Phép ngập

Bản mẫu:Chuyên ngành Trong hình học vi phân, một phép ngập là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp vi phân sao cho tại mọi điểm, vi phân của nó là một toàn ánh. Đây là một khái niệm cơ bản trong tô-pô vi phân. Phép ngập đối ngẫu với phép dìm.

Phép ngập vi phân có tính cục bộ: nó không nhất thiết phải là một toàn ánh. Trong khi đó, một phép ngập tô-pô luôn là một toàn ánh.

Định nghĩa

Gọi M và N là các đa tạp vi phân và $f:M\to N$ là một ánh xạ khả vi giữa chúng. Ánh xạ Bản mẫu:Math là một phép ngập tại một điểm $p\in M$ nếu vi phân của nó

$D{f}_p:T_{p}M\to T_{f(p)}N$

là một toàn ánh tuyến tính. Trong trường hợp này Bản mẫu:Math được gọi là điểm chính quy của ánh xạ Bản mẫu:Math. Nếu không phải là một điểm chính quy, Bản mẫu:Math được gọi là một điểm cực hạn. Một điểm $q\in N$ là giá trị chính quy của Bản mẫu:Math nếu mọi điểm trong nghịch ảnh $f^{-1}(q)$ đều là điểm chính quy. Một ánh xạ khả vi Bản mẫu:Math được gọi là một phép ngập nếu nó là một phép ngập tại mọi điểm $p\in M$.

Tương đương, Bản mẫu:Math là một phép ngập nếu vi phân của nó $D{f}_p$ có hạng không đổi bằng số chiều của Bản mẫu:Math

Định lý ngập

Cho trước một phép ngập giữa các đa tạp trơn $f:M\to N$, các thớ của $f$, ký hiệu $M_x=f^{-1}(\{p\})$, có thể được trang bị một cấu trúc vi phân. Điều này kết hợp với định lý nhúng Whitney ngụ ý rằng mọi đa tạp trơn đều là thớ của một ánh xạ trơn $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$.

Ví dụ, xét $f:{ℝ}^3\to ℝ$ được cho bởi $f(x,y,z)=x^4+y^4+z^4.$ Ma trận Jacobi

$\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f}{\partial x}& \frac{\partial f}{\partial y}& \frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4x^3& 4y^3& 4z^3\end{array}\right].$

Ma trận này có hạng tối đa tại mọi điểm trừ $(0,0,0)$. Ngoài ra, các thớ

$f^{-1}(\{t\})=\{(a,b,c)\in {ℝ}^3:a^4+b^4+c^4=t\}$

là tập hợp rỗng với $t<0$ và là một điểm với $t=0$. Do đó, ta có một phép ngập $f:{ℝ}^3-\{(0,0,0)\}\to {ℝ}_{>0},$ và các thớ $M_t=\{(a,b,c)\in {ℝ}^3:a^4+b^4+c^4=t\}$ là các đa tạp con hai chiều với $t>0$.

Ví dụ

Một ánh xạ phủ cũng là một phép ngập, bởi vì nó là một vi phôi địa phương.

• Mọi phép chiếu $\pi :{ℝ}^{m+n}\to {ℝ}^n\subset {ℝ}^{m+n}$ đều là một phép ngập.
• Một vi phôi địa phương là một phép ngập.
• Một phép ngập Riemann là một phép ngập bảo toán metric Riemann.
• Phép chiếu phân thớ là một phép ngập (do sự tồn tại của tầm thường hóa cục bộ).

Phép ngập tô-pô

Một phép ngập tô-pô là một toàn ánh liên tục Bản mẫu:Math sao cho với mọi Bản mẫu:Math thuộc Bản mẫu:Math, tồn tại các bản đồ liên tục Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math sao cho ánh xạ Bản mẫu:Math bằng với phép chiếu từ Bản mẫu:Math đến Bản mẫu:Math, với Bản mẫu:Math.

Tham khảo

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Đoàn Quỳnh, 2000, Hình học vi phân
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách