrahedron-intersection.png|trái|nhỏ|Bốn quả bóng giao nhau tạo thành một tứ diện Reuleaux]]
Phần giao nhau của bốn [[quả cầu]] bán kính ''s'' có tâm tại các đỉnh [[tứ diện#tứ diện đều|tứ diện đều]] với độ dài cạnh ''s'' được gọi là [[tứ diện Reuleaux]], nhưng đây không phải là [[bề mặt độ rộng không đổi]].{{sfn|Tài liệu dạy học SwissEduc 2009}} Tuy nhiên, từ đó có thể biến đổi thành bề mặt độ rộng không đổi gọi là [[tứ diện Meissner]] bằng cách thay thế ba cung tròn cạnh bằng bề mặt cung tròn xoay. Ngoài ra, [[mặt tròn xoay]] từ tam giác Reuleaux quanh trục đối xứng của chính nó có độ rộng không đổi với thể tích nhỏ nhất trong số tất cả các bề mặt đã biết phát triển từ hình phẳng có độ rộng không đổi cho trước.{{sfn|Campi|Colesanti|Gronchi|1996|pp=43–55}}

=== Đa giác Reuleaux ===
{{chính|Đa giác Reuleaux}}
[[Tập tin:Reuleaux_polygons.svg|nhỏ|Đa giác Reuleaux]]

Tam giác Reuleaux có thể được tổng quát hóa từ các [[đa giác đều]] với số cạnh lẻ, gọi là '''đa giác Reuleaux'''. Độ rộng không đổi của đa giác Reuleaux cho phép áp dụng vào hình dạng tiền xu phù hợp với các máy bán hàng tự động. Ví dụ, [[Vương quốc Liên hiệp Anh và Bắc Ireland|Vương quốc Anh]] đã phát hành [[20 pence (đồng xu của Anh)|đồng 20 xu]] và [[50 pence (đồng xu của Anh)|50 xu]] hình lục giác Reuleaux.{{sfn|Gardner|2014|pp=223–245}} Mặc dù các loại xu được lưu thông thường có nhiều hơn ba cạnh nhưng đồng xu kỷ niệm của [[Bermuda]] có hình tam giác Reuleux.{{sfn|Conti|Paoletti|2019|pp=79–89}}

Các phương pháp tương tự có thể được dùng để bao một [[đa giác đơn]] tùy ý trong một đường cong có độ rộng không đổi, độ rộng bằng đường kính đa giác đã cho. Hình dạng thu được bao gồm các cung tròn (số cung nhiều nhất bằng số cạnh đa giác), có thể được xây dựng theo thuật toán trong [[thời gian tuyến tính]] và dựng được bằng com-pa và thước.{{sfn|Chandru|Venkataraman|1991|pp=433–440}} Mặc dù các đa giác Reuleaux dựa trên đa giác đều có số cạnh lẻ, nhưng có thể tạo ra các hình có độ rộng không đổi dựa trên các đa giác không đều số cạnh chẵn.{{sfn|Peterson|1973|pp=411–420}}

=== Tập hợp Yanmouti ===
Tập hợp Yanmouti được định nghĩa là hình [[bao lồi]] của một tam giác đều cùng với ba cung tròn có tâm là đỉnh tam giác nằm về phía góc trong tam giác, bán kính các cung tròn bằng nhau và lớn nhất bằng cạnh tam giác. Do đó, khi bán kính đủ nhỏ, các tập hợp này tự suy biến thành tam giác đều, nhưng khi bán kính cực đại, hình chuyển thành tam giác Reuleaux tương ứng. Mọi hình có độ rộng ''w'', đường kính ''d'' và bán kính nội ''r'' (bán kính đường tròn lớn nhất nằm trong hình đó) tuân theo bất đẳng thức

: <math>w - r \le \frac{d}{\sqrt 3},</math>

đẳng thức xảy ra với tập hợp Yanmouti.{{sfn|Hernández Cifre|2000|pp=893–900}}

== Các hình liên quan ==
[[Tập tin:Triquetra-Vesica.svg|nhỏ|upright|Hình [[triquetra]] (vòng tròn trinity) xen kẽ tạo thành một [[nút ba lá]]]]
[[Sơ đồ Venn]] có cách trình bày cổ điển của ba tập hợp là ba hình tròn chồng lên nhau, hình ở giữa (đại diện cho các phần tử thuộc cả ba tập hợp) có hình tam giác Reuleaux.{{sfn|Alsina|Nelsen|2011|p=155}} Ba vòng tròn giống nhau tạo thành [[vòng Borromean]] nhưng ba vòng liên kết tương hỗ với nhau như vậy lại không được coi là đường tròn hình học.{{sfn|Lindström|Zetterström|1991|pp=340–341}} Những phần của ba hình tròn giống nhau tạo nên hình [[triquetra]] gồm ba [[hình bán nguyệt]] chồng lên nhau (mỗi cặp hình bán nguyệt tạo thành biểu tượng [[vesica piscis]] -''[[tiếng Latinh]]: bàng quang cá'') và hình tam giác Reuleaux ở giữa.<ref>{{mathworld|id=Triquetra|title=Triquetra|mode=cs2}}</ref> Cũng giống như ba vòng tròn của biểu đồ Venn có thể xen kẽ nhau để tạo thành các vòng Borromean, ba cung tròn của hình triquetra có thể xen kẽ tạo thành một [[nút ba lá]].{{sfn|Hoy|Millett|2014|p=4}}

Các hình gần giống tam giác Reuleaux nảy sinh trong bài toán tìm hình có chu vi nhỏ nhất bao quanh một diện tích cố định chứa ba điểm xác định trên mặt phẳng. Khi tham số diện tích có nhiều lựa chọn thì giải pháp tối ưu sẽ là một tam giác cong có ba cạnh là cung tròn với bán kính bằng nhau. Đặc biệt, khi ba điểm cách đều nhau và phần diện tích chính là tam giác Reuleaux, khi đó cũng là đáp án tối ưu.{{sfn|Courant|Robbins|1996|pp=[https://books.google.com/books?id=UfdossHPlkgC&pg=PA378 378-379]}}

[[Tam giác tròn]] là tam giác có các cạnh cung tròn, bao gồm tam giác Reuleaux và các tam giác khác. [[Đường cong delta]] là một tam giác cong khác với đường cong lõm vào chứ không lồi. Đường cong này cũng không phải cung tròn, nhưng có thể được hình thành bằng cách lăn một đường tròn này trong một đường tròn khác có bán kính gấp 3 lần.{{sfn|Lockwood|1961|pp=73-80}} Các hình phẳng khác có ba cạnh cong bao gồm [[hình con dao thợ giày arbelos]] (được hình thành từ 3 [[hình bán nguyệt]] với các đỉnh thẳng hàng){{sfn|Mackay|1884|p=2}} và [[tam giác Bézier]].{{sfn|Bruijns|1998|pp=15-24}}

Tam giác Reuleaux cũng có thể được diễn dịch là [[ánh xạ bảo giác]] của một [[tam giác cầu]] có các góc 120°.{{sfn|Modes|Kamien|2013|pp=11078–11084}} Tam giác cầu này là một trong các [[tam giác Schwarz]] (với tham số 3/2, 3/2, 3/2), tam giác có thể [[ốp lát]] mặt cầu bằng cách đối xứng.{{sfn|Wenninger|2014|p=[https://books.google.com/books?id=0cfAAwAAQBAJ&pg=PA134 134]}}

== Chú thích ==
{{Tham khảo|30em}}

== Tham khảo ==
* {{Chú thích|tựa đề=Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images|cuốn=45|series=Dolciani Mathematical Expositions|tên 1=Claudi|họ 1=Alsina|tên 2=Roger B.|họ 2=Nelsen|nhà xuất bản=Mathematical Association of America|năm=2011|isbn=978-0-88385-352-8|url=https://books.google.com/books?id=4DavMl7-aFgC|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Biểu tượng toán học: Khám phá 20 hình ảnh chính}}
* {{Chú thích|họ=Anderson|tên=Poul|tựa đề=The Three-Cornered Wheel|tạp chí=[[Analog Science Fiction and Fact]]|ngày=tháng 10 năm 1963|url=http://www.unz.org/Pub/AnalogSF-1963oct-00050|url-access=subscription|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Bánh xe ba góc}}
* {{Chú thích|họ 1=Badr|tên 1=O.|họ 2=Naik|tên 2=S.|họ 3=O'Callaghan|tên 3=P. W.|họ 4=Probert|tên 4=S. D.|doi=10.1016/0306-2619(91)90063-4|số=1|tạp chí=Applied Energy|tựa đề=Rotary Wankel engines as expansion devices in steam Rankine-cycle engines|cuốn=39|năm=1991|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Động cơ Wankel như phần mở rộng của các động cơ hơi nước chu trình Rankine}}
* {{Chú thích|tên=D.G.|họ=Ball|tựa đề=A generalisation of π|tạp chí=[[The Mathematical Gazette]]|cuốn=57|số=402|năm=1973|doi=10.2307/3616052|jstor=3616052|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Tổng quát về số π}}
* {{Chú thích|họ 1=Banchoff|họ 2=Giblin|tên 1=Thomas|tên 2=Peter|doi=10.2307/2974900|số=5|tạp chí=[[American Mathematical Monthly]]|mr=1272938|tựa đề=On the geometry of piecewise circular curves|cuốn=101|năm=1994|jstor=2974900|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Về hình học các đường cong tròn từng đoạn}}
* {{Chú thích|họ=Barbier|tên=E.|tạp chí=[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]|series=2<sup>e</sup> série|ngôn ngữ=fr|tựa đề=Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert|url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1860_2_5_A18_0.pdf|cuốn=5|năm=1860|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20170911030010/http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1860_2_5_A18_0.pdf|ngày lưu trữ=ngày 11 tháng 9 năm 2017|trang=273–286}}
* {{Chú thích|họ 1=Blind|tên 1=G.|họ 2=Blind|tên 2=R.|số=2–4|tạp chí=Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica|ngôn ngữ=de|mr=787951|tựa đề=Eine Abschätzung für die Dichte der dichtesten Packung mit Reuleaux-Dreiecken|cuốn=18|năm=1983|dịch tựa đề=Ước lượng mật độ phủ tối ưu của tam giác Reuleaux}}
* {{Chú thích|họ 1=Blind|tên 1=G.|họ 2=Blind|tên 2=R.|doi=10.1007/BF03323256|số=1–2|tạp chí=[[Results in Mathematics]]|ngôn ngữ=de|mr=880190|tựa đề=Reguläre Packungen mit Reuleaux-Dreiecken|cuốn=11|năm=1987|dịch tựa đề=Độ phủ thông thường của tam giác Reuleaux}}
* {{Chú thích|họ=Blundell|tên=Raymond|contribution=The submillimeter array|contribution-url=https://www.cfa.harvard.edu/sma/general/IEEE.pdf|doi=10.1109/mwsym.2007.380132|tựa đề=Proc. 2007 IEEE/MTT-S International Microwave Symposium|năm=2007|isbn=978-1-4244-0687-6|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Hội nghị chuyên đề vi ba quốc tế Proc. 2007 IEEE/MTT-S}}
* {{Chú thích|họ=Bower|tên=David I.|ngày=tháng 2 năm 2012|doi=10.1179/1743277411y.0000000015|số=1|tạp chí=[[The Cartographic Journal]]|tựa đề=The unusual projection for one of John Dee's maps of 1580|url=https://dibower.co.uk/data/documents/Dee-projn-paper.pdf|cuốn=49|archive-url=https://web.archive.org/web/20190714122756/http://dibower.co.uk/data/documents/Dee-projn-paper.pdf|ngày lưu trữ=ngày 14 tháng 7 năm 2019|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Phép chiếu bất thường cho một trong những bản đồ John Dee năm 1580|url-status=live}}
* {{Chú thích|họ=Bruijns|tên=J.|contribution=Quadratic Bezier triangles as drawing primitives|doi=10.1145/285305.285307|isbn=978-1-58113-097-3|nơi=New York, NY, USA|nhà xuất bản=ACM|tựa đề=Proceedings of the ACM SIGGRAPH/EUROGRAPHICS Workshop on Graphics Hardware (HWWS '98)|năm=1998|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Kỷ yếu Hội thảo ACM SIGGRAPH / EUROGRAPHICS về Phần cứng Đồ họa (HWWS '98)}}
* {{Chú thích|họ 1=Bryant|tựa đề=How Round Is Your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet|tên 1=John|tên 2=Chris|họ 2=Sangwin|nhà xuất bản=Princeton University Press|năm=2011|isbn=978-0-691-14992-9|url=https://books.google.com/books?id=2lXgO3xKcxAC|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Hình tròn của bạn tròn cỡ nào: Khi cơ khí và toán học gặp nhau}}
* {{Chú thích|họ 1=Campi|họ 2=Colesanti|họ 3=Gronchi|tên 1=Stefano|tên 2=Andrea|tên 3=Paolo|contribution=Minimum problems for volumes of convex bodies|tựa đề=Partial Differential Equations and Applications: Collected Papers in Honor of Carlo Pucci|nhà xuất bản=Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, no. 177, Marcel Dekker|năm=1996|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Phương trình vi phân riêng phần và ứng dụng: Các bài báo sưu tầm vinh danh Carlo Pucci}}
* {{Chú thích|họ 1=Chandru|tên 1=V.|họ 2=Venkataraman|tên 2=R.|contribution=Circular hulls and orbiforms of simple polygons |contribution-url=http://dl.acm.org/citation.cfm?id=127787.127863|isbn=978-0-89791-376-8|nơi=Philadelphia, PA, USA|nhà xuất bản=Society for Industrial and Applied Mathematics|tựa đề=Proceedings of the Second Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA '91)|năm=1991|dịch tựa đề=Kỷ yếu Hội nghị chuyên đề thuật toán rời rạc thường niên lần thứ hai (SODA '91)|ngôn ngữ=en}}
* {{Chú thích|họ 1=Conti|tên 1=Giuseppe|họ 2=Paoletti|tên 2=Raffaella|editor1-last=Magnaghi-Delfino|editor1-first=Paola|editor2-last=Mele|editor2-first=Giampiero|editor3-last=Norando|editor3-first=Tullia|contribution=Reuleaux triangle in architecture and applications|ngày=tháng 10 năm 2019|doi=10.1007/978-3-030-29796-1_7|nhà xuất bản=Springer|series=Lecture Notes in Networks and Systems|tựa đề=Faces of Geometry: From Agnesi to Mirzakhani|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Các mặt hình học: Từ Agnesi đến Mirzakhani}}
* {{Chú thích|họ 1=Courant|họ 2=Robbins|tựa đề=What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods|tên 1=Richard|lk tác giả 1=Richard Courant|tên 2=Herbert|lk tác giả 2=Herbert Robbins|ấn bản=2|nhà xuất bản=Oxford University Press|năm=1996|isbn=978-0-19-975487-8|url=https://books.google.com/books?id=UfdossHPlkgC|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Toán học là gì? Tiếp cận cơ bản với ý tưởng và phương pháp}}
* {{Chú thích|họ=Coxworth|url=http://www.gizmag.com/panasonic-rulo/36378/|tựa đề=Panasonic enters the robo-vac game, with the triangular Rulo|tên=Ben|ngày=ngày 3 tháng 3 năm 2015|tạp chí=Gizmag|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Panasonic tham gia thị trường robot hút bụi với Rulo hình tam giác|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20160523214939/http://www.gizmag.com/panasonic-rulo/36378/|ngày lưu trữ=ngày 23 tháng 5 năm 2016|ref={{harvid|Gizmag ngày 3 tháng 3 năm 2015}}}}
* {{Chú thích|họ=Dempster|tên=Tyra|url=https://www.reuters.com/article/us-china-bicycle-idUSTRE55G1GB20090617|nhà xuất bản=[[Reuters]]|tựa đề=Chinese man reinvents the wheel|ngày=ngày 17 tháng 6 năm 2009|dịch tựa đề=Một người Trung Quốc phát minh lại bánh xe|ref={{harvid|Reuters ngày 17 tháng 6 năm 2009}}}}
* {{Chú thích|họ=Durand|tựa đề=The Symbolism of Churches and Church Ornaments: A Translation of the First Book of the Rationale Divinorum Officiorum|tên=Guillaume|ấn bản=3|nhà xuất bản=Gibbings|năm=1906|url=https://books.google.com/books?id=vRknpENyAlQC|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Biểu tượng nhà thờ và trang hoàng trong nhà thờ: Bản dịch Rationale Divinorum Officiorum tập I}}
* {{Chú thích|họ=Eggleston|tên=H. G.|doi=10.2307/2308878|tạp chí=[[American Mathematical Monthly]]|mr=0097768|tựa đề=Figures inscribed in convex sets|cuốn=65|số=2|năm=1958|jstor = 2308878|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Các hình nội tiếp tập lồi}}
* {{Chú thích|tên=Leonhard|họ=Euler|lk tác giả=Leonhard Euler|tựa đề=De curvis triangularibus|url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/513/|tạp chí=Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae|cuốn=1778|năm=1781|ngôn ngữ=la|dịch tựa đề=Tam giác cong}}
* {{Chú thích|họ=Fejes Tóth|tên=László|lk tác giả=László Fejes Tóth|tạp chí=Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica|mr=0221388|tựa đề=On the number of equal discs that can touch another of the same kind|cuốn=2|năm=1967|ngôn ngữ=hu|dịch tựa đề=Về số lượng đĩa bằng nhau có thể tiếp xúc với đĩa cùng loại}}
* {{Chú thích|họ=Finch|contribution-url=https://web.archive.org/web/20150404223258/http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/csolve/rx.pdf|contribution=8.10 Reuleaux Triangle Constants|tên=Steven R.|tựa đề=Mathematical Constants|series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|publisher=Cambridge University Press|năm=2003|isbn=978-0-521-81805-6|url=https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Hằng số toán học}}
* {{Chú thích|họ=Fisher|tựa đề=M-blems: Explaining the logo|url=http://magazine.mines.edu/BackIssues/PDF_Archives/vol_92_num_2.pdf|tên=Roland B.|cuốn=92|number=2|ngày=Spring 2002|magazine=Mines: The Magazine of Colorado School of Mines|archive-url=https://web.archive.org/web/20100710165916/http://magazine.mines.edu/BackIssues/PDF_Archives/vol_92_num_2.pdf|ngày lưu trữ=ngày 10 tháng 7 năm 2010|url-status=dead|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Biểu tượng: Giải thích về logo}}
* {{Chú thích|họ 1=Frankl|họ 2=Crossley|tựa đề=Gothic Architecture|cuốn=19|series=Pelican history of art|tên 1=Paul|tên 2=Paul|nhà xuất bản=Yale University Press|năm=2000|isbn=978-0-300-08799-4|url=https://books.google.com/books?id=LBZ6781vvOwC|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Kiến trúc Gothic}}
* {{Chú thích|họ=Gamber|url=http://www.pencilrevolution.com/2006/04/review-of-staedtler-noris-ergosoft-hb/|tựa đề=Review of Staedtler Noris Ergosoft HB|work=Pencil Revolution|ngày=ngày 26 tháng 4 năm 2006|ngày truy cập=ngày 25 tháng 11 năm 2020|tên=Johnny|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Đánh giá Staedtler Noris Ergosoft HB|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200113052951/http://www.pencilrevolution.com/2006/04/review-of-staedtler-noris-ergosoft-hb/|ngày lưu trữ=ngày 13 tháng 1 năm 2020|ref={{harvid|Đánh giá Staedtler Noris Ergosoft HB ngày 26 tháng 4 năm 2006}}}}
* {{Chú thích|họ=Gardner|tựa đề=Knots and Borromean Rings, Rep-Tiles, and Eight Queens|cuốn=4|series=The New Martin Gardner Mathematical Library|tên=Martin|lk tác giả=Martin Gardner|nhà xuất bản=Cambridge University Press|năm=2014|isbn=978-0-521-75613-6|chương=18: Curves of Constant Width|ngôn ngữ=en|dịch chương=18: Đường cong có độ rộng không đổi}}
* {{Chú thích|họ 1=Gleiftner|tên 1=Winfried|họ 2=Zeitler|tên 2=Herbert|ngày=tháng 5 năm 2000|doi=10.1007/bf03322004|số=3–4|tạp chí=[[Results in Mathematics]]|tựa đề=The Reuleaux triangle and its center of mass|cuốn=37|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Tam giác Reuleaux và trọng tâm}}
* {{Chú thích|họ 1=Granovsky|tên 1=V. A.|họ 2=Siraya|tên 2=T. N.|editor1-last=Pavese|editor1-first=F.|editor2-last=Bär|editor2-first=M.|editor3-last=Filtz|editor3-first=J.-R.|editor4-last=Forbes|editor4-first=A. B.|editor5-last=Pendrill|editor5-first=L.|editor6-last=Shirono|editor6-first=K.|contribution=Metrological traceability and quality of industrial tests measurements|trang=194–201|nhà xuất bản=World Scientific|tựa đề=Advanced Mathematical and Computational Tools in Metrology and Testing IX|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Công cụ máy tính và toán học nâng cao trong đo lường và thử nghiệm IX|url=https://books.google.com/books?id=2dwn4M7IEWUC}}
* {{Chú thích|tên 1=David|họ 1=Griffiths|tên 2=David|họ 2=Culpin|tựa đề=Pi-optimal polygons|tạp chí=[[The Mathematical Gazette]]|cuốn=59|số=409|năm=1975|doi=10.2307/3617699|jstor=3617699|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Đa giác tối ưu π}} 
* {{Chú thích|họ 1=Groemer|tên 1=H.|họ 2=Wallen|tên 2=L. J.|số=2|tạp chí=Beiträge zur Algebra und Geometrie|mr=1865537|tựa đề=A measure of asymmetry for domains of constant width|cuốn=42|năm=2001|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Số đo bất đối xứng cho miền có độ rộng không đổi}}
* {{Chú thích|họ=Gruber|tựa đề=Convexity and its Applications|tên=Peter M.|nhà xuất bản=Birkhäuser|năm=1983|isbn=978-3-7643-1384-5|url=https://archive.org/details/convexityitsappl0000unse|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Độ lồi và ứng dụng|url-access=registration}}
* {{Chú thích|họ=Gwillian|tựa đề=Interesting Stuff: Curves of Constant Width|tên=Sam|url=http://newportcityradio.org/culture/interesting-stuff-curves-of-constant-width/all-pages|url-status=dead|archive-url=https://archive.today/20160616012426/http://newportcityradio.org/culture/interesting-stuff-curves-of-constant-width/all-pages|ngày lưu trữ=ngày 16 tháng 6 năm 2016|nhà xuất bản=Newport City Radio|ngày=ngày 16 tháng 5 năm 2015|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Nội dung thú vị: Đường cong có độ rộng không đổi|ref={{harvid|Newport City Radio ngày 16 tháng 5 năm 2015}}}}
* {{Chú thích|họ=Hann|tựa đề=Structure and Form in Design: Critical Ideas for Creative Practice|tên=Michael|nhà xuất bản=A&C Black|năm=2014|isbn=978-1-4725-8431-1|url=https://books.google.com/books?id=-CX-AgAAQBAJ|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Cấu trúc và hình dạng trong thiết kế: Ý tưởng căn bản để thực hành sáng tạo}}
* {{Chú thích|họ=Hart|url=https://books.google.com/books?id=SY7aHx8KwK0C|tựa đề=Medieval Church Window Tracery in England|tên=Stephen|nhà xuất bản=Boydell & Brewer Ltd|năm=2010|isbn=978-1-84383-533-2|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Lỗ trắc cửa sổ nhà thờ trung cổ ở Anh}}
* {{Chú thích|họ 1=Henderson|họ 2=Taimina|tựa đề=Mathematics and the Aesthetic: New Approaches to an Ancient Affinity|series=CMS Books in Mathematics|editor1-first=Nathalie|editor1-last=Sinclair|editor1-link=Nathalie Sinclair|editor2-first=David|editor2-last=Pimm|editor3-first=William|editor3-last=Higginson|nhà xuất bản=Springer|năm=2007|isbn=978-0-387-38145-9|contribution=Experiencing meanings in geometry|tên 1=David W.|tên 2=Daina|lk tác giả 2=Daina Taimina|doi=10.1007/978-0-387-38145-9_4|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Toán học và mỹ học: cách tiếp cận mới cho mối liên hệ xưa cũ|trang=58-83|url=https://books.google.com/books?id=GJBKLnkYyi0C&pg=PA58}}
* {{Chú thích|họ=Hernández Cifre|tên=M. A.|doi=10.2307/2695582|số=10|tạp chí=[[American Mathematical Monthly]]|mr=1806918 |tựa đề=Is there a planar convex set with given width, diameter, and inradius?|cuốn=107|năm=2000|jstor=2695582|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Có tồn tại một tập lồi phẳng với độ rộng, đường kính và bán kính nội cho trước không?}}
* {{Chú thích|họ 1=Ho|họ 2=Moran|họ 3=Lo|tên 1=Paul T. P.|tên 2=James M.|tên 3=Kwok Yung|bibcode = 2004ApJ...616L...1H|doi=10.1086/423245|số=1|tạp chí=[[The Astrophysical Journal]]|tựa đề=The submillimeter array|cuốn=616|năm=2004|arxiv=astro-ph/0406352|ngôn ngữ=en}}
* {{Chú thích|họ=Hoover|tên=Will|ngày=tháng 11 năm 1995|tựa đề=Picks!: The Colorful Saga of Vintage Celluloid Guitar Plectrums|nhà xuất bản=Backbeat Books|isbn=978-0-87930-377-8|ngôn ngữ=en}}
* {{Chú thích|họ 1=Hoy|tên 1=Jessica|họ 2=Millett|tên 2=Kenneth C.|tạp chí=Journal of Mathematics and the Arts|tựa đề=A mathematical analysis of knotting and linking in Leonardo da Vinci's cartelle of the Accademia Vinciana|url=https://web.math.ucsb.edu/~millett/Papers/Millett2014Leonardov5.pdf|ngày=ngày 3 tháng 11 năm 2014|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Phân tích toán về nút thắt và liên kết trong hình ảnh Accademia Vinciana của Leonardo da Vinci}}
* {{Chú thích|họ=Hungerbühler|tên=Norbert|doi=10.2307/2974536|số=8|tạp chí=[[American Mathematical Monthly]]|mr=1299166|tựa đề=A short elementary proof of the Mohr-Mascheroni theorem|cuốn=101|năm=1994| jstor=2974536|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Một chứng minh cơ bản ngắn gọn của định lý Mohr-Maschenori}}
* {{Chú thích|họ=Keto|tên=Eric|bibcode=1997ApJ...475..843K|doi=10.1086/303545|số=2|tạp chí=[[The Astrophysical Journal]]
|tựa đề=The shapes of cross-correlation interferometers|cuốn=475|năm=1997|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Hình dạng giao thoa kế tương quan chéo}}
* {{Chú thích|họ=Keuning|tên=Johannes|ngày=tháng 1 năm 1955|doi=10.1080/03085695508592085|số=1|tạp chí=[[Imago Mundi]]|jstor=1150090|tựa đề=The history of geographical map projections until 1600|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Lịch sử phép chiếu bản đồ địa lý cho đến năm 1600|cuốn=12}}
* {{Chú thích|họ=Klee|tên=Victor|lk tác giả=Victor Klee|doi=10.2307/3026963|số=2|tạp chí=The Two-Year College Mathematics Journal|tựa đề=Shapes of the future|cuốn=2|năm=1971|jstor=3026963|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Hình dạng tương lai}}
* {{Chú thích|tựa đề=Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory|cuốn=11|series=Dolciani mathematical expositions|tên 1=Victor|họ 1=Klee|lk tác giả 1=Victor Klee|tên 2=Stan|họ 2=Wagon|lk tác giả 2=Stan Wagon|nhà xuất bản=Cambridge University Press|năm=1991|isbn=978-0-88385-315-3|url=https://books.google.com/books?id=tRdoIhHh3moC|dịch tựa đề=Những vấn đề chưa có lời giải cũ và mới trong hình học phẳng và lý thuyết số|ngôn ngữ=en}}
* {{Chú thích|họ=Lay|tên=Steven R.|at=Theorem 11.11, pp. 81–82|isbn=978-0-486-45803-8|nhà xuất bản=Dover|tựa đề=Convex Sets and Their Applications|url=https://books.google.com/books?id=U9eOPjmaH90C|năm=2007|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Tập lồi và ứng dụng}}
* {{Chú thích|họ 1=Lindström|tên 1=Bernt|họ 2=Zetterström|tên 2=Hans-Olov|doi=10.2307/2323803|số=4|tạp chí= [[American Mathematical Monthly]]|jstor=2323803|tựa đề=Borromean circles are impossible|cuốn=98|năm=1991|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Vòng Borromean là không thể}}
* {{Chú thích|last=Lindley|tựa đề=Information: MUTCD — Interim Approval for the Optional Use of an Alternative Design for the U.S. Bicycle Route (M1-9) Sign (IA-15)|work=Manual on Uniform Traffic Control Devices for Streets and Highways: Resources|tên=Jeffrey A.|ngày=ngày 1 tháng 6 năm 2012|ngày truy cập=ngày 27 tháng 11 năm 2020|url=https://mutcd.fhwa.dot.gov/resources/interim_approval/ia15/|nhà xuất bản=US Department of Transportation, Federal Highway Administration|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200305140408/https://mutcd.fhwa.dot.gov/resources/interim_approval/ia15/|ngày lưu trữ=ngày 5 tháng 3 năm 2020|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Phê duyệt tạm thời việc sử dụng tùy chọn một thiết kế thay thế cho Biển báo (IA-15) tuyến đường xe đạp Hoa Kỳ (M1-9)|ref={{harvid|Cục quản lý cao tốc liên bang Hoa Kỳ ngày 1 tháng 6 năm 2012}}}}
* {{Chú thích|tên=E. H.|họ=Lockwood|tựa đề=A Book of Curves|nhà xuất bản=Cambridge University Press|năm=1961|chương=Chapter 8: The Deltoid|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Sách về đường cong|dịch chương=Chương 8: Đường cong Delta|doi=10.1017/CBO9780511569340.011}}
* {{Chú thích|họ=Mackay|tên=J. S.|ngày=tháng 2 năm 1884|doi=10.1017/s0013091500037196|tạp chí=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society|tựa đề=The shoemaker's knife|cuốn=3|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Con dao thợ giày}}
* {{Chú thích|họ=Makeev|tên=V. V.|doi=10.1023/A:1021287302603|số=Geom. i Topol. 5|tạp chí=Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI)|mr=1809823|tựa đề=An extremal property of the Reuleaux triangle|cuốn=267|năm=2000|ngôn ngữ=ru|dịch tựa đề=Tính chất cực trị của tam giác Reuleaux}}
* {{Chú thích|họ 1=Maor|tựa đề=Beautiful Geometry|tên 1=Eli|tên 2=Eugen|họ 2=Jost|nhà xuất bản=Princeton University Press|năm=2014|isbn=978-1-4008-4833-1|contribution=46 The Reuleaux Triangle|url=https://books.google.com/books?id=0fOKAQAAQBAJ|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Hình học đẹp}}
* {{Chú thích|họ 1=Martini|họ 2=Montejano|họ 3=Oliveros|tên 1=Horst|tên 2=Luis|tên 3=Déborah|doi=10.1007/978-3-030-03868-7 |isbn=978-3-030-03866-3|mr=3930585|nhà xuất bản=Birkhäuser|tựa đề=Bodies of Constant Width: An Introduction to Convex Geometry with Applications|năm=2019|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Các vật có độ rộng không đổi: Giới thiệu Hình học lồi và ứng dụng}}
* {{Chú thích|họ 1=Masferrer León|tên 1=Claudia|họ 2=von Wuthenau Mayer|tên 2=Sebastián|ngày=tháng 12 năm 2005|doi=10.1007/bf02985852|số=4|tạp chí=[[The Mathematical Intelligencer]]|tựa đề=Reinventing the wheel: Non-circular wheels|cuốn=27|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Tái phát minh bánh xe: loại không tròn}}
* {{Chú thích|họ=Mochizuki|tên=Takashi|tựa đề=Panasonic Rolls Out Triangular Robot Vacuum|url=https://blogs.wsj.com/japanrealtime/2015/01/22/panasonic-rolls-out-triangular-robot-vacuum/|department=Japan Real Time|báo=[[The Wall Street Journal]]|ngày=ngày 22 tháng 1 năm 2015|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20160310122638/http://blogs.wsj.com/japanrealtime/2015/01/22/panasonic-rolls-out-triangular-robot-vacuum/|ngày lưu trữ=ngày 10 tháng 3 năm 2016|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Panasonic ra mắt máy hút bụi hình tam giác|ref={{harvid|Japan Real Time ngày 22 tháng 1 năm 2015}}}}
* {{Chú thích|họ 1=Modes|họ 2=Kamien|tên 1=Carl D.|tên 2=Randall D.|arxiv=0810.5724|doi=10.1039/c3sm51585k|số=46|tạp chí= [[Soft Matter]]|tựa đề=Spherical foams in flat space|cuốn=9|năm=2013|bibcode=2013SMat....911078M|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Bọt cầu trên mặt phẳng}}
* {{Chú thích|họ=Moon|tựa đề=The Reuleaux Collection of Kinematic Mechanisms at Cornell University|tên=Francis C.|ngày=tháng 7 năm 1999|nhà xuất bản=Cornell University Library|url=https://www.asme.org/wwwasmeorg/media/resourcefiles/aboutasme/who%20we%20are/engineering%20history/landmarks/232-reuleaux-collection-of-kinematic-mechanisms-at-cornell-university.pdf|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Bộ sưu tập Reuleaux về cơ chế động học tại Đại học Cornell|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200614022856/https://www.asme.org/wwwasmeorg/media/resourcefiles/aboutasme/who%20we%20are/engineering%20history/landmarks/232-reuleaux-collection-of-kinematic-mechanisms-at-cornell-university.pdf|ngày lưu trữ=ngày 14 tháng 6 năm 2020|ref={{harvid|Hiệp hội kỹ sư cơ khí Hoa Kỳ ASME tháng 7 năm 1999}}}}
* {{Chú thích|họ=Moon|tựa đề=The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century|cuốn=2|series=History of Mechanism and Machine Science|tên=Francis C.|nhà xuất bản=Springer|năm=2007|isbn=978-1-4020-5598-0|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Máy móc của Leonardo Da Vinci và Franz Reuleaux: Động học máy từ thời Phục hưng đến thế kỷ 20}}
* {{Chú thích|họ=Nash|tên=David H.|ngày=tháng 3 năm 1977|doi=10.1080/0025570x.1977.11976621|số=2|tạp chí=Mathematics Magazine|tựa đề=Rotary engine geometry|cuốn=50|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Hình dạng động cơ quay}}
* {{Chú thích|họ 1=Ng|họ 2=Fan|tên 1=C. H. B.|tên 2=W. Y.|tựa đề=Reuleaux triangle disks: New shape on the block|tạp chí=[[Journal of the American Chemical Society]]|cuốn=136|số=37|năm=2014|doi=10.1021/ja506625y|pmid=25072943|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Đĩa tam giác Reuleaux: Hình dạng tinh thể mới}}
* {{Chú thích|họ=Peterson|tên=Bruce B.|tạp chí=Illinois Journal of Mathematics|mr=0320885|tựa đề=Intersection properties of curves of constant width|url=https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256051608|cuốn=17|số=3|năm=1973|doi=10.1215/ijm/1256051608|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Tính chất giao điểm của đường cong có độ rộng không đổi|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200721111805/https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256051608|ngày lưu trữ=ngày 21 tháng 7 năm 2020}}
* {{Chú thích|họ=Pickover|lk tác giả=Clifford A. Pickover|tên=Clifford A.|tựa đề=The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics|nhà xuất bản=Sterling Publishing Company|năm=2009|isbn=978-1-4027-5796-9|ngôn ngữ=en|contribution=Reuleaux Triangle|url=https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC|dịch tựa đề=Sách toán: Từ Pygathoras đến không gian thứ 57, 25 chặng đường lịch sử toán học}}
* {{Chú thích|contribution=Euler's contribution to differential geometry and its reception|tên=Karin|họ=Reich|lk tác giả=Karin Reich|tựa đề=Leonhard Euler: Life, Work and Legacy|series=Studies in the History and Philosophy of Mathematics|cuốn=5|năm=2007|doi=10.1016/S0928-2017(07)80026-0|editor1-first=Robert E.|editor1-last=Bradley|editor2-first=Ed|editor2-last=Sandifer|publisher=Elsevier|isbn=9780444527288|url=https://books.google.com/books?id=75vJL_Y-PvsC|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Leonhard Euler: Cuộc đời, sự nghiệp và di sản|trang=479-502}}
* {{Chú thích|họ=Resnikoff|arxiv=1504.06733|tựa đề=On Curves and Surfaces of Constant Width|năm=2015|lk tác giả=Howard L. Resnikoff|tên=Howard L.|bibcode=2015arXiv150406733R|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Về đường cong và bề mặt có độ rộng không đổi}}
* {{Chú thích|họ=Schopp|tên=J.|tạp chí=Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica|ngôn ngữ=de|mr=0285983|tựa đề=Über die Newtonsche Zahl einer Scheibe konstanter Breite|cuốn=5|năm=1970|dịch tựa đề=Giới thiệu số Newton của đĩa có độ rộng không đổi}}
* {{Chú thích|họ=Snyder|tựa đề=Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections|tên=John P.|nhà xuất bản=University of Chicago Press|năm=1997|isbn=978-0-226-76747-5|url=https://books.google.com/books?id=0UzjTJ4w9yEC|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Dàn phẳng trái đất: 2000 năm phép chiếu bản đồ}}
* {{Chú thích|họ=Weber|tên=Christof|năm=2009|url=https://www.swisseduc.ch/mathematik/geometrie/gleichdick/docs/meissner_en.pdf|tựa đề=What does this solid have to do with a ball?|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Hình không gian này liên quan gì đến quả cầu?|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20201101120320/https://www.swisseduc.ch/mathematik/geometrie/gleichdick/docs/meissner_en.pdf|ngày lưu trữ=ngày 1 tháng 11 năm 2020|ngày truy cập=ngày 27 tháng 11 năm 2020|ref={{harvid|Tài liệu dạy học SwissEduc 2009}}}}
* {{Chú thích|tựa đề=Spherical Models|tên=Magnus J.|họ=Wenninger|lk tác giả=Magnus Wenninger|năm=2014|nhà xuất bản=Dover|isbn=978-0-486-14365-1|url=https://books.google.com/books?id=0cfAAwAAQBAJ|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Mô hình hình cầu}}
* {{Chú thích|nhà xuất bản=[[Watts Brothers Tool Works]]|tựa đề=How to drill square hexagon octagon pentagon holes|nơi=Wilmerding, Pennsylvania|năm=1950–1951|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Cách khoan lỗ ngũ giác, lục giác, bát giác|ref={{harvid|Watts Brothers Tool Works 1950-1951 brochure}}}}
* {{Chú thích|tựa đề=Architect|url=https://www.koelntriangle.de/architecture/impressionen/tower/|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20150525062313/https://www.koelntriangle.de/architecture/impressionen/tower/|ngày lưu trữ=ngày 25 tháng 5 năm 2015|ngày truy cập=ngày 26 tháng 11 năm 2020|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Kiến trúc|nhà xuất bản=KölnTriangle|ref={{harvid|Kiến trúc KölnTriangle}}}}
* {{Chú thích|tựa đề=Fina Logo History: from Petrofina to Fina|url=http://www.total.com/en/about-total/group-presentation/group-history/fina-logo-history-922651.html|work=Total: Group Presentation|nhà xuất bản=Total S.A.|ngày truy cập=ngày 27 tháng 11 năm 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20121226182719/http://www.total.com/en/about-total/group-presentation/group-history/fina-logo-history-922651.html|ngày lưu trữ=ngày 26 tháng 12 năm 2012|url-status=dead|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Lịch sử logo Fina: từ Petrofina tới Fina|ref={{harvid|Lịch sử logo Fina}}}}
* {{Chú thích|url=https://totalidentity.com/global-bavaria|tựa đề=Global: Bavaria, Fundamental Rebranding Operation at Bavaria|website=Total Identity|ngày truy cập=ngày 27 tháng 11 năm 2020|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20150630071933/https://totalidentity.com/global-Bavaria|ngày lưu trữ=ngày 30 tháng 6 năm 2015|ngôn ngữ=en|dịch tựa đề=Toàn cầu: Bravia, hoạt động đổi mới thương hiệu tại Bravia|ref={{harvid|Total Identiy 2013}}}}

== Liên kết ngoài ==
{{Thể loại Commons|Reuleaux triangles}}
* {{mathworld|id=ReuleauxTriangle|title=Reuleaux Triangle|mode=cs2}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}
{{Sao bài viết tốt|phiên bản được chọn=64387473|thời gian=27 tháng 2 năm 2021}}

[[Thể loại:Tam giác|R]]
[[Thể loại:Đường cong]]
[[Thể loại:Hình học phẳng Euclid]]