Logarit tự nhiên của 2

Giá trị thập phân của logarit tự nhiên của 2 Bản mẫu:OEIS xấp xỉ bằng

$\ln 2\approx 0.693147180559945309417232121458.$

Logarit cơ số khác của 2 được tính bằng công thức

${\log }_{b}2=\frac{\ln 2}{\ln b}.$

Logarit cơ số 10 của 2 là (Bản mẫu:OEIS2C)

${\log }_{10}2\approx 0.301029995663981195.$

Nghịch đảo của con số trên là logarit nhị phân của 10:

${\log }_{2}10=\frac{1}{{\log }_{10}2}\approx 3.321928095$ (Bản mẫu:OEIS2C).

Theo định lý Lindemann–Weierstrass, logarit tự nhiên của bất kỳ số tự nhiên nào khác 0 và 1 (tổng quát hơn, của bất kỳ số đại số dương nào khác 1) là một số siêu việt.

Biểu diễn dạng chuỗi

Chuỗi giai thừa đảo dấu

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots .$ Đây là "chuỗi điều hòa đổi dấu" quen thuộc.

$\ln 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)}.$

$\ln 2=\frac{5}{8}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}.$

$\ln 2=\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}.$

$\ln 2=\frac{131}{192}+\frac{3}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}.$

$\ln 2=\frac{661}{960}+\frac{15}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.$

Chuỗi giai thừa nhị phân

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n}.$

$\ln 2=1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)}.$

$\ln 2=\frac{1}{2}+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}.$

$\ln 2=\frac{5}{6}-6\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}.$

$\ln 2=\frac{7}{12}+24\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}.$

$\ln 2=\frac{47}{60}-120\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.$

Các biểu diễn dạng chuỗi khác

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}=\ln 2.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(4n^2-1)}=2\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(4n^2-1)}=\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n(9n^2-1)}=2\ln 2-\frac{3}{2}.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4n^2-2n}=\ln 2.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(-1{)}^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n}=\ln 2.$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3n+1}=\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi }{3\sqrt{3}}.$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3n+2}=-\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi }{3\sqrt{3}}.$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(3n+1)(3n+2)}=\frac{2\ln 2}{3}.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sum _{k=1}^n{k}^2}=18-24\ln 2$ sử dụng $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=N}^{2N}\frac{1}{n}=\ln 2$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4k^2-3k}=\ln 2+\frac{\pi }{6}$

Liên quan đến hàm zeta Riemann

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}[\zeta (n)-1]=\ln 2-\frac{1}{2}.$

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -\frac{\ln 2}{2}.$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{2n-1}(2n+1)}\zeta (2n)=1-\ln 2.$

(Bản mẫu:Math là hằng số Euler–Mascheroni và Bản mẫu:Math là hàm zeta Riemann.)

Biểu diễn dạng BBP

$\ln 2=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12})\frac{1}{16^k}.$

Áp dụng ba chuỗi tổng quát cho logarit tự nhiên của 2 ta được:

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}.$

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n}n}.$

$\ln 2=\frac{2}{3}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{9^k(2k+1)}.$

Áp dụng cho $2=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}$ ta được:

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{2^{n}n}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{3^{n}n}.$

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^{n}n}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4^{n}n}.$

$\ln 2=\frac{2}{5}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{25^k(2k+1)}+\frac{2}{7}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{49^k(2k+1)}.$

Áp dụng cho $2=(\sqrt{2}{)}^2$ ta được:

$\ln 2=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{(\sqrt{2}+1{)}^{n}n}.$

$\ln 2=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2+\sqrt{2}{)}^{n}n}.$

$\ln 2=\frac{4}{3+2\sqrt{2}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(17+12\sqrt{2}{)}^k(2k+1)}.$

Áp dụng cho $2={\left(\frac{16}{15}\right)}^7\cdot {\left(\frac{81}{80}\right)}^3\cdot {\left(\frac{25}{24}\right)}^5$ ta được:

$\ln 2=7\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{15^{n}n}+3\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{80^{n}n}+5\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{24^{n}n}.$

$\ln 2=7\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^{n}n}+3\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{81^{n}n}+5\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{25^{n}n}.$

$\ln 2=\frac{14}{31}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{961^k(2k+1)}+\frac{6}{161}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{25921^k(2k+1)}+\frac{10}{49}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2401^k(2k+1)}.$

Biểu diễn dạng tích phân

Logarit tự nhiên của 2 thường xuyên xuất hiện trong các kết quả lấy tích phân. Một số công thức cụ thể bao gồm:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+x}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{dx}{x}=\ln 2$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x}dx=\ln 2$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\tan xdx=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\tan xdx=\ln 2$

$-\frac{1}{\pi i}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln x\ln \ln x}{(x+1{)}^2}dx=\ln 2$

Biểu diễn khác

Khai triển Pierce là Bản mẫu:OEIS2C

$\ln 2=1-\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12}-\cdots .$

Khai triển Engel là Bản mẫu:OEIS2C

$\ln 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots .$

Khai triển cotang là Bản mẫu:OEIS2C

$\ln 2=\cot (\mathrm{arccot}(0)-\mathrm{arccot}(1)+\mathrm{arccot}(5)-\mathrm{arccot}(55)+\mathrm{arccot}(14187)-\cdots ).$

Phân số liên tục đơn giản là Bản mẫu:OEIS2C

$\ln 2=[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...]$,

cho ta những xấp xỉ hữu tỉ đầu tiên là Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math

Phân số liên tục tổng quát:

$\ln 2=[0;1,2,3,1,5,\frac{2}{3},7,\frac{1}{2},9,\frac{2}{5},...,2k-1,\frac{2}{k},...]$,

cũng có thể viết dưới dạng

$\ln 2=\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{2}{2+\frac{2}{5+\frac{3}{2+\frac{3}{7+\frac{4}{2+\ddots }}}}}}}}=\frac{2}{3-\frac{1^2}{9-\frac{2^2}{15-\frac{3^2}{21-\ddots }}}}$

Tính những logarit khác

Sử dụng giá trị của Bản mẫu:Math, ta có thể tính logarit của các số tự nhiên khác bằng cách lập bảng logarit của các số nguyên tố rồi tính logarit của các hợp số Bản mẫu:Mvar dựa trên phân tích ra thừa số nguyên tố của nó

$c=2^i{3}^j{5}^k{7}^l\cdots \Rightarrow \ln (c)=i\ln (2)+j\ln (3)+k\ln (5)+l\ln (7)+\cdots$

Bảng logarit của các số nguyên tố

Số nguyên tố	Logarit tự nhiên xấp xỉ	OEIS
2	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
3	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
5	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
7	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
11	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
13	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
17	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
19	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
23	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
29	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
31	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
37	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
41	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
43	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
47	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
53	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
59	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
61	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
67	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
71	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
73	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
79	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
83	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
89	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link
97	Bản mẫu:Val	Bản mẫu:OEIS link

Logarit của các số hữu tỉ Bản mẫu:Math có thể tính bằng công thức Bản mẫu:Math, và logarit của căn bằng Bản mẫu:Math.

Logarit tự nhiên của 2 có ích bởi các lũy thừa của 2 phân bố dày đặc hơn những lũy thừa khác; tìm những lũy thừa Bản mẫu:Math gần với lũy thừa Bản mẫu:Math của số Bản mẫu:Math nào khác là tương đối dễ dàng, và biểu diễn chuỗi của Bản mẫu:Math có thể tính bằng Chuyển đổi logarit.

Tính toán chữ số

Sau đây là bảng những kỷ lục gần đây trong việc tính toán các chữ số của Bản mẫu:Math. Tính đến tháng 12 năm 2018, logarit của 2 đã có nhiều chữ số được tính hơn bất kỳ logarit tự nhiên của số tự nhiên nào khác, ngoại trừ 1.

Ngày	Tên	Số chữ số
7 tháng 1 năm 2009	A.Yee & R.Chan	15.500.000.000
4 tháng 2 năm 2009	A.Yee & R.Chan	31.026.000.000
21 tháng 2 năm 2011	Alexander Yee	50.000.000.050
14 tháng 5 năm 2011	Shigeru Kondo	100.000.000.000
28 tháng 2 năm 2014	Shigeru Kondo	200.000.000.050
12 tháng 7 năm 2015	Ron Watkins	250.000.000.000
30 tháng 1 năm 2016	Ron Watkins	350.000.000.000
18 tháng 4 năm 2016	Ron Watkins	500.000.000.000
10 tháng 12 năm 2018	Michael Kwok	600.000.000.000
26 tháng 4 năm 2019	Jacob Riffee	1.000.000.000.000
19 tháng 8 năm 2020	Seungmin Kim	1.200.000.000.100

Xem thêm

• Quy tắc 72
• Chu kỳ bán rã
• Phương trình Erdős–Moser

Tham khảo

• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:MathWorld
• Bản mẫu:Planetmath reference
• Bản mẫu:Chú thích web