Xem mã nguồn của Vô tận

{{1000 bài cơ bản}}
[[Tập tin:Infinity symbol.svg|nhỏ|Biểu tượng '''vô tận''']]
'''Vô hạn, vô cực, vô tận''' (ký hiệu: ∞) là một khái niệm mô tả một cái gì đó mà không có bất kỳ giới hạn nào, hoặc một cái gì đó lớn hơn bất kỳ [[số tự nhiên]] nào. Các nhà triết học đã suy đoán về bản chất của vô hạn, ví dụ  [[Zeno xứ Elea]], người đã đề xuất nhiều [[nghịch lý]] liên quan đến vô cực, và [[Eudoxus của Cnidus]], người đã sử dụng ý tưởng về số lượng nhỏ vô hạn trong phương pháp cạn kiệt của mình. Ý tưởng này cũng là cơ sở của [[vi tích phân]].

Vào cuối thế kỷ 19, [[Georg Cantor]]  đã giới thiệu và nghiên cứu [[Tập hợp vô hạn|các tập hợp]] [[Số vô hạn|vô hạn]] và [[Số vô hạn|số lượng vô hạn]], hiện là một phần thiết yếu của nền tảng của toán học.<ref>{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC|title=The Princeton Companion to Mathematics|last=Gowers|first=Timothy|last2=Barrow-Green|first2=June|last3=Leader|first3=Imre|publisher=Princeton University Press|year=2008|isbn=978-0-691-11880-2|page=616|archive-url=https://web.archive.org/web/20160603163923/https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC|archive-date = ngày 3 tháng 6 năm 2016 |url-status=live|df=}}</ref> Ví dụ, trong toán học hiện đại, một dòng thường được coi là các thiết lập của tất cả các điểm của nó, và số lượng vô hạn của chúng (các [[Lực lượng (tập hợp)|lực lượng]] của dòng) lớn hơn số lượng các [[số nguyên]].<ref>{{Harvnb|Maddox|2002}}</ref> Do đó, khái niệm toán học về vô cực tinh chỉnh và mở rộng khái niệm triết học cũ. Nó được sử dụng ở mọi nơi trong toán học, ngay cả trong các lĩnh vực như [[Toán học tổ hợp|tổ hợp]] và [[lý thuyết số]] dường như không liên quan gì đến nó. Ví dụ, cách chứng minh của [[Định lý cuối cùng của Fermat]] sử dụng sự tồn tại của các tập hợp vô hạn rất lớn.

Khái niệm vô hạn cũng được sử dụng trong [[Vật lý học|vật lý]] và các ngành khoa học khác.

== Lịch sử ==
Các nền văn hóa cổ đại có nhiều ý tưởng khác nhau về bản chất của vô cực. Người [[Đế quốc Maurya|Ấn Độ]] và [[Hy Lạp cổ đại|Hy Lạp]] [[Đế quốc Maurya|cổ đại]] không định nghĩa sự vô hạn trong chủ nghĩa hình thức chính xác như toán học hiện đại, và thay vào đó tiếp cận vô cực như một khái niệm triết học.

=== Hy Lạp cổ đại ===
Ý tưởng đầu tiên được ghi lại về sự vô hạn đến từ [[Anaximandros|Anaximander]], một triết gia Hy Lạp [[Triết học tiền Socrates|tiền Socrates]] sống ở [[Miletus]]. Ông đã sử dụng từ [[Apeiron (vũ trụ học)|apeiron]] có nghĩa là vô hạn hoặc vô tận.<ref>{{Harvnb|Wallace|2004}}</ref> Tuy nhiên, các tài khoản chứng thực sớm nhất về vô cực toán học đến từ [[Zeno xứ Elea]] (sinh ra {{circa|490 BCE}}), một triết gia Hy Lạp [[Triết học tiền Socrates|tiền Socrates]] ở miền nam nước Ý và là thành viên của [[trường phái Elea]] do [[Parmenides]] thành lập. [[Aristoteles|Aristotle]] gọi ông là người phát minh ra [[Biện chứng|phép biện chứng]].<ref name="Zeno's paradoxes">{{Chú thích web|url=https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/|title=Zeno's Paradoxes|author=|date=ngày 15 tháng 10 năm 2010|website=Stanford University|access-date =ngày 3 tháng 4 năm 2017}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=https://plato.stanford.edu/entries/zeno-elea/|title=Zeno of Elea|author=|date=ngày 5 tháng 1 năm 2017|website=Stanford University|access-date =ngày 3 tháng 4 năm 2017}}</ref> Ông nổi tiếng với [[Nghịch lý Zeno|những nghịch lý của mình]],<ref name="Zeno's paradoxes" /> được [[Bertrand Russell]] mô tả là "vô cùng tinh tế và sâu sắc".<ref>{{Harvnb|Russell|1996}}</ref>

Theo quan điểm truyền thống của Aristotle, người [[Thời kỳ Hy Lạp hóa|Hy Lạp thời Hellenic]] nói chung thường thích phân biệt vô cực tiềm năng với vô cực thực tế; ví dụ, thay vì nói rằng có vô số các số nguyên tố, [[Euclid]] thay vào đó thích nói rằng: có nhiều số nguyên tố hơn trong bất kỳ tập hợp các [[số nguyên tố]] nhất định nào.<ref>Euclid. [[Euclid's Elements]], Book&nbsp;IX, Proposition&nbsp;20.</ref>

=== Ấn Độ cổ đại ===
Cuốn [[Toán học Ấn Độ|sách Jain về toán học]] Surya Prajnapti (thế kỷ thứ 4 đến thứ 3 TCN) phân loại tất cả các số thành ba tập hợp: đếm được, vô số, và vô hạn. Mỗi trong số này được chia thành ba loại:<ref>{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|title=Infinity: a Very Short Introduction|last=Ian Stewart|publisher=Oxford University Press|year=2017|isbn=978-0-19-875523-4|page=117|archive-url=https://web.archive.org/web/20170403200429/https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|archive-date=ngày 3 tháng 4 năm 2017|url-status=live|df=}}</ref>

* Vô số: thấp nhất, trung bình và cao nhất 
* Không đếm được: gần như không đếm được, thực sự không đếm được, và vô số không đếm được  
* Vô hạn: gần như vô hạn, thực sự vô hạn, vô hạn vô hạn

Trong tác phẩm này, hai loại số vô hạn cơ bản được phân biệt. Trên cả cơ sở vật chất và [[Bản thể luận|bản thể học]], một sự khác biệt đã được tạo ra giữa [[A tăng kỳ|{{IAST|''asaṃkhyāta''}}]] ("vô số, không đếm được") và ''ananta'' ("vô tận, không giới hạn"), giữa loại vô số bị giới hạn cứng nhắc và loại vô số giới hạn lỏng lẻo.<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Dutta|first=Bidyarthi|date=December 2015|title=Ranganathan's elucidation of subject in the light of 'Infinity (∞)'|url=http://op.niscair.res.in/index.php/ALIS/article/view/11415/0|journal=Annals of Library and Information Studies|volume=62|pages=255–264|access-date =ngày 16 tháng 5 năm 2017}}</ref>

=== Thế kỷ 17 ===
Các nhà toán học châu Âu bắt đầu sử dụng các số và biểu thức vô hạn theo kiểu có hệ thống trong thế kỷ 17. Năm 1655, [[John Wallis]] lần đầu tiên sử dụng ký hiệu <math>\infty</math> cho một số như vậy trong ''De partibus conicis của mình'' và khai thác nó trong các tính toán diện tích bằng cách chia vùng thành các dải có [[chiều rộng]] vô hạn theo thứ tự <math>\tfrac{1}{\infty}.</math> <ref>{{Harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 421, Vol. II, p. 44}}</ref> Nhưng trong ''Arithmetica infinitorum'' (1655), ông chỉ ra chuỗi vô hạn, các sản phẩm vô hạn và các phân số tiếp tục vô hạn bằng cách viết ra một vài thuật ngữ hoặc yếu tố và sau đó nối thêm "& c." Ví dụ: "1, 6, 12, 18, 24, & c." <ref>{{Harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 435, Vol. II, p. 58}}</ref>

Năm 1699, [[Isaac Newton]] đã viết về các phương trình với thuật ngữ vô hạn trong tác phẩm ''De analysi per aequationes numero terminorum infinitas''.<ref>{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC|title=Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940|last=Grattan-Guinness|first=Ivor|publisher=Elsevier|year=2005|isbn=978-0-08-045744-4|page=62|archive-url=https://web.archive.org/web/20160603085825/https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC|archive-date = ngày 3 tháng 6 năm 2016 |url-status=live|df=}} [https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC&pg=PA62 Extract of p. 62]</ref>

== Toán học ==
[[Hermann Weyl]] đã mở đầu một bài diễn thuyết về toán học-triết học vào năm 1930 với câu nói:<ref>{{Chú thích|title=Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy|year=2012}}</ref> "Toán học là môn khoa học của vô hạn".

=== Biểu tượng vô cực ===
Biểu tượng vô cực <math>\infty</math> là một biểu tượng toán học đại diện cho khái niệm vô cực. Biểu tượng được mã hóa bằng [[Unicode]] tại  {{unichar|221E|infinity|html=}} và trong [[LaTeX]] như <code>\infty</code>.

Nó được giới thiệu vào năm 1655 bởi [[John Wallis]],<ref>{{Chú thích|title=The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616–1703)}}</ref><ref>{{Chú thích|title=COLOG-88 (Tallinn, 1988)}}</ref> và, kể từ khi được giới thiệu, nó cũng đã được sử dụng bên ngoài toán học trong chủ nghĩa thần bí hiện đại <ref>{{Chú thích|title=Dreams, Illusion, and Other Realities}}</ref> và [[Biểu tượng|ký hiệu]] văn học.<ref>{{Chú thích|title=Nabokov: The Mystery of Literary Structures}}</ref>

=== Giải tích ===
[[Gottfried Leibniz|Leibniz]], một trong những người đồng phát minh ra [[Vi tích phân|phép tính vi tích phân]], đã suy đoán rộng rãi về số lượng vô hạn và việc sử dụng chúng trong toán học. Đối với Leibniz, cả số lượng vô hạn và số lượng vô hạn đều là những thực thể lý tưởng, không có cùng bản chất với số lượng đáng kể, nhưng được hưởng các tính chất tương tự theo Luật liên tục.<ref>{{Sep entry}}</ref><ref>{{Chú thích tạp chí|last=Jesseph|first=Douglas Michael|year=1998|title=Leibniz on the Foundations of the Calculus: The Question of the Reality of Infinitesimal Magnitudes|url=http://muse.jhu.edu/journals/perspectives_on_science/v006/6.1jesseph.html|url-status=dead|journal=[[Perspectives on Science]]|volume=6|issue=1&2|pages=6–40|issn=1063-6145|oclc=42413222|archive-url=https://www.webcitation.org/5nZWht6FE?url=http://muse.jhu.edu/journals/perspectives_on_science/v006/6.1jesseph.html|archive-date=ngày 15 tháng 2 năm 2010|access-date =ngày 16 tháng 2 năm 2010}}</ref>

==== Giải tích thực ====
Trong [[giải tích thực]], biểu tượng <math>\infty</math>, được gọi là "vô cực", được sử dụng để biểu thị một giới hạn không giới hạn.<ref>{{Harvnb|Taylor|1955|loc=p. 63}}</ref> Ký hiệu <math>x \rightarrow \infty</math> có nghĩa là ''x'' tăng không giới hạn và <math>x \to -\infty</math> có nghĩa là &nbsp; ''x'' giảm không giới hạn. Nếu ''f'' (''t'') ≥ 0 cho mọi ''t'', thì <ref>These uses of infinity for integrals and series can be found in any standard calculus text, such as, {{Harvnb|Swokowski|1983}}</ref>

* <math>\int_{a}^{b} f(t)\, dt = \infty</math> có nghĩa là ''f''(''t'') không bị giới hạn trong khoảng nào từ <math>a</math> tới <math>b.</math>
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = \infty</math> nghĩa là tổng diện tích ''f''(''t'') là vô hạn trong miền giới hạn.
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = a</math> nghĩa là tổng diện tích của ''f''(''t'') trong miền giới hạn là hữu hạn, và bằng <math>a.</math>

Vô hạn cũng được sử dụng để mô tả [[Chuỗi (toán học)|chuỗi vô hạn]]:

* <math>\sum_{i=0}^{\infty} f(i) = a</math> nghĩa là tổng của chuỗi vô hạn này là hội tụ đến số thực <math>a.
</math>
* <math>\sum_{i=0}^{\infty} f(i) = \infty</math> tổng của chuỗi vô hạn này là phân kỳ.{{citation needed|date=April 2017}}

== Xem thêm ==

* [[0,999...]]
* [[Lũy thừa]]
* [[Định lý con khỉ vô hạn]]
* [[Tập hợp không đếm được]]
* [[Tập hợp vô hạn]]
* [[Danh sách nghịch lý]]
==Tham khảo==
{{tham khảo|3}}

== Liên kết ngoài ==
{{thể loại Commons|Infinity}}
* {{TĐBKVN|2730}}
* {{TĐBKVN|2717|Vô hạn}}
* {{TĐBKVN|2720|Vô hạn và hữu hạn}}
* {{Britannica|287662|Infinity (mathematics)}}
* {{cite IEP |url-id=infinite |title=The Infinite}}
* {{In Our Time|Infinity|p0054927|Infinity}}
* ''[http://www.earlham.edu/~peters/writing/infapp.htm A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100227033849/http://www.earlham.edu/~peters/writing/infapp.htm |date = ngày 27 tháng 2 năm 2010}}'', by Peter Suber. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59. The stand-alone appendix to ''Infinite Reflections'', below. A concise introduction to Cantor's mathematics of infinite sets.
* ''[http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm Infinite Reflections] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091105182928/http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm |date = ngày 5 tháng 11 năm 2009}}'', by Peter Suber. How Cantor's mathematics of the infinite solves a handful of ancient philosophical problems of the infinite. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59.
* {{chú thích web|last=Grime|first=James|title=Infinity is bigger than you think|url=http://www.numberphile.com/videos/countable_infinity.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|ngày truy cập=2019-08-14|archive-date = ngày 22 tháng 10 năm 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171022173525/http://www.numberphile.com/videos/countable_infinity.html}}
* [https://web.archive.org/web/20040910082530/http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/infinity/infinity.html Hotel Infinity]
* John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (1998). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor'], ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''.
* John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html 'Jaina mathematics'] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081220145242/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html |date=2008-12-20 }}, ''MacTutor History of Mathematics archive''.
* Ian Pearce (2002). [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch5.html 'Jainism'], ''MacTutor History of Mathematics archive''.
* [https://web.archive.org/web/20060428005158/http://uk.geocities.com/frege@btinternet.com/cantor/Phil-Infinity.htm Source page on medieval and modern writing on Infinity]
* [https://www.washingtonpost.com/wp-srv/style/longterm/books/chap1/mysteryaleph.htm The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity]
* [http://dictionary.of-the-infinite.com Dictionary of the Infinite] (compilation of articles about infinity in physics, mathematics, and philosophy)

{{Sơ khai toán học}}
{{Kiểm soát tính nhất quán}}
{{Vô tận}}

[[Thể loại:Hằng số toán học]]
[[Thể loại:Thuật ngữ triết học]]
[[Thể loại:Bài cơ bản sơ khai]]
[[Thể loại:Thần học]]
[[Thể loại:Khái niệm triết học]]
[[Thể loại:Khái niệm logic]]
[[Thể loại:Vô tận| ]]
[[Thể loại:Đối tượng toán học]]