Xem mã nguồn của Tenxơ

[[Tập tin:Components stress tensor.svg|phải|nhỏ|300px|[[Tenxơ ứng suất Cauchy]], một tenxơ hạng hai. Thành phần của tenxơ, trong hệ tọa độ Descartes 3 chiều, tạo thành ma trận<br />
<math>\begin{align}
\sigma & = \begin{bmatrix}\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_1)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_2)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_3)} \\ \end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix}\\
\end{align}</math><br />
với các cột là những [[ứng suất]] (lực trên đơn vị diện tích) tác dụng lên các mặt '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, và '''e'''<sub>3</sub> của hình lập phương.]]

'''Tensor''' hay [[tiếng Việt]] gọi là '''Ten-xơ''' là đối tượng [[hình học]] miêu tả [[biến đổi tuyến tính|quan hệ tuyến tính]] giữa các đại lượng [[vectơ]], [[Scalar (toán học)|vô hướng]], và các tenxơ với nhau. Những ví dụ cơ bản về liên hệ này bao gồm [[tích vô hướng]], [[tích vectơ]], và [[biến đổi tuyến tính|ánh xạ tuyến tính]]. Đại lượng vectơ và vô hướng theo định nghĩa cũng là tenxơ. Có nhiều cách biểu diễn tenxơ, như [[mảng (cấu trúc dữ liệu)|mảng giá trị số đa chiều]]. '''Bậc''' (hay ''hạng'') của một tenxơ bằng số chiều của mảng cần để biểu diễn nó, hay tương đương với số chỉ số cần để đánh dấu các thành phần của mảng. Ví dụ, một ánh xạ tuyến tính biểu diễn dưới dạng [[ma trận]] 2 chiều, mảng 2 chiều, do đó nó là tenxơ bậc (hạng) 2. Vector có thể coi là mảng 1 chiều và là tenxơ hạng 1. [[Đại lượng vô hướng]] là các giá trị số và là tenxơ hạng 0.

Tenxơ thường được sử dụng để biểu diễn quan hệ tương ứng (ánh xạ) giữa các tập [[vectơ|vectơ hình học]]. Ví dụ, [[tenxơ ứng suất Cauchy]] '''T''' lấy theo hướng '''v''' (khi đưa vào) và tạo ra ứng suất '''T'''<sup>(''v'')</sup> trên mặt [[vuông góc]] với vectơ này như là giá trị kết quả (đầu ra) do đó biểu diễn mối liên hệ giữa hai vectơ, như chỉ ra ở hình bên cạnh.

Bởi vì chúng thể hiện mối quan hệ giữa các vectơ, tenxơ phải độc lập với bất kỳ sự lựa chọn [[hệ tọa độ]] nào. Khi chọn một [[cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở tọa độ]] hoặc [[hệ quy chiếu]] và áp dụng tenxơ vào nó sẽ cho kết quả là một mảng đa chiều được tổ chức đại diện cho tenxơ đó trong cơ sở hay hệ quy chiếu đó. Sự độc lập của tenxơ được phát biểu thành [[biến đổi hiệp biến|định luật biến đổi "hiệp biến"]] liên hệ giữa mảng được tính toán trong một hệ tọa độ với mảng đó được tính trong hệ tọa độ khác. Định luật bién đổi này cũng được sử dụng để xây dựng khái niệm tenxơ với ý nghĩa hình học hay vật lý, và dạng chính xác của định luật biến đổi xác định lên ''loại'' (hay ''kiểu'') của tenxơ.

Tenxơ là khái niệm quan trọng trong [[vật lý học]] bởi vì nó cung cấp một khuôn khổ toán học ngắn gọn cho việc thiết lập và giải các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như [[cơ học môi trường liên tục]], [[lý thuyết đàn hồi]] và đặc biệt là [[thuyết tương đối rộng]]. Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhà toán học [[Tullio Levi-Civita]] và [[Gregorio Ricci-Curbastro]], những người tiếp tục các công trình sơ khởi của [[Bernhard Riemann]] và [[Elwin Bruno Christoffel]] cùng một số nhà toán học khác, trong một nhánh mà họ gọi là ''phép tính vi phân tuyệt đối''. Tenxơ cũng cho phép thiết lập lên cách phát biểu khác của [[hình học vi phân]] nội tại của một [[đa tạp]] trong dạng của [[tenxơ độ cong Riemann]].<ref name="Kline">{{chú thích sách|title=Mathematical thought from ancient to modern times, Vol. 3|first=Morris|last=Kline|pages=1122&ndash;1127|publisher=Oxford University Press|year=1972|isbn= 0195061373}}</ref>

==Lịch sử==
Các khái niệm liên quan đến giải tích ten-xơ xuất phát từ các nghiên cứu của [[Carl Friedrich Gauss]] trong [[hình học vi phân]], và hình thức luận của nó bị ảnh hưởng nhiều bởi lý thuyết các [[dạng đại số]] và bất biến được phát triển trong giữa thế kỷ 19.<ref>{{chú thích sách
 |first=Karin |last=Reich
 |title=Die Entwicklung des Tensorkalküls
 |year=1994
 |publisher=Birkhäuser
 |isbn=978-3-7643-2814-6
 |series=Science networks historical studies, v. 11

 |oclc= 31468174
 |url=http://books.google.com/books?id=O6lixBzbc0gC
}}</ref> Thuật ngữ "tensor" do nhà toán học [[William Rowan Hamilton]] đặt ra vào năm 1846<ref>{{chú thích tạp chí
 |first=William Rowan |last=Hamilton
 |title=On some Extensions of Quaternions
 |url=http://www.emis.de/classics/Hamilton/ExtQuat.pdf
 |journal=Philosophical Magazine
 |year=1854–1855
 |pages=492–499, 125–137, 261–269, 46–51, 280–290
 |editor-first=David R.|editor-last=Wilkins
 |issue=7–9

 |issn=0302-7597
}}</ref> nhưng ông lại dùng nó để miêu tả khái niệm khác hẳn so với khái niệm tenxơ ngày nay.<ref group=Note>Hamilton dùng nó để đặt cho các toán tử chuẩn (norm operation) trong những hệ đại số cụ thể (ngày nay gọi là [[đại số Clifford]]).</ref> [[Woldemar Voigt]] là người đã sử dụng thuật ngữ cho tên gọi chính thức của nó vào năm 1898.<ref>{{chú thích sách
 |first=Woldemar |last=Voigt
 |title=Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung
 |url=https://archive.org/details/bub_gb__Ps4AAAAMAAJ |publisher=Von Veit

 |place=Leipzig
 |year=1898}}
</ref>

Phép tính tenxơ đã được phát triển vào năm 1890 bởi [[Gregorio Ricci-Curbastro]] dưới tiêu đề ''phép tính vi phân tuyệt đối'' và được Ricci giới thiệu vào năm 1892.<ref>{{chú thích tạp chí
 |first=G. |last=Ricci Curbastro
 |title=Résumé de quelques travaux sur les systèmes variables de fonctions associés à une forme différentielle quadratique
 |journal=Bulletin des Sciences Mathématiques
 |volume=2
 |pages=167–189
 |year=1892
 |issue=16
}}</ref> Lý thuyết này được công bố rộng rãi trong cộng toán học bằng cuốn sách do Ricci và [[Tullio Levi-Civita]] viết chung vào năm 1900 với tiêu đề ''Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications'' (Phương pháp của phép tính vi phân tuyệt đối và ứng dụng).<ref>{{Harv|Ricci|Levi-Civita|1900}}</ref>

Trong thế kỷ 20, chủ đề này trở thành ''giải tích tenxơ'', và đạt được sự tiếp nhận rộng rãi hơn khi [[Albert Einstein]] đưa ra [[thuyết tương đối rộng]] vào năm 1915. Ông trình bày thuyết tương đối rộng hoàn toàn bằng ngôn ngữ tenxơ. Cùng với sự giúp đỡ của người bạn,nhà hình học [[Marcel Grossmann]], Einstein đã phải rất nỗ lực để học được lý thuyết này.<ref>{{chú thích sách
 |first=Abraham |last=Pais
 |title=Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein
 |publisher=Oxford University Press
 |year=2005
 |isbn=978-0-19-280672-7
 |url=http://books.google.com/books/about/Subtle_is_the_Lord.html?id=U2mO4nUunuwC
}}</ref> Sau đó, thư từ qua lại giữa Levi-Civita với Einstein đã giúp Einstein sửa các sai sót trong cách ông vận dụng giải tích tenxơ. Trong thư từ ở giai đoạn 1915–17, ông nêu ra sự khó khăn khi học lý thuyết này:

{{quote|Tôi khâm phục sự gọn gàng trong phương pháp tính của ông; thật là tuyệt khi cưỡi trên lưng của chú ngựa toán học thuần túy vượt qua lĩnh vực vật lý này trong khi chúng tôi phải bước khó nhọc trên con đường của mình.|Albert Einstein|The Italian Mathematicians of Relativity<ref name="Goodstein">{{chú thích tạp chí
 |last=Goodstein|first=Judith R
 |title = The Italian Mathematicians of Relativity
 |journal = Centaurus
 |volume = 26
 |doi = 10.1111/j.1600-0498.1982.tb00665.x
 |pages = 241–261
 |year = 1982
|bibcode = 1982Cent...26..241G
 |issue = 3 }}</ref>}}

Tenxơ cũng có ứng dụng hữu ích trong những lĩnh vực khác như [[cơ học môi trường liên tục]]. Một vài ví dụ quen thuộc của tenxơ trong [[hình học vi phân]] là các [[dạng bậc hai]] như [[tenxơ mêtric]], và [[tenxơ độ cong Riemann]]. [[Đại số ngoài]] (exterior algebra) do [[Hermann Grassmann]] phát triển từ giữa thế kỷ 19 cũng là một lý thuyết tenxơ mang nhiều đặc tính hình học trong thời gian đầu, cho đến khi nó được nhận ra cùng với các [[dạng vi phân]], được thống nhất về bản chất với phép tính tenxơ. Các nghiên cứu của [[Élie Cartan]] làm cho các dạng vi phân trở thành một trong những ứng dụng cơ bản của tenxơ trong toán học.

==Xem thêm==

===Cơ sở===
* [[Tenxơ Descartes]]
* [[Phân thớ|Không gian phân thớ]] (Fibre bundle)
* [[Thuật ngữ của lý thuyết tenxơ]]
* [[Một-dạng]] (one-form)
* [[Tích tenxơ của các môđun]]

===Ứng dụng===
* [[Ứng dụng tenxơ trong kỹ thuật]]
* [[Đạo hàm hiệp biến]]
* [[Độ cong]]
* [[Diffusion MRI#Mathematical foundation—tensors|Diffusion tensor MRI]]
* [[Phương trình trường Einstein]]
* [[Cơ học chất lưu]]
* [[Hình học Riemann]]ian
* [[Tenxơ cấu trúc]]
* [[Phân tích tenxơ|Giải tích tenxơ]]
* [[Đạo hàm tenxơ]]
* [[Phần mềm tenxơ]]

==Ghi chú==
{{tham khảo|group="Note"}}

==Tham khảo==
;General
{{Refbegin|30em}}
*{{chú thích sách
 | last = Bishop
 | first = Richard L.
 |others = Samuel I. Goldberg
 | title = Tensor Analysis on Manifolds
 | url = https://archive.org/details/tensoranalysison00bish
 | year = 1980
 | publisher = Dover
 | isbn = 978-0-486-64039-6
 | origyear = 1968
 }}
*{{chú thích sách
 | last = Danielson
 | first = Donald A.
 | title = Vectors and Tensors in Engineering and Physics
 | url = https://archive.org/details/vectorstensorsin0000dani
 |edition=2 /e
 | year = 2003
 | publisher = Westview (Perseus)
 | isbn = 978-0-8133-4080-7
 }}
*{{chú thích sách
 | last = Dimitrienko
 | first = Yuriy
 | title = Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions
 | year = 2002
 | publisher = Kluwer Academic Publishers (Springer)
 | url = http://books.google.com/books?as_isbn=140201015X
 | isbn = 1-4020-1015-X
 }}
*{{chú thích sách
 | last = Jeevanjee
 | first = Nadir
 | title = An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists
 | year = 2011
 | publisher = Birkhauser
 | url = http://www.springer.com/new+%26+forthcoming+titles+(default)/book/978-0-8176-4714-8
 | isbn = 978-0-8176-4714-8
 }}

*{{chú thích sách
 | last = Lawden
 | first = D. F.
 | title = Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmology
 |edition=3 /e
 | year= 2003
 | publisher = Dover
 | isbn = 978-0-486-42540-5
 }}
*{{chú thích sách
 | last = Lebedev
 | first = Leonid P.
 |others = Michael J. Cloud
 | title = Tensor Analysis
 | url = https://archive.org/details/tensoranalysis0000lebe
 | year= 2003
 | publisher = World Scientific
 | isbn = 978-981-238-360-0
 }}
*{{chú thích sách
 | last = Lovelock
 | first = David
 |others = Hanno Rund
 | title = Tensors, Differential Forms, and Variational Principles
 | url = https://archive.org/details/tensorsdifferent0000love_t3l3
 | year= 1989
 | publisher = Dover
 | isbn = 978-0-486-65840-7
 | origyear = 1975
 }}
* Munkres, James, ''Analysis on Manifolds,'' Westview Press, 1991. Chapter six gives a "from scratch" introduction to covariant tensors.
* {{Chú thích tạp chí
|title=Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications
|last=Ricci
|first=Gregorio
|author-link=Gregorio Ricci-Curbastro
|last2=Levi-Civita
|first2=Tullio
|journal=Mathematische Annalen
|publisher=Springer
|volume=54
|issue=1–2
|year=1900
|pages=125–201
|doi=10.1007/BF01454201
|url=http://www.springerlink.com/content/u21237446l22rgg7/fulltext.pdf
|postscript=<!--None-->
}}{{Liên kết hỏng|date = ngày 30 tháng 3 năm 2021 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{chú thích sách |last=Kay |first=David C |title=Schaum's Outline of Tensor Calculus |publisher=McGraw-Hill |date = ngày 1 tháng 4 năm 1988 |isbn=978-0-07-033484-7}}
* Schutz, Bernard, ''Geometrical methods of mathematical physics'', Cambridge University Press, 1980.
* {{chú thích sách |author=Synge J.L., Schild A. |title=Tensor Calculus |publisher=first Dover Publications 1978 edition |year= 1949
|isbn=978-0-486-63612-2}}
{{Refend}}
;Specific
{{tham khảo|30em}}

{{PlanetMath attribution|id=3112|title=tensor}}

==Liên kết ngoài==
* {{Mathworld|Tensor}}
* [http://repository.tamu.edu/handle/1969.1/2502 Introduction to Vectors and Tensors, Vol 1: Linear and Multilinear Algebra] by Ray M. Bowen and C. C. Wang.
* [http://repository.tamu.edu/handle/1969.1/3609 Introduction to Vectors and Tensors, Vol 2: Vector and Tensor Analysis] by Ray M. Bowen and C. C. Wang.
* [http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100626102357/http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf |date=2010-06-26 }} by Joseph C. Kolecki, released by [[NASA]]
* [http://nrich.maths.org/askedNRICH/edited/2604.html A discussion of the various approaches to teaching tensors, and recommendations of textbooks] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051104201543/http://nrich.maths.org/askedNRICH/edited/2604.html |date = ngày 4 tháng 11 năm 2005}}
* [http://settheory.net/tensors Introduction to tensors] an original approach by S Poirier
* [http://arxiv.org/abs/math.HO/0403252 A Quick Introduction to Tensor Analysis] by R. A. Sharipov.

{{Tensor}}

{{sơ khai vật lý}}
{{sơ khai toán học}}

[[Thể loại:Khái niệm vật lý]]
[[Thể loại:Tenxơ| ]]