Xem mã nguồn của Thí nghiệm Schiehallion

{{Coord|56|40|4|N|4|5|52|W|type:event|display=title}}
'''Thí nghiệm Schiehallion''' là một [[thí nghiệm]] ở thế kỷ 18 nhằm xác định [[khối lượng riêng]] [[trung bình cộng|trung bình]] của [[Trái Đất]]. Được tài trợ bởi [[Hội Hoàng gia Luân Đôn]], thí nghiệm thực hiện vào mùa hè năm 1774 quanh ngọn [[núi]] [[Schiehallion]], [[Perthshire]] của [[Scotland]]. Mục tiêu của nó là đo độ lệch rất nhỏ của [[con lắc]] dưới ảnh hưởng của [[lực hấp dẫn]] bởi quả núi gần đó. Schiehallion được đánh giá là một vị trí thích hợp sau một cuộc khảo sát các ngọn núi của Anh, nhờ sự đơn lập và hình dáng gần như đối xứng của nó. Một trong những nguyên nhân thực hiện thí nghiệm đó là có những ghi chú bất thường trong cuộc khảo sát [[ranh giới Mason–Dixon]].

[[Tập tin:Schiehallion 01.jpg|right|thumb|240px|alt=We look across green fields to a mountain rising behind a line of trees. Its flanks are bare, and the mountain shows a distinctly symmetrical peak.|Vị trí đơn lập và hình dáng đối xứng của núi Schiehallion cho điều kiện thích hợp để tiến hành thí nghiệm.]]

Trước đấy thí nghiệm đã từng được đề xuất, nhưng bị [[Isaac Newton]] bác bỏ bởi vì dựa theo kết quả tính toán từ [[định luật vạn vật hấp dẫn của Newton|định luật vạn vật hấp dẫn]] độ lệch thu được sẽ rất nhỏ. Tuy nhiên, một đội các nhà khoa học, nổi bật là [[Nevil Maskelyne]] thuộc Hội Thiên văn Hoàng gia Luân Đôn, đã thuyết phục mọi người đó là hiệu ứng có thể đo được và thúc đẩy tiến hành thí nghiệm. Góc lệch của con lắc phụ thuộc tương đối vào mật độ và thể tích của Trái Đất cũng như ngọn núi: nếu mật độ và thể tích của núi Schiehallion có thể đánh giá được từ cuộc khảo sát trắc địa, thì ông có thể tính ra khối lượng riêng của Trái Đất. Một khi biết giá trị này, thì khối lượng riêng xấp xỉ của các [[hành tinh]], các [[vệ tinh tự nhiên|vệ tinh]] của chúng, và [[Mặt Trời]] mà trước đó chỉ biết dưới các tỉ số tương đối, sẽ có thể tính ra gần chính xác. Thêm một lợi ích khác, khái niệm [[đường đồng mức]], dẫn ra một cách đơn giản từ quá trình khảo sát núi, về sau trở thành kỹ thuật tiêu chuẩn trong ngành [[bản đồ học]].

==Bối cảnh==
Con lắc đặt trong [[trường hấp dẫn]] đều sẽ treo theo phương thẳng đứng. Tuy nhiên, nếu có một khối lượng đủ lớn ở gần như một quả núi, lực hút hấp dẫn của nó sẽ kéo đầu con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một chút. Sự thay đổi phương gióng của trục con lắc so với một vật tham chiếu&mdash;chẳng hạn [[sao|ngôi sao]] ở xa&mdash;có thể đo được khi đặt con lắc trên hai phía của quả núi. Nếu khối lượng của quả núi được xác định một cách độc lập từ [[thể tích]] và ước lượng mật độ trung bình của đá chứa trong nó, thì các giá trị này cho phép ngoại suy ra được mật độ trung bình của Trái Đất, và do vậy khối lượng của Trái Đất.

Isaac Newton đã xét đến hiệu ứng này trong cuốn ''[[Các nguyên lý toán học của triết học tự nhiên|Principia]]'',<ref name="Davies"/> nhưng ông cho rằng bất kỳ một ngọn núi thực tế nào cũng sẽ tạo ra một góc lệch quá nhỏ mà có thể đo được.<ref name=Principia>{{chú thích sách|last=Newton|title=Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica |volume=II |page=528 |url=|date=October 2013}} Translated: Andrew Motte, First American Edition. New York, 1846</ref> Ông viết, hiệu ứng hấp dẫn chỉ đáng kể ở phạm vi hành tinh.<ref name=Principia/> Translated: Andrew Motte, First American Edition. New York, 1846</ref> Sự bi quan của Newton là hơi thái quá: mặc dù tính toán của ông cho kết quả độ lệch nhỏ hơn 2&nbsp;[[Phút (góc)|phút góc]] (đối với một ngọn núi lý tưởng hóa cao 3 dặm), góc lệch này mặc dù rất nhỏ, nhưng vẫn nằm trong khả năng phát hiện của các dụng cụ trong thời của ông.<ref name="Sillitto">{{chú thích web|url=http://www.sillittopages.co.uk/schie/schie90.html|title=Maskelyne on Schiehallion: A Lecture to The Royal Philosophical Society of Glasgow|last=Sillitto|first=R.M.|date=ngày 31 tháng 10 năm 1990|access-date=ngày 28 tháng 12 năm 2008|archive-date=2019-04-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20190418011810/http://www.sillittopages.co.uk/schie/schie90.html|url-status=dead}}</ref>

Thí nghiệm kiểm tra ý tưởng của Newton không những cung cấp bằng chứng ủng hộ cho định luật vạn vật hấp dẫn của ông, mà còn cho phép ước lượng khối lượng và mật độ của Trái Đất. Do thời đấy khối lượng các thiên thể chỉ được cho thông qua các tỉ số tương đối, khối lượng của Trái Đất sẽ cung cấp giá trị gần chính xác cho khối lượng của các hành tinh khác, các vệ tinh tự nhiên của chúng và cho khối lượng của Mặt Trời. Dữ liệu đo được cũng có khả năng xác định ra [[hằng số hấp dẫn]]&nbsp;{{mvar|G}}, mặc dù đây không phải là mục đích chính của những người làm thí nghiệm này; giá trị tham khảo cho hằng số {{mvar|G}} không xuất hiện trong các tư liệu khoa học cho tới gần một trăm năm sau.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Cornu|first=A.|author2=Baille, J. B. |date=1873|title=Mutual determination of the constant of attraction and the mean density of the earth|journal=Comptes rendus de l'Académie des sciences|volume=76|pages=954–958}}</ref>

==Tìm ngọn núi thích hợp==
[[Tập tin:Chimborazo from southwest.jpg|thumb|right|240px|Chimborazo, ngọn núi được chọn trong thí nghiệm của người Pháp năm 1738.]]

===Chimborazo, 1738===
Hai nhà thiên văn học người Pháp [[Pierre Bouguer]] và [[Charles Marie de La Condamine]] là những người đầu tiên thực hiện thí nghiệm kiểu này, khi họ đo lường góc lệch con lắc tại núi [[Chimborazo (núi lửa)|Chimborazo]] cao 6268 mét ở [[Ecuador]]{{Ref_label|A|a|none}} vào năm 1738.<ref name="Poynting_p50-56">{{chú thích sách|last=Poynting|first=J.H.|title=The Earth: its shape, size, weight and spin|publisher=Cambridge|date=1913 |pages=50–56 |url=http://books.google.com/?id=whA9AAAAIAAJ&pg=PA50}}</ref> Đoàn của họ rời Pháp đến Nam Mỹ vào năm 1735 để đo độ dài cung [[kinh tuyến]] chắn bởi một độ [[vĩ tuyến]] gần [[đường xích đạo]], và họ đã có cơ hội để đo độ lệch góc này. Vào tháng 12 năm 1738, trong điều kiện địa hình và thời tiết khắc nghiệt, họ đã thực hiện hai thí nghiệm tại các độ cao 4680 và 4340&nbsp;m.<ref name="Poynting_1894">{{chú thích sách|last=Poynting|first=J. H.|title=The mean density of the earth|date=1894|pages=12–22|url=http://www.archive.org/download/meandensityofear00poynuoft/meandensityofear00poynuoft.pdf}}</ref> Bouguer viết trong một bài năm 1749 rằng họ đã đo được góc lệch 8 [[giây cung]], nhưng ông đã đánh giá thấp sự quan trọng của kết quả này, và gợi ý rằng kết quả tốt hơn có thể thực hiện trong những điều kiện dễ dàng hơn ở Anh hay Pháp.<ref name="Sillitto" /><ref name="Poynting_1894"/> Ông cũng lưu ý thêm rằng thí nghiệm ít nhất đã chứng tỏ được Trái Đất không phải là lớp vỏ rỗng ruột như một số người đương thời từng đề xuất, bao gồm [[Edmond Halley]].<ref name="Poynting_p50-56"/>

===Schiehallion, 1774===
[[Tập tin:Loch Rannoch.jpg|thumb|left|180px|Sườn dốc đối xứng của núi Schiehallion nhìn từ hồ [[Loch Rannoch]]]]
Một cố gắng khác thực hiện thí nghiệm này đã được Hội Hoàng gia Luân Đôn thúc đẩy vào năm 1772 từ nhà thiên văn học Nevil Maskelyne.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Maskelyne|first=N.|date=1772|title=A proposal for measuring the attraction of some hill in this Kingdom |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society|volume=65|pages=495–499 |bibcode=1775RSPT...65..495M|doi=10.1098/rstl.1775.0049 }}</ref> Ông cho rằng thí nghiệm "sẽ là vinh dự cho quốc gia nơi nó được thực hiện"<ref name="Sillitto"/> và đề xuất núi [[Whernside]] ở [[Yorkshire]], hoặc rặng núi [[Blencathra]]-[[Skiddaw]] ở [[Cumberland]] là những địa điểm thích hợp. Hội Hoàng gia thành lập Ủy ban Quan tâm để xem xét đề xuất, đã bổ nhiệm Maskelyne, [[Joseph Banks]] và [[Benjamin Franklin]] là một trong số thành viên.<ref name="Danson_p115">{{chú thích sách|last=Danson|first=Edwin |title=Weighing the World |publisher=Oxford University Press|date=2006|pages=115–116|isbn=978-0-19-518169-2|url=http://books.google.com/?id=UNH_Y7ERFeoC&pg=PA146}}</ref> Ủy ban gửi nhà thiên văn và khảo sát địa hình [[Charles Mason]]{{Ref_label|B|b|none}} để tìm một địa điểm thích hợp cho thí nghiệm.<ref name="Davies"/>

Sau cuộc tìm kiếm dài ngày vào mùa hè năm 1773, Mason thông báo địa điểm phù hợp nhất là núi [[Schiehallion]] (khi ấy viết là ''Schehallien''), một núi cao 1083 mét nằm giữa hồ [[Loch Tay]] và [[Loch Rannoch]] ở trung tâm [[cao nguyên Scotland]].<ref name="Danson_p115"/> Núi này đứng riêng rẽ so với các ngọn đồi bên cạnh, do vậy ảnh hưởng hấp dẫn của chúng bị giảm đi, và sườn dốc đối xứng đông - tây của nó làm đơn giản các tính toán liên quan. Sườn dốc bắc và nam đủ độ dốc để cho phép vị trí thí nghiệm đặt gần [[khối tâm]] của núi, làm tối đa tác dụng của hiệu ứng hấp dẫn.

Tuy nhiên Mason đã từ chối thực hiện thí nghiệm do ủy ban trả phí một xu [[Guinea (đồng xu Anh)|guinea]] trong một ngày.<ref name="Danson_p115"/> Do đó nhiệm vụ đã được chuyển cho Maskelyne, và ông được phép rời tạm thời nhiệm vụ của mình khi là nhà thiên văn Hoàng gia. Ông được hỗ trợ bởi nhà toán học và khảo sát [[Charles Hutton]] và nhà toán học [[Reuben Burrow]], thành viên của [[Đài thiên văn Hoàng gia Greenwich]]. Họ thuê lực lượng công nhân để xây dựng vị trí thí nghiệm cũng như hỗ trợ quá trình khảo sát. Đội khoa học được trang bị đầy đủ: các thiết bị thiên văn bao gồm thước bán kính 12&nbsp;cm đo góc 90 độ bằng đồng thau từ đoàn thám hiểm của [[James Cook]] quan sát [[sự đi qua của Sao Kim]] năm 1769, một kính viễn vọng thiên đỉnh 10 mét (zenith sector), và một đồng hồ đo ([[đồng hồ quả lắc]] chính xác) để đếm thời gian quan sát thiên văn.<ref name="Danson_p146">{{chú thích sách|last=Danson|first=Edwin |title=Weighing the World |publisher=Oxford University Press|date=2006|page=146|isbn=978-0-19-518169-2|url=http://books.google.com/?id=UNH_Y7ERFeoC&pg=PA146}}</ref> Họ cũng mua thêm một [[máy kinh vĩ]] và [[xích Gunter]] để khảo sát núi, một cặp [[áp kế]] để đo độ cao.<ref name="Danson_p146"/> Chi phí để thực hiện thí nghiệm lấy từ số tiền còn dư của đoàn thám hiểm theo dõi sự đi qua của Sao Kim, mà được vua [[George III của Anh|George III]] ra lệnh chuyển lại cho Hội Hoàng gia.<ref name="Davies">{{Chú thích tạp chí|last=Davies|first=R.D.|title=A Commemoration of Maskelyne at Schiehallion|journal=Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society|volume=26|issue=3|pages=289–294|bibcode=1985QJRAS..26..289D|date=1985}}</ref><ref name="Sillitto" />

==Các đo đạc==

===Thiên văn học===
[[Tập tin:Schiehallion angles.svg|right|300px|alt=A diagram shows a pendulum attracted slightly towards a mountain. A small angle is created between the true vertical indicated by a star and the plumb line.|thumb|Sự lệch giữa thiên đỉnh thực&nbsp;{{mvar|Z}} xác định bởi [[trắc tinh học]] (astrometry), thiên đỉnh biểu kiến {{mvar|Z&prime;}} xác định theo phương dây dọi của trục con lắc.]]
Các nhà để quan sát được xây dựng ở phía bắc và phía nam núi, cộng thêm một căn lều để chứa thiết bị và là nơi nghỉ ngơi cho các nhà khoa học.<ref name="Poynting_1894"/>{{Ref_label|C|c|none}} Các công nhân thì ở trong các lều vải tạm. Đầu tiên Maskelyne thực hiện các đo lường thiên văn học. Điều này là cần thiết đối với ông nhằm xác định [[hệ tọa độ chân trời|khoảng cách thiên đỉnh]] từ phương dây dọi đến một số ngôi sao ở những thời điểm chính xác khi mỗi sao đi qua điểm phía nam (passed due south).<ref name="Sillitto" /><ref name="countingthoughts">{{chú thích web|url=http://www.countingthoughts.com/ct/wtw/notes.pdf|title=The "Weigh the World" Challenge 2005|date=ngày 23 tháng 4 năm 2005|publisher=countingthoughts|access-date =ngày 28 tháng 12 năm 2008}}</ref><ref name="Poynting_p56-59">{{chú thích sách|last=Poynting|first=J.H.|title=The Earth: its shape, size, weight and spin|publisher=Cambridge|date=1913|pages=56–59|url=http://books.google.com/?id=whA9AAAAIAAJ&pg=PA50}}</ref> Điều kiện thời tiết thường không thuận lợi do ảnh hưởng của mưa và sương mù. Tuy nhiên, từ trạm quan sát phía nam, ông đã thực hiện được 76 lần đo đối với 34 sao trong cùng một hướng và sau đó là 93 lần đo đối với 39 sao theo hướng khác. Từ trạm phía bắc, ông thực hiện được 68 lần đo đối với 32 sao và 100 lần đo đối với 37 sao.<ref name="Poynting_1894" /> Bằng cách thực hiện các lần đo theo mặt phẳng của kính viễn vọng thiên đỉnh đầu tiên hướng theo phía đông rồi sau đó hướng sang phía tây, ông đã thành công khi tránh được bất kỳ sai số hệ thống nào xuất hiện từ bộ chuẩn trực của kính viễn vọng.<ref name="Davies"/>

Nhằm xác định góc lệch do quả núi, một nhân tố phải tính đến đó là độ cong của Trái Đất: một người đi về bắc hay nam sẽ thấy thiên đỉnh cục bộ dịch chuyển theo cùng một góc như ở sự thay đổi trong [[vĩ độ]]. Sau khi tính đến các hiệu ứng quan trắc như [[tiến động]], [[Quang sai (thiên văn học)|quang sai]] và [[chương động]], Maskelyne chỉ ra độ lệch giữa thiên đỉnh cục bộ giữa các trạm phía bắc và phía nam của núi Schiehallion bằng 54,6&nbsp;giây cung.<ref name="Poynting_1894" /> Khi đội khảo sát cho biết độ lệch vĩ độ giữa hai trạm là 42,94″, ông có thể trừ đi độ lệch này và sau khi tiến hành hiệu chỉnh các sai số để thu được kết quả chính xác, ông công bố tổng độ lệch bắc và nam bằng 11,6″.<ref name="Sillitto"/><ref name="Poynting_1894"/><ref name="Maskelyne_results">{{Chú thích tạp chí|last=Maskelyne |first=N.|date=1775|title=An Account of Observations Made on the Mountain Schiehallion for Finding Its Attraction|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society|volume=65|issue=0|pages=500–542|doi=10.1098/rstl.1775.0050}}</ref>

Maskelyne đăng kết quả sơ bộ của ông trong tạp chí ''[[Philosophical Transactions of the Royal Society]]'' của Hội Hoàng gia năm 1775,<ref name="Maskelyne_results" /> khi sử dụng dữ liệu ban đầu về hình dạng và vị trí của khối tâm của ngọn núi. Điều này đưa ông đến kỳ vọng độ lệch bằng 20,9″ nếu mật độ trung bình của Schiehallion và Trái Đất là như nhau.<ref name="Sillitto" /><ref name="text-book">{{chú thích sách|last=Poynting|first=J. H.|author2=Thomson, J. J. | title=A text-book of physics | pages=33–35| date=1909 |url=http://www.archive.org/download/textbookofphysic01poynuoft/textbookofphysic01poynuoft.pdf|isbn=1-4067-7316-6}}</ref> Do độ lệch đo được bằng một nửa giá trị này, ông cho rằng khối lượng riêng trung bình của Trái Đất xấp xỉ gấp hai lần so với của núi Schiehallion. Giá trị chính xác hơn phải đợi tới khi đoàn khảo sát địa hình và địa chất kết thúc nhiệm vụ của họ.<ref name="Maskelyne_results" />

Maskelyne đã có cơ hội để chứng tỏ rằng núi Schiehallion thể hiện sức hút hấp dẫn, và do đó mọi núi cũng như vậy; và rằng định luật nghịch đảo bình phương của Newton về hấp dẫn đã được xác nhận.<ref name="Maskelyne_results" /><ref name="Mackenzie">{{chú thích sách|last=Mackenzie|first=A.S.|title=The laws of gravitation; memoirs by Newton, Bouguer and Cavendish, together with abstracts of other important memoirs|date=1900|pages=53–56|url=http://www.archive.org/download/lawsofgravitatio00mackrich/lawsofgravitatio00mackrich.pdf}}</ref> Hội Hoàng gia đã trao cho Maskelyne [[Huy chương Copley]] năm 1775 nhờ thí nghiệm này; nhà tiểu sử [[Alexander Chalmers|Chalmers]] sau này viết rằng "Nếu có còn bất kỳ nghi ngờ nào về tính đúng đắn của lý thuyết Newton, thì bây giờ chúng sẽ bị loại bỏ hoàn toàn".<ref>{{chú thích sách|last=Chalmers|first=A.|title=The General Biographical Dictionary|date=1816|volume=25|page=317|url=http://books.google.com/?id=Uh8IAAAAQAAJ&pg=PA317}}</ref>

===Khảo sát===
Công việc của đội khảo sát đã bị cản trở lớn bởi sự khắc nghiệt của thời tiết, và phải tới tận năm 1776 họ mới hoàn thành nhiệm vụ.<ref name="text-book"/> Để đo thể tích của núi, họ chia nó ra thành các [[hình lăng trụ]] đứng và tính thể tích từng cái một. Nhiệm vụ [[phép đạc tam giác|đạc tam giác]] của Charles Hutton là khá lớn: những người khảo sát phải đo hơn một nghìn điểm xung quanh núi.<ref name="Danson_p153-154"/> Hơn nữa, đỉnh của các lăng trụ mà họ chia ra không phải luôn luôn trùng một cách thuận tiện với cao độ khảo sát. Để khớp mọi dữ liệu thu được, Hutton áp dụng phương pháp [[nội suy]] chuỗi các đường nối giữa các khoảng điểm dữ liệu mà ông đo được, và đặt các điểm có độ cao bằng nhau. Khi làm như vậy, nó không những giúp ông dễ xác định hơn chiều cao của các lăng trụ mà từ các đường này sẽ cho phép hình dung ra dạng địa hình của quả núi. Hutton đã phát minh ra [[đường đồng mức]], công cụ thường được sử dụng về sau cho công tác vẽ [[bản đồ địa hình]].<ref name="Poynting_1894"/><ref name="Danson_p153-154"/>{{Ref_label|D|d|none}}

{| class="wikitable" style="float:right; margin:0 0 1em 1em;"
|-
!colspan=3|Mật độ trung bình của từng thiên thể theo Hutton
|-
!rowspan=2|Thiên thể
!colspan=2|Mật độ, kg·m<sup>−3</sup>
|-
!Hutton, 1778<ref name="Hutton"/>
!Giá trị hiện nay<ref name="NASA">{{chú thích web|url=http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/|title=Planetary Fact Sheet|work=Lunar and Planetary Science|publisher=NASA|access-date =ngày 2 tháng 1 năm 2009}}</ref>
|- style="background:white; text-align:center;"
||[[Mặt Trời]] || style="text-align: center;"|1.100 || style="text-align: center;"|1.408
|- style="background: white;"
|style="text-align: center;"|[[Sao Thủy]] || style="text-align: center;"|9.200 || style="text-align: center;"|5.427
|- style="background:white; text-align:center;"
||[[Sao Kim]] || style="text-align: center;"|5.800 || style="text-align: center;"|5.204
|- style="background:white; text-align:center;"
||[[Trái Đất]] || style="text-align: center;"|4.500 || style="text-align: center;"|5.515
|- style="background:white; text-align:center;"
||[[Mặt Trăng]] || style="text-align: center;"|3.100 || style="text-align: center;"|3.340
|- style="background:white; text-align:center;"
||[[Sao Hỏa]] || style="text-align: center;"|3.300 || style="text-align: center;"|3.934
|- style="background:white; text-align:center;"
||[[Sao Mộc]] || style="text-align: center;"|1.100 || style="text-align: center;"|1.326
|- style="background:white; text-align:center;"
||[[Sao Thổ]] || style="text-align: center;"|&nbsp;&nbsp;410 || style="text-align: center;"|&nbsp;&nbsp;687
|}
Hutton đã phải tính lực hút hấp dẫn của từng lăng trụ đối với các lăng trụ khác trong lưới phân chia của ông, một quá trình đòi hỏi nhiều công sức như quá trình khảo sát. Nhiệm vụ này chiếm mất hai năm của ông trước khi ông có thể công bố kết quả, một bài báo dài khoảng một trăm trang trình bày trước Hội Hoàng gia năm 1778.<ref name="Hutton">{{Chú thích tạp chí|last=Hutton|first=C. |date=1778 |title=An Account of the Calculations Made from the Survey and Measures Taken at Schehallien |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society |volume=68 |doi=10.1098/rstl.1778.0034|issue=0 |url=http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/68/689.citation}}</ref> Ông tìm thấy rằng sức hút của Trái Đất đối với quả lắc bằng 9.933 lần sức hút tổng cộng của ngọn núi khi nó nằm ở trạm phía bắc và phía nam, nếu như mật độ của Trái Đất và núi Schiehallion là như nhau.<ref name="Danson_p153-154">{{chú thích sách|last=Danson|first=Edwin |title=Weighing the World |publisher=Oxford University Press|date=2006|pages=153–154|isbn=978-0-19-518169-2|url=http://books.google.com/?id=UNH_Y7ERFeoC&pg=PA153}}</ref> Do góc lệch thực tế bằng 11,6″ hàm ý một tỷ số 17.804:1 sau khi tính đến ảnh hưởng của vĩ độ lên lực hấp dẫn, ông cho rằng mật độ trung bình của Trái Đất bằng <math>\tfrac{17.804}{9.933}</math>, hay khoảng <math>\tfrac{9}{5}</math> của núi.<ref name="text-book"/><ref name="Danson_p153-154"/><ref name="Hutton"/> Kết quả từ quá trình khảo sát ngọn núi dài ngày do vậy đã không ảnh hưởng lớn tới kết quả từ các phép tính của Maskelyne. Hutton đặt mật độ trung bình của Schiehallion bằng {{math|2.500 kg·m<sup>−3</sup>}}, và tính ra mật độ trung bình của Trái Đất bằng <math>\tfrac{9}{5}</math> lần giá trị này, hay {{math|4.500 kg·m<sup>−3</sup>}}.<ref name="Danson_p153-154"/> So sánh với giá trị hiện đại bằng {{math|5.515 kg·m<sup>−3</sup>}},<ref name="NASA"/> mật độ Trái Đất mà ông tính được có sai số nhỏ hơn 20%.

Mật độ trung bình của Trái Đất lớn hơn mật độ của đá bề mặt có nghĩa là lớp vật liệu ở sâu trong nó phải đậm đặc hơn. Hutton đã phỏng đoán đúng khi cho rằng vật liệu lõi có thể là kim loại, và mật độ có thể lớn tới {{math|10.000 kg·m<sup>−3</sup>}}.<ref name="Danson_p153-154"/> Ông ước lượng tỷ lệ kim loại này chiếm khoảng 65% đường kính của Trái Đất.<ref name="Hutton"/> Với giá trị trung bình cho mật độ của Trái Đất, Hutton có thể tính ra một số giá trị trong bảng dữ liệu hành tinh của [[Jérôme Lalande]], mà trước đó chỉ có thể biểu diễn mật độ của các thiên thể chính trong [[Hệ Mặt Trời]] thông qua các tỉ số tương đối.<ref name="Hutton" />

==Các thí nghiệm lặp lại==
{{chính|Thí nghiệm Cavendish}}
Một phép đo trực tiếp hơn và chính xác hơn về mật độ trung bình của Trái Đất được thực hiện 24 năm sau thí nghiệm Schiehallion, khi [[Henry Cavendish]] vào năm 1798 sử dụng một [[cân xoắn]] rất nhạy để đo lực hút giữa các quả cầu làm bằng [[chì]]. Giá trị của Cavendish thu được bằng {{math|5.448 ± 33 kg·m<sup>−3</sup>}} chỉ sai khác 1,2% so với giá trị chấp nhận hiện nay {{math|5.515 kg·m<sup>−3</sup>}}, và kết quả của ông không được làm chính xác hơn cho tới tận 1895 bởi [[C. V. Boys|Charles Boys]].{{Ref_label|E|e|none}} Sự quan tâm tới thí nghiệm Cavendish và độ chính xác trong kết quả của ông đã khiến ông trở lên nổi tiếng từ đó.<ref>{{chú thích sách| last = McCormmach | first = Russell |author2=Jungnickel, Christa | title = Cavendish | publisher = [[American Philosophical Society]] | date = 1996 | pages = 340–341 | url = http://books.google.com/?id=EUoLAAAAIAAJ | isbn = 978-0-87169-220-7}}</ref>

[[John Playfair]] thực hiện cuộc khảo sát lần thứ hai ở núi Schiehallion vào năm 1811; trên cơ sở suy nghĩ lại tầng đá của nó, ông tìm ra kết quả mật độ trung bình Trái Đất từ 4.560 tới {{math|4.870 kg·m<sup>−3</sup>}},<ref name="Ranalli">{{Chú thích tạp chí|last=Ranalli|first=G.|date=1984|title=An Early Geophysical Estimate of the Mean Density of the Earth: Schehallien, 1774 |journal=Earth Sciences History|volume=3|issue=2|pages=149–152|url=http://hess.metapress.com/content/k43q522gtt440172/}}</ref> mặc dù sau này Hutton nhiều tuổi hơn đã ra sức bảo vệ kết quả ban đầu của ông trong một bài báo năm 1821 trước Hội Hoàng gia.<ref name="Sillitto" /><ref>{{Chú thích tạp chí|last=Hutton|first=Charles|date=1821|title=On the mean density of the earth|journal=Proceedings of the Royal Society|url=http://www.archive.org/details/onmeandensityofe00huttiala}}</ref> Tính toán của Playfair cho giá trị gần với giá trị hiện nay, nhưng vẫn còn quá thấp và kém quan trọng hơn so với phương pháp của Cavendish từ vài năm trước.

[[Tập tin:Edinburgh Arthur Seat dsc06165.jpg|thumb|left|240px|alt=An irregular grass-covered mountain near sunset.|Núi [[Arthur's Seat]], địa điểm thực hiện thí nghiệm năm 1856 bởi Henry James]]
Thí nghiệm Schiehallion được lặp lại vào năm 1856 bởi tướng Henry James, người chỉ huy Cơ quan vẽ bản đồ quốc gia khi đó (Ordnance Survey), ông đã sử dụng đồi Arthur's Seat ở trung [[Edinburgh]].<ref name="Poynting_1894" /><ref name="Poynting_p56-59"/><ref>{{Chú thích tạp chí|last=James|date=1856|title=On the Deflection of the Plumb-Line at Arthur's Seat, and the Mean Specific Gravity of the Earth|pages=591–606|volume=146|journal=Proceedings of the Royal Society|jstor=108603|doi=10.1098/rstl.1856.0029}}</ref> Với nguồn lực từ cơ quan mà ông chỉ huy, James đã mở rộng cuộc khảo sát địa hình ra tới bán kính 21&nbsp;km, đưa nhóm của ông tới tận biên giới của [[Midlothian]]. Ông thu được kết quả vào khoảng {{math|5.300 kg·m<sup>−3</sup>}}.<ref name="Sillitto" /><ref name="text-book" />

Một thí nghiệm thực hiện vào năm 2005 dưới một cách khác so với quá trình đã thực hiện vào năm 1774: thay vì tính toán hiệu giữa các thiên đỉnh cục bộ, thí nghiệm đã so sánh một cách chính xác chu kỳ của con lắc tại đỉnh và chân núi Schiehallion. Chu kỳ của con lắc là [[hàm số|hàm]] của ''[[Lực G|g]]'', gia tốc trọng trường địa phương. Theo tính toán con lắc sẽ dao động chậm hơn tại đỉnh núi, nhưng do khối lượng của núi sẽ làm giảm sự chậm trễ này. Thí nghiệm lần này có thuận lợi là dễ thực hiện hơn so với lần năm 1774, mà còn thu được độ chính xác mong muốn, khi có thể đo được chu kỳ của con lắc với sai số một phần một triệu.<ref name="countingthoughts"/> Khối lượng của Trái Đất thu được từ thí nghiệm này bằng {{math|8,1 ± 2,4 × 10<sup>24</sup> kg}},<ref>{{chú thích web|url=http://www.countingthoughts.com/ct/wtw/schiehallion%20results%20june.doc|title=The "Weigh the World" Challenge Results|publisher=countingthoughts|access-date=ngày 28 tháng 12 năm 2008|archive-date=2016-03-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303215407/http://www.countingthoughts.com/ct/wtw/schiehallion%20results%20june.doc|url-status=dead}}</ref> tương ứng với mật độ trung bình vào khoảng {{math|7.500 ± 1.900 kg·m<sup>−3</sup>}}.{{Ref_label|F|f|none}}

Việc thực hiện kiểm tra lại dữ liệu hiện đại về địa vật lý cho phép tính tới các nhân tố mà đội năm 1774 không thể đưa vào. Với khả năng mô hình hóa địa hình bằng kỹ thuật số trong bán kính 120&nbsp;km, cũng như hiểu biết về địa chất của núi Schiehallion được mở rộng đáng kể, và với sự trợ giúp của máy tính, một báo cáo năm 2007 cho kết quả mật độ trung bình của Trái Đất bằng {{math|5.480 ± 250 kg·m<sup>−3</sup>}}.<ref name="Smallwood">{{Chú thích tạp chí|last=Smallwood|first=J.R.|date=2007|title=Maskelyne's 1774 Schiehallion experiment revisited|journal=Scottish Journal of Geology|volume=43|issue=1|pages=15&nbsp;31 |url=http://www.ingentaconnect.com/content/geol/sjg/2007/00000043/00000001/art00003|doi=10.1144/sjg43010015}}</ref> Khi so với giá trị hiện đại {{math|5.515 kg·m<sup>−3</sup>}}, có thể đánh giá được tính chính xác từ những quan sát thiên văn học của Maskelyne.<ref name="Smallwood"/>

==Cơ sở toán học và vật lý==
[[Tập tin:Schiehallion.svg|right|thumb|300px|alt=See accompanying text.|Biểu đồ lực của thí nghiệm Schiehallion.]]
Xét [[biểu đồ lực]] ở bên phải, với góc lệch đã được vẽ phóng đại. Việc phân tích được làm đơn giản khi xét lực hút chỉ bởi một phía của ngọn núi.<ref name="Ranalli"/> Quả dọi khối lượng&nbsp;{{mvar|m}} nằm ở khoảng cách&nbsp;{{mvar|d}} từ khối tâm {{mvar|P}} của quả núi có khối lượng&nbsp;{{mvar|M<sub>M</sub>}} và mật độ trung bình&nbsp;{{mvar|ρ<sub>M</sub>}}. Dây dọi bị lệch một góc nhỏ&nbsp;{{mvar|θ}} do lực hút hấp dẫn&nbsp;{{mvar|F}} hướng về điểm {{mvar|P}} và bởi [[trọng lượng]]&nbsp;{{mvar|W}} của nó hướng về tâm Trái Đất. [[Vectơ]] tổng của {{mvar|W}} và {{mvar|F}} tạo ra sức căng&nbsp;{{mvar|T}} đối với sợi dây. Trái Đất có khối lượng &nbsp;{{mvar|M<sub>E</sub>}}, bán kính&nbsp;{{mvar|r<sub>E</sub>}} và mật độ&nbsp;{{mvar|ρ<sub>E</sub>}}.

Hai lực hấp dẫn tác động lên quả lắc được tính theo định luật hấp dẫn của Newton:

:<math>
F = \frac {G m M_M} {d^2},\quad W = \frac {G m M_E} {r_E^2}
</math>

Với {{mvar|G}} là [[hằng số hấp dẫn Newton]]. {{mvar|G}} và {{mvar|m}} bị triệt tiêu khi lấy tỉ số {{mvar|F}} chia cho {{mvar|W}}:

:<math>
\frac {F} {W} 
= \frac {(G m M_M) / d^2} {(G m M_E) / r_E^2} 
= \frac {M_M}{M_E} {\left(\frac {r_E}{d} \right)}^2
= \frac {\rho_M} {\rho_E} \frac {V_M} {V_E} {\left(\frac {r_E}{d} \right)}^2
</math>

Với {{mvar|V<sub>M</sub>}} và {{mvar|V<sub>E</sub>}} lần lượt là thể tích của núi và Trái Đất. Trong điều kiện [[cân bằng cơ học|cân bằng tĩnh]], thành phần theo phương ngang và đứng của sức căng dây&nbsp;{{mvar|T}} liên hệ với lực hấp dẫn và góc lệch&nbsp;{{mvar|θ}}:

:<math>
W = T \cos \theta,\quad F = T \sin \theta
</math>

Thay thế vào {{mvar|T}}:

:<math>
\tan \theta
= \frac {F} {W} 
= \frac {\rho_M}{\rho_E} \frac {V_M}{V_E} {\left(\frac {r_E}{d} \right)}^2
</math>

Do {{mvar|V<sub>E</sub>}}, {{mvar|V<sub>M</sub>}}, {{mvar|d}} và {{mvar|r<sub>E</sub>}} đều đã biết, và {{mvar|θ}} và {{mvar|d}} đo được từ thí nghiệm và khảo sát, khi đó giá trị của tỉ số&nbsp;{{math|''ρ<sub>E</sub>'' : ''ρ<sub>M</sub>''}} bằng:<ref name="Ranalli"/>

:<math>
\frac {\rho_E}{\rho_M} = \frac {V_M}{V_E} {\left(\frac {r_E}{d} \right)}^2 \frac {1}{\tan \theta}
</math>

==Chú thích==
{{refbegin}}
'''a.''' {{Note_label|A|a|none}}Khi đó thuộc về [[Viceroyalty của Peru]]. Các tư liệu thời đó gọi là 'Đoàn thám hiểm Peru'.<br>
'''b.''' {{Note_label|B|b|none}}Mason, cùng với [[Jeremiah Dixon]], trước đó đánh dấu ranh giới Mason–Dixon phân chia miền bắc và miền nam Hoa Kỳ.<br>
'''c.''' {{Note_label|C|c|none}}Những trạm này đã bị phá hủy, nhưng dấu tích của chúng vẫn còn tìm thấy ở sườn núi.<br>
'''d.''' {{Note_label|D|d|none}}Đây là một khám phá lại: [[Edmond Halley]] từng vẽ ra các đường từ trường biến đổi bằng nhau (isogon) vào năm 1701, và [[Nicholas Cruquius]] vẽ các đường độ sâu bằng nhau (isobath) vào năm 1727.<br>
'''e.''' {{Note_label|E|e|none}} Giá trị {{math|5.480 kg·m<sup>−3</sup>}} xuất hiện trong công bố của Cavendish. Tuy nhiên ông đã có sai số: phép đo của ông thực sự cho giá trị {{math|5.448 kg·m<sup>−3</sup>}}; một lỗi mà sau này [[Francis Baily]] nêu ra vào năm 1821.<br>
'''f.''' {{Note_label|F|f|none}}Thể tích của Trái Đất bằng {{math|1,0832 × 10<sup>12</sup> km³}}.
{{refend}}

==Tham khảo==
{{tham khảo|30em}}
{{chủ đề|Khoa học Trái Đất|Vật lý học}}

[[Thể loại:Thí nghiệm vật lý]]
[[Thể loại:Khối lượng riêng]]
[[Thể loại:Trắc địa]]
[[Thể loại:Trọng trường Trái Đất]]
[[Thể loại:Khoa học năm 1774]]
[[Thể loại:Lực hấp dẫn]]
[[Thể loại:Lịch sử khoa học Trái Đất]]
[[Thể loại:Hội Vương thất Luân Đôn]]
[[Thể loại:Khoa học và công nghệ Scotland]]
[[Thể loại:Cấu trúc Trái Đất]]
[[Thể loại:Khối lượng]]
[[Thể loại:Thăm dò trọng lực]]
[[Thể loại:Mật độ]]
[[Thể loại:Lịch sử vật lý]]