Xem mã nguồn của Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy

'''Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy''' là một phương pháp kiểm tra sự hội tụ của một chuỗi vô hạn. Nó dựa vào tổng bị chặn của các số hạng trong dãy. Tiêu chuẩn hội tụ này được đặt tên theo [[Augustin-Louis Cauchy]], người đã xuất bản nó trong cuốn sách [[Cours d'Analyse]] năm 1821.<ref>cf. [http://hsm.stackexchange.com/a/2861/1772 the answer to the question “Origin of Cauchy convergence test“] of the Q&A website “History of Science and Mathematics”</ref>

== Phát biểu ==
Một chuỗi

: <math>\sum_{i=0}^\infty a_i</math> hội tụ khi và chỉ khi với mỗi <math>\varepsilon>0</math> tồn tại một [[số tự nhiên]] ''N'' sao cho bất đẳng thức

: <math>|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon</math>

được thỏa mãn với mọi {{nobreak|''n'' > ''N''}} và mọi {{nobreak|''p'' ≥ 1}}.<ref>Abbott, Stephen (2001). ''Understanding Analysis'', p.63.  Springer, New York. {{ISBN|9781441928665}}</ref>

== Giải thích ==
{{multiple image
| align = middle
| direction = vertical
| width = 250
| image1 = Cauchy sequence illustration.svg
| caption1 = (a) Đồ thị của một [[dãy số|dãy]] Cauchy <math>(x_n),</math> được tô màu xanh, biểu diễn <math>x_n</math> theo <math>n</math>. Nếu không gian chứa dãy là đầy đủ thì "điểm đến cuối cùng" của dãy này (tức là giới hạn) là tồn tại.
| image2 = Cauchy sequence illustration2.svg
| caption2 = (b) Một dãy không là dãy Cauchy. Các [[Phần tử (toán học)|phần tử]] của dãy không thể gần nhau một cách tùy ý khi dãy tiếp tục.
}}
Tiêu chuẩn này có hiệu lực là do không gian các số thực '''R''' và không gian các số phức '''C''' (với metric cho bởi giá trị tuyệt đối) đều là [[Không gian metric đầy đủ|đầy đủ]]. Vì thế chuỗi hội tụ [[khi và chỉ khi]] dãy tổng riêng

: <math>s_n:=\sum_{i=0}^n a_i</math>

là một [[dãy Cauchy]].

Một dãy số thực hoặc phức <math>s_n </math> là một dãy Cauchy khi và chỉ khi <math>s_n </math> hội tụ (tới một điểm nào đó trong '''R''' hoặc '''C''').<ref>{{chú thích sách|title=An Introduction to Analysis|url=https://archive.org/details/introductiontoan0000wade|last=Wade|first=William|publisher=Prentice Hall|year=2010|isbn=9780132296380|location=Upper Saddle River,NJ|page=[https://archive.org/details/introductiontoan0000wade/page/59 59]}}</ref> Định nghĩa chính tắc khẳng định rằng với mỗi <math>\varepsilon>0</math>, tồn tại số tự nhiên ''N'', sao cho với mọi ''n'', ''m'' > ''N'' ta có

<math>|s_m-s_n|<\varepsilon.</math>

Ta giả thiết rằng ''m'' > ''n'' và do đó đặt ''p'' = ''m''&nbsp;&#x2212;&nbsp;''n''.

: <math>|s_{n+p}-s_n|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon.</math>

Chứng tỏ rằng một dãy là một dãy Cauchy là hữu ích vì ta không cần tìm ra giới hạn của dãy đang xét. Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy chỉ có thể được áp dụng trong các [[không gian metric đầy đủ]] (ví dụ '''R''' hay '''C'''), là các không gian mà mọi dãy Cauchy hội tụ. Ta chỉ cần cho thấy rằng các phần tử của dãy tiến gần nhau một cách tùy ý sau một vài bước hữu hạn của dãy. Có một số ứng dụng máy tính của dãy Cauchy, trong đó một quy trình [[Phép lặp|lặp]] có thể được thiết lập để tạo ra các dãy như vậy.

== Chứng minh ==
Ta có thể sử dụng các kết quả ở trên về sự hội tụ của các dãy tổng riêng của một chuỗi vô hạn và áp dụng chúng với sự hội tụ của chính chuỗi vô hạn đó. Dấu hiệu tiêu chuẩn hội tụ Cauchy là một áp dụng như vậy. Với một dãy thực bất kỳ <math>a_k </math>, các kết quả ở trên về sự hội tụ suy ra rằng [[chuỗi vô hạn]]

: <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math>

hội tụ [[If and only if|khi và chỉ khi]] với mỗi <math>\varepsilon>0</math> tồn tại một số tự nhiên ''N'', sao cho

''m'' ≥ ''n'' ≥ ''N'' dẫn đến

: <math>|s_m-s_n|=\left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right|<\varepsilon</math><ref>{{chú thích sách|title=An Introduction to Analysis|url=https://archive.org/details/introductiontoan0000wade|last=Wade|first=William|publisher=Prentice Hall|year=2010|isbn=9780132296380|location=Upper Saddle River, NJ|page=[https://archive.org/details/introductiontoan0000wade/page/188 188]}}</ref>

Có thể nói điều lý thú nhất của định lý này là điều kiện Cauchy dẫn đến sự tồn tại của giới hạn: điều này thật vậy liên quan đến sự đầy đủ của trục số thực. Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy có thể được tổng quát hóa với nhiều trường hợp khác mà có thể tóm tắt là ở đó "điều kiện sự dần gần nhau tương đương với sự hội tụ".<ref>{{chú thích web|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Cauchy_criteria|title=Cauchy Criteria|last=Encyclopedia of Mathematics|publisher=European Mathematical Society|access-date =ngày 4 tháng 3 năm 2014}}</ref>

{{PlanetMath attribution|id=3894|title=Cauchy criterion for convergence}}

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}{{Chủ đề vi tích phân}}

[[Thể loại:Dấu hiệu hội tụ]]
[[Thể loại:Giải tích hàm]]
[[Thể loại:Chuỗi toán học]]
[[Thể loại:Augustin-Louis Cauchy]]