Sophomore's dream

Bản mẫu:Short description Trong toán học, sophomore's dream là hai đồng nhất thức (đặc biệt là cái đầu tiên):

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}dx& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}\\ \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{n}^{-n}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}\end{array}$

được phát hiện vào năm 1697 bởi Johann Bernoulli.

Giá trị xấp xỉ của những hằng số trên lần lượt là 1.291285997... và 0.7834305107...

Tên gọi "giấc mơ của sinh viên năm hai", xuất hiện trong Bản mẫu:Harv, xuất phát từ "freshman's dream" là một đồng nhất thức sai Bản mẫu:Math. Sophomore's dream cho ta cảm giác tương tự, tốt đến mức không thể, nhưng khác với freshman's dream, hai đẳng thức trên là đúng.

Chứng minh

Đồ thị các hàm số Bản mẫu:Math (đỏ, dưới) và Bản mẫu:Math (xanh, trên) trên đoạn Bản mẫu:Math

Chứng minh hai đẳng thức này giống nhau, nên chỉ chứng minh của đẳng thức thứ hai được trình bày. Các bước chính của chứng minh này là:

• viết Bản mẫu:Math (ký hiệu Bản mẫu:Math chỉ hàm mũ Bản mẫu:Math với cơ số tự nhiên [[e (số)|Bản mẫu:Math]]);
• khai triển Bản mẫu:Math sử dụng chuỗi Taylor của hàm mũ Bản mẫu:Math, và
• lấy tích phân từng số hạng, sử dụng phương pháp đổi biến.

Cụ thể, ta khai triển Bản mẫu:Math thành

$x^x=\exp (x\log x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}.$

Như vậy, $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx.$

Do chuỗi lũy thừa trên hội tụ đều, ta có thể đổi chỗ dấu tổng và tích phân để được

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx.$

Để tính các tích phân trên, ta có thể đổi biến Bản mẫu:Math, hay Bản mẫu:Math. Với phép đổi biến này, chặn dưới của tích phân biến thành Bản mẫu:Math còn chặn trên trở thành Bản mẫu:Math, cho ta đẳng thức

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n(\log x{)}^{n}dx=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^n{e}^{-u}du.$

Tích phân ở vế phải ở trên chính là tích phân Euler cho hàm gamma, cụ thể là

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^n{e}^{-u}du=n!,$

cho nên

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}.$

Lấy tổng những hạng tử này (bắt đầu tại Bản mẫu:Math thay vì tại Bản mẫu:Math) cho ta kết quả như trên.

Chứng minh gốc

Chứng minh gốc, đưa ra bởi Bản mẫu:Harvtxt, và được trình bày dưới dạng hiện đại bởi Bản mẫu:Harvtxt, khác chứng minh ở trên về cách tính các tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n(\log x{)}^{n}dx$, nhưng phần còn lại là giống nhau, trừ một số chi tiết nhỏ khác. Thay vì sử dụng phương pháp đổi biến để cho ra hàm gamma (chưa được biết đến lúc bấy giờ), Bernoulli sử dụng tích phân từng phần để tính các số hạng này theo phương pháp quy nạp.

Ta tính một tích phân bất định trước, bỏ hằng số tích phân Bản mẫu:Math vì trong chứng minh gốc không có nó, và vì nó sẽ triệt tiêu khi tính tích phân xác định.

Với Bản mẫu:Math, ta có thể tính tích phân $\int x^m(\log x{)}^{n}dx$ bằng cách đặt Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, cho ta:

$\begin{array}{cc}\int x^m(\log x{)}^{n}dx& =\frac{x^{m+1}(\log x{)}^n}{m+1}-\frac{n}{m+1}\int x^{m+1}\frac{(\log x{)}^{n-1}}{x}dx\\ & =\frac{x^{m+1}}{m+1}(\log x{)}^n-\frac{n}{m+1}\int x^m(\log x{)}^{n-1}dx\end{array}$

(cũng có trong danh sách tích phân với hàm lôgarít). Bước này làm giảm số mũ của hàm logarit đi một (từ Bản mẫu:Mvar xuống Bản mẫu:Math) và từ đó ta có thể tính tích phân này bằng cách quy nạp, như sau

$\int x^m(\log x{)}^{n}dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot \sum _{i=0}^n(-1{)}^i\frac{(n{)}_i}{(m+1{)}^i}(\log x{)}^{n-i}$

trong đó Bản mẫu:Math ký hiệu cho giai thừa giảm. Đây là tổng hữu hạn vì quá trình quy nạp dừng tại Bản mẫu:Math do Bản mẫu:Math là số nguyên.

Trong trường hợp Bản mẫu:Math là các số nguyên thì

$\int x^n(\log x{)}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot \sum _{i=0}^n(-1{)}^i\frac{(n{)}_i}{(n+1{)}^i}(\log x{)}^{n-i}.$

Lấy tích phân từ Bản mẫu:Math đến Bản mẫu:Math, tất cả số hạng triệt tiêu ngoại trừ số hạng cuối cùng tại Bản mẫu:Math, cho ta:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\log x{)}^n}{n!}dx=\frac{1}{n!}\frac{1^{n+1}}{n+1}(-1{)}^n\frac{(n{)}_n}{(n+1{)}^n}=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}.$

Từ góc nhìn hiện đại, chứng minh này tương đương với việc chứng minh tích phân Euler $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ cho hàm gamma trên một tập xác định khác (tương ứng với việc đổi biến), do đồng nhất thức của Euler có thể được chứng minh bằng tích phân từng phần.

Xem thêm

• Chuỗi (toán học)

Tham khảo

Công thức

• Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• OEIS, Bản mẫu:OEIS and Bản mẫu:OEIS
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:MathWorld
• Max R. P. Grossmann (2017): Sophomore's dream. Hằng số đầu tiên đến 1.000.000 chữ số

Hàm số

• Literature for x^x and Sophomore's Dream, Tetration Forum, 2010-02-03
• The Coupled Exponential, Jay A. Fantini, Gilbert C. Kloepfer, 1998
• Sophomore's Dream Function, Jean Jacquelin, 2010, 13 pp.
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí

Bản mẫu:Refend