Ma trận chuyển vị

Ma trận chuyển vị A^T của ma trận A có thể có được bằng cách đảo các phần tử của nó theo đường chéo chính. Lặp lại bước trên đối với ma trận chuyển vị thì các phần tử sẽ được trả về vị trí ban đầu của ma trận gốc.

Trong đại số tuyến tính, ma trận chuyển vị (tiếng Anh: transpose) là một ma trận mà ở đó các hàng được thay thế bằng các cột, và ngược lại. Để có được ma trận chuyển vị, chúng ta có thể sử dụng toán tử lật ma trận theo đường chéo chính của nó. Ma trận chuyển vị của ma trận A được ký hiệu là A^T.

Ma trận chuyển vị được giới thiệu vào năm 1858 bởi nhà toán học người Anh Arthur Cayley.

Chuyển vị của ma trận

Định nghĩa

Chuyển vị của ma trận Bản mẫu:Math, ký hiệu Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, $A^{⊺}$, Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math hoặc Bản mẫu:Math, có thể được xây dựng bằng các phương pháp sau đây:

1. Phản xạ Bản mẫu:Math trên đường chéo chính của nó (chạy từ trên cùng bên trái sang dưới cùng bên phải) để có Bản mẫu:Math;
2. Viết các hàng của Bản mẫu:Math thành cột của Bản mẫu:Math;
3. Viết các cột của Bản mẫu:Math thành hàng của Bản mẫu:Math.

Về mặt hình thức, phần tử của hàng thứ i, cột thứ j của ma trận Bản mẫu:Math là phần tử của hàng thứ j, cột thứ i của ma trận Bản mẫu:Math:

${\left[{𝐀}^{\mathrm{T}}\right]}_{ij}={\left[𝐀\right]}_{ji}.$

Nếu Bản mẫu:Math là ma trận Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math là ma trận Bản mẫu:Math.

Trong trường hợp là ma trận vuông, Bản mẫu:Math biểu thị lũy thừa thứ Bản mẫu:Math của ma trận Bản mẫu:Math. Để tránh sự nhầm lẫn có thể xảy ra, nhiều tác giả sử dụng ký hiệu lũy thừa Bản mẫu:Math bên trái, khi đó ký hiệu của chuyển vị là Bản mẫu:Math. Một lợi thế của ký hiệu này là không cần dấu ngoặc đơn khi liên quan đến số mũ: khi Bản mẫu:Math, ký hiệu Bản mẫu:Math không gây nhầm lẫn.

Trong bài viết này, tránh nhầm lẫn này bằng cách không bao giờ sử dụng ký hiệu Bản mẫu:Math dưới dạng tên biến.

Định nghĩa ma trận liên quan đến chuyển vị

Ma trận vuông có chuyển vị bằng chính nó được gọi là ma trận đối xứng; nghĩa là, Bản mẫu:Math đối xứng nếu

${𝐀}^{\mathrm{T}}=𝐀.$

Ma trận vuông có chuyển vị bằng phần trừ của nó được gọi là ma trận phản đối xứng; nghĩa là, Bản mẫu:Math phản đối xứng nếu

${𝐀}^{\mathrm{T}}=-𝐀.$

Ma trận vuông phức có chuyển vị bằng ma trận với mỗi phần tử được thay thế bằng liên hợp phức của nó (được biểu thị ở đây bằng dấu gạch ngang) được gọi là ma trận Hermitian (tương đương với ma trận bằng chuyển vị liên hợp); nghĩa là, Bản mẫu:Math là một Hermitian nếu

${𝐀}^{\mathrm{T}}=\overline{𝐀}.$

Ma trận vuông phức có chuyển vị bằng phủ định của liên hợp phức của nó được gọi là ma trận phản Hermitian; nghĩa là, Bản mẫu:Math là phản Hermitian nếu

${𝐀}^{\mathrm{T}}=-\overline{𝐀}.$

Ma trận vuông có chuyển vị bằng nghịch đảo của nó được gọi là ma trận trực giao; nghĩa là, Bản mẫu:Math trực giao nếu

${𝐀}^{\mathrm{T}}={𝐀}^{-1}.$

Một ma trận phức vuông có chuyển vị bằng nghịch đảo liên hợp của nó được gọi là ma trận unita; nghĩa là, Bản mẫu:Math đơn nhất (unita) nếu

${𝐀}^{\mathrm{T}}=\overline{{𝐀}^{-1}}.$

Ví dụ

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

Tính chất

Cho Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là 2 ma trận và Bản mẫu:Mvar là một đại lượng vô hướng.

Tích

Nếu Bản mẫu:Math là một ma trận Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là chuyển vị của nó thì kết quả của phép nhân ma trận với hai ma trận này cho ra hai ma trận vuông: Bản mẫu:Math là ma trận Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là ma trận Bản mẫu:Math. Hơn nữa, các tích này đều là ma trận đối xứng. Thật vậy, tích ma trận Bản mẫu:Math có phần tử là tích trong của một hàng Bản mẫu:Math với một cột Bản mẫu:Math. Nhưng các cột của Bản mẫu:Math là các hàng của Bản mẫu:Math, vì vậy phần tử tương ứng với tích trong của hai hàng của Bản mẫu:Math. Nếu Bản mẫu:Mvar là phần tử của tích, nó được lấy từ các hàng Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Math. Phần tử Bản mẫu:Mvar cũng được lấy từ các hàng này, do đó Bản mẫu:Math, và tích của ma trận (Bản mẫu:Mvar) đối xứng. Tương tự, tích Bản mẫu:Math là một ma trận đối xứng.

Một chứng minh nhanh về tính đối xứng của Bản mẫu:Math cho kết quả từ thực tế rằng nó là chuyển vị của chính nó:

${\left(𝐀{𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}={\left({𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}{𝐀}^{\mathrm{T}}=𝐀{𝐀}^{\mathrm{T}}.$

Thực hiện chuyển vị ma trận trên máy tính

Hình minh họa thứ tự chính của hàng và cột

Trên máy tính, người ta thường có thể tránh chuyển vị một ma trận trong bộ nhớ bằng cách chỉ cần truy cập cùng một dữ liệu theo một thứ tự khác nhau. Ví dụ: thư viện phần mềm cho đại số tuyến tính, chẳng hạn như BLAS, thường cung cấp các tùy chọn để chỉ định rằng một số ma trận nhất định sẽ được diễn giải theo thứ tự hoán vị để tránh sự cấp thiết của việc di chuyển dữ liệu.

Tuy nhiên, vẫn có một số trường hợp cần thiết hoặc mong muốn sắp xếp lại một cách vật lý một ma trận trong bộ nhớ theo thứ tự đã hoán vị của nó. Ví dụ, với một ma trận được lưu trữ trong hàng-thứ tự chính, các hàng của ma trận liền nhau trong bộ nhớ và các cột không liền nhau. Nếu các thao tác lặp lại cần được thực hiện trên các cột, ví dụ như trong thuật toán biến đổi Fourier nhanh thì việc chuyển ma trận trong bộ nhớ (để làm cho các cột liền nhau) có thể cải thiện hiệu suất bằng cách tăng vị trí tham chiếu.

Lý tưởng nhất, ta có thể hy vọng chuyển đổi một ma trận với bộ nhớ bổ sung tối thiểu. Điều này dẫn đến vấn đề chuyển đổi một ma trận tại chỗ n × m, với bộ nhớ bổ sung O(1) hoặc tối đa bộ nhớ ít hơn nhiều mn. Cho n ≠ m, điều này liên quan đến một hoán vị phức tạp của các phần tử dữ liệu mà không phải là tầm thường để triển khai tại chỗ. Do đó, chuyển vị ma trận tại chỗ hiệu quả đã là chủ đề của nhiều ấn phẩm nghiên cứu trong khoa học máy tính, bắt đầu từ cuối những năm 1950 và một số thuật toán đã được phát triển.

Chuyển vị của ánh xạ tuyến tính và dạng song tuyến tính

Nhớ lại rằng các ma trận có thể được đặt tương ứng 1-1 với toán tử tuyến tính. Chuyển vị của một toán tử tuyến tính có thể được xác định mà không cần xem xét phải biểu diễn ma trận. Điều này dẫn đến một định nghĩa tổng quát hơn về phép chuyển vị có thể được áp dụng cho các toán tử tuyến tính không thể được biểu diễn bằng ma trận (ví dụ liên quan đến nhiều không gian vectơ chiều vô hạn).

Chuyển vị của ánh xạ tuyến tính

Đặt Bản mẫu:Math biểu thị không gian đối ngẫu đại số (algebraic dual space) của một mô-đun-Bản mẫu:Mvar- Bản mẫu:Mvar. Đặt Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar là các mô-đun-Bản mẫu:Mvar. Nếu Bản mẫu:Math là ánh xạ tuyến tính thì phần phụ đại số (algebraic adjoint) hoặc đối ngẫu (dual) của nó,Bản mẫu:Sfn là ánh xạ Bản mẫu:Math được xác định bởi Bản mẫu:Math. Các hàm kết quả Bản mẫu:Math được gọi là pullback của Bản mẫu:Mvar qua Bản mẫu:Mvar. Quan hệ sau đây đặc trưng cho phần phụ đại số của Bản mẫu:Mvar

Bản mẫu:Math cho mọi Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math

trong đó Bản mẫu:Math là một hệ đối ngẫu (dual system) (tức là được xác định bởi Bản mẫu:Math). Định nghĩa này cũng áp dụng không thay đổi đối với mô-đun bên trái và không gian vectơ.

Định nghĩa của phép chuyển vị có thể được coi là độc lập với bất kỳ dạng song tuyến nào trên các mô-đun, không giống như phần phụ (bên dưới).

Không gian đối ngẫu liên tục của không gian vectơ tôpô (topological vector space) (TVS) Bản mẫu:Mvar được ký hiệu bởi Bản mẫu:Math. Nếu Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar là các không gian vectơ tôpô thì là ánh xạ tuyến tính Bản mẫu:Math là một liên tục yếu khi và chỉ khi Bản mẫu:Math, trong trường hợp đó ta đặt Bản mẫu:Math biểu thị hạn chế của Bản mẫu:Math tới Bản mẫu:Math. Ánh xạ Bản mẫu:Math được gọi là chuyển vịBản mẫu:Sfn của Bản mẫu:Mvar.

Nếu ma trận Bản mẫu:Math biểu thị một ánh xạ tuyến tính đối với cơ sở của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar thì ma trận Bản mẫu:Math biểu thị sự chuyển vị của ánh xạ tuyến tính đó đối với cơ sở đối ngẫu (dual base).

Chuyển vị của một dạng song tuyến tính

Mọi ánh xạ tuyến tính tới không gian đối ngẫu Bản mẫu:Math định nghĩa một dạng song tuyến Bản mẫu:Math, với mối quan hệ Bản mẫu:Math. Bằng cách xác định sự chuyển vị của dạng song tuyến này là dạng song tuyến Bản mẫu:Mvar được xác định bởi chuyển vị Bản mẫu:Math tức là Bản mẫu:Math, ta thấy rằng Bản mẫu:Math. Tại đây, Bản mẫu:Mvar là phép đồng cấu tự nhiên Bản mẫu:Math vào đôi liên hiệp.

Phận phụ

Nếu không gian vectơ Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar có lần lượt là dạng song tuyến tính không suy biến Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, một khái niệm được gọi là phần phụ, có liên quan chặt chẽ với chuyển vị, có thể được định nghĩa:

Nếu Bản mẫu:Nowrap là một ánh xạ tuyến tính giữa không gian vectơ Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar, ta xác định Bản mẫu:Mvar là một phận phụ của Bản mẫu:Mvar nếu Bản mẫu:Nowrap thỏa mãn

$B_X(x,g(y))=B_Y(u(x),y)$ cho mọi Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math.

Các dạng song tuyến này xác định đẳng cấu giữa Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Math, và giữa Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Math, dẫn đến sự đẳng cấu giữa chuyển vị và phần phụ của Bản mẫu:Mvar. Ma trận của phần phụ của một ánh xạ là ma trận chuyển vị chỉ khi cơ sở là trực chuẩn đối với dạng song tuyến. Trong bối cảnh này, nhiều tác giả sử dụng thuật ngữ chuyển vị để chỉ phần phụ như được định nghĩa ở đây.

Phần phụ cho phép ta xem xét liệu Bản mẫu:Nowrap bằng Bản mẫu:Nowrap. Đặc biệt, điều này cho phép nhóm trực chuẩn trên không gian vectơ Bản mẫu:Mvar có dạng bậc hai được xác định mà không cần tham chiếu đến ma trận (cũng như các thành phần của nó) dưới dạng tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính Bản mẫu:Nowrap mà phần phụ bằng nghịch đảo.

Trên một không gian vectơ phức tạp, người ta thường làm việc với dạng bán song tuyến tính (tuyến tính liên hợp trong một đối số) thay vì các dạng song tuyến tính. Phần phụ Hermitian của ánh xạ giữa các không gian như vậy được xác định tương tự và ma trận của phần phụ Hermitian được cho bởi ma trận chuyển vị liên hiệp nếu các cơ sở là trực chuẩn.

Xem thêm

• Ma trận phụ hợp, chuyển vị của định thức con
• Chuyển vị liên hiệp
• Giả nghịch đảo Moore–Penrose
• Phép chiếu (đại số tuyến tính)

Đọc thêm

• Bản mẫu:Bourbaki Algebra I Chapters 1-3 Springer
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
• Bản mẫu:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
• Bản mẫu:Chú thích sách

Liên kết ngoài

• Gilbert Strang (Spring 2010) Linear Algebra from MIT Open Courseware