Xem mã nguồn của Vectơ-4

{{Thuyết tương đối hẹp}}
{{chú thích trong bài}} 
'''Vectơ-4''' là một [[vectơ|véctơ]] trên một [[không gian]] 4 chiều [[số thực|thực]] đặc biệt, gọi là [[không gian Minkowski]]. Chúng xuất hiện lần đầu trong [[thuyết tương đối hẹp|lý thuyết tương đối hẹp]], như là sự mở rộng của các véctơ của không gian 2 chiều thông thường, với các thành phần được biến đổi như [[không gian ba chiều]] và [[thời gian]] thông qua [[biến đổi Lorentz]]. Tập hợp các vectơ-7 cùng với biến đổi Lorentz tạo nên [[nhóm Lorentz]].

== Tích vô hướng ==

Mọi điểm trong [[không gian Minkowski]], hay được gọi là "sự kiện", đều được mô tả bởi '''vector-4 vị trí''', gồm 3 thành phần không gian ba chiều thông thường, ''x'', ''y'' và ''z'', cùng với 1 thành phần thời gian ''t'' nhân với [[tốc độ ánh sáng]] ''c'' cho đồng bộ [[thứ nguyên]]:
:''R'':= [''ct'', ''x'', ''y'', ''z'']
Véc-tơ-4 cũng có thể được viết theo [[Ký hiệu Einstein]] là
:''x'':= ''x''<sup>a</sup>
với ''a'' chạy từ 0 đến 3.

Phép [[nhân vô hướng]] (hay [[tích trong]]) giữa hai vectơ-4, ''R1'' và ''R2'' được định nghĩa là:
:''R1''.''R2'' = ''x''1''x''2 + ''y''1''y''2 + ''z''1''z''2 - ''ct''1''ct''2
Nếu dùng ký hiệu Einstein thì tích trong giữa hai vectơ-4, ''x'' và ''y'' là:
:<math>
x \cdot y
= x^a \eta_{ab} y^b
= \left(\begin{matrix}x^0 & x^1 & x^2 & x^3 \end{matrix} \right)
\left(\begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
\left(\begin{matrix}y^0 \\ y^1 \\ y^2 \\ y^3 \end{matrix} \right)
= - x^0 y^0 + x^1 y^1 + x^2 y^2 + x^3 y^3
</math>
với ''&eta;'' là [[mêtríc Minkowski]]. [[Phép nhân]] này đôi khi được gọi là '''tích trong Minkowski'''.

Như vậy, [[bình phương]] độ lớn một vectơ-4 '''R''' là:
:''R''.''R'' = ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup> - ''ct''<sup>2</sup>
Theo bình phương độ lớn, các vectơ-4 được phân loại ra thành:
*vectơ-4 không gian: ''R''.''R'' > 0
*vectơ-4 thời gian: ''R''.''R'' < 0
*vectơ-4 không: ''R''.''R'' = 0

==Đạo hàm theo thời gian== 
Đối với các đại lượng là [[đạo hàm và vi phân của hàm số|đạo hàm]] theo [[thời gian]] của các [[đại lượng vật lý]] khác, người ta quy ước lấy đạo hàm theo [[thời gian riêng]] (&tau;) trong [[hệ quy chiếu]] đang xét. Lúc đó cần biết liên hệ giữa đạo hàm theo thời gian riêng với đạo hàm theo thời gian trong hệ quy chiếu khác. Đó là biến đổi thời gian trong biến đổi Lorentz:
:<math>\frac{d \tau}{dt}=\frac{1}{\gamma}</math>
Với &gamma; là hệ số tương đối tính liên hệ với vận tốc tương đối giữa hai [[hệ quy chiếu]] '''v''' qua:
:<math> \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math>
:''v''<sup>2</sup> = '''v'''.'''v'''

== Đại lượng vật lý vectơ-4 ==
Nhiều đại lượng vật lý ở dạng véctơ trong không gian ba chiều thông thường có một vectơ-4 tương đương trong [[không-thời gian|không thời gian]]. Có thể bắt đầu định nghĩa các đại lượng vật lý xuất phát từ vectơ-4 vị trí ''R'':= [''ct'', ''x'', ''y'', ''z''] và phép đạo hàm như mô tả ở trên.

Một số đại lượng vật lý vectơ độc lập trong không gian ba chiều cổ điển lại ghép với các đại lượng vectơ khác thành đại lượng vật lý thống nhất trong không thời gian ở dạng [[tensơ-4]]. Ví dụ cho nhóm này có véctơ [[điện trường]] và véctơ [[từ trường]] được thống nhất thành [[tensơ-4 điện từ trường]] trong không thời gian.
===Vận tốc-4===
[[Vận tốc]] là đạo hàm theo thời gian của vị trí. [[Vận tốc-4]] là đạo hàm theo thời gian của véctơ vị trí-4:
:<math>U^a:= \frac{dx^a}{d \tau}= \frac{dx^a}{dt}\frac{dt}{d \tau}= \left(\gamma c, \gamma \mathbf{u} \right)</math>
với
:<math>u^i = \frac{dx^i}{dt}</math>
và ''i''&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3. Chú ý rằng:
:<math> U^a U_a = -c^2 \,</math>
===Gia tốc-4===
[[Gia tốc]] là đạo hàm theo thời gian của vận tốc. [[Gia tốc-4]] là đạo hàm theo thời gian của véctơ vận tốc-4:
:<math>A^a:= \frac{dU^a}{d \tau} = \left(\gamma \dot{\gamma} c, \gamma \dot{\gamma} \mathbf{u} + \gamma^2 \mathbf{\dot{u}} \right)</math>
Chú ý rằng:
:<math>A^a U_a = 0 \,</math>
===Động lượng-4===
[[Động lượng|Động lượng-4]] có thể được định nghĩa từ [[vận tốc-4]]:
:<math>P^a:=m_0 U^a = \left(mc,  \mathbf{p} \right)</math>
với ''m''<sub>0</sub> là [[khối lượng#Khối lượng tương đối tính|khối lượng nghỉ]] còn ''m''&nbsp;=&nbsp;&gamma;''m''<sub>0</sub> là [[khối lượng#Khối lượng tương đối tính|khối lượng tương đối tính]] và '''p'''&nbsp;=&nbsp;''m'''''u''' là [[động lượng|động lượng tương đối tính]]. 
===Lực-4===
[[Lực-4]] có thể định nghĩa từ [[các định luật của Newton về chuyển động|định luật 2 Newton]] mở rộng cho [[không-thời gian|không thời gian]]:
:<math> F^a:= m_0 A^a = \left(\gamma \dot{m} c, \gamma \mathbf{f} \right) </math>
với
:<math> \mathbf{f} = m_0 \dot{\gamma} \mathbf{u} + m_0 \gamma \mathbf{\dot{u}} </math>.
===Mật độ dòng điện-4===
[[Mật độ dòng điện-4]] có thể được định nghĩa từ [[vận tốc-4]] và cho ra kết quả:
:<math> J^a:= \left(\rho c, \mathbf{j} \right) </math> 
với '''j''' là mật độ [[dòng điện#Cường độ dòng điện|cường độ dòng điện]] cổ điển còn &rho; là [[mật độ]] [[điện tích]]
===Điện từ thế-4===
[[Điện từ thế-4]] gộp lại [[điện thế]] cổ điển, &phi;, và [[vectơ từ thế]] cổ điển '''A''':
:<math>\Phi^a:=\left(\phi,  \mathbf{A} c \right)</math>
===Tần số-4===
Các [[bức xạ điện từ|sóng điện từ]] phẳng có thể được biểu diến qua [[tần số-4]]:
:<math>N ^a:=\left(\nu, \nu \mathbf{n}  \right)</math>
với <math>\nu</math> là [[tần số]] cổ điển của sóng, và '''n''' véctơ đơn vị ba chiều chỉ phương lan truyền của sóng. Chú ý
:<math> N^a N_a = \nu ^2 \left(n^2 - 1 \right) = 0 </math>
nghĩa là tần số-4 là vectơ-4 không.

==Xem thêm==
*[[Tenxơ-4]]

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}
*Rindler, W. ''Introduction to Special Relativity (2nd edn.)'' (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5

[[Thể loại:Không gian Minkowski]]
[[Thể loại:Thuyết tương đối hẹp]]
[[Thể loại:Khái niệm vật lý]]
[[Thể loại:Thuyết tương đối]]