Xem mã nguồn của Trên đồ thị (toán học)

[[Tập tin:Epigraph convex.svg|alt=|right|thumb|400px|Một hàm (màu đen) là hàm lồi khi và chỉ khi vùng nằm phía trên đồ thị của nó (màu lục) là [[tập lồi]]. Vùng này chính là trên đồ thị của hàm.]]
Trong [[toán học]], '''trên đồ thị''' ([[tiếng Anh]]: ''epigraph'' hoặc ''supergraph''<ref name="NeittaanmäkiRepin2004">{{chú thích sách|authors=Pekka Neittaanmäki; Sergey R. Repin|title=Reliable Methods for Computer Simulation: Error Control and Posteriori Estimates|url=https://books.google.com/books?id=s5DA9DerIs4C&pg=PA81|year=2004|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-054050-4|page=81}}</ref>) của một [[hàm số|hàm]] ''f''&nbsp;:&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''' là [[tập hợp (toán học)|tập hợp]] các điểm nằm trong hoặc ở phía trên [[đồ thị của hàm số|đồ thị]] của nó:

: <math>\mbox{epi} f = \{(x, \mu) \, : \, x \in \mathbb{R}^n,\, \mu \in \mathbb{R},\, \mu \ge f(x)\} \subseteq \mathbb{R}^{n+1}.</math>

Định nghĩa trên cũng đúng khi hàm mang giá trị trong tập [[Đường số thực mở rộng|{{math|ℝ ∪&thinsp;{∞}|}}]]. Trong trường hợp này, trên đồ thị là [[Tập hợp rỗng|rỗng]] khi và chỉ khi ''f'' đồng nhất bằng vô hạn.

[[Tập xác định]] (thay vì [[tập hợp đích]]) của hàm không đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong cách định nghĩa này; đó có thể là một [[Không gian vectơ|không gian tuyến tính]] bất kỳ<ref name="NeittaanmäkiRepin2004"/> hoặc thậm chí là một tập hợp bất kỳ<ref name="AliprantisBorder2007">{{chú thích sách|authors=Charalambos D. Aliprantis; Kim C. Border|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|url=https://books.google.com/books?id=4hIq6ExH7NoC&pg=PA8|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-32696-0|page=8|edition=3rd}}</ref> thay cho <math>\mathbb{R}^n</math>.

Một cách tương tự, tập hợp các điểm nằm trong hoặc ở phía dưới đồ thị của hàm được gọi là [[Dưới đồ thị (toán học)|dưới đồ thị]] của hàm đó.

Trên đồ thị thường được ứng dụng để diễn giải về mặt hình học các đặc tính của [[hàm lồi]] hoặc để chứng minh các đặc tính này.

== Tính chất ==
Một hàm được gọi là [[Hàm lồi|lồi]] khi và chỉ khi trên đồ thị của nó là [[tập lồi]]. Trên đồ thị của một [[Biến đổi afin|hàm afin]] thực ''g''&nbsp;:&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''' là một [[Nửa không gian (hình học)|nửa không gian]] trên '''R'''<sup>''n''+1</sup>.

Một hàm được gọi là [[Nửa liên tục|nửa liên tục dưới]] khi và chỉ khi trên đồ thị của nó là [[Tập đóng|đóng]].

== Xem thêm ==
* [[Dưới đồ thị (toán học)]]

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}
* Rockafellar, Ralph Tyrell (1996), ''Convex Analysis'', Princeton University Press, Princeton, NJ. {{ISBN|0-691-01586-4}}.
* Đỗ Văn Lưu; Phan Huy Khải (2000), ''Giải tích lồi'', Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, tr. 38.

{{Phân tích lồi}}

[[Thể loại:Giải tích toán học]]
[[Thể loại:Giải tích lồi]]
[[Thể loại:Giải tích biến phân]]
[[Thể loại:Phân tích lồi]]