Giả nghịch đảo Moore–Penrose

Bản mẫu:Mồ côi Trong đại số tuyến tính, ma trận giả nghịch đảo Bản mẫu:Math của ma trận Bản mẫu:Math là một tổng quát hóa của ma trận nghịch đảo.. Loại ma trận giả nghịch đảo phổ biến nhất là giả nghịch đảo Moore–Penrose, tìm ra một cách độc lập bởi E. H. Moore năm 1920, Arne Bjerhammar năm 1951 và Roger Penrose năm 1955. Trước đó, Fredholm đã định nghĩa khái niệm giả nghịch đảo của biến đổi tích phân năm 1903. Khi dùng cho ma trận, khái niệm giả nghịch đảo nếu không có chú thích thêm thường được dùng để chỉ giả nghịch đảo Moore–Penrose. Một tên gọi khác cho khái niệm này là ma trận nghịch đảo tổng quát.

Ký hiệu

Phần dưới của trang sử dụng các ký hiệu sau.

• $𝕂$ ký hiệu một trong các trường số thực hoặc số phức, ký hiệu là $ℝ,ℂ$. Không gian vectơ của các ma trận $m\times n$ trên trường $𝕂$ được ký hiệu là $M(m,n;𝕂)$.
• Với mọi $A\in M(m,n;𝕂)$, $A^T$ và $A^{*}$ ký hiệu ma trận chuyển vị và ma trận liên hợp của $A$. Nếu $𝕂=ℝ$, thì $A^{*}=A^T$.
• Với mọi $A\in M(m,n;𝕂)$, $\mathrm{Im}(A)$ ký hiệu miền giá trị (không gian ảnh) của $A$ (không gian sinh bởi các vectơ cột của $A$) và $\mathrm{Ker}(A)$ ký hiệu không gian nhân của $A$.
• Với mọi số dương $n$, $I_n\in M(n,n;𝕂)$ ký hiệu ma trận đơn vị $n\times n$.

Định nghĩa

Với $A\in M(m,n;𝕂)$, ma trận giả nghịch đảo Moore–Penrose (sau đây viết gọn là giả nghịch đảo) của $A$ được định nghĩa là ma trận $A^{+}\in M(n,m;𝕂)$ thỏa mãn cả bốn tính chất sau:

1. $A{A}^{+}A=A$       (Bản mẫu:Math không nhất thiết là ma trận đơn vị nhưng phải ánh xạ mỗi cột của Bản mẫu:Math đến chính nó);
2. $A^{+}A{A}^{+}=A^{+}$       (Bản mẫu:Math là nghịch đảo yếu của nửa nhóm nhân);
3. $(A{A}^{+}{)}^{*}=A{A}^{+}$       (Bản mẫu:Math là một ma trận Hermite); và
4. $(A^{+}A{)}^{*}=A^{+}A$       (Bản mẫu:Math cũng là một ma trận Hermite).

Tính chất

Tồn tại và duy nhất

• Giả nghịch đảo Moore–Penrose tồn tại và là duy nhất: với mỗi ma trận $A$, có đúng một ma trận $A^{+}$ thỏa mãn bốn tính chất của định nghĩa.

Tính chất cơ bản

• Nếu $A$ là ma trận thực, thì $A^{+}$ cũng là ma trận thực.
• Nếu $A$ khả nghịch, thì ma trận nghịch đảo và giả nghịch đảo là một: $A^{+}=A^{-1}$.Bản mẫu:Rp
• Giả nghịch đảo của ma trận không là chuyển vị của nó.
• Giả nghịch đảo của giả nghịch đảo chính là ma trận ban đầu: $(A^{+}{)}^{+}=A$.Bản mẫu:Rp
• Phép lấy giả nghịch đảo giao hoán với phép chuyển vị, và liên hợp:Bản mẫu:Rp

$(A^T{)}^{+}=(A^{+}{)}^T,\stackrel{+}{\stackrel{‾}{A}}=\overline{A^{+}},(A^{*}{)}^{+}=(A^{+}{)}^{*}.$

• Giả nghịch đảo của tích của một đại lượng vô hướng với Bản mẫu:Math là tích của nghịch đảo của đại lượng vô hướng đó với Bản mẫu:Math:

$(\alpha A{)}^{+}={\alpha }^{-1}{A}^{+}$ với mọi $\alpha \ne 0$.

Hằng đẳng thức

$\begin{array}{ccccc}{A}^{+}& =& A^{+}& A^{+*}& A^{*}\\ A^{+}& =& A^{*}& A^{+*}& A^{+}\\ A& =& A^{+*}& A^{*}& A\\ A& =& A& A^{*}& A^{+*}\\ A^{*}& =& A^{*}& A& A^{+}\\ A^{*}& =& A^{+}& A& A^{*}\end{array}$

Quy về trường hợp ma trận Hermite

• $A^{+}=(A^{*}A{)}^{+}{A}^{*}$.
• $A^{+}=A^{*}(A{A}^{*}{)}^{+}$.

Tích

Nếu $A\in M(m,n;𝕂),B\in M(n,p;𝕂)$ và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn,

• $A$ có các cột trực chuẩn (nghĩa là $A^{*}A=I_n$) hoặc,
• $B$ có các hàng trực chuẩn (nghĩa là $B{B}^{*}=I_n$) hoặc,
• $A$ có các cột độc lập tuyến tính và $B$ có các hàng độc lập tuyến tính,

thì $(AB{)}^{+}=B^{+}{A}^{+}$.

Các phép chiếu

$P=A{A}^{+}$ và $Q=A^{+}A$ là các phép chiếu vuông góc --- nghĩa là chúng đều là ma trận Hermite ($P=P^{*}$, $Q=Q^{*}$) và thỏa mãn $P^2=P$ và $Q^2=Q$). Chúng có các tính chất sau:

• $PA=A=AQ$ and $A^{+}P=A^{+}=Q{A}^{+}$
• $P$ là phép chiếu vuông góc xuống không gian ảnh của $A$
• $Q$ là phép chiếu vuông góc xuống không gian ảnh của $A^{*}$
• $(I-P)$ là phép chiếu vuông góc xuống không gian nhân của $A^{*}$.
• $(I-Q)$ là phép chiếu vuông góc xuống không gian nhân của $A$.

Không gian con

• $\mathrm{Ker}(A^{+})=\mathrm{Ker}(A^{*})$
• $\mathrm{Im}(A^{+})=\mathrm{Im}(A^{*})$

Liên kết ngoài

• Pseudoinverse on PlanetMath Bản mẫu:Webarchive
• Interactive program & tutorial of Moore-Penrose Pseudoinverse
• Bản mẫu:Planetmath reference
• Bản mẫu:MathWorld
• Bản mẫu:MathWorld