Định lý con bướm

Minh họa định lý con bướm.

Định lý con bướm là một định lý trong hình học Euclid, có thể được phát biểu như sau:

Cho dây cung PQ của một đường tròn và trung điểm M của nó. Vẽ hai dây cung AB và CD khác của đường tròn đi qua M. Gọi giao điểm của AD và BC với PQ tương ứng là X và Y. Khi đó M cũng là trung điểm của XY.

Chứng minh

Gọi $X^{\prime }$ và $X^{″}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của X trên các đoạn thẳng AM và DM. Tương tự, gọi $Y^{\prime }$ và $Y^{″}$ lần lượt là hình chiếu của Y trên đoạn thẳng BM và CM.

Chứng minh của định lý con bướm.

Do

$\mathrm{△}MX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}MY{Y}^{\prime }$

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}$

$\mathrm{△}MX{X}^{″}\sim \mathrm{△}MY{Y}^{″}$

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}}$

$\mathrm{△}AX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}CY{Y}^{″}$

$\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{″}}=\frac{AX}{CY}$

$\mathrm{△}DX{X}^{″}\sim \mathrm{△}BY{Y}^{\prime }$

$\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}}=\frac{DX}{BY}$

Mở rộng của Sharygin

Từ các đẳng thức trên, ta có

${\left(\frac{MX}{MY}\right)}^2=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}.\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}}=\frac{AX.DX}{CY.BY}$

$=\frac{PX.QX}{PY.QY}$ (xem Phương tích)

$=\frac{(PM-XM).(MQ+XM)}{(PM+MY).(QM-MY)}=\frac{P{M}^2-M{X}^2}{P{M}^2-M{Y}^2}$ (do PM = MQ)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{M{X}^2}{M{Y}^2}=\frac{P{M}^2-M{X}^2}{P{M}^2-M{Y}^2}=\frac{P{M}^2}{P{M}^2}=1$

Từ đó suy ra MX = MY, hay M là trung điểm của XY.

Mở rộng

Mở rộng định lý con bướm của Sharygin. Trên dây cung AB của đường tròn lấy điểm M, N sao cho AM=BN, đường thẳng qua M cắt đường tròn tại hai điểm P, Q, đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm R, S. PR, SQ cắt AB tại hai điểm K, L khi đó MK=LN.

Liên kết ngoài

• Định lý con bướm tại Cut-The-Knot.
• Một định lý con bướm tổng quát hơn tại Cut-The-Knot.
• Chứng minh Định lý con bướm tại PlanetMath.
• Bản mẫu:MathWorld