Hệ tọa độ elíp

Hệ tọa độ elíp

Trong toán học và hình học, hệ tọa độ elíp là một hệ tọa độ trực giao hai chiều trong đó các đường tọa độ là các đường elíp và hyperbol đồng tiêu (tức có cùng tiêu điểm). Hai tiêu điểm Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math thường được cố định tại vị trí Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math trên trục hoành.

Định nghĩa

Công thức để chuyển từ tọa độ elíp Bản mẫu:Math sang hệ tọa độ Descartes là

$\begin{array}{cc}x& =a\cosh \mu \cos \nu \\ y& =a\sinh \mu \sin \nu \end{array}$

trong đó Bản mẫu:Mvar là một số thực không âm, Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là các hàm hyperbolic.

Một biểu diễn tương đương sử dụng số phức là

$x+iy=a\cosh (\mu +i\nu )$

Định nghĩa trên tương ứng với hình elíp và hình hyperbol. Đường cong với Bản mẫu:Mvar không đổi là một đường elíp, do

$\frac{x^2}{a^2{\cosh }^2\mu }+\frac{y^2}{a^2{\sinh }^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1.$

Đây là phương trình chính tắc của hình elíp. Mặt khác, nếu Bản mẫu:Mvar không đổi, ta có một đường hyperbol:

$\frac{x^2}{a^2{\cos }^2\nu }-\frac{y^2}{a^2{\sin }^2\nu }={\cosh }^2\mu -{\sinh }^2\mu =1,$

phương trình chính tắc của hyperbol.

Hệ số tỉ lệ

Trong một hệ tọa độ trực giao, độ dài của các vectơ cơ sở được gọi là hệ số tỉ lệ. Trong hệ tọa độ elip và tọa độ cong nói chung, các vectơ cơ sở thay đổi tùy theo vị trí của điểm đang xét. Hệ số tỉ lệ của tọa độ Bản mẫu:Math bằng

$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{{\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu }=a\sqrt{{\cosh }^2\mu -{\cos }^2\nu }.$

Một biểu diễn khác sử dụng công thức hạ bậc cho các hàm lượng giác là

$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{\frac{1}{2}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}.$

Từ đó, một phần diện tích vô cùng nhỏ có dạng

$\begin{array}{cc}dA& =h_{\mu }{h}_{\nu }d\mu d\nu \\ & =a^2({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )d\mu d\nu \\ & =a^2({\cosh }^2\mu -{\cos }^2\nu )d\mu d\nu \\ & =\frac{a^2}{2}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )d\mu d\nu \end{array}$

và biểu thức của toán tử Laplace trong tọa độ elíp là

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\mu }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\nu }^2}).$

Những toán tử vi phân khác như Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math có thể được suy ra từ công thức tổng quát của hệ tọa độ trực giao, hoặc bằng cách thế vào công thức của hệ tọa độ Descartes.

Định nghĩa khác

Một định nghĩa dễ hiểu và minh họa hơn sử dụng cặp tọa độ Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Do đó $\tau =\cos \nu$. Do đó, đường với Bản mẫu:Mvar không đổi là elip, còn đường với Bản mẫu:Mvar là hyperbol. Tọa độ Bản mẫu:Mvar phải thuộc đoạn Bản mẫu:Math, còn Bản mẫu:Mvar phải lớn hơn hoặc bằng 1.

Cặp tọa độ Bản mẫu:Math có quan hệ với các tiêu điểm Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Với mọi điểm trên mặt phẳng, tổng hai khoảng cách của nó đến hai tiêu điểm là Bản mẫu:Math, còn hiệu hai khoảng cách đó là Bản mẫu:Math. Do đó, khoảng cách đến tiêu điểm Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Math, còn với Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math lần lượt nằm tại Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math.

Một nhược điểm của cách biểu diễn này đó là các điểm với tọa độ Descartes Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math có cùng tọa độ Bản mẫu:Math, do đó công thức đổi sang hệ tọa độ Descartes không phải là một hàm số:

$\begin{array}{cc}x& =a\sigma \tau \\ y^2& =a^2({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2).\end{array}$

Hệ số tỉ lệ

Hệ số tỉ lệ cho cặp tọa độ elíp Bản mẫu:Math là

$\begin{array}{cc}{h}_{\sigma }& =a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{{\sigma }^2-1}}\\ h_{\tau }& =a\sqrt{\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{1-{\tau }^2}}.\end{array}$

Từ đó, phần diện tích vô cùng nhỏ là

$dA=a^2\frac{{\sigma }^2-{\tau }^2}{\sqrt{({\sigma }^2-1)(1-{\tau }^2)}}d\sigma d\tau$

còn Laplacian bằng

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sigma }^2-{\tau }^2)}[\sqrt{{\sigma }^2-1}\frac{\partial }{\partial \sigma }\left(\sqrt{{\sigma }^2-1}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \sigma }\right)+\sqrt{1-{\tau }^2}\frac{\partial }{\partial \tau }\left(\sqrt{1-{\tau }^2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \tau }\right)].$

Mở rộng ra các chiều cao hơn

Hệ tọa độ elíp là nền tảng cho một số hệ tọa độ trực giao ba chiều. Hệ tọa độ elíp trụ được xây dựng bằng cách chiếu hệ tọa độ elíp lên chiều trục Bản mẫu:Mvar.

Ứng dụng

Hệ tọa độ elíp thường được dùng trong việc giải phương trình vi phân từng phần, như là phương trình Laplace hay phương trình Helmholtz, trong đó hệ tọa độ elíp cho biểu diễn tự nhiên hơn và giúp tách biến trong phương trình. Một số ví dụ bao gồm giải các hệ thống như electron xoay quanh một phân tử hoặc quỹ đạo các thiên thể với hình elíp.

Tính chất hình học của tọa độ elíp cũng có ích. Một ví dụ bao gồm tính tích phân qua tất cả cặp vectơ Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math có tổng là vectơ Bản mẫu:Math cố định, dưới dấu tích phân là một hàm phụ thuộc vào độ dài các vectơ Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Khi ấy ta có thể đặt Bản mẫu:Math trên trục hoành giữa hai tiêu cự, và vectơ Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math xác định bởi một điểm trên elíp. Một trường hợp cụ thể là, Bản mẫu:Math có thể biểu diễn động lượng của một chất điểm và các vectơ thành phần, và hàm dưới dấu tích phân có thể liên quan đến cơ năng của nó.

Xem thêm

• Hệ tọa độ cong

Tham khảo

• Bản mẫu:Springer
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:MathWorld