Xem mã nguồn của Trung bình cộng

{{Short description|Thương của tổng họ các con số với  số các con số trong họ đó}} 
{{broader|Trung bình}}{{Use dmy dates|date=December 2020}}

Trong [[toán học]] và [[thống kê]], '''trung bình cộng''' (và rất ít khi là '''trung bình số học'''), hay được gọi ngắn đi là ''[[trung bình]]'' (khi đã rõ ngữ cảnh), là [[thương số]] giữa tổng của một họ các số với số lượng các con số trong họ đó.<ref>{{chú thích sách|last=Jacobs|first=Harold R.|title=Mathematics: A Human Endeavor|url=https://archive.org/details/mathematicshuman0000jaco|edition=Third|year=1994|publisher=[[W. H. Freeman]]|page=[https://archive.org/details/mathematicshuman0000jaco/page/547 547]|isbn=0-7167-2426-X}}</ref> Họ các con số ở đây thường là tập kết quả từ một cuộc [[thí nghiệm]], [[nghiên cứu quan sát]] hoặc [[phỏng vấn (thống kê)|phỏng vấn]]. Tên gọi "trung bình số học" đôi khi được dùng để đối chiếu với bản tiếng Anh (''arithmetic mean''), tương tự đối với [[trung bình nhân|trung bình hình học]].

Bên ngoài toán học và thống kê, trung bình cộng cũng được dùng nhiều trong [[kinh tế học]], [[nhân loại học]] và [[lịch sử]] và gần như có sử dụng trong mọi nhánh học. Ví dụ chẳng hạn, [[thu nhập bình quân đầu người]] là trung bình cộng của thu nhập của toàn bộ dân số của một quốc gia.

Mặc dù trung bình cộng thường được dùng để báo cáo [[xu hướng tập trung]], nó không phải là [[thống kê chuẩn mạnh]]: nó bị ảnh hưởng rất nhiều từ các [[điểm bất thường (thống kê)|giá trị bất thường]] (các giá trị hoặc cực lớn hoặc cực nhỏ so với số còn lại). Đối với các [[phân phối bị xiên]], ví dụ như trong [[phân phối thu nhập]], trong đó sẽ có một số người có thu nhập hơn rất nhiều so với đa số những người còn lại, trung bình cộng sẽ khó xác định "giá trị đứng giữa" của phân phối đó. Trong trường hợp này, dùng [[trung vị]] có thể mô tả tốt hơn xu hướng tập trung. 

==Định nghĩa==
Cho tập dữ liệu <math>X=\{x_1,\ldots,x_n\}</math>, ''trung bình cộng'' (hoặc được gọi ngắn đi là ''trung bình''), và được ký hiệu là <math>\bar{x}</math> (đọc là <math>x</math> ''gạch trên''), là trung bình cộng của <math>n</math> giá trị <math>x_1,\ldots,x_n</math>.<ref name="JM">{{chú thích sách|last=Medhi|first=Jyotiprasad|title=Statistical Methods: An Introductory Text|url=https://books.google.com/books?id=bRUwgf_q5RsC|year=1992|publisher=New Age International|isbn=9788122404197|pages=53–58}}</ref>

Trong tập dữ liệu, trung bình cộng là trong những cách thường dùng để hiểu độ đo của xu hướng tập trung. Trung bình cộng của tập dữ liệu quan sát bằng với tổng các giá trị số của mỗi quan sát chia cho số lần quan sát. Viết dưới công thức cho tập dữ liệu bao gồm các giá trị, trung bình cộng được định nghĩa như sau:

:<math>\bar{x}=\frac{1}{n}\left (\sum_{i=1}^n{x_i}\right)
=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}</math><ref>{{chú thích web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Arithmetic Mean|url=https://mathworld.wolfram.com/ArithmeticMean.html|access-date=2020-08-21|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>

(Dấu <math>\Sigma</math> ký hiệu cho [[phép lấy tổng]].)

Ví dụ chẳng hạn, nếu lương hàng tháng của <math>10</math> nhân viên là như sau: <math>\{2500,2700,2400,2300,2550,2650,2750,2450,2600,2400\}</math>, thì trung bình cộng của lương của bọn họ là:

:<math>\frac{2500+2700+2400+2300+2550+2650+2750+2450+2600+2400}{10}=2530</math>

Nếu tập dữ liệu là [[quần thể thống kê]] (tức là chứa mọi quan sát khả thi và không chỉ là tập con của chúng) thì trung bình cộng đó được gọi là ''[[trung bình quần thể]]'' và được ký hiệu bởi [[Bản chữ cái Hy Lạp|chữ Hy Lạp]] <math>\mu</math>. Nếu tập dữ liệu là [[Mẫu (thống kê)|mẫu thống kê]] (là tập con của quần thể), thì trung bình cộng được gọi là ''[[trung bình mẫu]]'' (trung bình đối với tập dữ liệu <math>X</math> được viết là <math>\overline{X}</math>).

Trung bình cộng được định nghĩa tương tự cho [[vectơ]] trong nhiều chiều, chứ không nhất thiết phải giữa các giá trị [[Scalar (toán học)|scalar]]. Tổng quát hơn, bởi vì trung bình cộng là [[tổ hợp lồi]] (tức là tổng các hệ số của nó bằng <math>1</math>), nó có thể được định nghĩa trên [[không gian lồi]] chứ không chỉ [[không gian vectơ]].

==Các tính chất thúc đẩy==
Trung bình cộng có một số tính chất đặc biệt, nhất là khi dùng để đo xu hướng tập trung. Chúng bao gồm:

*Nếu <math>x_1,\dotsc,x_n</math> có giá trị trung bình <math>\bar{x}</math>, thì <math>(x_1-\bar{x})+\dotsb+(x_n-\bar{x})=0</math>. Bởi <math>x_i-\bar{x}</math> là khoảng cách từ số đó đến trung bình, ta có thể xem tính chất là đang nói rằng các phần tử ở bên trái đang được cân bằng bởi các phần tử ở bên phải. Giá tri trung bình là giá trị duy nhất sao cho [[sai số và phần dư trong thống kê|các phần dư]] (độ lệch so với ước lượng) có tổng bằng không.  Ta cũng có thể xem giá trị trung bình có tính [[đối xứng tịnh tiến|bất biến tịnh tiến]] bởi cho bất kỳ số thực <math>a</math>, <math>\overline{x + a} = \bar{x} + a</math>.
*Nếu buộc phải dùng một giá trị "tầm thường" cho một tập các số đã biết <math>x_1,\dotsc,x_n</math>, thì trung bình cộng thường là tốt nhất bởi nó đã tối thiểu hoá tổng của các bình phương độ lệch chuẩn từ giá trị thường: tức tổng của <math>(x_i-\bar{x})^2</math>. Trung bình mẫu cũng là ước lượng đơn tốt nhất bởi nó có [[sai số dùng căn trung bình bình phương]] nhỏ nhất.<ref name="JM"/> Nếu cần phải dùng trung bình cộng cho cả một quần thể , thì [[ước lượng không chệch]] của nó là trung bình cộng của một mẫu lấy từ quần thể.

*Trung bình cộng không phụ thuộc đơn vị đo, bởi <math>\text{avg}(ca_{1},\cdots,ca_{n})=c\cdot\text{avg}(a_{1},\cdots,a_{n}).</math>  Ví dụ chẳng hạn, tính trung bình theo đơn vị lít rồi đổi sang ga-lông thì cũng tương tự với đổi sang đơn vị ga-lông rồi mới tính trung bình. Tính chất này được gọi là [[hàm thuần nhất|tính thuần nhất bậc nhất]].

==Trái với trung vị==
{{main|Trung vị}}

Trung bình cộng có thể trái với [[trung vị]]. Giá trị trung vị được định nghĩa sao cho không có hơn một nửa trong tập lớn hơn nó và cũng không có hơn một nửa trong tập nhỏ hơn nó. Khi sắp xếp các dữ liệu theo một thứ tự nào đó sao cho các dữ liệu [[cấp số cộng|tăng theo cấp số cộng]], thì trong trường hợp này trung bình và trung vị là cùng một giá trị. Ví dụ chẳng hạn, xét tập <math>\{1,2,3,4\}</math>. Giá trị trung bình là <math>2.5</math>, và giá trị trung vị cũng bằng 2.5. Tuy nhiên, nếu như tập hợp không thể sắp xếp được sao cho dữ liệu tăng theo cấp số cộng, chẳng hạn như tập <math>\{1,2,4,8,16\}</math>, thì giá trị trung bình sẽ sai khác đáng kể so với giá trị trung vị. Trong ví dụ này, trung bình bằng với <math>6.2</math>, còn trung vị là <math>4</math>. Giá trị trung bình có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn so với đa số dữ liệu trong tập.

Có nhiều ứng dụng cho hiện tượng này trong nhiều ngành. Ví dụ chẳng hạn, kể từ năm 1980, trung vị thu nhập của Hoa Kỳ chậm hơn nhiều so với trung bình thu nhập.<ref>{{cite magazine|first=Paul|last=Krugman|url=http://prospect.org/article/rich-right-and-facts-deconstructing-inequality-debate|title=The Rich, the Right, and the Facts: Deconstructing the Income Distribution Debate|magazine=The American Prospect|date=4 June 2014|orig-year=Fall 1992}}</ref>

==Tổng quát==

===Trung bình có trọng số===
{{main|Trung bình có trọng số}}

Trung bình có trọng số là trung bình trong đó có một số điểm dữ liệu có "trọng lượng" nhiều hơn một số khác khi tính toán.<ref>{{chú thích web|title=Mean {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/mean|access-date=2020-08-21|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> Ví dụ chẳng hạn, trung bình của <math>3</math> và <math>5</math> là <math>\frac{3+5}{2}=4</math>, hoặc tương đương <math>3\frac{1}{2}+5\frac{1}{2}=4</math>. Ngược lại, trong trung bình ''có trọng số'', ta có thể đổi sao cho số đầu tiên có trọng số gấp đôi số thứ hai (có thể là vì số đó có tần suất xuất hiện gấp đôi số còn lại). Khi đó trung bình sẽ được như sau: <math>3\frac{2}{3}+5\frac{1}{3}=\frac{11}{3}</math>. Ở đây, các trọng số phải có tổng bằng một, là <math>\frac{2}{3}</math> và <math>\frac{1}{3}</math>, trong đó cái đầu gấp đôi cái thứ hai. Do đó, trung bình cộng có thể được coi là trường hợp đặc biệt của trung bình có trọng số trong đó các trọng số đều bằng nhau (<math>\frac{1}{2}</math> trong trường hợp trên và <math>\frac{1}{n}</math> trong trường hợp tổng quát xét <math>n</math> số).
<!--
===Continuous probability distributions===
[[Tập tin:Comparison mean median mode.svg|thumb|300px|Comparison of two [[log-normal distribution]]s with equal median, but different [[skewness]], resulting in various means and [[mode (statistics)|mode]]s]]

If a numerical property, and any sample of data from it, can take on any value from a continuous range instead of, for example, just integers, then the [[probability]] of a number falling into some range of possible values can be described by integrating a [[continuous probability distribution]] across this range, even when the naive probability for a sample number taking one certain value from infinitely many is zero. In this context, the analog of a weighted average, in which there are infinitely many possibilities for the precise value of the variable in each range, is called the ''mean of the [[probability distribution]]''. The most widely encountered probability distribution is called the [[normal distribution]]; it has the property that all measures of its central tendency, including not just the mean but also the median mentioned above and the mode (the three Ms<ref name=ThreeMs>{{chú thích web|url=https://www.visualthesaurus.com/cm/lessons/the-three-ms-of-statistics-mode-median-mean/|title=The Three M's of Statistics: Mode, Median, Mean June 30, 2010|website=www.visualthesaurus.com|author=Thinkmap Visual Thesaurus|date=2010-06-30|access-date=2018-12-03}}</ref>), are equal. This equality does not hold for other probability distributions, as illustrated for the log-normal distribution here.
-->
===Góc===
<!--{{main|Mean of circular quantities}}

Particular care is needed when using cyclic data, such as phases or [[angle]]s. Taking the arithmetic mean of 1° and 359° yields a result of 180[[degree (angle)|°]].
This is incorrect for two reasons:
*Firstly, angle measurements are only defined up to an additive constant of 360° (<math>2\pi</math> or <math>\tau</math>, if measuring in [[radian]]s). Thus, these could easily be called 1° and -1°, or 361° and 719°, since each one of them produces a different average.
*Secondly, in this situation, 0° (or 360°) is geometrically a better ''average'' value: there is lower [[Statistical dispersion|dispersion]] about it (the points are both 1° from it and 179° from 180°, the putative average).

In general application, such an oversight will lead to the average value artificially moving towards the middle of the numerical range. A solution to this problem is to use the optimization formulation (that is, define the mean as the central point: the point about which one has the lowest dispersion) and redefine the difference as a modular distance (i.e., the distance on the circle: so the modular distance between 1° and 359° is 2°, not 358°).-->
<!--{{AM_GM_inequality_visual_proof.svg}}-->
== Dấu và mã hoá==
Trung bình cộng thường được ký hiệu bằng dấu gạch trên đầu, như trong <math>\bar{x}</math>.<ref name="JM"/>

Một số phần mềm (chẳng hạn như các [[phần mềm xử lý văn bản]], [[trình duyệt web]]) có thể không hiển thị đúng ký hiệu "x̄". Ví dụ chẳng hạn, dấu [[HTML]] "x̄" gộp hai mã — ký tự gốc "x" thêm một mã cho dấu gạch trên (&#772; hoặc ¯).<ref>{{chú thích web|url=http://www.personal.psu.edu/ejp10/psu/gotunicode/statsym.html|title=Notes on Unicode for Stat Symbols|website=www.personal.psu.edu|access-date=2018-10-14|archive-date=2022-03-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20220331114343/http://www.personal.psu.edu/ejp10/psu/gotunicode/statsym.html|url-status=dead}}</ref>

==Xem thêm==
<!--{{QM_AM_GM_HM_inequality_visual_proof.svg}}-->
*[[Trung bình Fréchet]]
*[[Trung bình tổng quát]]
*[[Trung bình nhân]]
*[[Trung bình điều hoà]]
*[[Trung bình mẫu và covariance]]
*[[Độ lệch chuẩn]]
*[[Sai số chuẩn của trung bình]]
*[[Thống kê tổng]]

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

== Đọc thêm ==
*{{chú thích sách|last=Huff|first=Darrell|title=How to Lie with Statistics|year=1993|publisher=W. W. Norton|isbn=978-0-393-31072-6|url-access=registration|url=https://archive.org/details/howtoliewithstat00huff}}

== Liên kết ngoài ==
*[http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm Calculations and comparisons between arithmetic mean and geometric mean of two numbers]
*[http://www.fxsolver.com/browse/formulas/Arithmetic+Mean Calculate the arithmetic mean of a series of numbers on fxSolver] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150924020300/http://www.fxsolver.com/browse/formulas/Arithmetic+Mean |date=2015-09-24 }}

{{Thống kê|descriptive}}
{{Portal bar|Toán học}}
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Arithmetic Mean}}
[[Thể loại:Trung bình]]