Xem mã nguồn của Thặng dư (giải tích phức)

{{Thanh bên giải tích phức}}

Trong [[toán học]], cụ thể hơn là trong [[giải tích phức]], '''thặng''' '''dư''' là một [[số phức]] tỷ lệ với [[tích phân đường]] của [[hàm phân hình]] dọc theo một đường cong kín bao quanh một điểm kỳ dị của nó.

== Định nghĩa ==
Thặng dư của [[hàm phân hình]] <math>f</math> tại một điểm kỳ dị <math>a</math>, thường được ký hiệu <math>\operatorname{Res}(f,a)</math> hoặc <math>\operatorname{Res}_a(f)</math>, là

* giá trị <math>\frac{1}{2\pi i}\int_Cf(z)dz</math>, với <math>C</math> là một đường cong kín định hướng dương bao quanh một điểm kì dị duy nhất <math>a</math> sao cho ''winding number'' bằng <math>1</math>.
* cũng là giá trị duy nhất <math>R</math> sao cho <math>f(z)- R/(z-a)</math> có một [[nguyên hàm]] [[Hàm giải tích|giải tích]] trong một [[Hình vành khăn|đĩa bị thủng]] <math>0<\vert z-a\vert<\delta</math>.
* cũng là giá trị hệ số a<sub>-1</sub> của [[Chuỗi Laurent|khai triển Laurent]] của hàm <math>f</math> tại điểm <math>a</math>.

== Ví dụ ==

=== Thặng dư của một đơn thức ===
Tính thặng dư của [[đơn thức]] qua tích phân

: <math>\oint_C z^k dz</math>

với <math>C</math> là đường tròn định hướng dương có bán kính <math>1</math>. Sử dụng phép đổi biến <math>z \to e^{i\theta}</math> ta có

: <math>
\oint_C z^k dz = \int_0^{2\pi} i e^{i(k+1)\theta} \, d\theta
= \begin{cases}
2\pi i & \text{nếu } k = -1, \\
0 & \text{với các trường hợp còn lại}.
\end{cases}
</math>

Do đó thặng dư của đơn thức <math>
z^k
</math> bằng <math>
1
</math> nếu <math>
k=-1
</math>, và bằng <math>
0
</math> nếu <math>
k\neq -1
</math>.

=== Kỳ dị bỏ được ===
Nếu hàm ''f'' có thể [[Thác triển giải tích|thác triển]] thành một hàm [[Hàm chỉnh hình|chỉnh hình]] trên toàn bộ đĩa <math>|y-c|<R</math> thì Res(''f'',&nbsp;''c'')&nbsp;=&nbsp;0. Điều ngược lại không đúng: ví dụ hàm <math>
\frac{1}{z^2}
</math> có thặng dự tại <math>
0
</math> bằng <math>
0
</math>.

=== Cực điểm đơn ===
Tại một cực điểm đơn ''c'', thặng dư của hàm ''f'' thỏa mãn

: <math>\operatorname{Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z).</math>

=== Cực điểm cấp cao ===
Tổng quát hơn, nếu ''c'' là một cực cấp ''n'', thặng dư của ''f'' quanh ''z'' = ''c'' có thể được tính theo công thức:

: <math> \operatorname{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to c} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left((z-c)^n f(z) \right). </math>

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

* {{Chú thích sách|title=Complex Analysis|url=https://archive.org/details/complexanalysisi0000ahlf_v7n1|last=Ahlfors|first=Lars|publisher=McGraw Hill|year=1979|author-link=Lars Ahlfors}}
* {{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=Z26tKIymJjMC&printsec=frontcover&dq=isbn:9780716728771&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwjx24HOs9PjAhVLJKwKHZpDAgIQ6AEIKjAA#v=onepage&q=residue&f=false|title=Basic Complex Analysis|last=Marsden|first=Jerrold E.|last2=Hoffman|first2=Michael J.|publisher=W. H. Freeman|year=1998|isbn=978-0-7167-2877-1|edition=3rd}}

== Liên kết ngoài ==

* {{SpringerEOM|title=Residue of an analytic function|id=p/r081560}}
* [http://fit.mta.edu.vn/files/DanhSach/GI%E1%BA%A2I%20T%C3%8DCH%20PH%E1%BB%A8C.pdf Tài liệu trực tuyến, Le Quy Don Technical University,]{{Liên kết hỏng|date=2024-09-16 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{MathWorld|title=Complex Residue}}

[[Thể loại:Giải tích phức]]