Xem mã nguồn của Thứ tự toàn phần

{{Short description|Thứ tự mà mọi cặp đều so sánh được với nhau}}
{{Use dmy dates|date=August 2021}}
{{More footnotes|date=February 2016}}
Trong [[toán học]], '''thứ tự toàn phần''' hay '''thứ tự tuyến tính''' là [[thứ tự riêng phần]] mà mọi hai phần tử đều so sánh được với nhau. Nghĩa là, nó là [[quan hệ hai ngôi]] <math>\leq</math> trên [[tập hợp (toán học)|tập hợp]] <math>X</math> thoả mãn các điều kiện sau với mọi <math>a, b</math> và <math>c</math> thuộc <math>X</math>:

# <math>a \leq a</math> ([[Quan hệ phản xạ|phản xạ]]).
# Nếu <math>a \leq b</math> và <math>b \leq c</math> thì <math>a \leq c</math> ([[Quan hệ bắc cầu|bắc cầu]]).
# Nếu <math>a \leq b</math> và <math>b \leq a</math> thì <math>a = b</math> ([[Quan hệ phản đối xứng|phản đối xứng]]).
# <math>a \leq b</math> hay <math>b \leq a</math> ([[Quan hệ liên thông|liên thông mạnh]], hay còn gọi là tính toàn phần).

Tính phản xạ (1.) sẽ suy ra ngay từ tính chất (4.), nhưng vẫn thường được viết rõ ra bởi nhiều tác giả để chỉ mối quan hệ với thứ tự riêng phần.{{sfn|Halmos|1968|loc=Ch.14}}

Tập hợp đi cùng thứ tự toàn phần được gọi là '''tập sắp (có) thứ tự toàn phần''';{{sfn|Davey|Priestley|1990|p=3}} thuật ngữ '''tập sắp thứ tự đơn lẻ''',{{sfn|Birkhoff|1967|p=2}} '''tập sắp thứ tự tuyến tính''',{{sfn|Schmidt|Ströhlein|1993|p=32}}{{sfn|Davey|Priestley|1990|p=3}} hay '''loset'''<ref>{{chú thích tạp chí|last1=Strohmeier|first1=Alfred|last2=Genillard|first2=Christian|last3=Weber|first3=Mats|date=1990-08-01|title=Ordering of characters and strings|journal=ACM SIGAda Ada Letters|language=EN|issue=7|pages=84|doi=10.1145/101120.101136|s2cid=38115497|doi-access=free}}</ref><ref>{{chú thích tạp chí|last=Ganapathy|first=Jayanthi|title=Maximal Elements and Upper Bounds in Posets|url=https://archive.org/details/sim_pi-mu-epsilon-journal_fall-1992_9_7/page/462|date=1992|journal=Pi Mu Epsilon Journal|volume=9|issue=7|pages=462–464|jstor=24340068|issn=0031-952X}}</ref> cũng được dùng tuỳ thuộc vào tác giả. Thuật ngữ ''xích'' {{sfn|Davey|Priestley|1990|p=3}} thường nhắc đến tập con sắp thứ tự toàn phần của tập sắp thứ tự một phần.

Mở rộng của thứ tự riêng phần cho trước thành thứ tự toàn phần được gọi là [[mở rộng tuyến tính]] của thứ tự riêng phần đó.

==Thứ tự toàn phần nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt==

'''{{em|Thứ tự toàn phần nghiêm ngặt}}''' trên tập hợp <math>X</math> là [[thứ tự riêng phần nghiêm ngặt]] trên tập <math>X</math> trong đó mọi hai phần tử phân biệt đều so sánh được với nhau. Nghĩa là, thứ tự toàn phần là quan hệ ngôi <math><</math> trên [[tập hợp (toán học)|tập hợp]] <math>X</math>, thoả mãn các điều kiện sau với mọi <math>a, b</math> và <math>c</math> thuộc <math>X</math>:

# Không <math>a < a</math> ([[Quan hệ hoàn toàn không phản xạ|hoàn toàn không phản xạ]]).
# Nếu <math>a < b</math> thì không <math> b < a </math> ([[Quan hệ bất đối xứng|bất đối xứng]]).
# Nếu <math>a < b</math> và <math>b < c</math> thì <math>a < c</math> ([[Quan hệ bắc cầu|bắc cầu]]).
# Nếu <math>a \neq b</math>, thì <math>a < b</math> hoặc <math>b < a</math> ([[Quan hệ liên thông|Tính liên thông]]).

Tính bất đối xứng suy ra từ tính bắc cầu và tính hoàn toàn không phản xạ;<ref>Đặt <math>a < b</math>, giả sử ngược lại rằng <math> b < a </math>. Theo tính bắc cầu, <math>a < a</math>, mâu thuẫn với tính hoàn toàn không phản xạ.</ref> Ngược lại, tính hoàn toàn không phản xạ thu về được từ tính bất đối xứng.<ref>Nếu <math>a < a</math>, thì không <math>a < a</math> theo tính bất đối xứng.</ref>

Mỗi thứ tự toàn phần (không nghiêm ngặt) <math>\leq</math> có thứ tự toàn phần nghiêm ngặt tương ứng <math><</math>, được gọi là ''thứ tự nghiêm ngặt'' ứng với <math>\leq</math>, có thể định nghĩa theo một trong hai cách tương đương sau:
* <math>a < b</math> nếu <math>a \leq b</math> và <math>a \neq b</math> ([[rút gọn phản xạ]]).
* <math>a < b</math> nếu không <math>b \leq a</math> (tức là <math><</math> là [[Quan hệ hai ngôi#Bù|bù]] của [[quan hệ ngược]] của <math>\leq</math>).

Ngược lại, [[bao đóng phản xạ]] của thứ tự toàn phần nghiêm ngặt <math><</math> là thứ tự toàn phần không nghiêm ngặt.

==Ví dụ==

* Mọi [[tập con]] của tập sắp thứ tự toàn phần {{math|''X''}} là tập sắp thứ tự toàn phần do thu hẹp thứ tự trên {{math|''X''}}. 
* Thứ tự duy nhất trên tập rỗng {{math|∅}}, là thứ tự toàn phần.
* Tập các [[số đếm]] hoặc tập các [[số thứ tự]], (và mạnh hơn, tập này có [[thứ tự tốt]]).
* Nếu {{math|''X''}} là tập hợp tuỳ ý và {{math|''f''}}{{math|}} là [[đơn ánh|hàm đơn ánh]] từ {{math|''X''}} đến tập sắp thứ tự toàn phần, thì {{math|''f''}} cảm sinh thứ tự toàn phần trên {{math|''X''}} bằng cách định nghĩa {{math|''x''<sub>1</sub> ≤ ''x''<sub>2</sub>}} khi và chỉ khi {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>) ≤ ''f''(''x''<sub>2</sub>)}}.
* [[Thứ tự từ điển]] trên [[tích Đề-các]] của họ các tập sắp thứ tự toàn phần, và [[tập chỉ số|được sắp chỉ số]] theo thứ tự tốt, thì chính nó là thứ tự toàn phần.  
* Tập các [[số thực]] được sắp theo thứ tự thông thường "nhỏ hơn hoặc bằng" (≤) hoặc "lớn hơn hoặc bằng" (≥) là tập sắp thứ tự toàn phần. Bởi mọi tập con của tập sắp thứ tự toàn phần cũng sắp thứ tự toàn phần, nên các tập như [[số tự nhiên]], [[số nguyên]] và [[số hữu tỉ]] đều có thứ tự toàn phần. Mỗi tập này đều có thể chứng minh là "ví dụ ban đầu" duy nhất (xê xích [[đẳng cấu thứ tự]]) của tập thứ tự toàn phần cho một số tính chất, (ở đây, thứ tự toàn phần {{math|''A''}} là ''ban đầu'' cho một tính chất nếu như {{math|''B''}} có tính chất đó thì có đẳng cấu thứ tự từ {{math|''A''}} sang tập con của {{math|''B''}}):<ref>Định nghĩa này gần giống với [[vật ban đầu]] trong [[lý thuyết phạm trù]] nhưng yếu hơn.</ref>{{citation needed|reason=such non-evident properties must be sourced; see talk page|date=March 2021}}
** Tập các số tự nhiên lập thành tập sắp thứ tự toàn phần ban đầu không có [[cận trên]].
** Tập các số nguyên lập thành tập sắp thứ tự toàn phần ban đầu không có cận trên hay cận dưới.
** Tập các số hữu tỉ lập thành tập sắp thứ tự toàn phần ban đầu có tính [[tập trù mật|trù mật]] trong các số thực. Hơn nữa, rút gọn phản xạ < là [[thứ tự trù mật]] trên các số hữu tỉ.
** Tập các số thực lập thành tập sắp thứ tự toàn phần ban đầu có tính liên thông trong tô pô thứ tự (định nghĩa bên dưới).
* Các [[trường được sắp]] có thứ tự toàn phần theo định nghĩa. Chúng bao gồm cả số thực và số hữu tỉ. Mọi trường được sắp đều chứa trường con đẳng cấu với tập các số hữu tỉ. Bất kỳ trường được sắp có tính ''[[đầy đủ-Dedekind]]'' thì đẳng cấu với các số thực.
* Tập các chữ cái trong bảng chữ cái sắp xếp theo [[thứ tự bảng chữ cái|thứ tự từ điển]], tức {{math|''A'' < ''B'' < ''C''}} là tập sắp thứ tự toàn phần.

==Xích==

Thuật ngữ '''xích''' đôi khi được dùng cho tập sắp thứ tự toàn phần, nhưng nó thường dùng để nhắc đến [[tập con]] sắp thứ tự toàn phần của [[tập sắp thứ tự riêng phần]].{{sfn|Halmos|1968|loc=Ch.14}}<ref>{{chú thích sách | url=https://www.elsevier.com/books/theory-of-relations/fraisse/978-0-444-50542-2 | isbn=978-0-444-50542-2 | author=Roland Fraïssé | author-link=Roland Fraïssé| title=Theory of Relations | publisher=Elsevier | series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics | volume=145 | edition=1st | date=Dec 2000 }} Here: p. 35</ref> Thường thì tập sắp thứ tự riêng phần đó là tập các tập con của một tập hợp cho trước và được xếp thứ tự theo bao hàm, và từ '''xích''' được dùng để mô tả một số tính chất đặc biệt của tập các tập con sắp thứ tự toàn phần.

Một ví dụ thường dùng của ''xích'' khi nhắc đến tập con sắp thứ tự toàn phần là [[bổ đề Zorn]], bổ đề này phát biểu rằng nếu mọi xích trong tập sắp thứ tự riêng phần {{mvar|X}} có cận trên thuộc {{mvar|X}}, thì {{mvar|X}} chứa ít nhất một phần tử tối đại.<ref>{{chú thích sách | lccn=89009753 | isbn=0-521-36766-2 | author=Brian A. Davey and Hilary Ann Priestley | title=Introduction to Lattices and Order | publisher=Cambridge University Press | series=Cambridge Mathematical Textbooks | year=1990 }} Here: p. 100</ref> Bổ đề Zorn thường được dùng khi {{mvar|X}} là tập của các tập con; trong trường hợp này, cận trên thu được bằng cách chứng minh hợp của các phần tử của xích trong {{mvar|X}} cũng nằm trong {{mvar|X}}. Đây là cách thường dùng để chứng minh một [[không gian vectơ]] có [[cơ sở Hamel]] và chứng minh [[vành]] có [[ideal tối đại]].

Trong một số ngữ cảnh, các xích được coi là đẳng cấu thứ tự với các số tự nhiên đi kèm thứ tự thông thường (hoặc [[quan hệ ngược|thứ tự ngược]] của nó. Khi đó, ta có thể đồng nhất xích với một dãy đơn điệu, và gọi nó là '''xích tăng dần''' hoặc '''xích giảm dần''' tương ứng với tính đơn điệu của dãy số<ref>[[Yiannis N. Moschovakis]] (2006) ''Notes on set theory'', [[Undergraduate Texts in Mathematics]] (Birkhäuser) {{ISBN|0-387-28723-X}}, p.&nbsp;116</ref>

Tập sắp thứ tự riêng phần thoả mãn [[điều kiện xích giảm dần]] nếu mọi xích giảm dần tự ổn định (nghĩa là khi vượt qua một chỉ số nào đó, tất cả các phần tử tiếp theo trong dãy đều bằng nhau). Lấy ví dụ, thứ tự được gọi là [[thứ tự lập tốt|lập tốt]] nếu nó có điều kiện xích giảm dần. Tương tự như vậy, [[điều kiện xích tăng dần]] nghĩa là mọi xích tăng dần sẽ tự ổn định. Ví dụ, [[vành Noether]] là vành có [[ideal (lý thuyết vành)|các ideal]] thoả mãn điều kiện xích tăng dần.

Trong các ngữ cảnh khác, chỉ có xích là [[tập hợp hữu hạn]] mới được xét. Trong trường hợp này, ta gọi nó là '''xích hữu hạn''', hoặc gọn ngắn đi là '''xích'''. Khi đó, '''độ dài''' của xích là số bất đẳng thức (hay số bao hàm) giữa các phần tử liên tiếp trong xích. Bởi chỉ có xích là tập hợp hữu hạn được xét, nên độ dài bằng số các phần tử trong xích trừ đi một.<ref>Davey and Priestly 1990, Def.2.24, p. 37</ref> Do đó [[đơn điểm (toán học)|tập đơn điểm]] là xích có độ dài không, và [[cặp được sắp]] là xích có độ dài một. [[lý thuyết chiều|Chiều]] của không gian thường được định nghĩa là độ dài cực đại của xích của các không con. Ví dụ chẳng hạn, [[chiều của không gian vectơ]] là độ dài cực đại của xích của các [[không gian con tuyến tính]] và số [[chiều Krull]] của [[vành giao hoán]] là độ dài cực đại của xích các [[ideal nguyên tố]].

Từ "xích" cũng có thể dùng cho tập sắp thứ tự toàn phần của các [[cấu trúc toán học]] khác không nhất thiết phải là tập sắp thứ tự riêng phần. Một ví dụ là [[xích chính quy]] của các đa thức và một ví dụ khác là việc coi xích là chuỗi các [[bước (lý thuyết đồ thị)|bước]] trong một [[lý thuyết đồ thị|đồ thị]].

==Khái niệm mở rộng==

===Lý thuyết dàn===

Ta có thể định nghĩa thứ tự toàn phần theo [[dàn (thứ tự)|dàn]] như sau
: <math>\{a\vee b, a\wedge b\} = \{a, b\}</math> for all ''a'', ''b''.

Ta viết ''a'' ≤ ''b'' [[khi và chỉ khi]] <math>a = a\wedge b</math>. Do đó tập sắp thứ tự toàn phần là [[dàn phân phối]].

===Thứ tự toàn phần hữu hạn===

===Lý thuyết phạm trù===

Tập sắp thứ tự toàn phần lập thành [[phạm trù con|phạm trù con đủ]] (''full subcategory'') của [[phạm trù (toán học)|phạm trù]] của các [[tập hợp sắp thứ tự riêng phần]], trong đó [[cấu xạ]] là các ánh xạ bảo toàn thứ tự, tức là ánh xạ ''f'' sao cho nếu  ''a'' ≤ ''b'' thì ''f''(''a'') ≤ ''f''(''b'').

[[Song ánh]] giữa hai tập sắp thứ tự toàn phần mà bảo toàn thứ tự thì được gọi là [[đẳng cấu]] trong phạm trù này.

===Tô pô thứ tự===

Cho bất kỳ tập hợp sắp thứ tự toàn phần ''X'', ta có thể định nghĩa ''các [[khoảng (toán học)|khoảng mở]]'' (''a'', ''b'') = {''x'' : ''a'' < ''x'' và ''x'' < ''b''}, (−∞, ''b'') = {''x'' : ''x'' < ''b''}, (''a'', ∞) = {''x'' : ''a'' < ''x''} và (−∞, ∞) = ''X''.  Ta có thể dùng các khoảng mở này để định nghĩa [[tô pô]] trên bất kỳ được sắp, hình thành nên [[tô pô thứ tự]].

Khi có nhiều hơn một thứ tự được dùng trên cùng một tập hợp, ta cần nói rõ về tô pô thứ tự được cảm sinh bởi thứ tự nào. Ví dụ chẳng hạn, nếu '''N''' là tập các số tự nhiên, < là nhỏ hơn và > là lớn hơn, thì ta sẽ nhắc tới tô pô thứ tự trên '''N''' cảm sinh bởi < và tô pô thứ tự trên '''N''' cảm sinh bởi > (trong trường hợp này chúng là một, nhưng trong tổng quát thì sẽ không luôn như thế).

Tô pô thứ tự cảm sinh bởi thứ tự toàn phần có thể chứng minh là [[không gian chuẩn tắc]].

===Tính đầy đủ===<!-- This section is linked from [[dàn phân phối đầy đủ]]. See [[WP:MOS#Section management]] -->

Tập sắp thứ tự toàn phần được gọi là '''[[Tính đầy đủ (lý thuyết thứ tự)|đầy đủ]]''' nếu mọi tập con không rỗng có [[cận trên]] thì sẽ có [[cận trên nhỏ nhất]]. Ví dụ chẳng hạn, tập các số thực '''R''' đầy đủ nhưng tập các số hữu tỉ '''Q''' thì không. Bên cạnh đó, một số khái niệm của [[Tính đầy đủ (lý thuyết thứ tự)|tính đầy đủ]] không còn đúng khi bị thu hẹp tập hợp. Ví dụ chẳng hạn, trên tập các [[số thực]] có một tính chất của quan hệ ≤ là mọi [[tập con]] không rỗng ''S'' của '''R''' có cận trên thuộc '''R''' sẽ có [[cận trên nhỏ nhất]] (hay còn gọi là supremum) thuộc '''R'''. Tuy nhiên đối với số hữu tỉ, giá trị supremum không nhất phải là số hữu tỉ, do đó tính chất này không còn đúng khi thu hẹp quan hệ ≤ về các số hữu tỉ.

Có một số kết quả liên hệ tính chất của tô pô thứ tự với tính đầy đủ của X:
* Nếu tô pô thứ tự trên ''X'' có tính liên thông, thì ''X'' đầy đủ.
* ''X'' liên thông dưới tô pô thứ tự khi và chỉ khi nó đầy đủ và không có ''khe hở'' (''gap'') nào trong ''X'' (khe hở tức là cho hai điểm ''a'' và ''b'' thuộc ''X'' với ''a'' < ''b'' thì không tồn tại ''c'' thoả mãn ''a'' < ''c'' < ''b''.)
* ''X'' đầy đủ khi và chỉ khi mọi tập bị chặn và đóng dưới tô pô thứ tự có tính compact.

Tập sắp thứ tự toàn phần (cùng với tô pô thứ tự của nó) là [[dàn đầy đủ]] và [[không gian compact|compact]]. Các ví dụ bao gồm khoảng đóng của các số thực (chẳng hạn như [[khoảng đơn vị]] [0,1]) và [[đường số thực mở rộng]]. Có các [[phép đồng phôi]] bảo toàn thứ tự giữa các ví dụ này.

===Tổng của các thứ tự===<!-- This section is linked from [[Scattered_order]]. See [[WP:MOS#Section management]] -->

Cho bất kỳ hai thứ tự toàn phần không giao nhau <math>(A_1,\le_1)</math> và <math>(A_2,\le_2)</math>, có thứ tự tự nhiên <math>\le_+</math> trên tập <math>A_1\cup A_2</math>, được gọi là tổng của hai thứ tự và đôi khi được ký ký hiệu là <math>A_1+A_2</math>: 
: Cho <math>x,y\in A_1\cup A_2</math>, <math>x\le_+ y</math> đúng khi và chỉ khi một trong ba điều kiện sau được thoả mãn:
:# <math>x,y\in A_1</math> và <math>x\le_1 y</math>
:# <math>x,y\in A_2</math> và <math>x\le_2 y</math>
:# <math>x\in A_1</math> và <math>y\in A_2</math>
Theo trực giác, có nghĩa là các phần tử của tập thứ hai nằm trên các phần tử của tập thứ nhất.

Tổng quát hơn, nếu <math>(I,\le)</math> là tập chỉ số sắp thứ tự toàn phần, và với mỗi <math>i\in I</math>, cấu trúc <math>(A_i,\le_i)</math> có thứ tự tuyến tính, và các <math>A_i</math> không giao nhau đôi nhau, thì thứ tự toàn phần tự nhiên trên <math>\bigcup_i A_i</math> được định nghĩa bởi
: Cho <math>x,y\in \bigcup_{i\in I} A_i</math>, <math>x\le y</math> đúng khi: 
:# Tồn tại <math>i\in I</math> với <math> x\le_i y </math>
:# hoặc tồn tại <math>i<j</math> thuộc <math>I</math> với <math> x\in A_i</math>,  <math> y\in A_j</math>

=== Tính quyết định được ===
Lý thuyết [[logic bậc nhất]] của các thứ tự toàn phần có tính [[quyết định được (logic)|quyết định được]], tức là có thuật toán quyết định xem liệu một mệnh đề bậc nhất có đúng cho mọi thứ tự toàn phần. Sử dụng tính dẫn xuất được trong [[S2S (toán học)|S2S]], lý thuyết [[logic monadic bậc hai|monadic bậc hai]] của các thứ tự toàn phần [[tập hợp đếm được|đếm được]] cũng quyết định được.<ref>{{chú thích sách | last=Weyer | first=Mark | date=2002 | title=Automata, Logics, and Infinite Games |chapter=Decidability of S1S and S2S | series=Lecture Notes in Computer Science | volume=2500 | pages=207–230 |chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-36387-4_12 | doi=10.1007/3-540-36387-4_12 | publisher=Springer| isbn=978-3-540-00388-5 }}</ref>

==Tích Đề-các của các thứ tự toàn phần==

Theo sức tăng dần (tức là giảm dần số cặp đi), ba trong số các thứ tự khả thi trên [[tích Descartes|tích Đề-các]] của hai tập sắp thứ tự toàn phần là:
* [[Thứ tự từ điển]]: (''a'',''b'') ≤ (''c'',''d'') khi và chỉ khi ''a'' < ''c'' hoặc (''a'' = ''c'' và ''b'' ≤ ''d''). Đây là thứ tự toàn phần. 
* (''a'',''b'') ≤ (''c'',''d'') khi và chỉ khi ''a'' ≤ ''c'' và ''b'' ≤ ''d'' (gọi là [[thứ tự tích]]). Đây là thứ tự riêng phần. 
* (''a'',''b'') ≤ (''c'',''d'') khi và chỉ khi (''a'' < ''c'' và ''b'' < ''d'') hoặc (''a'' = ''c'' và ''b'' = ''d'') (là bao đóng phản xạ của [[tích trực tiếp]] của hai thứ tự toàn phần nghiêm ngặt tương ứng). Đây cũng là thứ tự riêng phần.

Cả ba cái này đều có thể định nghĩa cho tích Đề-các của nhiều hơn hai tập hợp.

Khi áp dụng với [[không gian vectơ]] '''R'''<sup>''n''</sup>, mỗi trong số này sẽ biến không gian thành [[không gian vectơ được sắp]].

Hàm thực ''n'' biến định nghĩa trên tập con của '''R'''<sup>''n''</sup> [[Thứ tự yếu|sẽ đồng thời định nghĩa thứ tự yếu nghiêm ngặt và tiền thứ tự toàn phần tương ứng]] trên tập con đó.

==Số các quan hệ thứ tự toàn phần==
Số các quan hệ thứ tự toàn phần trên tập chứa ''n'' phần tử nằm trong dãy số sau {{OEIS|A000142}}
{{Số các quan hệ}}

==Các cấu trúc có liên quan==
{{stack|{{Quan hệ hai ngôi}}}}
Quan hệ hai ngôi có tính phản đối xứng, bắc cầu và phản xạ (nhưng không nhất thiết phải toàn phần) là [[quan hệ thứ tự riêng phần]].

[[Nhóm (toán học)|Nhóm]] khi đi kèm thứ tự toàn phần thì được gọi là [[nhóm sắp thứ tự toàn phần]].

==Xem thêm==
{{cols}}
* {{annotated link|Vành Artin}}
* {{annotated link|Đường Countryman}}
* {{annotated link|Lý thuyết thứ tự}}
* {{annotated link|Hoán vị}}
* {{annotated link|Thứ tự tiền tố}}
* {{annotated link|Bài toán Suslin}}
* {{annotated link|Thứ tự tốt}}
{{colend}}

==Chú thích==

{{tham khảo}}

==Tham khảo==

* {{chú thích sách | author=Garrett Birkhoff | author-link=Garrett Birkhoff | title=Lattice Theory | location=Providence | publisher=Am. Math. Soc. | series=Colloquium Publications | volume=25 | year=1967 }}
* {{chú thích sách | author1=Brian A. Davey | author2=Hilary Ann Priestley | author2-link=Hilary Priestley | title=Introduction to Lattices and Order|title-link= Introduction to Lattices and Order | publisher=Cambridge University Press | series=Cambridge Mathematical Textbooks | isbn=0-521-36766-2 | lccn=89009753 | year=1990 }}
* {{chú thích sách |last=Fuchs |first=L  |title=Partially Ordered Algebraic Systems |url=https://archive.org/details/partiallyordered0000fuch |publisher=Pergamon Press|year=1963}}
* George Grätzer (1971). ''Lattice theory: first concepts and distributive lattices.'' W. H. Freeman and Co. {{isbn|0-7167-0442-0}}
* {{chú thích sách | first=Paul R. |last=Halmos | author-link=Paul R. Halmos | title=Naive Set Theory | location=Princeton | publisher=Nostrand | year=1968 }}
* John G. Hocking and Gail S. Young (1961). ''Topology.'' Corrected reprint, Dover, 1988.  {{isbn|0-486-65676-4}}
* {{chú thích sách| publisher = Academic Press| last = Rosenstein| first = Joseph G.| title = Linear orderings| url = https://archive.org/details/linearorderings0000rose| location = New York| date = 1982}}
* {{chú thích sách |last1=Schmidt |first1=Gunther |last2=Ströhlein |first2=Thomas |date=1993 |title=Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists |url=https://books.google.com/books?id=ZgarCAAAQBAJ |location=Berlin |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-642-77970-1 |author-link=Gunther Schmidt }}

==Liên kết ngoài==

* {{SpringerEOM
 |title=Totally ordered set
 |id=Total_order&oldid=35332
}}

{{Lý thuyết thứ tự}}

[[Thể loại:Quan hệ hai ngôi]]
[[Thể loại:Lý thuyết thứ tự]]
[[Thể loại:Lý thuyết tập hợp]]